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% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
%\rfoot{A. Detant}
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           % \rfoot{#3}
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%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math) 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}   
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math) 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
 \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} 
 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
 \newcommand{\pg}{\geqslant}
 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
 \newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
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 \newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
 %**** écrire un angle orienté de vecteurs *****
 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
 %*** écrire e (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\e}{\text{e}}
 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
 \renewcommand{\exp}[1]{\text{e}^{#1}}
 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\module}[1]{\left| #1\right| ~}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\integ}[4]{\displaystyle \int_{#1}^{#2}~ #3~d#4}
 %**** écrire une somme (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~}
 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
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%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}

\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{28 mai 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\label{exercice 1}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%\medskip

%\emph{Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à }$10^{-3}$.

%\bigskip

%Une usine fabrique des tubes.

\textbf{Partie A}

%\emph{Les questions} \textbf{1.} \emph{et} \textbf{2.} \emph{sont indépendantes.}

%\medskip

%On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

%\medskip

\begin{enumerate}
	\item  %Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.
	\begin{enumerate}
		\item ~ %On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 1,5 et d'écart-type 0,07.
		
%\smallskip
		
%On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
		
		\begin{solution}
				On cherche $p(1,35 \pp X \pp 1,65)$
				
				D'après la calculatrice $p(1,35 \pp X \pp 1,65) \approx 0,968$ à $10^{-3}$ près.
		\end{solution}
		
		\item ~ %L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance 1,5 et d'écart-type $\sigma_1$.
		
%\smallskip
		
		%Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1 - 1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
		
		\begin{solution}On veut que $p(1,35 \pp X \pp 1,65) = 0,98$.
		
		$1,35 \pp X_1 \pp 1,65~~\equi~~-0,15 \pp X_1 - 1,5 \pp 0,15~~\equi~~\dfrac{-0,15}{\sigma_1} \pp Z \pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}$
		
		Alors $p(1,35 \pp X \pp 1,65) = 0,98~~\equi~~p\left(\dfrac{-0,15}{\sigma_1} \pp Z \pp \dfrac{0,15}{\sigma_1} \right)=0,98 $
		
		On a, par symétrie, $p\left(\dfrac{-0,15}{\sigma_1} \pp Z \pp \dfrac{0,15}{\sigma_1} \right)=0,98 ~~\equi~~p\left( Z \pp \dfrac{0,15}{\sigma_1} \right)=0,99$
		
		La calculatrice donne alors $\dfrac{0,15}{\sigma_1}\approx 2,326$.
		
		Finalement pour répondre à l'amélioration souhaitée, il faut régler la machine avec $\sigma_1\approx 0,064$.
		
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}

	\item %Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit \og{}conforme pour la longueur \fg{} lorsque celle-ci, en millimètres, appartient a Intervalle $[298 ~;~ 302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2\,\% de tubes non \og{}conformes pour la longueur\fg{} est acceptable.
	
	%\smallskip
	
	%On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non \og{}conformes pour la longueur\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des tubes non \og{}conformes pour la longueur\fg{} dans un échantillon de $250$ tubes.
		
		 \begin{solution}
		 
		 On répète $n=250$ fois, de manière indépendante, un expérience n'ayant que deux issues dont la probabilité de \og succès \fg{} (le tube n'est pas conforme) est $p=0,02$. Soit $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=250$ et $p=0,02$.
		 
		 $n=250\pg30~~,~~np=5\pg5~~\text{et}~~n(1-p)=245\pg5$, on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.
		 
		 $I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}   ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]=[0,003~;~0,037]$ à $10^{-3}$ près. 
		 \end{solution}
		 
		\item ~ %Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
		
		\begin{solution}
		
		La fréquence observée de tubes non non \og{}conformes pour la longueur\fg{} est $f=\dfrac{10}{250}=0,04$.
		
		On a $f \notin I$, on peut donc estimer qu'il faut réviser la machine. 
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip 
\newpage
\textbf{Partie B}
%\medskip

%Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2.

