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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache & Denis Vergès (complexes)
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigé},
pdftitle = {Amérique du Sud 21 novembre 2017},
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\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud }}
\rfoot{\small{21 novembre 2017}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  S Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt]21 novembre 2017}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\def\interA{\cg 0~;~+\infty\cd}

\medskip

%\parbox{0.78\linewidth}{La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. 
%
%Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte
%suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie
%doit pouvoir en fabriquer au moins $80$ avec $1$~litre de pâte liquide au chocolat.}\hfill
%\parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.2,0)(4,3)
%%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\psbezier(0,1)(0,0.6)(1.2,0)(2,0) \psbezier(2,0)(2.2,0)(2.6,0.5)(3.5,2.25)
%\psbezier(0,1.8)(0,1.4)(1.2,0.8)(2,0.8) \psbezier(2,0.8)(2.2,0.8)(2.6,1.3)(3.5,3.05)
%\psbezier(0,1.8)(0,2.2)(2,2.5)(3.5,3.05)
%\psline(0,1)(0,1.8)
%\psline(3.5,2.25)(3.5,3.05)
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\textbf{Partie A : modélisation par une fonction}

\medskip

Le demi-contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\interA$ par :
$f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.$

%La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.85cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(7.05,6.5)
%\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-4)(7.05,7)
%\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.99)(7,6.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.24}{7}{x dup mul x 2 mul sub 2 sub x ln 3 mul sub x div}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%\emph{Le repère est orthogonal d'unité $2$~cm en abscisses et $1$~cm en ordonnées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\interA$ par : 
$\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.$

	\begin{enumerate}
		\item% Calculer $\varphi(1)$ et la limite de $\varphi$ en $0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\varphi(1)=1^2 - 1 +3 \ln 1 = 0$
\item
$\left.
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to 0} x^2-1=-1\\
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \ln x = -\infty
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc }
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0}  x^2-1+3\ln x = -\infty
\text{ et donc } \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0}  \varphi(x) = -\infty$
\end{list}
		
		\item %Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
La fonction $\varphi$ est dérivable sur $\interA$ et $\varphi'(x)=2x+\dfrac{3}{x}>0$ sur $\interA$.

Donc la fonction $\varphi$ est strictement croissante sur $\interA$.
		
%En déduire le signe de $\varphi(x)$ selon les valeurs de $x$.
On sait que $\varphi(1)=0$ et que la fonction $\varphi$ est strictement croissante sur $\interA$, donc on en déduit que:

\textbullet~~$\varphi(x)<0$ sur $\cg 0~;~1\cd$; \hfill
\textbullet~~$\varphi(x)=0$ pour $x=1$; \hfill
\textbullet~~$\varphi(x)>0$ sur $\cg 1~;~+\infty\cd$.

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Limite de $f$ en $0$.

$\left.
\begin{array}{@{} r}
\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to 0} x^2-2x-2=-2\\
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} 3\ln x = -\infty
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc } \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x^2-2x-2-3\ln x = +\infty\\
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x = 0 \text{ et } x>0
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc } \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x) = +\infty
$

\item Limite de $f$ en $+\infty$: on écrit $f(x)$ sous la forme $f(x)= x-2-\dfrac{2}{x} -3 \dfrac{\ln x}{x}$.

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to +\infty} x-2 = +\infty\\[7pt]
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0\\[7pt]
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0
\end{array}
\right\rbrace 
\text{ donc } \ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty
$
\end{list}

		\item% Montrer que sur $]0~;~+ \infty[$ : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\interA$ et sa dérivée est égale à:

$f'(x)= \dfrac{\left ( 2x-2 -\dfrac{3}{x} \right ) \times x - \left ( x^2-2x-2-3\ln x\right ) \times 1}{x^2}
= \dfrac{2x^2 -2x - 3 -x^2 +2x +2 +3 \ln x}{x^2}\\[5pt]
\phantom{f'(x)=}
= \dfrac{x^2 - 1 +3\ln x}{x^2}
 = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}$

La fonction $\varphi$ s'annule pour $x=1$; on calcule $f(1)=\dfrac{1^2-2-2 -3 \ln 1}{1} = -3$.

$f'$ est du signe de $\varphi$; on établit le tableau de variation de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l*3{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 1 & \esp\esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\:\vline &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
%f'(x)=\dfrac{\varphi(x)}{x^2}\rule[-12pt]{0pt}{30pt} & \vline\:\vline  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &\vline\:\vline \Rnode{max1}{~+\infty}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) &\vline\:\vline &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\:\vline  & &   \Rnode{min}{-3} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur ]0~;~1].
La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\cg 0~;~1\cg$; $\ds\lim_{x\to 0\atop x>0} f(x)=+\infty$ et $f(1)=-3<0$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cg 0~;~1\cg$. On appelle $\alpha$ cette solution.

\textit{Remarque: on peut aussi faire directement référence au tableau de variation de la fonction $f$ pour répondre à cette question.}

\smallskip

En tulisant le solveur de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 0,41$.
		
%Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		
On admettra que l'équation $f(x) = 0$ a également une unique solution $\beta$ sur
$[1~;~+ \infty[$ avec $\beta \approx  3,61$ à $10^{-2}$ près.
		\item Soit $F$ la fonction définie sur $\interA$ par : 
		$F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.$

La fonction $F$ est dérivable sur $\interA$ et:

$F'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x -2 -2\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{2}\left ( 2\times \dfrac{1}{x} \times \ln x\right )
= 2x-2 -\dfrac{2}{x} -3\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{2x^2 - 2x - 2 -3\ln x}{x} = f(x)$.

Donc la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\interA$.


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : résolution du problème}

%\medskip
%
%\emph{Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$ de la partie \emph{A}}.

\begin{multicols}{2}

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative $\mathcal C$ de la fonction $f$ restreinte à l'intervalle $\cd \alpha~;~\beta\cg$ ainsi que son symétrique $\mathcal C'$ par rapport à l'axe des abscisses.

Les deux courbes $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ délimitent la face supérieure du palet.
Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de $0,5$~cm.% Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

\columnbreak

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(4.05,4.1)
%\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-4)(4.05,4.05)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\small](0,0)(-0.99,-3.99)(3.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{x dup mul x 2 mul sub 2 sub x ln 3 mul sub x div}
\def\g{x dup mul x 2 mul sub 2 sub x ln 3 mul sub x div neg}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0.41}{3.61}{\f} 
\psplot{3.61}{0.41}{0}
%\closepath
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.41}{3.61}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.41}{3.61}{\g}
\uput[ur](2,2){\blue $\mathcal C'$} \uput[dr](2,-2){\blue $\mathcal C$}
\uput[dl](0.41,0){\blue \small $\alpha$} \uput[d](3.61,0){\blue \small $\beta$}  
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

Soit $\mathcal{D}$ le domaine hachuré délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=\alpha$ et $x=\beta$.
Sur l'intervalle $\cd \alpha~;~\beta\cg$, la fonction $f$ est négative, donc l'aire de $\mathcal{D}$ est:

$\mathcal{A} = -\ds\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \d x
= -\left ( F(\beta) - F(\alpha) \right ) \approx  -\left ( F(3,61) - F(0,41) \right )  \approx     5,60$ unités d'aire (U.A.).

L'aire du domaine compris entre les deux courbes est $2\mathcal{A}\approx 11,20$ U.A

Une unité d'aire est égale à 2 cm$^2$ donc l'aire entre les deux courbes vaut environ $22,40$ cm$^2$.

L'épaisseur du palet doit être de $0,5$ cm donc le volume du palet est d'environ $22,40\times 0,5 = 11,20$~cm$^3$.

Le volume, en cm$^3$, de 80 palets est donc $80\times 11,20= 896 < \np{1000}$, donc la chocolaterie peut fabriquer 80 palets avec $\np{1000}$ cm$^3$, soit 1 litre de chocolat liquide.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\parbox{0.6\linewidth}{On considère un cube ABCDEFGH.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{\text{AC}} + \vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{CG}} = \vect{\text{AG}}$ 
		
		\item $\vect{\text{AG}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}} = \left ( \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AE}} \right )\,\cdot\,\vect{\text{BD}} 
		= \vect{\text{AC}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}} + \vect{\text{AE}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}}$ 
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \cd AC\cg{} et \cd BD\cg{} sont les deux diagonales du carré ABCD donc les deux droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires; on en déduit que $\vect{\text{AC}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}}=0$.

\item La droite (AE) est perpendiculaire au plan (ABD) donc les vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux; on en déduit que $\vect{\text{AE}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}}=0$; 
\end{list}		
		
Donc $\vect{\text{AG}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}} = \vect{\text{AC}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}} + \vect{\text{AE}}\,\cdot\,\vect{\text{BD}} = 0$. On en déduit que $\vect{\text{AG}} \perp \vect{\text{BD}}$.

		\item On admet que $\vect{\text{AG}}\,\cdot\,\vect{\text{BE}} = 0$ donc $\vect{\text{AG}} \perp \vect{\text{BE}}$.
	
%Démontrer que la droite (AG) est \\orthogonale au plan (BDE).
Les vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{BE}}$ sont deux vecteurs directeurs du plan (BDE); le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (BDE) donc le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est orthogonal au plan (BDE).

On en déduit que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}\hfill
%\parbox{0.38\linewidth}
%{
%\begin{flushright}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(4.5,4.5)
%\psline(0.3,0.9)(1.7,0.3)(4.2,0.7)(4.2,3.4)(2.8,4)(0.3,3.6)(1.7,3)(1.7,3)(1.7,0.3)%ABCGHEFB
%\psline(0.3,0.9)(0.3,3.6)%AE
%\psline(1.7,3)(4.2,3.4)%FG
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.9)(2.8,1.3)(2.8,4)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](2.8,1.3)(4.2,0.7)%DC
%\uput[dl](0.3,0.9){A} \uput[d](1.7,0.3){B} \uput[dr](4.2,0.7){C} \uput[d](2.8,1.3){D} 
%\uput[u](0.3,3.6){E} \uput[u](1.7,3){F} \uput[dr](4.2,3.4){G} \uput[u](2.8,4){H} 	
%\end{pspicture}
%\end{flushright}}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\setcounter{enumi}{2}
\item L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BDE) est $x + y + z -1 = 0$.
$\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}   + \vect{\text{AE}}$ donc le vecteur $\vect{\text{AG}}$ a pour coordonnées $(1~;~1~;~1)$.
		
