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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(O,~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% Ci : Complexe i
%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \exp^ : exponentielle
\newcommand{\e}{\text{e}}
%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%%
\newcommand*{\transformation}{\mathit{S}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par
  \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
  \medskip \par
  \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac]
\newcommand{\partieBac}[1]
{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE
    \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
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%Corrigé tapé par Abdallah Saoud Manal de La Marsa en Tunisie
\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012\\ Corrigé de A. Saoud Manal}}
\end{center}

\textbf {\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}


%Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
%hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
%membres de cette association adhèrent à la section tennis.

\textbf{\textsc{Partie A.}}

\medskip

%On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
%\item $F$ l'évènement \og le membre choisit est une femme\fg,
%\item $T$ l'évènement \og le membre choisit adhère à la section tennis\fg.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.

Un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis, donc 

$p_{F}(T)=\frac{1}{4}$ et $p_{\overline{F}}(T)=\frac{1}{3}$.  

$30$ \% des membres de cette association adhèrent à la section tennis, donc $p(T)=\frac{3}{10}$.

$F$ et $\overline{F}$ forment une partition, d'après le théorème des probabilités totales, on a : 

$p(T) = p(T\cap F) + p\left(T\cap \overline{F}\right) = p_{F}(T) \times p(F) + p_{\overline{F}}(T) \times p\left(\overline{F}\right) = \frac{1}{4} \times p(F) + \frac{1}{3}(1-p(F)) =\frac{3}{10}.$

On en déduit que $\frac{1}{12}p(F) = \frac{1}{3} - \frac{3}{10}$ soit $p(F) = \frac{2}{5}$.
\item %On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

  %Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?

Il s'agit de calculer $p_{T}(F)$. Or $p_{T}(F) = \frac{p(T\cap F)}{p(T)} = \frac{p(F) \times p_{F}(T)}{p(T)}=\frac{\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf {\textsc{Partie B.}}
\medskip

%Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
%une loterie.
\begin{enumerate}
\item %Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard
  % de manière indépendante pour tenir la loterie.
	\begin{enumerate}
		\item % Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines
    %consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère
    %à la section tennis parmi les membres choisis.
C'est une  répétition d'une expérience aléatoire à deux issues, identique et indépendante. La variable aléatoire $X$, donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis, suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 4$ (nombre d'épreuves)  et $p=\frac{3}{10}$. On souhaite deux succès, la probabilité est donc $p(X=2)=\binom{4}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2\times \left(1-\dfrac{3}{10}\right)^{4-2}=\binom{4}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2\times\left( \dfrac{7}{10}\right)^{4-2}=\frac{\np{1323}}{\np{5000}}\approx 0,2646$ .
		\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la
    %probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au
  %  moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres
    %choisis.

    %Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$.
Il suffit de considérer l'évènement contraire qui consiste à ne choisir aucun membre du club de tennis $n$ fois, soit $\left (\frac{7}{10}\right)^n$. Le résultat est donc $p_n = 1 - \left (\frac{7}{10}\right)^n$.
  \item %Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geqslant 0,99$.

$p_n \geqslant 0,99$, $1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n\geqslant 0,99$, $\left ( \frac{7}{10}\right)^n\leqslant 0,01$, $\ln\left(\left (\frac{7}{10}\right)^n\right)\leqslant \ln(0,01)$ car la fonction $\ln$ est croissante.

$n\ln\left( \frac{7}{10}\right)\leqslant \ln(0,01)$,  $n\geqslant \frac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{7}{10}\right)}$ car $\ln\left (\frac{7}{10}\right)<0$. $n\geqslant 12,9$, i.e. $n\geqslant 13$.
	\end{enumerate}
\item  %Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons
  %; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros
  %chacun, les autres ne rapportent rien.

  %Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis
  %tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il
  %reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont
  %ensuite remis dans l'urne.

 % On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique
  %(déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une
 % partie de cette loterie.
  \begin{enumerate}
  \item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Les gains algébriques possibles sont $- 5$, 15, et 35.

\vskip 0.4cm
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
$Y=y_i$ & -5 & 15&35 \\\hline
$p(Y=y_i)$ & $ \frac{\left(\begin{array}{c}90 \\2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}100 \\2\end{array}\right)}=\frac{89}{110}$&  $ \frac{\left(\begin{array}{c}90 \\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}10 \\1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}100 \\2\end{array}\right)}=\frac{2}{11}$ & $ \frac{\left(\begin{array}{c}10 \\2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}100 \\2\end{array}\right)}=\frac{1}{110}$ \\\hline
\end{tabular}
\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
   % et interpréter le résultat obtenu.

