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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Corrigé  : Denis Vergès et François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud }}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S Amérique du Sud~12 novembre 2018~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A},  {\rm B} et  {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante.}

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Un commerçant reçoit les résultats d'une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France.
%
%Selon cette étude :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 54\:\% des consommateurs privilégient les produits de fabrication française;
%\item[$\bullet~~$] 65\:\% des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l'agriculture
%biologique, et parmi eux 72\:\% privilégient les produits de fabrication française.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit un consommateur au hasard. On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $B$ : \og un consommateur achète régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique\fg ;
%\item[$\bullet~~$] $F$ : \og un consommateur privilégie les produits de fabrication française \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Justifier que $P\left(\overline{B} \cap F\right) = 0,072$.
On peut s'aider de l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~}\taput{0,65}}
	{\TR{$F$}\taput{0,72}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{0,28}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}$~}\tbput{0,35}}
	{\TR{$F$}
	\TR{$\overline{F}$}
	}	
}
\end{center}

D'après la loi des probabilité totales on sait que :

$p(F) = P(B \cap F) + P\left(\overline{B} \cap F \right)$, d'où

$P\left(\overline{B} \cap F \right) = p(F) - P(B \cap F)$.

Or $P(B \cap F) = P(B) \times P_{B}(F)$, donc 

$P\left(\overline{B} \cap F \right) = p(F) - P(B) \times P_{B}(F) = 0,54 - 0,65 \times 0,72 = 0,54 - 0,468 = 0,072$.
\item %Calculer $P_F\left(\overline{B}\right)$.
On a $P_F\left(\overline{B}\right) = \dfrac{P\left(F \cap \overline{B}\right)}{P(F)} = \dfrac{0,072}{0,54} \approx \np{0,1333} \approx 0,133$ au millième près.
\item %On choisit un consommateur n'achetant pas régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique.

%Quelle est la probabilité qu'il privilégie les produits de fabrication française ?
Il faut trouver $P_{\overline{B}}(F) = \dfrac{P\left(\overline{B} \cap F \right)}{P\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{0,072}{0,35} \approx \np{0,2057} \approx 0,206$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Le commerçant s'intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui
%suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 2$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Au début de chaque mois, le commerçant s'assure d'avoir $95$~kg dans son stock.

%Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ?
Il faut trouver $P(X > 95)$ ; la calculatrice donne $P(X \leqslant 95) \approx \np{0,9938}$, d'où $P(X > 95) = 1 - P(X \leqslant 95) \approx 1 - \np{0,9938} \approx 0,006$ au millième près.
\item %Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La calculatrice donne $P(X < 85,893) \approx 0,02$.

Ce résultat signifie que le commerçant a une probabilité de 2\,\% de vendre moins de 85,893~kg de farine biologique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette étude de marché, il est précisé que 46,8\:\% des consommateurs en France privilégient des produits locaux; on va tester cette hypothèse $p=0,468$ sur un échantillon de taille $n = \np{2500}$.
% Le commerçant constate que parmi ses \np{2500}~clients, \np{1025}
%achètent régulièrement des produits locaux.
%
%Sa clientèle est-elle représentative des consommateurs en France ?

Sous ces conditions, on vérifie que :\\
$n = \np{2500} \geqslant  30$,  $np = \np{2500} \times 0,468= \np{1170} \geqslant 5$ et $n(1 - p) = \np{2500} \times 0,532 = \np{1330} \geqslant 5$.

Les conditions d'établissement d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% sont donc établies.
Cet intervalle est 

\smallskip

$I = \left[p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96\dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\right] \\[5pt]
\phantom{I}
= \left[0,468 - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,468\times 0,532}}{50}~;~0,468 + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,468\times 0,532}}{50}\right] \approx \left [0,448~;~0,488\strut\right ]$.

Sur l'échantillon de clients la fréquence d'achat est : $\dfrac{\np{1025}}{\np{2500}} = 0,41$.