D'après la question \textbf{1. c.}, la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE) 	donc le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est un vecteur normal au plan (BDE). 

Le plan (BDE) est l'ensemble des points M\,$(x~;~y~;~z)$ tels que $\vect{\text{AG}} \perp \vect{\text{BM}}$.

Le point B a pour coordonnées $(1~;~0~;~0)$ donc le vecteur $\vect{\text{BM}}$ a pour coordonnées $(x-1~;~y~;~z)$.

$\vect{\text{AG}} \perp \vect{\text{BM}} \iff
\vect{\text{AG}}\,\cdot\,\vect{\text{BM}}=0 \iff
(x-1)\times 1 + y\times 1 + z\times 1 = 0 \iff
x+y+z-1=0$

Le plan (BDE) a donc pour équation $x+y+z-1=0$.
		
		
		\item% Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On détermine une représentation paramétrique de la droite (AG).

Cette droite passe par le point A de coordonnées $(0~;~0~;~0)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{\text{AG}}$ de coordonnées $(1~;~1~;~1)$.

La droite (AG) a donc pour représentation paramétrique:
$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & t\\
y & t\\
z & t
\end{array}
\right. \text{ avec } t\in \R$

\item Le point K d'intersection de (AG) et (BDE) a ses coordonnées qui sont solutions du système:
$\left\lbrace
\begin{array}{r !{=} l}
x & t\\
y & t\\
z & t\\
x+y+z-1 & 0
\end{array}
\right.$

On déduit de ce système que $t+t+t-1=0$ donc que $t=\dfrac{1}{3}$.

Le point K a donc pour coordonnées $\left (\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right )$.

\end{list}

		\item On admet que l'aire, en unité d'aire, du triangle BDE est égale à $\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le volume de la pyramide BDEG est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times h \times \mathcal{A}$ où $h$ est la hauteur de la pyramide issue de G. d'après les questions précédentes, cette hauteur $h$ est la longueur GK.

$\text{GK} = \ds\sqrt{\left (\dfrac{1}{3} - 1\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{3} - 1\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{3} - 1\right )^2}
= \ds\sqrt{\dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9}} = \ds\sqrt{\dfrac{12}{9}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Donc $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

%Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type
%contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur \np{10000}
%~prélèvements de 1~ml de crème fraîche dans l'ensemble de la production française.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous dans lequel on a rajouté le centre de chaque classe:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Nombre de bactéries (en milliers)&[100~;~120[&[120~;~130[ &[130~;~140[&[140~;~150[ &[150~;~160[ &[160~;~180[\\ 
\hline
\small \textcolor{red}{Centre de la classe} & \textcolor{red}{110} & \textcolor{red}{125} & \textcolor{red}{135} & \textcolor{red}{145} & \textcolor{red}{155} & \textcolor{red}{170} \\ 
\hline
\small Nombre de prélèvements&\np{1597}&\np{1284} &\np{2255} &\np{1808} &\np{1345} &\np{1711}\\ \hline
\end{tabularx}

%\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.003cm}
%\begin{pspicture}(0,-200)(120,2500)
%\psaxes[linewidth=1pt,Ox=80,Dx=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(130,0)
%\psframe(20,0)(40,798.5)
%\psframe(40,0)(50,1284)
%\psframe(50,0)(60,2255)
%\psframe(60,0)(70,1808)
%\psframe(70,0)(80,1345)
%\psframe(80,0)(100,855.5)
%\end{pspicture}

\end{center}

%\bigskip

À l'aide de la calculatrice et en utilisant le centre de chaque classe, on peut estimer, pour le nombre de bactéries par prélèvement, la moyenne à $140,21$ et l'écart-type à $19,16$.

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ce choix de modélisation est pertinent car on a trouvé une moyenne de $140,21$ et un écart-type de $19,16$ dans la \textbf{partie A}.
		
		\item À la calculatrice, on trouve $p = P(X \geqslant 160)\approx 0,146$.
\end{enumerate}		
		
\item Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de $50$ prélèvements de $1$~ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; $13$~prélèvements contiennent plus de $160$~milliers de bactéries, ce qui fait une fréquence de $f=\dfrac{13}{50}=0,26$.
	\begin{enumerate}
		\item %L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.
Pour voir s'il y a une anomalie dans la production avec une probabilité de $0,05$ de se tromper, on va utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.