%Une étude menée sur la production a permis de constater que :

%\begin{itemize}
%	\item 96\,\% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;
	
%	\item parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95\,\% ont une longueur conforme;
	
%	\item 3,6\,\% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.
%\end{itemize}

%On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :
%\begin{itemize}
%	\item $E$ : \og{}l'épaisseur du tube est conforme\fg{};
%	\item $L$ : \og{}la longueur du tube est conforme\fg{}.
%\end{itemize}

%On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :

%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
%\begin{center}
	%% Racine à Gauche, développement vers la droite
%	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%% Styles (MODIFIABLES)
%	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle]
%	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle]
%	\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,circle,inner sep=2pt]
	%% Dimensions (MODIFIABLES)
%	\def\DistanceInterNiveaux{3}
%	\def\DistanceInterFeuilles{1}
	%% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
	%% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$E$};
%	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$L$};
%	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{L}$};
%	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{E}$};
%	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$L$};
%	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{L}$};
	%% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%	\draw[fleche] (R.east) --(Ra) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Ra.east) --(Raa) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Ra.east) --(Rab) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (R.east) --(Rb) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rba) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rbb) node[etiquette] {$\dots$};
%	\end{tikzpicture}
%	\end{center}
	%:-+-+-+-+- Fin

\begin{enumerate}
	\item ~ %Recopier et compléter entièrement cet arbre.	
	
	\begin{solution}
	D'après l'énoncé $p\left(\overline{E}\cap L\right) = 0,036$ donc $p_{_{\overline{E}}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
	
	%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
	\begin{center}
		% Racine à Gauche, développement vers la droite
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle]
		\tikzstyle{feuille}=[circle]
		\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,circle,inner sep=2pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{3}
		\def\DistanceInterFeuilles{2}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$E$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$L$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{L}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{E}$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$L$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{L}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw[fleche] (R.east) --(Ra) node[etiquette] {$0,96$};
		\draw[fleche] (Ra.east) --(Raa) node[etiquette] {$0,95$};
		\draw[fleche] (Ra.east) --(Rab) node[etiquette] {$0,05$};
		\draw[fleche] (R.east) --(Rb) node[etiquette] {$0,04$};
		\draw[fleche] (Rb.east) --(Rba) node[etiquette] {$0,9$};
		\draw[fleche] (Rb.east) --(Rbb) node[etiquette] {$0,1$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		%:-+-+-+-+- Fin
		
	\end{solution}
	
	\item ~ %Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.
	
	\begin{solution}
		$E$ et $\overline{E}$ forment une partition de l'univers donc, d'après les probabilités totales on a:
	
	$p(L)=p(L \cap E)+p\left(L \cap  \overline{E} \right)$
	
	$\hphantom{p(L)}=p_{_{E}}(L)\x p(E)+0,036$
	
	$\hphantom{p(L)}=0,95\x 0,96+0,036$
	
	$\hphantom{p(L)}=0,912+0,036$
	
	On a donc bien $p(L)=0,948$.
	\end{solution}
	
\end{enumerate}

\vspace{5mm}
\label{exercice 2}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.

%\medskip

%Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

%\medskip


%\begin{tabularx}{\linewidth}{l X}
%\textbf{Affirmation 1 :}& L'équation $z - \text{i} = \text{i}(z + 1)$ a pour solution $Z = \sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.      \\ \\


	
%\textbf{Affirmation 2 :}& Pour tout réel $x \in \left] -\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$, le nombre complexe $1 + \e^{2\text{i} x}$ admet pour forme exponentielle $2 \cos x \e^{-\text{i}x}$.\\ \\


%\textbf{Affirmation 3 :}& Un point M d'affixe $z$ tel que $\big|z - \text{i}\big| = \big|z + 1\big|$ appartient à la droite d'équation $y = -x$.\\ \\


	
%\textbf{Affirmation 4 :}& L'équation $z^5 + z - \text{i} + 1 = 0$ admet une solution réelle.