L'espérance est donc $E(Y) = \sum_iy_ip\left(Y=y_i\right)=-5\times \frac{89}{110}+15\times \frac{2}{11}+35\times \frac{1}{110}= - 1$. 
 
Le jeu est en défaveur du joueur car l'espérance est négative ou encore qu'en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd 1 euro par partie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

\textbf {\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie A. Restitution organisée des connaissances}}

\medskip


%On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\text{e}^t}{t} = + \infty$.

%Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

On pose $x=\text{e}^t$, on a donc $x>0$, $\ln(x)=t$.
 On a $\lim_{t\to \infty}\text{e}^t=+\infty =\lim_{t\to \infty}x$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} =\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(\text{e}^t)}{\text{e}^t} =\lim_{t \to +\infty} \frac{t}{\text{e}^t}=0$ puisque $\lim_{t \to +\infty} \frac{\text{e}^t}{t} = + \infty$.

\medskip

\textbf {\textsc{Partie B.}}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[1\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x -
%\frac{\ln(x)}{x}$.

%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
%orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $[1\,;\,+\infty[$ par $g(x) =  x^2
  %-1 + \ln(x)$.

  %Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1\,;\,+\infty[$.

La fonction $g$ est dérivable d'après les théorèmes généraux et $g'(x)=2x+\frac{1}{x}$.

Pour $x\geqslant 1$, $2x> 0$ et $\frac{1}{x}> 0$, donc $g'(x)>0$ donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.
\item
  \begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $[1\,;\,+\infty[$, $f'(x) =
    %\frac{g(x)}{x^2}$.

    La fonction $f(x)=u(x)-\frac{v(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$. $u$ et $v$ sont dérivables avec $u'(x)=1$ et $v'(x)= \frac{1}{x}$. D'après les théorèmes généraux $f$ est dérivable et on a $f'(x)= u'(x)-\frac{v'(x)u(x)-v(x)u'(x)}{u(x)^2}=1-\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}$
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1\,;\,+\infty[$.

  Pour tout $x\in [1\,;\,+\infty[$, $g(x)>0$ et $x^2>0$, donc $f'(x)>0$. On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une
    %asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

    $f(x)-x=-\frac{\ln(x)}{x}$, $\lim_{x\to +\infty}f(x)-x=-\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$ donc la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    %la droite $\mathcal{D}$.
Pour tout $x\in [1\,;\,+\infty[$, $\ln(x)\geqslant 0$ et $x>0$, donc $\frac{\ln(x)}{x}\geqslant 0$ donc la courbe $\mathcal{C}$ est située en dessous de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note
  %respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de
  %$\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à
    %$2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est
    %donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
Un graphique pour comprendre:

\vskip 1cm

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.2cm,y=1.2cm]
\draw[->,color=black] (-0.5,0) -- (6,0);
\foreach \x in {,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-0.5) -- (0,6);
\foreach \y in {,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-0.5,-0.5) rectangle (6,6);
\draw[line width=3.6pt,color=red, smooth,samples=100,domain=1.0:5.5] plot(\x,{(\x)-ln((\x))/(\x)});
\draw[line width=2.8pt, smooth,samples=100,domain=-0.5:5.5] plot(\x,{(\x)});
\draw [line width=2pt] (3,3)-- (3.01,2.64);
\draw [line width=2pt] (5,5)-- (4.99,4.67);
\draw (3,3.5) node[anchor=north west] {$\mathcal{D}$};
\draw (4.5,4) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}$};
\begin{scriptsize}
\fill [color=black] (3,3) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (2.88,3.32) node {$M_3$};
\fill [color=black] (3.01,2.64) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (3.15,2.45) node {$M_3$};
\fill [color=black] (5,5) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (4.9,5.24) node {$N_5$};
\fill [color=black] (4.99,4.67) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (5.07,4.37) node {$M_5$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\vskip 0.5cm

La distance $M_kN_k = |f(x)-x|=\frac{\ln(k)}{k}>0$.
\end{center}
  \item %Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$
    %supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit
    %inférieur ou égale à $10^{-2}$.
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
Variables& 	$k$ est un entier \\
                 &	$ d$ est une variable réelle \\
Initialisation& $k:= 2\:;\: d := \frac{\ln(k)}{k}$\\
Traitement& 	Tant que $d> 10^{-2}$ \\
&\hspace{1cm}Début du tant que\\
&\hspace{1.5cm}$k := k+1  $\:;\:\\
&\hspace{1.5cm} $d := \frac{\ln(k)}{k}$\:;\\
&\hspace{1cm}Fin du tant que \\
Sortie& 	Afficher $k$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

\textbf {\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0\,;\,1]$ telle
%que :
%\[
%f(0) = 0 \text{ et } f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$}.
%\]

%\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie A.}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,1]$.