$n=50\geqslant 30$, $np=50\times 0,146=7,3 \geqslant 5$ et $n(1-p)=50\times (1-0,146) =42,7 \geqslant 5$ donc les conditions pour qu'on détermine l'intervalle de fluctuation sont vérifiées:

\smallskip

$I_{95}=
\left [ p- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~,~ p+ 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]\\[5pt]
\phantom{I_{95}}
= \left [ 0,146- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,146(1-0,146)}}{\sqrt{50}}~,~ 0,146+ 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,146(1-0,146)}}{\sqrt{50}} \right ]
\approx \cd 0,048~;~0,244\cg$

\smallskip
 
La fréquence $f=0,26$ trouvée dans l'échantillon n'appartient pas à l'intervalle $I_{95}$ donc on peut supposer qu'il y a une anomalie dans la production avec une probabilité proche de $0,05$ de se tromper.
		
		\item Avec une probabilité de $0,01$ de se tromper, il faut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99\,\% que l'on obtient en remplaçant dans l'intervalle précédent $u_{0,05} = 1,96$ par $u_{0,01}=2,58$:
	
	\smallskip

$I_{99}=
\left [ p- 2.58 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~,~p+ 2.58 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]\\[5pt]
\phantom{I_{99}}
= \left [ 0,146- 2,58\dfrac{\displaystyle \sqrt{0,146(1-0,146)}}{\sqrt{50}}~,~ 0,146+ 2,58\dfrac{\displaystyle \sqrt{0,146(1-0,146)}}{\sqrt{50}} \right ]
\approx \cd 0,017~;~0,275\cg$

\smallskip	
		
		La fréquence calculée de $0,26$ dans l'échantillon appartient à l'intervalle $I_{99}$ donc l'organisme n'aurait pas pu affirmer qu'il y avait une anomalie avec une probabilité proche de $0,01$ de se tromper.
		
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv,
%on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture*}(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
%\psframe[linecolor=blue](-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
%\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psdots(2;45)(2;135)
%\uput[ur](2;45){A}\uput[ul](2;135){B}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\pspolygon[linecolor=blue](2;45)(2;135)(0,0)
%\pscircle[linecolor=blue](0,1.414){1.414}
%\psdots[linecolor=blue](1.225,0.707)(1.225,-0.707)(0,1.414)
%\uput[ur](0,1.414){\blue $\Omega$} 
%\uput[r](1.225,0.707){\blue C$_1$} \uput[r](1.225,-0.707){\blue C$_2$} 
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,1.414)(1.225,0.707)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\begin{enumerate}
%\item %Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item $z_{\text{A}} = 2\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ donc $\text{OA} = |z_{\text A}| = 2$, et
% $z_{\text{B}} = 2\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ donc $\text{OB} = |z_{\text B}| = 2$.
% 
%Donc le triangle OAB est isocèle.
% 
%\item $z_{\text{A}} = 2\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ donc $\left ( \vect{u}\:,\:\vect{\text{OA}}\right ) = \dfrac{\pi}{4}  \pmod{2\pi}$, et 
%$z_{\text{B}} = 2\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ donc $\left ( \vect{u}\:,\:\vect{\text{OB}}\right ) = \dfrac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}$.
%
%$\left ( \vect{\text{OA}}\:,\:\vect{\text{OB}}\right )  
%= \left ( \vect{\text{OA}}\:,\:\vect{u}\right )  + \left ( \vect{u}\:,\:\vect{\text{OB}}\right ) 
%= \left ( \vect{u}\:,\:\vect{\text{OB}}\right )  - \left ( \vect{u}\:,\:\vect{\text{OA}}\right ) \\[5pt]
%\phantom{\left ( \vect{\text{OA}}\:,\:\vect{\text{OB}}\right ) }
%= \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
%Donc le triangle OAB est rectangle en O.
%\end{list}
%
%On a donc démontré que le triangle OAB était isocèle rectangle en O.
%
%\item On considère l'équation  $(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0$.
%
%%Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
%$\Delta= \left (- \sqrt{6}\right )^2 - 4\times 2\times 1 = -2<0 $ donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées:
%
%$z_1 = \dfrac{-b +\i \sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{\sqrt{6} + \i \sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et 
%$z_2 =  \dfrac{\sqrt{6}}{2} - \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
%
%On appelle C$_1$ et C$_2$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.
%
%Le triangle OAB est rectangle en O donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu $\Omega$ de \cd AB\cg.
%
%$z_{\text{A}} = 2\e^{\i\frac{\pi}{4}} = 2\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + \i \sin \dfrac{\pi}{4}\right )
%= 2\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )
%= \sqrt{2} + \i \sqrt{2}$\\[3pt]
%$z_{\text{B}} = 2\e^{\i\frac{3\pi}{4}} = 2\left( \cos \dfrac{3\pi}{4} + \i \sin \dfrac{3\pi}{4}\right )
%= 2\left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )
%= -\sqrt{2} + \i \sqrt{2}$
%
%Le milieu $\Omega$ de \cd AB\cg{} a donc pour affixe
%$z_{\Omega} = \dfrac{z_{\text A} + z_{\text B}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} + \i \sqrt{2} - \sqrt{2} + \i \sqrt{2}}{2}
%=\i\sqrt{2}$.
%
%Le rayon du cercle circonscrit est \\
%$\dfrac{\text{AB}}{2} = \dfrac{|z_{\text B}-z_{\text A}|}{2} = \dfrac{\left |-\sqrt{2} + \i \sqrt{2} - \left ( \sqrt{2} + \i \sqrt{2} \right) \right |}{2} = \dfrac{\left |-2\sqrt{2}\right |}{2} = \sqrt{2}$.
%
%Le cercle circonscrit au triangle OAB est donc de centre $\Omega\,\left ( \i\sqrt{2}\right )$ et de rayon $\sqrt{2}$.
%
%La distance $\Omega$C$_1$ est égale à\\
%$\Omega\text{C}_1 = \left | z_{\text C_1} - z_{\Omega}\right |
%= \left | \dfrac{\sqrt{6}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i\sqrt{2}\right |
%= \left | \dfrac{\sqrt{6}}{2} - \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right |
%= \displaystyle\sqrt{\left ( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right )^2 + \left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}\\
%\phantom{\Omega\text{C}_1}
%= \displaystyle\sqrt{ \dfrac{6}{4} + \dfrac{2}{4}}
%=\sqrt{2}$.
%
%Donc le point C$_1$ appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.
%
%\end{enumerate}