Comme $0,41 \notin \left [0,448~;~0,488\strut\right ]$ on peut dire que sa clientèle n'est pas représentative des consommateurs en France.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours.
%
%Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours.
%
%Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur 
%$[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\]

où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\]

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$.
On a $f'(x) = 10\e^{u(x)} \times u'(x)$ ; or $u'(x) =-\left ( -\dfrac{1}{10}\e^{2 - \frac{x}{10}}\right ) = -\dfrac{1}{10}\left (- \e^{2 - \frac{x}{10}}\right ) =-\dfrac{1}{10} u(x)$.

Donc $f'(x) = - u(x)\e^{u(x)}$.

On sait que, quel que soit le réel $x$, \:$\text{e}^{2 - \frac{x}{10}} > 0$, donc $u(x) < 0$ et comme $\text{e}^{u(x)} > 0$ quel que soit $u$, on a finalement $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$. 
%En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(20)$.
$f(20) = 10\text{e}^{- \text{e}^{2 - \frac{20}{10}}} = 10\text{e}^{- \text{e}^{2 - 2}} = 10\text{e}^{- 1} = \dfrac{10}{\text{e}}$.	
		
%En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
Comme $\dfrac{10}{\text{e}} \approx 3,678$ soit environ 3,7~cm : c'est la taille de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
		\item %Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ?
		On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{2 - \frac{x}{10}} = 0$, d'où  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}10\text{e}^{- \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}} = 10\text{e}^0 = 10$.
		
La fonction est strictement croissante de $f(20) \approx 3,7$ à 10 valeur maximale : la taille de la repousse ne sera jamais égale à 11~cm.
	\end{enumerate}
\item  %On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale.

%On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$.

%On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que :

\[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les variations de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		Comme $\dfrac{1}{10} > 0$ et $\text{e}^{u(x)} > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui du produit $u(x)(1 + u(x))$.
		
On sait que quel que soit $x$, \: $u(x) < 0$.

D'autre part $1 + u(x) > 0 \iff u(x) > - 1 \iff - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}} > - 1 \iff \text{e}^{2 - \frac{x}{10}} <  1 \iff 2 - \frac{x}{10} < 0$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \iff 2 < \frac{x}{10} \iff x > 20$.

%De même $1 + u(x) > 0 \iff x < 20$.

Conclusion : $f''(x) > 0$ sur [0~;~20] et $f''(x) < 0$ sur $[20~;~+ \infty[$.

$f'$ est donc croissante sur [0~;~20] et décroissante sur $[20~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale.
		D'après le résultat précédent la vitesse est maximale pour $x = 20$ : la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de 20 jours.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
%
%\smallskip
%
%Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes.
%
%Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk{} d'unité $100$ mètres.
%
%Le plan \Oij{} représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan.
%
%La modélisation des spécialistes établit que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x	&=&3+t\\
%y 	&=&6t\\
%z	&=&- 3t
%\end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;\]
%
%\item[$\bullet~~$] la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x&=&10k\\
%y&=&2 + 6k\\ 
%z&=&- 4k
%\end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;\]
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
Les deux espèces se croisent si leurs coordonnées respectives sont égales soit si 

$\left\{\begin{array}{l c l}
3 + t&=&10k\\
6t&=&2 + 6k\\
- 3t&=&- 4k
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3 + t&=&10k\\
3t&=&1 + 3k\\
 3t&=&4k
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3 + t&=&10k\\
3t&=&1 + 3k\\
 \frac{3}{4}t&=&k
\end{array}\right.\iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
3 + t&=&10\times \frac{3}{4}\\
3t&=&1 + 3\times \frac{3}{4}t\\
\frac{3}{4}t&=&k
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
3 + t&=&\times \frac{15}{2}\\
3t&=&1 +  \frac{9}{4}t\\
\frac{3}{4}t&=&k
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
t&=&\frac{9}{2}\\
\frac{3}{4}t&=&1\\
\frac{3}{4}t&=&k
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
t&=&\frac{9}{2}\\
t&=&\frac{4}{3}\\
\frac{3}{4}t&=&k
\end{array}\right.$

Ce système n'a pas de solution : il n'existe pas de réels $t$ et $k$ tels que les coordonnées sont égales ; ou encore les deux droites n'ont pas de point commun.
\item  L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux
trajectoires.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
$\mathcal{D}_1$ a pour vecteur directeur $\vect{u_1}\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}$ et $\mathcal{D}_2$ a pour vecteur directeur $\vect{u_2}\begin{pmatrix}10\\6\\-4\end{pmatrix}$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{u_1} = 3 \times 1 + 13 \times 6 + 27 \times (- 3) = 3 + 78 - 81 = 0$ :

$\vect{n} \cdot \vect{u_2} = 3 \times 10 + 13 \times 6 + 27 \times ( -4) = 30 + 78 - 108 = 0$.