%\end{tabularx}

\begin{solution}

\textbf{Affirmation 1 :} \surj{FAUSSE}


$z - \text{i} = \text{i}(z + 1)~~\equi~~z-\text{i}z=2\text{i}$

\vspace{0.2cm}
$\hphantom{z - \text{i} = \text{i}(z + 1)}~~\equi~~z=\dfrac{2\text{i}}{1-\text{i}}$

\vspace{0.2cm}
$\hphantom{z - \text{i} = \text{i}(z + 1)}~~\equi~~z=\dfrac{2\text{i}(1+\text{i})}{1-\text{i}^2}$

\vspace{0.2cm}
$\hphantom{z - \text{i} = \text{i}(z + 1)}~~\equi~~z=-1+\text{i}$

\vspace{0.2cm}
$\hphantom{z - \text{i} = \text{i}(z + 1)}~~\equi~~z=\sqrt{2}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $

\vspace{0.2cm}
$\hphantom{z - \text{i} = \text{i}(z + 1)}~~\equi~~z= \sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}\neq \sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$

\newpage
\textbf{Affirmation 2 :} \surj{FAUSSE}

$1 + \e^{2\text{i} x}=1+\left(\vphantom{\dfrac{}{}} \cos(2x)+\text{i}\sin(2x)\right)$

$\hphantom{1 + \e^{2\text{i} x}}=1+\left( 2\cos^2(x)-1+2\text{i}\sin(x)\cos(x)\right)  $

$\hphantom{1 + \e^{2\text{i} x}}=2\cos(x)\left( \cos(x)+\text{i}\sin(x)\right)  $
 
 $\hphantom{1 + \e^{2\text{i} x}}=2\cos(x)\e^{\text{i} x}\neq 2 \cos (x) \e^{-\text{i}x}$
 
 \vspace{0.5cm}


 

\textbf{Affirmation 3 :} \surj{VRAIE}

Soit $A(\text{i})$ et $B(-1)$ alors $\big|z - \text{i}\big| = \big|z + 1\big|~\equi~AM=BM$

$M$ est donc sur la médiatrice de $[AB]$ or cette médiatrice est d'équation $y=-x$

 \vspace{0.5cm}

	
\textbf{Affirmation 4 :} \surj{FAUSSE}

$z^5 + z - \text{i} + 1 = 0~~\equi~~z^5+z+1=\text{i}$ 

Si $z\in \R~,~\left( z^5+z+1\right) \in \R$

Alors $z^5+z+1\neq \text{i}$

\end{solution}

\vspace{5mm}

\label{exercice 3}
\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%\medskip

\textbf{Partie A : établir une inégalité}
\medskip

%Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.
\begin{enumerate}
	\item ~ %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.	
	
	\begin{solution}
	
	$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$.
	
	$f=u-\ln(v)~~\imp~~f'=u'-\dfrac{v'}{v}$ avec $\begin{cases}
	u(x)=x\\v(x)=1+x
	\end{cases}~~\imp~~\begin{cases}
	u'(x)=1\\v'(x)=1
	\end{cases}$
	
	$\forall x \in [0~;~+\infty[~,~f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{x+1}$
	
	Sur $[0~;~+\infty[~,~\dfrac{x}{x+1}\pg0$. 	
	On en déduit que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$
	
	\end{solution}
	
	\item ~ %En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.
	
	\begin{solution}
	
	$\forall x \in [0~;~+\infty[~,~f(x)\pg f(0)$ car $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$
	
	$f(0)=0$ d'où $\forall x \in [0~;~+\infty[~,~x-\ln(1+x)\pg 0$
	
	On a donc bien $\forall x \in [0~;~+\infty[~,~\ln(1+x)\pp x$
	\end{solution}
	
\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage
\textbf{Partie B : application à l'étude d'une suite}

