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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt]8 novembre 2019}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

%\medskip
%
%Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s'intéresse à la gestion de ses chronomètres et des roulements de ses rollers.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

%On note $T$ la variable aléatoire égale à la durée de vie, en mois, d'un chronomètre et on admet qu'elle suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda= \np{0,0555}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la durée de vie moyenne d'un chronomètre (arrondie à l'unité).
L'espérance (ici la durée de vie moyenne) est égale à l'inverse du paramètre :

\[E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{\np{0,0555}}\approx 18,02 \approx 18~(\text{mois}).\]
\item %Calculer la probabilité qu'un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans.
La probabilité que la durée de vie du chronomètre soit comprise entre 12 et 24 mois est égale à :

\[P(12 \leqslant T \leqslant 24) = \text{e}^{- \lambda \times 12} - \text{e}^{- \lambda \times 24} = \text{e}^{- \np{0,0555} \times 12} - \text{e}^{- \np{0,0555} \times 24} \approx \np{0,5138} - \np{0,2640} \approx 0,250.\] 

La probabilité que la durée de vie du chronographe sit comprise entre 12 et 24 mois est égale à 0,25 à $10^{-3}$ près.
\item %Un entraîneur n'a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu'il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus ?
La probabilité que le chronomètre fonctionne 12 mois de plus est $\text{e}^{- \np{0,05555} \times 12} \approx \np{0,5138}$, soit 0,514 à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.
%\begin{itemize}
%\item Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu'il vend sont sans défaut avec une probabilité de 0,97.
%\item Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de 0,05.
%\end{itemize}
%
%\smallskip
%
%On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:
%
%$A$ : \og le roulement provient du fournisseur A \fg,
%
%$B$ : \og le roulement provient du fournisseur B \fg,
%
%$D$ : \og le roulement est défectueux \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le club achète 40\,\% de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur~B.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
		On peut dresser un arbre pondéré de probabilités :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~} \taput{0,4}}
	{\TR{$D$}\taput{0,03}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,97}
	}
\pstree{\TR{$B$~~} \tbput{0,6}}
	{\TR{$D$}\taput{0,05}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,95}
	}
}
\end{center}

La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à :

$P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,4 \times 0,03 = 0,012$.
		\item %Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur B.
On calcule de même la probabilité que le roulement provienne du fournisseur B et soit défectueux :

$P(B \cap D) = P(B) \times P_B(D) = 0,6 \times 0,05 = 0,030$.

D'après la loi des probabilités totales, on a :

$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0,012 + 0,030 = 0,042$.

Donc la probabilité que le roulement défectueux  provienne du fournisseur B est égale à :

$P_D(B) = \dfrac{P(D \cap B)}{P(D)} = \dfrac{0,030}{0,042} = \dfrac{30}{42} = \dfrac{5}{7} \approx \np{0,7142}$, soit 0,714 à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item  %Si le club souhaite que moins de 3,5\,\% des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
Soit $x$  \:($0\leqslant x \leqslant 1$) la proportion de roulements commandés au fournisseur A ; l'arbre de probabilités devient :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~} \taput{$x$}}
	{\TR{$D$}\taput{0,03}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,97}
	}
\pstree{\TR{$B$~~} \tbput{$1 - x$}}
	{\TR{$D$}\taput{0,05}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{0,95}
	}
}
\end{center}

La probabilité d'avoir un roulement défectueux est alors égale à :

$p(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)  = 0,03x + 0,05(1 - x) = 0,03x + 0,05 - 0,05x = 0,05 - 0,02x$. On veut que cette probabilité soit inférieur à 0,035, d'où l'inéquation :

$p(D) < 0,035 \iff 0,05 - 0,02x < 0,035 \iff 0,05 - 0,035 < 0,02x \iff 0,015 < 0,02x$, d'où en multipliant par 50 :

$0,75 < x$ : il faut donc se fournir chez A à plus de 75\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

%Le diamètre intérieur standard d'un roulement sur une roue de roller est de 8 mm.
%
%On note $X$ la variable aléatoire donnant en mm le diamètre d'un roulement et on admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $8$ et d'écart type $0,1$.
%
%Un roulement est dit conforme si son diamètre est compris entre $7,8$ mm et $8,2$ mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un roulement soit conforme.
Avec une moyenne de 8~mm et un écart type $\sigma$ de 0,1, la probabilité qu'un roulement soit conforme est :

$P(7,8 \leqslant X \leqslant 8,2) = P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)$ : ce résultat est dans le cours : 0,95. On peut le retrouver à la calculatrice.
\item %Le fournisseur B vend ses roulements par lots de 16 et affirme que seulement 5\,\% de ses roulements sont non conformes.