Donc le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
		\item %On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\vect{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vect{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$ appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$.

%Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.

%On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
On a donc H$(3 + t~;~67~;~- 3t)$ et H$'(10k~;~2 + 6k~;~- 4k)$.

On en déduit les coordonnées du vecteur $\vect{\text{HH}'}\begin{pmatrix}10k - 3 - t~;~2 + 6k - 6t~;~- 4k + 3t  \end{pmatrix}$.

Ce vecteur $\vect{\text{HH}'}$ est colinéaire au vecteur $\vect{n}$ si ses coordonnées son proportionnelles à celles du vecteur $\vect{n}$, donc s'il existe un nombre réel $l$ tel que :

$10k-3-t=3l,\:2 + 6k - 6t = 13l,\:- 4l+3t=27l$.

Or d'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, il y a une solution donnée par 

$k = \dfrac{675}{\np{1814}},\:\ell = \dfrac{17}{907}, \: t =\dfrac{603}{907}$.

En remplaçant $k$ et $t$ par les valeurs trouvées on obtient :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
$\vect{\text{HH}'}\begin{pmatrix}
\dfrac{6750}{1814} - 3 - \dfrac{603}{907}\\2 + \dfrac{4050}{1814} - \dfrac{7236}{1814}\\- \dfrac{2700}{1814} + \dfrac{3618}{1814}\end{pmatrix}$, ou $\vect{\text{HH}'}\begin{pmatrix}\dfrac{102}{1814}\\\dfrac{442}{1814}\\\dfrac{918}{1814}\end{pmatrix}$.
\renewcommand\arraystretch{1}

On en déduit que :

HH$'^2 = \dfrac{102^2 + 442^2 + 918^2}{1814^2} = \dfrac{1048492}{3290596}$ et finalement 

HH$' = \sqrt{\dfrac{1048492}{3290596}} \approx 0,564$ soit avec une unité de 100~m, HH$' \approx 56,4$~m. 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
%1	&Résoudre$(\{10*k-3-t=3*l,2 + 6*k - 6*t = 13*l,- 4*l+3*t=27*l\},\{k,~l,t~\})$\\ 
%	&$\to \left\{\left\{k = \dfrac{675}{\np{1814}},\:\ell = \dfrac{17}{907}, \: t =\dfrac{603}{907}\right\}\right\}$\\ \hline
%\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\item  %Les scientifiques décident d'installer une balise en mer.

%Elle est repérée par le point B de coordonnées (2~;~4~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$.
		
%Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
On a donc $\vect{\text{B}M}\begin{pmatrix}3 + t - 2\\6t - 4\\- 3t - 0\end{pmatrix}$ ou $\vect{\text{B}M}\begin{pmatrix}1 + t\\6t - 4\\- 3t\end{pmatrix}$.

On a donc B$M^2 = (1 + t)^2 + (6t - 4)^2 + (- 3t)^2 = 1 + t^2 + 2t + 36t^2 + 16 - 48t + 9t^2 = 46t^2 - 46t + 17$.