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv,
on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psframe(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.8,-1.1)(2.1,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2;45)(2;135)(0,1.414)
\pspolygon[linecolor=blue](2;45)(2;135)(0,0)
\rput{45}(0,0){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[ur](2;45){A}\uput[ul](2;135){B}\uput[ur](0,1.414){C}
\pscircle(0,1.414){1.414}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[ul](0,1.414){$\small \sqrt{2}$}
\uput[l](0,0.707){$\footnotesize \frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput[l](0,-0.707){$\footnotesize -\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput[dr](1.22474,0){\footnotesize $\frac{\sqrt{6}}{2}$}
\uput[l](0,0.4){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,0.707)(1.22474,0.707)(1.22474,0)
\psline(0,-0.707)(1.22474,-0.707)(1.22474,0)
\uput[r](1.22474,0.707){$M_2$}
\uput[r](1.22474,-0.707){$M_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item ~

\textbf{Méthode 1}%Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a $\text{OA} = \left|z_{\text{A}}\right| = 2$ ; de même 

\item $\text{OB} = \left|z_{\text{B}}\right| = 2$. OA = OB : le triangle est isocèle en O.

\item On a $\widehat{\text{AOB}} = \text{arg}{} z_{\text{B}} - \text{arg}{}z_{\text{A}} = \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} =  \dfrac{2\pi}{4} =  \dfrac{\pi}{2}$ : le triangle est rectangle en O.
\end{list}

Conclusion : le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

\textbf{Méthode 2}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a $\text{OA} = \left|z_{\text{A}}\right| = 2$ ;
\item $\text{OB} = \left|z_{\text{B}}\right| = 2$ ; on a donc OA = OB = 2 : le triangle OAB est isocèle en O ;
\item $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|2\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} - 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right| = \left|2\left(\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}  - \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right)  \right| = 2 \left| \text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} - \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right| =$

$ 2\left| \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} - 1 \right)\right|$.

Or $\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \text{i}$, donc puisque $\left|\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right| = 1$ :

$\text{OA} = 2 |\text{i} - 1| = 2\sqrt{1^2 + 1^2} = 2\sqrt{2}$.
On a donc :

$\text{OA}^2 + \text{OB}^2 = 2^2 + 2^2 = 8$ et 

$\text{AB}^2 = \left( 2\sqrt{2}\right)^2 = 2^2 \times 2 = 8$.

Donc $\text{OA}^2 + \text{OB}^2 = \text{AB}^2 = 8$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.
\end{list}

\textbf{Méthode 3}

On a $z_{\text{B}}  = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} = 2\text{e\,}^{\text{i}\left(\frac{2\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)} = 2\text{e\,}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}\right)} = 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

Donc $z_{\text{B}}  = \text{i}z_{\text{A}}$ ; en exploitant cette égalité en termes de modules et d'arguments :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\left|z_{\text{B}}\right|  = \left|\text{i}z_{\text{A}}\right| = |\text{i} \times \left|z_{\text{A}}\right|$, donc $\left|z_{\text{B}}\right|  = \left|z_{\text{A}}\right|$, soit OB = OA ;
\item arg{}$z_{\text{B}} = \text{arg} \text{i} + \text{arg}{} z_{\text{A}}$, soit 
arg{}$z_{\text{B}} = \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}{} z_{\text{A}}$, ce qui signifie que 

$\left(\vect{\text{OA}}~;~ \vect{\text{OB}}\right)  = \dfrac{\pi}{2}$. Le triangle OAB est rectangle en O.
\end{list}
%On considère l'équation 

%\[(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0.\]

%Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
\item  D'après la question précédente le triangle AOB est inscrit dans le cercle centré au milieu de [AB], soit en C d'affixe $\dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{B}}}{2} = \dfrac{2\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} + 2\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}}{2} = \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} + \text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

On sait que $\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et 

$\text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} = \cos \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc

$z_{\text{C}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} +  \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \text{i}\sqrt{2}$.

\smallskip

\emph{Rem.} On pouvait aussi calculer :

$\text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} + \text{e\,}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} = \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(1 + \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \right) = \text{e\,}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(1 + \text{i} \right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right)(1 + \text{i}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \text{i}\sqrt{2}$.