%Le président du club, qui lui a acheté $30$ lots, constate que $38$ roulements sont non conformes. Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur B ?

%On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.
Le président a acheté $30 \times 16 = 480$~roulements.

On a donc $n = 480$ et une probabilité d'avoir un roulement défectueux de $p = 0,05$.

Comme $n > 30$,\:$np = 480 \times 0,05 = 24 > 5$ et $n(1 - p) = 480 \times 0,95 = 46 > 5$, on peut chercher un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% : 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} ~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\approx [\np{0,0305}~;~\np{0,0695}].\]

Dans le contrôle on a trouvé 38 roulements non conformes sur 480, soit une proportion de $\dfrac{38}{480} \approx 0,079$.

Comme $0,079 \ne [\np{0,0305}~;~\np{0,0695}]$,le président peut remettre en cause l'affirmation du fournisseur B.

\item %Le fabricant de roulements de ce fournisseur décide d'améliorer la production de ses roulements. Le réglage de la machine qui les fabrique est modifié de sorte que 96\,\% des roulements soient conformes. On suppose qu'après réglage la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance 8 et d'écart-type $\sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi suivie par $\dfrac{X - 8}{\sigma}$ ?
La loi suivie par $X' = \dfrac{X - 8}{\sigma}$ est une loi normale centrée réduite.
		\item %Déterminer $\sigma$ pour que le roulement fabriqué soit conforme avec une probabilité égale à $0,96$.
On a $7,8 \leqslant X \leqslant 8,2 \iff -0,2 \leqslant X - 8 \leqslant 0,2 \iff \dfrac{-0,2}{\sigma} \leqslant \dfrac{X - 8}{\sigma} \leqslant  \dfrac{0,2}{\sigma}$.

On a donc $P\left(\dfrac{-0,2}{\sigma} \leqslant \dfrac{X - 8}{\sigma} \leqslant \dfrac{0,2}{\sigma}\right) = 0,96$, soit par symétrie :

$P\left(\dfrac{X - 8}{\sigma} \leqslant \dfrac{0,2}{\sigma} \right) = 0,02$.

La calculatrice donne $\sigma \approx 0,097$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.
%
%\smallskip
%
%Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à $2,5$~$\mu$g/mL.
%
%Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
%
%\medskip
%
%On utilisera dans la suite la modélisation suivante:

\[f(t) = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} +2\: \text{ avec }\: t \geqslant 0,\]

où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d'une hémorragie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant $t = 0$ ?
On a $\text{e}^{-\frac{1}{4}\times 0 }= 1$, donc $f(0) = 3\times 0\times 1 +2= 0 + 2 = 2$.
		\item %Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
On a 12~s $ = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0,2$~(min).

On calcule $f(0,2) = 3\times 0,2 \text{e}^{-\frac{1}{4}\times 0,2} +2 = 0,6\text{e}^{-0,05} + 2 \approx 2 + 0,57 \approx 2,57$.

Ce taux est supérieur à 2,5, donc anormal.
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} - \frac{1}{4}t = - \infty$.

Avec $X = - \frac{1}{4}t$, on sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} - \frac{1}{4}t = - \infty \Rightarrow \displaystyle\lim_{t \to + \infty}X \text{e}^X = $, donc finalement :

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 2$.

Cela signifie qu'à terme le taux de vasopressine va se stabiliser à 2~$\mu$g/mL.
	\end{enumerate}
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$. 

%Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif,

%\[f'(t) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}.\]
$f$ somme et produit de fonctions dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et 
		
$f'(t) = 3\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 3t \times \left(- \dfrac{1}{4} \right)\text{e}^{-\frac{1}{4}t} = \text{e}^{-\frac{1}{4}t}\left(3 - \dfrac{3}{4}t\right) = 3\text{e}^{-\frac{1}{4}t}\left(1 - \dfrac{1}{4}t \right) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).