%On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

\begin{enumerate}
\item ~ %Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.

\begin{solution}

$u_1=u_0 - \ln(1 + u_0)=1-\ln(2)$

$u_2=u_1 - \ln(1 + u_1)=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,0392  $
\end{solution}
	
\item 
		\begin{enumerate}
			\item ~ %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.	
			
			\begin{solution}
			
			\textbf{\underline{Initialisation}}: $u_0=1\pg0$
			
			\vspace{0.2cm}
			\textbf{\underline{Hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel tel que $u_n\pg0$
			
			alors $u_{n+1}=f(u_n)\pg0$ d'après la \textbf{partie A}
			
			On en déduit que la propriété est héréditaire à partir du rang 0 or elle est vérifiée à ce même rang. 
			
			Par le principe de récurrence on peut donc conclure que $\forall n\in \N~,~u_n\pg0$
			\end{solution}
				
			\item ~ %Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.	
			
			\begin{solution}
			
			$\forall n \in \N~,~u_{n+1}-u_n=-\ln\left( 1+u_n\right) \pp0$ car $\left( 1+u_n\right) \pg1$.
			
			On en déduit que $\left( u_n\right) $ est décroissante.
			
			$\left( u_n\right) $ est donc majorée par $u_0=1$.
			
			Finalement on a bien $\forall n \in \N~,~u_n\pp1$.
			
			\end{solution}
					
			\item ~ %Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
			
			\begin{solution}
			
			$\left( u_n\right) $ est décroissante et minorée par 0 donc $\left( u_n\right) $ converge vers $\ell\pg0$.
			\end{solution}
			
	\end{enumerate}
\item ~ %On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}. En déduire la valeur de $\ell$.

\begin{solution}
$\ell = f(\ell)~\equi~\ln\left( 1+\ell\right) =0~\equi~ \ell =0$


\end{solution}

\item 
\begin{enumerate}
		\item ~ %Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.	
		
		\begin{solution}
		
		N $\leftarrow$ 0
		
		U $\leftarrow$ 1
		
		Tant que U  $\pg 10^{-p}$
		
		\hspace{0.5cm}
		U $\leftarrow$ U~$-\ln(1+\text{U})$
		
		\hspace{0.5cm}
				N $\leftarrow$ N+1
		
		Fin Tant que
		
		Afficher N
		\end{solution}
			
		\item ~ %Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
		
		\begin{solution}
		
En programmant l'algorithme, on trouve $n=6$ comme le plus petit entier à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.

\emph{Note importante} : la plupart des calculatrices et même des tableurs ne permettent pas de trouver $n = 6$, affichant souvent des résultats faux 

($u_n < 0$ !). Cette question est donc à supprimer.
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

\label{exercice 4 - Obli}
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité}

%On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x={(-3:73mm)},y={(26:32mm)},z={(90:74mm)}]
	\coordinate (A) at (0,0,0);
	\coordinate (B) at (1,0,0);
	\coordinate (C) at (1,1,0);
	\coordinate (D) at (0,1,0);
	\coordinate (E) at (0,0,1);
	\coordinate (F) at (1,0,1);
	\coordinate (G) at (1,1,1);
	\coordinate (H) at (0,1,1);
	\coordinate (I) at (0.5,0.5,0);
	\coordinate (J) at (1,0.5,0.5);
	\coordinate (K) at (0.5,1,0.5);
	\coordinate (L) at (0,0.5,0.5);
	\coordinate (M) at (0.5,0,0.5);
	\coordinate (N) at (0.5,0.5,1);
	
	\draw (A) node [left]{A} -- (B) node [below right]{B} --
	(C) node [right]{C} -- (D) node [above left]{D}--cycle
	(E) node [left]{E} -- (F) node [below right]{F} --
	(G) node [right]{G} -- (H) node [above left]{H}--cycle
	(A)--(E) (B)--(F) (C)--(G) (D)--(H);
	