On sait que la valeur minimale de ce trinôme est obtenue pour $t = - \dfrac{- 46}{2 \times 46} = \dfrac{1}{2}$, donc 

B$M_m^2 = 46 \times \dfrac{1}{4} - 46 \times \dfrac{1}{2} + 17 = \dfrac{11}{2}$, d'où une distance minimale :

B$M_m = \sqrt{\dfrac{11}{2}}$.
		\item %En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
		Les tortues vertes passeront au minimum à $\sqrt{\dfrac{11}{2}} \approx 2,35$~unités soit 235~m de la balise.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
%
%On considère les points A, B, C et D distincts d'affixes respectives $z_{\text{A}}$,  $z_{\text{B}}$,  $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ tels que :
%
%\[\left\{
%\begin{array}{l c r}
%z_{\text{A}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{C}} 		&=& z_{\text{B}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{D}}\\
%z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}&=& z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}}
%\end{array}\right.\]
%
%Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
$\bullet~~$La première égalité $z_{\text{A}} + z_{\text{C}} =  z_{\text{B}} + z_{\text{D}}$ peut s'écrire $\dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{C}}}{2} = \dfrac{z_{\text{B}} + z_{\text{D}} }{2}$ : cette égalité montre que [AC] et [BD] ont le même milieu, donc que la quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

\smallskip

$\bullet~~$La deuxième égalité $z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}= z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}}$ peut s'écrire $z_{\text{A}} - z_{\text{C}} = \text{i} z_{\text{D}} - \text{i} z_{\text{B}}$ ou encore $z_{\text{A}} - z_{\text{C}} =  \text{i}\left[z_{\text{D}} - z_{\text{B}} \right]$.

En prenant les modules des deux membres on obtient CA = BD ; en prenant les arguments on obtient $\left(\vect{\text{BD}},~\vect{\text{CA}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur, c'est donc un rectangle et comme ses diagonales sont perpendiculaires c'est aussi un losange et finalement un carré.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Soit $k$ un réel strictement positif.
%
%On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$,\: $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_0=1, \  u_1 = k \text{ et } u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n} \text{ pour tout entier naturel }n\]

%\smallskip
%
%On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_2$,\: $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$.
On a $u_2 = \dfrac{u^2_1}{ku_0} = \dfrac{k^2}{k\times 1} = k$ ;

$u_3 = \dfrac{u^2_2}{ku_1} = \dfrac{k^2}{k\times k} = 1$ ;

$u_4 = \dfrac{u^2_3}{ku_2} = \dfrac{1^2}{k\times k} = \dfrac{1}{k^2}$.
\item %À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite 
%$\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. 
%
%La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2.
%
%\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c||c|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A		&B				&C	&D		&E	&	&A		&B&C&D&E\\ \hline
%1& $n$	& $u(n)$&		&	&		&1 	&$n$&$u(n)$	&	&&\\ \hline
%2& 0 	&1				&	&$k=$	&\scriptsize\np{2,7182818}&2& 0& 1&	&$k=$ &0,9\\ \hline
%3& 1 	&\np{2,7182818}	&	&		&	&3 	&1 		&0,9			&&&\\ \hline
%4& 2 	&\np{2,7182818}	&	&		&	&4	&2		& 0,9			&&&\\ \hline
%5& 3 	&1 				&	&		&	&5	&3 		&1				&&&\\ \hline
%6& 4 	&\np{0,1353353}	&	&		&	&6 	&4 		&\np{1,2345679}	&&&\\ \hline
%7& 5 	&\np{0,0067319}	&	&		&	&7	&5 		&\np{1,6935088}	&&&\\ \hline
%8& 6 	&\np{0,0001234}	&	&		&	&8 	&6 		&\np{2,5811748}	&&&\\ \hline
%9& 7 	&8,315E$-07$	&	&		&	&9	&7		& \np{4,3712422}&&&\\ \hline
%10& 8 	&2,061E$-09$	&	&		&	&10 &8 		&\np{8,2252633}	&&&\\ \hline
%11& 9 	&1,8SE$-12$		&	&		&	&11	&9		&\np{17,196982}	&&&\\ \hline
%12& 10	&6,305E$-16$	&	&		&	&12	&10		&\np{39,949576}	&&&\\ \hline
%13& 11	&7,781E$-20$	&	&		&	&13	&11		&\np{103,11684}	&&&\\ \hline
%14& 12	&3,533E$-24$ 	&	&		&	&14 &12 	&\np{295,7362}	&&&\\ \hline
%15&13 	&5,9E$-29$		&	&		&	&15	&13		&\np{942,40349}	&&&\\ \hline
%16&14 	&3,625E$-34$	&	&		&	&16	&14 	&\np{3336,173}	&&&\\ \hline
%\end{tabularx}\]

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
On tape dans la cellule B4 : =B3\verb+^+2/(\$E\$2*B2).
		\item %Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour $k = \text{e}$, il semble que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.