On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{-\frac{1}{4}t} > 0$ ; le signe de $f'(t)$ est donc celui de $4 - t$ :

$\bullet~~$ $4 - t \iff 4 > t$ ;

$\bullet~~$ $4 - t \iff 4 < t$ ; 

$\bullet~~$ $4 - t = 0 \iff 4 = t$.

Conclusion : la fonction $f$ est 

$\bullet~~$croissante sur [0~;~4] de $f(0) = 2$ à $f(4) = 3 \times 4 \text{e}^{- \frac{1}{4}\times 4} + 2 = 2 + 12\text{e}^{-1} \approx 6,41$ ;

$\bullet~~$décroissante sur $[4~;~+ \infty[$ de $f(4)  \approx 6,41$ à $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 2$.

		\item %À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? 
La fonction étant croissante sur [0~;~4] de $f(0) = 2$ à $f(4) \approx 6,41$  puis décroissante sur $[4~;~+ \infty[$, \:$f(4) =  2 + 12\text{e}^{-1} \approx 6,41$ est le maximum de la fonction sur $[0~;~+ \infty[$.	
%Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à [0~;~4] telle que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
		
%En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
Sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement croissante de $f(0) = 2$ à $f(4) \approx 4,71$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $t_0 \in [0~;~4]$, tel que $f\left(t_0\right) = 2,5$.

La calculatrice donne :

$f(0) = 2$ et $f(1) \approx 4,33$, donc $0 < t_0 < 1$ ;

$f(0,1) \approx 2,29$ et $f(0,2) \approx 2,57$, donc $0,1 < t_0 < 0,2$ ;

$f(0,17) \approx 2,49$ et $f(0,18) \approx 2,52$, donc $0,17 < t_0 < 0,18$ ;

$f(0,174) \approx 2,499$ et $f(0,175) \approx 2,503$, donc $0,174 < t_0 < 0,175$. 
\end{enumerate}

\smallskip

\emph{On admet qu'il existe une unique valeur $t_1$ appartenant à $[4~;~+\infty[$ vérifiant $f\left(t_1\right) = 2,5$.}

\emph{On donne une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-3}$ près: $t_1 \approx  18,930$.}

\smallskip

\begin{enumerate}[resume]
		\item %Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à 2,5 $\mu$g/mL dans le sang.
		Sur l'intervalle $\left[t_0~;~4\right]$, la fonction $f$ est croissante, donc sur cet intervalle $f(t) \geqslant f\left(t_0\right) = 2,5$ et sur l'intervalle $\left[4~;~t_1 \right]$ la fonction est décroissante donc sur cet intervalle 
		
$f(t) \geqslant f\left(t_1\right) = 2,5$.
		
On a donc $f(t) > 2,5$ sur l'intervalle $\left]t_0~;~t_1\right[$ ce qui signifie que le taux de vasopressine sera anormal pendant $t_1 - t_0 \approx 18,93 - 0,175$ soit environ 18,755~min soit 18~min 45~s.
		
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $F(t) = -12(t + 4)\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2t$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ et en déduire une valeur approchée de $\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t)\:\text{d}t$ à l'unité près.
		La fonction $F$somme de deux fonctions dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et 
		
		$F'(t) = - 12\text{e}^{-\frac{1}{4}t} - 12(t + 4) \times \left(- \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2 = - 12\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 12 \text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2 = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} + 2  = f(t)$.
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire une valeur approchée à $0,1$ près du taux moyen de vasopressine, lors d'un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
		Le taux moyen est égal à :
		
		$v_m = \dfrac{1}{t1 - t_0}\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{t_1 - t_0}\left[F(t)\right]_{t_0}^{t_1} = \dfrac{1}{t_1 - t_0}\left[F\left(t_1\right) - F\left(t_0\right)\right] = $
		