On a donc $\text{CO} = \left|\text{CO} \right| = \sqrt{2}$.

Le cercle circonscrit au triangle OAB et donc centré en C et a pour rayon $\sqrt{2}$.

%Tout point de ce cercle a une affixe $z_M$ qui vérifie : 
%
%$z - \text{i}\sqrt{2} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\alpha}$, ou encore $z = \sqrt{2}\left(\text{i} + \text{e}^{\text{i}\alpha}\right)$ \: $\alpha$ étant un argument de l'affixe de ce point.
%
%Ce complexe est solution de l'équation $(E)$ si :
%
%$\left(\sqrt{2}\left(\text{i} + \text{e}^{\text{i}\alpha}\right)\right)^2 - \sqrt{6}\left(\sqrt{2}\left
%(\text{i} + \text{e}^{\text{i}\alpha}}\right) + 2 = 0 \iff - 2 + 2\text{e}^{\text{i}2\alpha} + 4 \text{e}^{\text{i}\alpha} - \sqrt{12}\text{i} - \sqrt{12}\text{e}^{\text{i}\alpha}$
Équation $(E)$ : on a $\Delta = 6 - 8 = - 2 = \left(\text{i}\sqrt{2}\right)^2$.

Cette équation a donc deux solutions complexes conjuguées $z_1$ et $z_2$ affixes des points $M_1$ et $M_2$ :

$\bullet~~$$z_1 = \dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2}$.

Le carré de la  distance du point $M_1$ d'affixe $z_1$ au point C est :

$\left|z_1 - z_{\text{C}}\right|^2 = \left|\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2} - \text{i}\sqrt{2} \right|^2 = \left|\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}3\sqrt{2}}{2}  \right|^2 = \dfrac{6}{4} + \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{2}   + \dfrac{9}{2}  = 6$. Donc C$M_1 = \sqrt{6} \neq \sqrt{2}$.

On pouvait éviter le calcul en remarquant qu'un point de partie imaginaire négative ne peut appartenir au cercle.

$\bullet~~$$z_2 = \dfrac{\sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}}{2}$.

Le carré de la  distance du point $M_2$ d'affixe $z_2$ au point C est :

$\left|z_2 - z_{\text{C}}\right|^2 = \left|\dfrac{\sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}}{2} - \text{i}\sqrt{2} \right|^2 = \left|\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2} \right|^2 = \dfrac{6}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$. Don C$M_2 = \sqrt{2}$, donc le point $M_2$ appartient au cercle circonscrit au triangle AOB
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.

%Cette population est estimée à \np{12000} individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les \np{60000}~individus.
%
\medskip

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5\,\% par an.

%L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc 
%
%$v_0 = 12$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{5}{100} = 1,05$; la suite $(v_n)$ est donc géométrique de premier terme $v_0=12$ et de raison $q=1,05$.

Donc, pour tout $n$, on a: $v_n=v_0\times q^n = 12\times 1,05^n$.

\item% Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Il faut regarder si ce modèle permet de limiter la population à \np{60000} individus, autrement dit chercher $n$ tel que $v_n>60$; on résout l'inéquation:

$v_n>60 \iff 12\times 1,05^n > 60 \iff 1,05^n> 5 \iff \ln\left ( 1,05^n\right ) > \ln(5) \\
\phantom{v_n>60} \iff n \ln\left ( 1,05\right ) > \ln(5) \iff n>\dfrac{\ln(5)}{\ln(1,05)}$

$\dfrac{\ln(5)}{\ln(1,05)} \approx 32,99$ donc pour $n=33$ c'est-à-dire en 2049, la population dépassera \np{60000} individus.

Ce modèle ne répond donc pas aux contraintes du milieu naturel.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : un second modèle}

\medskip

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite  $\left(u_n\right)$ définie par 

$u_0  = 12$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x$.

	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = -\dfrac{1,1}{605}\times 2x + 1,1 = -\dfrac{2,2}{605}x+1,1$.

$g'(x)>0 \iff -\dfrac{2,2}{605}x+1,1>0 \iff 1,1 > \dfrac{2,2}{605} x \iff \dfrac{1,1\times 605}{2,2} > x  \iff x < 302,5$

Donc $g'(x)>0$ sur $\cd 0~;~60\cg$ donc $g$ est croissante sur 	$\cd 0~;~60\cg$.	
		
		\item On résout dans $\R$ l'équation $g(x) = x$:

$g(x)=x \iff 	- \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x = x \iff - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 0,1 x = 0
\iff x\left ( - \dfrac{1,1}{605}x + 0,1 \right )	=0\\[5pt]
\phantom{g(x)=x}  \iff x=0 \text{ ou }  - \dfrac{1,1}{605}x + 0,1 = 0
 \iff x=0 \text{ ou }  0,1= \dfrac{1,1}{605}x 
\iff x=0 \text{ ou }  0,1 \times \dfrac{605}{1,1}= x \\[5pt]
\phantom{g(x)=x} \iff x=0 \text{ ou } x=55$
		
 	\end{enumerate}

\item  On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
$u_1=g(u_0)=g(12) \approx 12,938$

Avec ce modèle, on peut estimer la population à \np{12938} individus en 2017.