Pour $k = 0,9$, il semble que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\medskip

\textbf{Dans la suite, on suppose que \boldmath $k = \e$\unboldmath.}

\textbf{On a donc \boldmath $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ \unboldmath\: et, pour tout entier naturel }\boldmath $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$\unboldmath.

\begin{enumerate}[resume]
\item  On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$.
Comme $u_n > 0$, quel que soit $n \in \N$, $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right) = \ln \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

D'autre part $u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{\text{e}u_n}\iff \dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \dfrac{u_{n+1}}{\text{e}u_n} \iff \text{e}\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \dfrac{u_{n+1}}{u_n} $.

On déduit:

$\ln\left (\text{e}\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right ) =\ln\left ( \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right ) 
\iff \ln \text{e} +  \ln \dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \ln \dfrac{u_{n+1}}{\text{e}u_n}$ soit
$1 + v_{n+1} = v_n \iff v_{n+1} = v_n - 1$.

Cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ de premier terme $v_0 = \ln u_1 - \ln u_0 = \ln \text{e} - \ln 1 = 1 - 0 = 1$. 
		\item %En déduire, pour tout entier naturel $n$,l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		On sait que quel que soit $n \in \N$, \: $v_n = v_0 + n \times (- 1)$, soit 
$v_n = 1 - n$.
	\end{enumerate}

\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$.
$\text{On a donc } S_n = 1 + (1 - 1) + (1 - 2) + \ldots + (1 - (n - 1)) = n \times 1 - (1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1))\\[4pt]
\phantom{\text{On a donc } S_n }
 = n - \dfrac{n(n - 1)}{2} = \dfrac{2n - n(n - 1)}{2} = \dfrac{n(2 - (n - 1))}{2} = \dfrac{n(3 - n)}{2}$.
 
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$.
On a vu que quel que soit $n \in \N$, $v_n = \ln \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, donc 

$S_n = v_0 + \ldots + v_n = \ln \dfrac{u_{1}}{u_0} + \ln \dfrac{u_{2}}{u_1} + \ldots + \ln \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}} + \ln \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \ln \dfrac{u_{1}}{u_0}\times \dfrac{u_{2}}{u_1} \times \ldots \times \dfrac{u_{n-1}}{u_{n-2}} \times \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}$.

\smallskip

Tous les termes de $u_1$ à $u_{n-1}$  se simplifient ; il ne reste plus que :
$S_n = \ln \dfrac{u_n}{u_0} = \ln \dfrac{u_n}{1} = \ln u_n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		D'après les deux questions précédentes on déduit que :

$\left .
\begin{array}{@{} l !{=} l}
S_n & \dfrac{n(3 - n)}{2}\\
S_n &  \ln u_n 
\end{array}
\right \rbrace$
donc 	
$\ln u_n = \dfrac{n(3 - n)}{2} $ et donc $u_n = \e^{\frac{n(3 - n)}{2}}$, quel que soit $n \in \N$.

		\item %Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.)
$u_n < 10^{-50} \iff \e^{\frac{n(3 - n)}{2}} < 10^{-50} \iff \dfrac{n(3 - n)}{2} < \ln 10^{-50}
\iff -n^2 +3n -2 \ln 10^{-50}<0$

L'équation $-n^2 +3n -2 \ln 10^{-50}=0$ admet pour racines $n_1\approx -13,75$ et $n_2\approx 16,75$ donc $-n^2 +3n -2 \ln 10^{-50} < 0$ pour $n\geqslant 17$.

La plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ est $n=17$.

\smallskip

On  vérifie à la calculatrice que $u_{16} \approx 6,8 \times 10^{-46} > 10^{-50}$ et que $u_{17} = 2,1 \times 10^{-52} < 10^{-50}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\setlength\parindent{0mm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par
$F_n = 2^{2^n} + 1$.

\smallskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que :
\og Tous les nombres de Fermat sont premiers \fg,

%L'objectif est de tester cette conjecture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
$F_0=2^{2^0}+1 = 2^1+1=3$ est premier.