$\dfrac{1}{t_1 - t_0}\left(-12\left(t_1 + 4\right)\text{e}^{-\frac{1}{4}t_1} + 2t_1 - \left[-12\left(t_0 + 4\right)\text{e}^{-\frac{1}{4}t_0} + 2t_0\right]\right) \approx 4,43$, soit en moyenne 4,4~$\mu$g/mL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère un cube ABCDEFGH.
%
%Le point M est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation 
%
%$\vect{\text{CN}} =\dfrac{1}{2}\vect{\text{GC}}$
%et le point P est le centre de la face ADHE.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
%%\psframe(0.5,1.5)(4.3,5.3)%BCGF
%\pspolygon(0.5,1.5)(4.3,1.5)(4.3,5.3)(0.5,5.3)
%\psline(4.3,1.5)(6.5,2.6)(6.5,6.4)(4.3,5.3)%CDHG
%\psline(6.5,6.4)(2.7,6.4)(0.5,5.3)%HEF
%\psline(4.3,-0.4)(4.3,5.3)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.7,2.6)(2.7,6.4)
%\psline[linestyle=dashed](2.7,2.6)(6.5,2.6)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.4,1.5)(4.6,4.5)(0.5,3.4)(4.3,-0.4)
%\uput[d](2.7,2.6){A} \uput[d](0.5,1.5){B} \uput[dr](4.3,1.5){C} 
%\uput[d](6.5,2.6){D} \uput[u](2.7,6.4){E} \uput[u](0.5,5.3){F} 
%\uput[u](4.3,5.3){G} \uput[u](6.5,6.4){H} \uput[d](2.4,1.5){I} 
%\uput[l](0.5,3.4){M} \uput[r](4.6,4.5){P} \uput[r](4.3,-0.4){N}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.
M et N appartiennent à deux droites parallèles  de la face FBCG ; les droites (FB) et (GN) sont coplanaires.

BCGF étant un carré on a donc $\vect{\text{FB}} = \vect{\text{GC}}$.

Or M étant le milieu de [FB], on a $\vect{\text{MB}} \dfrac{1}{2}\vect{\text{FB}}$ et comme $\vect{\text{CN}} =\dfrac{1}{2}\vect{\text{GC}}$, on a donc $\vect{\text{MB}} = \vect{\text{CN}} \iff $ MBNC est un parallélogramme dont les diagonales [BC]  et [MN] ont le même milieu I.
\item %Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan (MNP).
Voir la section sur la figure.

M et I appartiennent au plan (PMN) et à la face (BCGF), donc [MI] est l'intersection de la face (BCGF) du cube avec le plan.

Dans cette face (BCGF) dans le triangle (BCF), on a (droite des milieux : $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{FC}}$.

Or $\vect{\text{FC}} = \vect{\text{ED}}$, donc $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{ED}}$, donc les droites (MI) et (ED) sont parallèles, mais P $\in$ (ED), car P est le centre de la face (ADHE), donc la section du plan (PMN) avec la face (ADHE) est le segment [ED].

Il en résulte aisément les intersections avec la face (BAEF) : le segment [ME] et l'intersection avec la face (BCDA) : le segment [ID].

La section est donc le quadrilatère (MIDE).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (MNP). 

$\bullet~~$Pour le repère choisi on a M$\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$, N$\left(1~;~1~;- \dfrac{1}{2} \right)$ et P$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$. On en déduit les coordonnées des vecteurs :

$\vect{\text{MN}}(0~;~1~;~- 1), \quad \vect{\text{MP}}\left(- 1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{\text{MN}} = 0 + 2 - 2 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{MP}} = -1 + 1 + 0 = 0$.

Donc le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan MNP est un vecteur normal à ce plan. 

%En déduire une équation cartésienne du plan (MNP).
On sait qu'alors :

$M(x~;~y~;z) \in \text{(MNP)} \iff 1x + 2y + 2z + d = 0$.

En particulier on a :

$\text{P} \in \text{(MNP)} \iff 1\times 0  + 2\times \dfrac{1}{2} + 2\times \dfrac{1}{2} + d = 0 \iff 1 + 1 + d = 0 \iff d = - 2$.

Conclusion : $M(x~;~y~;z) \in \text{(MNP)} \iff x + 2y + 2z - 2 = 0$.
\item %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(d)$ passant par G et orthogonale au plan (MNP).
On sait que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (MNP). Les équations paramétriques de la droite $(d)$ passant par G et orthogonale au plan (MNP) s'obtiennent en traduisant l'égalité vectorielle :

Il existe $t \in \R$ tel que $\vect{\text{G}M} = t\vect{n}$, d'où  avec G(1~;~1~;~1):