	\draw[line width=1pt] (I) node [below right] {I} --(J) node [right] {J}--(N)  node [above] {N}--(L)  node [left] {L}--cycle
	(L)--(M) node [below left] {M}--(J) (N)--(M)--(I);
	\draw[line width=1pt, dashed] (J)--(K) node [above right] {K} --(L) (N)--(K)--(I);
\end{tikzpicture}
\end{center}

%Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

%\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item ~ %Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
	
	\begin{solution}
		L et M sont les milieux respectifs de [AH] et [AF] donc d'après le théorème de la droite des milieux dans AFH, on en déduit que (LM) est parallèle à (FH).
	
	(IN) et (BF) sont parallèles car BFNI est un rectangle or (BF) est perpendiculaire au plan (EFG) donc à la droite (FH).
	
	On a alors (IN) perpendiculaire à (FH) et comme (LM) est parallèle à (FH), on en déduit finalement que (IN) et (ML) sont orthogonales.
	
	\end{solution}
	
\end{enumerate}

%\medskip

%Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right) $ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $.

%\medskip

\begin{enumerate}[resume]
	\item 
		\begin{enumerate}
			\item ~ %Donner les coordonnées des vecteurs $ \vect{\text{NC}} $ et $ \vect{\text{ML}} $.	
			
			\begin{solution}
						Dans $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right) $ on a 
									
			C(1~;~1~;~0)~~,~~M$\left( \dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right) $~~et~~L$\left( 0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $
			
			Donc $\vect{\text{NC}}\begin{pmatrix}
			0,5\\0,5\\-1
			\end{pmatrix} $ et $ \vect{\text{ML}}\begin{pmatrix}
						-0,5\\0,5\\0
						\end{pmatrix}  $.
			\end{solution}
					
			\item ~ %En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.	
			
			\begin{solution}
			
			Le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right) $ est orthonormé donc on peut calculer un produit scalaire.
			
			$\vect{\text{NC}} \cdot \vect{\text{ML}}=-0,25+0,25+0=0 $
			
			On en déduit que les vecteurs sont orthogonaux donc (NC) et (ML) sont orthogonales.
			\end{solution}
					
			\item ~ %Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
			
			\begin{solution}
			
			(ML) est orthogonale à (NC) et à (IN) qui sont deux droites sécantes du plan (NCI) donc (ML) est perpendiculaire au plan (NCI).
			
			$\vect{\text{ML}}\begin{pmatrix}
									-0,5\\0,5\\0
									\end{pmatrix} $ est donc normal à (NCI) d'où $\vect{u}\begin{pmatrix}
																		1\\-1\\0
																		\end{pmatrix} $ est normal à (NCI).
									
			On a alors (NCI):~$x-y+d=0$ or C $\in$ (NCI) d'où $x_C-y_C+d=0~\equi~d=0$.
			
			
			Finalement (NCI) : $x-y=0$.
			\end{solution}
			
	\end{enumerate}	
\item 
\begin{enumerate}
		\item ~ %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est : $x - y + z = 1 $.	
		
		\begin{solution}
		
		Dans $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right) $ on a N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $~~,~~J$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right) $~~et~~M$\left( \dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right) $
		
		$x_N - y_N + z_N = 1 $ 
		
		$x_J - y_J + z_J = 1 $
		
		$x_N - y_N + z_N = 1 $
		
		(NJM) a donc bien pour équation cartésienne $x - y + z = 1 $.
		
		
		\end{solution}
			
		\item ~ %La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier.	
		
		\begin{solution}
		$\vect{n}\begin{pmatrix}
			1\\-1\\1
		\end{pmatrix} $ est normal à (NJM) d'après l'équation cartésienne trouvée précédemment. Or $\vect{\text{DF}}\begin{pmatrix}
					1\\-1\\1
		\end{pmatrix} $.
		