		\item Soit $\mathcal P_n$ la propriété $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $u_0=12$ et $0\leqslant 12 \leqslant55$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose que le propriété est vraie au rang $n\geqslant 0$, c'est-à-dire que $0 \leqslant u_n \leqslant 55$; c'est l'hypothèse de récurrence.

Or $0\in \cd 0~;~60\cg$ et $55\in \cd0~;~60\cg$; de plus on sait que le fonction $g$ est croissante sur $\cd 0~;~60\cg$ donc de $0 \leqslant u_n \leqslant 55$, on peut déduire que $g(0) \leqslant g(u_n) \leqslant g(55)$.

Les nombres 0 et 55 sont solutions de l'équation $g(x)=x$ donc $g(0)=0$ et $g(55)=55$; de plus, $g(u_n)=u_{n+1}$.

Donc $g(0) \leqslant g(u_n) \leqslant g(55)$ équivaut à $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 55$ et on a donc démontré que la propriété était vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n \geqslant 0$.

\end{list}		
		
On a donx démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, 
$0 \leqslant u_n \leqslant 55$.		
		
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\text{Pour tout }n,\ u_{n+1}- u_n = -\dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 1,1u_n - u_n = -\dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 0,1u_n 
= u_n\left ( -\dfrac{1,1}{605} u_n + 0,1 \right )\\[5pt]
\phantom{\text{Pour tout }n,\ u_{n+1}- u_n}
= u_n \times \dfrac{1,1}{605} \left (-u_n + 0,1\times \dfrac{605}{1,1} \right )
= \dfrac{1,1}{605} u_n \left ( 55-u_n \right )$

On sait que $0\leqslant u_n \leqslant 55$ donc $55-u_n \geqslant 0$ donc $\dfrac{1,1}{605} u_n \left ( 55-u_n \right ) \geqslant 0$. \\
On a donc démontré que $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.

		\item% En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 55 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.

		\item On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$ donc elle est solution de l'équation $g(x)=x$.

L'équation $g(x)=x$ n'admet que 2 solutions: 0 et 55. 

La suite $(u_n)$ est croissante et $u_0=12$ donc la limite $\ell$ de la suite est supérieure ou égale à 12.

On en déduit donc que $\ell=55$ ce qui signifie que, selon ce modèle, la population va tendre vers $\np{55000}$ individus.
		
	\end{enumerate}

\item  Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les \np{50000} individus avec ce second modèle.
	
On complète l'algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$n$ un entier naturel\\\cline{2-2}
			&$u$ un nombre réel\\ \hline
Traitement	&$n$ prend la valeur $0$\\
			&$u$ prend la valeur 12\\
			&\textbf{Tant Que} \textcolor{red}{$u<50$}\\
			&\hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur \textcolor{red}{$1,1u - \frac{1,1}{605}u^2$} \\
			&\hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur \textcolor{red}{$n + 1$} \\
			&\textbf{Fin Tant Que}\\ \hline
Sortie 		&Afficher \textcolor{red}{$n$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l'équipe A (statut noté A)
%ou l'équipe B (statut noté B) ou bien de n'en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut
%noté S). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu.
%
%Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de
%dégager les tendances suivantes :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]un joueur de l'équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; il devient joueur solitaire avec une probabilité de $0,25$. Sinon, il rejoint l'équipe B ;
%\item[$\bullet~~$]un joueur de l'équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l'équipe A ;
%\item[$\bullet~~$]un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$ ; il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires.
%
%On note $U_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n& s_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste des statuts d'un joueur au bout de $n$ jours. Ainsi $a_n$ est la probabilité d'être dans l'équipe A, $b_n$ celle d'être dans l'équipe B et $s_n$ celle d'être un joueur solitaire, après $n$ jours de jeu.
%
%On a donc : $a_0 = 0$, $b_0 = 0$ et $s_0 = 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $p$ la probabilité qu'un joueur solitaire un jour donné passe dans l'équipe A le jour suivant.% Justifier que $p = \dfrac{3}{14}$.

D'après le texte, un joueur solitaire garde ce statut avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$ donc il change de statut avec une probabilité de $1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$.

On sait de plus qu'il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A; la probabilité de changer d'équipe se répartit donc en $\dfrac{3}{4}$ pour rejoindre l'équipe B et $\dfrac{1}{4}$ pour rejoindre l'équipe A.