$F_1=2^{2^1}+1 = 2^2+1=5$ est premier.
		
$F_2=2^{2^2}+1 = 2^4+1=17$ est premier.
		
$F_3=2^{2^3}+1 = 2^8+1=257$ est premier.
		
		\item% Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
On peut en déduire que les 4 premiers nombres de Fermat sont premiers mais on ne sait rien des suivants.		
		
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous:

\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline	
$F \gets  2^{2^5} + 1$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
$N \gets 2$\\
Tant que $F\%N \ne 0$\\
\hspace{0,5cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{tabular}{;{2pt/2pt}c;{2pt/2pt}}\hdashline[2pt/2pt]
$F\%N$ désigne le reste de la division\\
euclidienne de $F$ par $N$.\\ \hdashline[2pt/2pt]
\end{tabular}
}

La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641.

On sort de l'algorithme dès que le nombre $N$ est diviseur du nombre $F=F_5$. Donc on peut affirmer que 641 est un diviseur de $F_5$.

$F_5 > F_4$ et $F_4 = 2^{2^4}+1 = 2^{16}+1 = \np{65537} > 641$; donc on peut dire que $F_5>641$ donc que 641 est un diviseur strict de $F_5$. On en déduit que $F_5$ n'est pas premier.

%Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul on a 

$\left(F_{n-1}  - 1\right)^2  + 1 = \left (2^{2^{n-1}} +1 - 1 \right )^2 +1
= \left (2^{2^{n-1}} \right )^2 +1
= 2^{2\times 2^{n-1}}+1
= 2^{2^n}+1
= F_n$.

\item Pour tout entier naturel $n$ on note :
$\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.$

On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$.

%Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.$

On va démontrer par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier  $n$ non nul.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=1$, on a: $\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i  = \displaystyle\prod_{i=0}^{0} F_i = F_0 = 3$ et $F_n - 2 = F_1-2 = 5-2=3$.

Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang $n=1$.

\item Soit $k$ un entier naturel quelconque non nul tel que $\mathcal P_k$ soit vraie.
On a donc  $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} F_i = F_k - 2.$

Or $\displaystyle\prod_{i=0}^{k} F_i = \displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} F_i \times F_k$.

D'après l'hypothèse de récurrence, $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} F_i = F_k-2$ donc
$\displaystyle\prod_{i=0}^{k} F_i  = \left ( F_k - 2\right ) \times F_k$.

D'après la question \textbf{B.1.} en prenant $k+1$ à la place de $n$, on a:\\
$F_{k+1} = \left (F_k -1\right )^2+1 = \left (F_k\right )^2 -2F_k +1+1 = \left ( F_k-2\right )\times F_k +2$. Donc $F_{k+1}-2 = \left ( F_k-2\right )\times F_k$.

On en déduit que $\displaystyle\prod_{i=0}^{k} F_i  = F_{k+1}-2$ et donc que la propriété est vraie au rang $k+1$; elle est donc héréditaire.

\item La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.$.
\item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $n > m$.

$\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i  = F_{n}-2
\iff \displaystyle\prod_{\substack{i=0 \\ i\neq m}}^{n-1} F_i \times F_m  = F_n-2$

On pose $q=\displaystyle\prod_{\substack{i=0 \\ i\neq m}}^{n-1} F_i  $; le nombre $q$ est le produit d'entiers naturels donc c'est un entier naturel.

On a donc $qF_m=F_n-2$ ce qui équivaut à $F_n-qF_m=2$.

Donc, pour tous $m$ et $n$ tels que $n>m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n-qF_m=2$.
\item %En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
De l'égalité $F_n-qF_m=2$ on déduit, d'après le théorème de Bézout, que le nombre 2 est un multiple du PGCD de $F_n$ et de $F_m$.

Mais un nombre de Fermat est une puissance de 2 augmentée de 1, donc est un nombre impair. On en déduit que le PGCD de $F_m$ et $F_n$ est 1 donc que deux nombres de Fermat (distincts) sont toujours premiers entre eux.
\end{enumerate}
\end{document}