		Finalement, la droite (DF) est perpendiculaire au plan (NJM).
		\end{solution}
			
		\item ~ %Montrer que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. 
		%Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.

\begin{solution}

N appartenant à ces deux plans, la droite cherchée passe par N.

Soit $\vect{w}\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}$ un vecteur directeur de cette droite. $\vect{w}$ est orthogonal aux vecteurs normaux des deux plans, on a donc:

$\begin{cases}
\vect{w}\cdot \vect{u}=0\\\vect{w}\cdot \vect{n}=0
\end{cases}~~\equi~~\begin{cases}
a-b=0\\a-b+c=0
\end{cases}~~\equi~~\begin{cases}
a=b\\c=0
\end{cases}$

En posant $a=b=1$, on en déduit que la droite d'intersection entre les plans (NCI) et (NJM) passe par N et a pour vecteur directeur $\vect{w}\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}$. 

Il s'agit de la droite (EG) car $\vect{\text{EG}}\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}$ et N est le milieu de [EG].
\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

\newpage
\label{exercice 4 - Spé}
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité}

%\medskip


%Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5]  \end{array} \right.$.


%Deux matrices carrées d'ordre 2 $\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$.

%\bigskip

%Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

%\parbox{0.53\linewidth}{
%\begin{itemize}
%\item Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
%\item Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
%\item Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-contre : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre \textsf{T} d'un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
%\item On calcule une nouvelle matrice $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M : 
	
%$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = M\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.	
%	\item On calcule $r'$ et $t'$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x'$ et $y'$ par 5. 
%\end{itemize}} \hfill
%\begin{tabular}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash \rule[-2.5ex]{0pt}{6.5ex}}m{6mm}|}} \hline 
%	&0&1&2&3&4 \\ \hline
%0	&\textsf{A}&\textsf{B}&\textsf{C}&\textsf{D}&\textsf{E} \\ \hline
%1	&\textsf{F}&\textsf{G}&\textsf{H}&\textsf{I}&\textsf{J} \\ \hline
%2	&\textsf{K}&\textsf{L}&\textsf{M}&\textsf{N}&\textsf{O} \\ \hline
%3	&\textsf{P}&\textsf{Q}&\textsf{R}&\textsf{S}&\textsf{T}\\ \hline
%4	&\textsf{U}&\textsf{V}&\textsf{X}&\textsf{Y}&\textsf{Z} \\ \hline 
%\multicolumn{6}{l}{~}\\
		
%\multicolumn{6}{p{55mm}}{Remarque : la lettre \textsf{W} est remplacée par les deux lettres accolées \textsf{V}.}
%	\end{tabular}
%\begin{itemize}
%		\item On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix} r'\\t' \end{pmatrix}$.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item %Bob et Alice choisissent la matrice $\text{M} = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$.	
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Montrer que la lettre \og{}\textsf{T}\fg{} du message initial est codée par la lettre \og{}\textsf{U}\fg{} puis coder le message \og{}\textsf{TE}\fg{}.
		
		\begin{solution}
		
		la lettre \og{}\textsf{T}\fg{} est remplacée par $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
		
		$ M\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} \x \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\24 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}~[5]$.
		
		On en déduit donc que la lettre \og{}\textsf{T}\fg{} du message initial est codée par la lettre \og{}\textsf{U}\fg{}.
		
		\vspace{0.4cm}
		la lettre \og{}\textsf{E}\fg{} est remplacée par $\begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix}$.
				
		$ M\begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} \x \begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\12 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}~[5]$.
		
		On en déduit donc que la lettre \og{}\textsf{E}\fg{} du message initial est codée par la lettre \og{}\textsf{O}\fg{}.
				