Pour tout $x\in [0\,;\,1]$, $\frac{1}{1+x^2}>0$, donc $f'(x)>0$. On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) =
  %f\left(\tan(x)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$, puis que,
    %pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$, $g'(x) =1$.

$g$ est la composée des fonctions $f$ et $u : x\longmapsto \tan(x)$ qui sont dérivables, donc $g$ est dérivable et $g'(x)=f'\left(u(x)\right)\times u'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(x)}\times \left(1+\tan^2(x)\right)=1$
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, en
    %déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
Pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$, $g'(x) =1$, donc pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$, $g(x) =x+c$ avec $c\in \R$ une constante. D'autre part, $0+c =g(0)= f\left(\tan(0)\right)= f(0) = 0$. On en déduit que $c=0$. On a donc $g(x)=x$ pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]$. $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}=f\left(\tan(\frac{\pi}{4})\right) = f(1)$, donc $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{\pi}{4}$.

$f$ est croissante sur [0~;~1]. $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac{\pi}{4}$ donc, pour tout $x\in[0~;~1]$, $\boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\pi}{4}}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie B.}}

\medskip

%Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $\I_0 = \int_{0}^{1}
%f(x) \dd x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\I_n =
%\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x $.
\begin{enumerate}
\item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =
  %\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.

On pose $u(x)=x$. $u$ et $f$ sont dérivables et leurs dérivées $u'(x)=1$ et $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ sont continues, d'après le théorème de l'intégration par parties on a $\I_0 = \int_{0}^{1} f(x) \dd x=\int_{0}^{1}u'(x)f(x) \dd x=\left[u(x)f(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}u(x)f'(x) \dd x=\left[xf(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2} \dd x=f(1)-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2} \dd x$. On pose pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$, $v(x)=1+x^2$. $v$ est dérivable avec $v'(x)=2x$, de plus $v(x) >0$ pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$. $\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2} \dd x = \int_{0}^{1}\frac{v'(x)}{v(x)} \dd x=\left[\ln\left(v(x)\right)\right]_{0}^{1}=\ln(2)$. On en déduit que $I_0=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln(2)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geqslant 0$.
Pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$, $0\leqslant x^n$ et $0\leqslant f(x)$, donc $0\leqslant x^n f(x)$ d'après la positivité de l'intégrale, on a  $0\leqslant \int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x $, donc $0 \leqslant \I_n$.
		\item %Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leqslant
    %\frac{\pi}{4(n+1)}$.
Pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$, $0\leqslant x^n$ et $ f(x)\leqslant \frac{\pi}{4}$, donc $x^nf(x)\leqslant \frac{\pi}{4}x^n$ d'après la croissance de l'intégrale, on a  $\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x \leqslant \int_{0}^{1} \frac{\pi}{4}x^n \dd x =\left[\frac{\pi}{4}\times \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac{\pi}{4(n+1)}$, donc 

$\I_n \leqslant \frac{\pi}{4(n+1)}$.
		\item %En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
On a $0\leqslant \I_n \leqslant\frac{\pi}{4(n+1)}$ et $\lim_{n\to +\infty} \frac{\pi}{4(n+1)}=0$, d'après le théorème des comparaisons des limites de suites, $(\I_n)$ converge et sa limite est 0 .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

\textbf {\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

%On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
%$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
%telle que : $z' = z^2$.

%On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan
  %tels que $f(M) = M$.
  
  $f(M) = M\Longleftrightarrow z=z^2 \Longleftrightarrow z^2-z=0 \Longleftrightarrow z(z-1)=0 \Longleftrightarrow z=0 ~~\text{ou} ~~z=1$. On en déduit que $\Gamma_1=\{O, \Omega\}$.
\item %Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
  
  $a = \sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\text{i}\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
Soit $M$ tel que $f(M) = A\Longleftrightarrow z^2=a \Longleftrightarrow z^2- 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}} =0\iff z^2- \left(\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}\right)^2=0 \Longleftrightarrow \left(z-\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}\right)\left(z+\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}\right)=0 \Longleftrightarrow z-\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}=0 ~~\text{ou}~~ z+\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}=0 \Longleftrightarrow $

$z=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}$\text{ ou } $z = -\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}$.
  