La probabilité de rejoindre l'équipe A est donc de $\dfrac{1}{4}\times \dfrac{6}{7} = \dfrac{3}{14}$.\\
Celle de rejoindre l'équipe B est 3 fois plus élevée donc égale à $\dfrac{9}{14}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On complète le graphe probabiliste:

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,7.5)
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=gray]
\psset{nodesep=3pt,arcangle=-15,arrowsize=3pt 3}
%%% Données à entrer
%%% G pour Gauche, D pour Droit et H pour Haut
\def\nomG{A} \def\nomD{B} \def\nomH{S}
\def\valGG{$0,6$} \def\valGD{$0,15$} \def\valGH{$0,25$}
\def\valDG{$0,2$} \def\valDD{$0,6$} \def\valDH{$0,2$}
\def\valHG{$\dfrac{3}{14}$} \def\valHD{$\dfrac{9}{14}$} \def\valHH{$\dfrac{1}{7}$}
%%% couleurs des sommets G et H
\newrgbcolor{colorG}{1 0 0} \newrgbcolor{colorD}{0 0 0} \newrgbcolor{colorH}{0 0 1}
%%%
%%% Ne plus rien modifier à partir de cette ligne %%%
%%%
\psnode(0,0){G}{\colorG \boldmath \nomG}
\psnode(6,0){D}{\colorD \boldmath \nomD}
\psnode(6;60){H}{\colorH \boldmath \nomH}
\psset{ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1,arrowscale=1}
%%%
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{.5cm}  \Bput{\colorG \valGG}
\ncarc[linecolor=colorG]{G}{D} \Bput{\colorG \valGD} 
\ncarc[linecolor=colorG]{G}{H} \Bput{\colorG \valGH}
%%%
\ncarc[linecolor=colorD]{D}{G} \Bput{\colorD \valDG}
\nccircle[angleA=-90,linecolor=colorD]{->}{D}{.5cm} \Bput{\colorD  \valDD}
\ncarc[linecolor=colorD]{D}{H} \Bput{\colorD \valDH} 
%%%
\ncarc[linecolor=colorH]{H}{G} \Bput{\colorH \valHG} 
\ncarc[linecolor=colorH]{H}{D} \Bput{\colorH \valHD}
\nccircle[angleA=0,linecolor=colorH]{->}{H}{.5cm} \Bput{\colorH \valHH}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item On admet que la matrice de transition est \renewcommand\arraystretch{1.5}$T = \begin{pmatrix}
\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\
\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\
\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$.\renewcommand\arraystretch{1}

Pour tout entier naturel $n$, on a donc $U_{n+1} = U_n T$.

On appelle $\mathcal{P}_n$ la propriété: $U_n = U_0T^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}\\
Pour $n=0$, $T^{\,0}$ est la matrice identité d'ordre 3 donc $U_0=U_0 T^{\,0}$.

La propriété est donc vérifiée pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie pour $n \geqslant 0$, c'est-à-dire $U_n=U_0 T^n$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$U_{n+1} = U_n T = \left ( U_0 T^n\right ) T = U_0 T^{n+1}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n \geqslant 0$.

\end{list}

On a donc démontré par récurrence que, pour tout  naturel $n$, $U_n=U_0 T^n$.

		\item% Déterminer l'état probabiliste au bout d'une semaine, en arrondissant au millième.
Au bout d'une semaine, c'est-à-dire de 7 jours, l'état probabiliste est\\ 
$U_7 = U_0 T^7 \approx
\begin{pmatrix}
0,338 & 0,457 & 0 205
\end{pmatrix} $.		
		
		
	\end{enumerate}
\item On pose $V = \begin{pmatrix}300 &405 &182\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel $VT$. Que constate-t-on ?
En utilisant la calculatrice, on trouve que $VT=V$.		
		
		\item% En déduire un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.
Un état stable est une matrice 	$S= \begin{pmatrix} a & b & s\end{pmatrix}$ qui vérifie à la fois $a+b+s=1$ et $ST=S$.

D'après la question précédente, on peut dire que la matrice \\
$S= \dfrac{1}{300+405+182}\begin{pmatrix}300 &405 &182\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\dfrac{300}{887} & \dfrac{405}{887} & \dfrac{182}{887}\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant à l'état stable du système.
		
	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant, où la commande \og $U[i]$ \fg{} renvoie le coefficient de la $i$-ème colonne d'une matrice ligne $U$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|X|}\hline	
Variables 	&$k$ un entier naturel\\
			&$U$ une matrice de taille $1 \times 3$\\
			&$T$ une matrice carrée d'ordre 3\\ \hline
Traitement 	&$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$\\
			&$T$ prend la valeur \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\
\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}\\
			&Pour $k$ allant de 1 à 7\\
			&\hspace{1cm} $U$ prend la valeur $UT$\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher $U[1]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet algorithme ? L'interpréter dans le contexte de l'exercice.
	La valeur numérique arrondie au millième affichée en sortie de l'algorithme est le coefficient de la 1\iere{} colonne de $U_7$ soit $0,338$ (voir question 2.c.).	
	
	Ce nombre de $0,338$ correspond à la fréquence des joueurs dans l'équipe A au bout de 7 jours.
		\item On modifie l'algorithme pour qu'il affiche la fréquence de joueurs solitaires au bout de $13$~jours:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline	
Variables 	&$k$ un entier naturel\\
			&$U$ une matrice de taille $1 \times 3$\\
			&$T$ une matrice carrée d'ordre 3\\ \hline
Traitement 	&$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$\\
			&$T$ prend la valeur \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\
\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}\\
			&Pour $k$ allant de 1 à {\red 13}\\
			&\hspace{1cm} $U$ prend la valeur $UT$\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher {\red $U[3]$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}