		\vspace{0.4cm}
		Finalement, le message \og{}\textsf{TE}\fg{} est codé par \og{}\textsf{UO}\fg{}.		
		\end{solution}
				
		\item ~ %On pose $\text{P} = \begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix}$. Montrer que les matrices PM et $\text{I} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.	
		
		\begin{solution}
		
		$PM=\begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix} \x\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6&10\\10&16 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}~[5]$. 		
		On a donc bien $PM\equiv I~[5]$.
		\end{solution}
			
		\item ~ %On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et 
		
%$\text{Z} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$, $\text{Z}' =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.

\begin{solution}

Posons $\text{A} =\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\text{A'} =\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$

$\text{AZ}=\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}\x \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+cy\\bx+dy
\end{pmatrix}$ et, de même $\text{A'Z'}=\begin{pmatrix}
a'x'+c'y'\\b'x'+d'y'
\end{pmatrix}$

On sait que $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$ et $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5]  \end{array} \right.$

Les congruences étant compatibles avec la multiplication et l'addition, on en déduit que: $\left\{\begin{array}{l} ax+cy \equiv a'x'+c'y'~[5]\\ bx+dy \equiv b'x'+d'y'~[5]  \end{array} \right.$

Finalement, on a bien AZ~$\equiv$ A'Z'~[5].

\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

%Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si D, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

\begin{enumerate}[start=2]
	\item[]	\begin{enumerate}[start=4]
		\item ~ %On note $\text{X}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ et $\text{Y} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de \og{}décoder\fg{} une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
		
		\begin{solution}
		
		$\text{MX} \equiv \text{Y}~[5]~\imp~\text{PMX} \equiv \text{PY}~[5]$
		
		Or on a vu dans la question \textbf{1.c.} que $\text{PM}\equiv \text{I}~[5]$ avec I la matrice identité d'ordre 2. On en déduit que $\text{PMX} \equiv \text{IX}~[5] \equiv \text{X}~[5]$.
		
		Finalement on a bien $\text{MX} \equiv \text{Y}~[5]~\imp~\text{X} \equiv \text{PY}~[5]$.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Décoder alors la lettre \og{}\textsf{D}\fg{}.
		
		\begin{solution}
		
		La lettre \og{}\textsf{D}\fg{} est remplacée par $\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}$.
				
		$ P\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix} \x \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\12 \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}~[5]$.
				
		On en déduit donc que la lettre \og{}\textsf{D}\fg{} du message codé est décodée par la lettre \og{}\textsf{O}\fg{}.
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
	\item  %On souhaite déterminer si la matrice $\text{R}=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3	\end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
	\begin{enumerate}
		\item ~ %On pose $\text{S} = \begin{pmatrix} 2&2\\4&4	\end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0	\end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5. 
		\begin{solution}	
		$RS=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3 \end{pmatrix} \x\begin{pmatrix} 2&2\\4&4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10&10\\20&20 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}~[5]$. 			
		\end{solution}	
		\item ~%On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5.
		%Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
		
		\begin{solution}
		
		$\text{S}\equiv \text{S}~[5]$, on en déduit alors que $\text{TR}\equiv \text{I}~[5]$ entraîne $\text{TRS}\equiv \text{IS}~[5]\equiv \text{S}~[5]$ d'après le résultat admis avant la question \textbf{2. d.}
		\end{solution}
		
		\item ~ %En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
		
		\begin{solution}
		
Supposons qu'il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5.
		
$\begin{cases}
\text{RS}\equiv \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}~[5]\\\text{T}\equiv \text{T}~[5]
		
\end{cases}~\imp~\text{TRS}\equiv T\x\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}~[5]\equiv \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}~[5]$.
		
		Or on a prouvé dans la question précédente que $\text{TRS}\equiv  \text{S}~[5]$.
		
		Finalement s'il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5 alors $\text{S}\equiv \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}~[5]$ ce qui est évidemment absurde.
		
		On en déduit qu'il n'existe pas de matrice carrée d'ordre 2 à coefficients entiers telle que TR et I soient congrues modulo 5. Cela signifie que le codage à l'aide de la matrice R ne pourra pas être décodé.
		
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}