  Les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$ sont $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}$ et $-\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$
  %tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
  
  On pose $z=x+\text{i} y$ l écriture algébrique de $z$. On a $z'=x^2-y^2+2\text{i} xy$ est imaginaire pur si et seulement si $x^2-y^2=0 \Longleftrightarrow (x-y)(x+y)=0\Longleftrightarrow x-y=0~~\text{ou}~~x+y=0 \Longleftrightarrow$
  
$x=y\text{ ou }x=-y$.
  
$\Gamma_2$ est donc la réunion des droites d'équations $x=y$ et $x=-y$.
\item %Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
%  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
 % triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    %$\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    %seulement si $z^2 - \text{i} z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$.
$M$ distinct de $\Omega$ est tel que le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$ si et seulement si $z \not= 1$ et $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow z'-1=\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{2}}(z-1)\Longleftrightarrow z^2-1 = \text{i} (z-1) \Longleftrightarrow z^2-\text{i} z -1+\text{i} = 0$ avec $z \neq 1$.
		\item %Montrer que $z^2 - \text{i} z -1 + \text{i} = (z-1)(z+1-\text{i})$.
$(z-1)(z+1-\text{i})= z^2+z-\text{i} z-z-1+\text{i}=z^2-\text{i} z-1+\text{i}$
		\item %En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
  
  $z^2-\text{i} z -1+\text{i} =0 \Longleftrightarrow (z-1)(z+1-\text{i})=0 \Longleftrightarrow z-1=0~~\text{ou}~~ z+1-\text{i}=0\Longleftrightarrow $
  
$z=1$ ou $z=-1+\text{i}$. Or $z \not= 1$, donc $\Gamma_3$ contient uniquement le point d'affixe $-1+\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et e $1$.
		\begin{enumerate}
			\item %Exprimer $\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)$ en fonction
    %d'un argument de $z$.
$\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right) = \text{arg}\left( \frac{z'}{z}\right) = \text{arg} \left(\frac{z^2}{z}\right) = \text{arg}(z)$.
			\item %En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de
 %   $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si $\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)\equiv 0 [\pi] \Longleftrightarrow \text{arg}(z)\equiv 0[\pi] \Longleftrightarrow z\in \R$. $\Gamma_4$ est donc l'axe des abscisses privé des points $O$ et $\Omega$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

\textbf {\textsc{Exercice 4  Spécialité\hfill 5 points}}

\medskip
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

%Soit $\transformation$ la transformation du plan qui, à tout $M$
%d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = 5
%\text{i} z + 6\text{i} +4$.

\textbf {\textsc{Partie A.}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la
  %transformation $\transformation$.
  
\textbf{Recherche de points invariants :}
  
$M$ est un point invariant $\Longleftrightarrow z= 5
\text{i} z + 6\text{i} +4 \Longleftrightarrow   z-5\text{i} z = 6\text{i} +4 \Longleftrightarrow  z(1-5\text{i} ) = 6\text{i} +4 \Longleftrightarrow  $

$z=\frac{6\text{i} +4}{1-5\text{i}}=-1+\text{i}$. L'unique point invariant par $S$ est le point $\Omega$ d'affixe $\omega=-1+\text{i}$.

$z'-\omega=z' -(-1+\text{i})= 5\text{i} z + 6\text{i} +4-(-1+\text{i})  \Longleftrightarrow  z' -(-1+\text{i})= 5\text{i} z +5 +5\text{i} =5\text{i}\left(z'-(-1+\text{i})\right) =5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z-\omega) \Longleftrightarrow z'-\omega =5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z-\omega) $. C'est l'expression complexe de la similitude de centre $\Omega$, de rapport 5 et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

\item %On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et
  %imaginaires respectives de $z$ et $z'$.

  %Démontrer que :
  %\[
  %\begin{cases}
    %x' & = -5y+4 \\
    %y' & = 5x+6
  %\end{cases}
  %\]
$z'=x'+\text{i} y'=5\text{i} z + 6\text{i} +4=5\text{i} (x+\text{i}y)+ 6\text{i} +4=5\text{i} x-5y+ 6\text{i} +4=-5y+4+\text{i}(5x+6)\Longleftrightarrow  
\begin{cases}
x' & = -5y+4 \\
y' & = \phantom{-}5x+6
  \end{cases}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf {\textsc{Partie B.}}

\medskip
%Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées $x$ et
%$y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que $-3 \leqslant x \leqslant 5$
%et $-3 \leqslant y \leqslant 5$.

%On note $\mathcal{E}$ l'ensemble de ces points $M$.

%On rappelle que les coordonnées $(x'\,;\,y')$ du point $M'$, image du
%point $M$ par la transformation $\transformation$, sont $x' = -5y+4$
%et $y' = 5x+6$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs
    %$(a\,;\,b)$ tels que $4a+3b = 5$.
    
    On a $4\times 1+3\times (-1)=1$, en multipliant par 5, on obtient  $4\times 5+3\times (-5)=5$. On  a ainsi une solution particulière $(5\,;\,-5)$. D'où $4a+3b = 5 \Longleftrightarrow 4a+3b =4\times 5+3\times (-5)  \Longleftrightarrow 4a-4\times 5=-3b+3\times (-5) \Longleftrightarrow 4(a- 5)=-3(b+5)$. On en déduit que 4 divise $-3(b+5)$, or 4 et -3 sont premiers entre eux, d'près le théorème de Gauss, 4 divise $b+5$, donc $\exists k \in \Z$ tel que  $b+5=4k\Longleftrightarrow b=-5+4k$, on en déduit que $4(a- 5)=-3(-5+4k+5)\Longleftrightarrow 4(a- 5)=-3\times 4k \Longleftrightarrow a- 5=-3k \Longleftrightarrow a= 5-3k$. L'ensemble des couples solutions est donc $\{(5-3k\,;\,-5+4k)\slash k\in \Z\}$.
		\item %En déduire l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ de
    %coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que $ -3x'+4y' = 37$.
$-3x'+4y' = 37 \Longleftrightarrow -3x'+4y' \Longleftrightarrow-3(-5y+4)+4(5x+6)= 37\Longleftrightarrow $

$20x+15y-12+24 =37\Longleftrightarrow20x+15y =25 \Longleftrightarrow4x+3y =5 \Longleftrightarrow \exists k \in \Z$ tel que$\begin{cases}
    x& = 5-3k \\
    y& = -5+4k
\end{cases}$
  
$-3\leqslant 5-3k\leqslant 5$ et $-3\leqslant -5+4k\leqslant 5$, donc seuls $k=1$ et $k=2$ sont tels que 

$-3 \leqslant x \leqslant 5$
et $-3 \leqslant y \leqslant 5$. Les points de coordonnées  $(2\,;\,-1)$ et $(-1\,;\,3)$ répondent à la question.
	\end{enumerate}
\item %Soit $M$ un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ et $M'$ son image
  %par la transformation $\transformation$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $x'+y' $ est un multiple de $5$.
  
  $x'+y' = -5y+4+5x+6=5(x-y+2)$, donc  $x'+y' $ est un multiple de $5$.
		\item %Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$.
    %En déduire que si $x'^2-y'^2 $ est multiple de $2$ alors $x'-y'$
   % et $x'+y'$ le sont également.
$x'+y'-(x'-y')=2y'$, donc  $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$.
    
Par ailleurs 2 est un nombre premier. Si 2 divise $x'^2 - y'^2 =(x' - y')(x' + y')$, alors il divise $x'- y'$ ou $x'+ y'$.  Supposons qu'il divise $x' - y'$, alors $x' - y'\equiv 0~[2]$, or  $x'-y'\equiv x' + y' ~[2]$, donc $x'+y'\equiv x'- y'\equiv 0~[2]$. Le raisonnement est identique si on suppose que  

$x' + y'\equiv 0~[2]$.
		\item %Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que
    %: $x'^2 - y'^2 = 20$.
$x'^2 - y'^2 = 20$ donc $x'^2-y'^2 $ est multiple de $2$ donc $x'-y'$
    et $x'+y'$ le sont également. Par ailleurs $x'+y' $ est un multiple de $5$. Or $(x'-y')(x'+y')=20$, donc $x'+y'$ est un multiple de 2 et de 5 qui divise 20, $x'+y'$ est donc un multiple de 10 qui divise 20. On en déduit que $x'+y' =\pm 10$ ou $x'+y' =\pm 20$.  $x'+y' =\pm 20$ est impossible car cela donnerait $x'-y' =\pm1$ qui ne serait pas congru à $x'+y' =\pm 20$ modulo 2. 
    
Il reste donc l'unique possibilité $x'+y' =\pm 10$ donc $x'-y' =\pm 2$, ce qui donne $x'=\pm 6$ et $y'=\pm 4$. $x'=6$ n'est pas possible car cela donnerait $6=-5y+4$  d'où $y = -\dfrac{2}{5}$, donc $y$ n'est pas entier. On a finalement $x' = - 6$ et $y' = - 4$ ce qui donne $x = - 2$ et $y = 2.$ L'unique point de  $\mathcal{E}$ est donc $(2\,;\,- 2)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 