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&1t\\
y - 1&=&2t\\
z - 1&=&2t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + t\\
y &=&1 + 2t\\
z &=&1 + 2t
\end{array}\right.$
\item %Montrer que la droite $(d)$ coupe le plan (MNP) au point K de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$.
Si $M(x~;~y~y~;~z)$ appartient à la droite $(d)$ et au plan (MN), ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de la droite et l'équation cartésienne du plan, soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + t\\
y &=&1 + 2t\\
z &=&1 + 2t\\
x + 2y + 2z - 2&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow 1 + t + 2(1 + 2t) + 2(1 + 2t) - 2 = 0\iff 3 + 9t = 0 \iff$

$ 9t = - 3 \iff t = - \dfrac{1}{3}$, d'où remplaçant dans les équations paramétriques :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 - \frac{1}{3}\\
y &=&1 - \frac{2}{3}\\
z &=&1 - \frac{2}{3}
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{2}{3}\\
y &=&\frac{1}{3}\\
z &=&\frac{1}{3}
\end{array}\right.$

On a donc K$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$.
%En déduire la distance GK.

On a $\text{GK}^2 = \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{1}{3} \right)^2 + \left(1 - \dfrac{1}{3} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$, d'où $\text{GK} = 1$.
\item  %On admet que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires et que l'aire du quadrilatère MEDI est $\dfrac{9}{8}$ unités d'aire. 
On a vu dans la partie A que la section du cube par le plan (PMN) est le quadrilatère MEDI, donc le plan (MEDI) est le plan (PMN).

Dans la pyramide GMEDI la droite $(d)$ contient G (question \textbf{2.}), est orthogonale au plan (MNP) ou (MEDI) (question \textbf{2.} et coupe le  plan (MNP) en K (question \textbf{3.}). Donc [GK] est la hauteur de la pyramide dont le volume est :

\[V_{(\text{GMEDI})} : \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(\text{AEDI}) \times \text{GK} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{9}{8} \times 1 = \dfrac{3}{8}~\text{unité de volume}.\]

%Calculer le volume de la pyramide GMEDI.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par: $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&5\\
u_{n+1}&=&3 - \dfrac{10}{u_n + 4}
\end{array}\right.$

%\newpage

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
$\bullet~~$Avec $n = 0$,\:$u_1 = 3 - \dfrac{10}{5 + 4} = 3 - \dfrac{10}{9} = \dfrac{27 - 10}{9} = \dfrac{17}{9}$ ;

$\bullet~~$Avec $n = 1$,\:$u_2 = 3 - \dfrac{10}{\frac{17}{9} + 4} = 3 - \dfrac{10}{\frac{53}{9}} = 3 - \dfrac{90}{53} = \dfrac{159 - 90}{53} = \dfrac{69}{53}$. 
\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\:$u_n \geqslant 1$.
Démonstration par récurrence ;

\emph{Initialisation} : $u_0 = 5 \geqslant 1$ : la propriété est vraie au rang zéro ;

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$, tel que $u_n \geqslant 1$.

$u_n \geqslant 1 \Rightarrow u_n +4 \geqslant 5 \Rightarrow \dfrac{1}{5} \geqslant \dfrac{1}{u_n + 4} \Rightarrow \dfrac{10}{5}\geqslant \dfrac{10}{u_n + 4} \Rightarrow - \dfrac{10}{u_n + 4} \leqslant - 2 \iff $

$3 - \dfrac{10}{u_n + 4} \geqslant 3 - 2 $, soit finalement $u_{n+1} \geqslant 1$ : la propriété est héréditaire.

La propriété est vraie au rang $0$ et si elle est vraie à un rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après la principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n \geqslant 1$.
\item %Démontrer que, pour tout entier nature $n$,\: $u_{n + 1} - u_n = \dfrac{\left(1- u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
Soit $n \in \N$ : $u_{n + 1} - u_n = 3 - \dfrac{10}{u_n + 4} - u_n = 3 - u_n - \dfrac{10}{u_n + 4} = \dfrac{\left(3 - u_n \right)\left(u_n + 4 \right) - 10}{u_n + 4} = \dfrac{-u_n^2 - u_n  + 12 - 10}{u_n + 4} = \dfrac{-u_n^2 - u_n  + 2}{u_n + 4}$.

Le trinôme a deux racines évidentes 1 et $- 2$ ; il se factorise donc en :

$-u_n^2 - u_n  + 2 = (- u_n + 1)(u_n + 2)$ et finalement :

$u_{n + 1} - u_n = \dfrac{\left(1- u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$ quel que soit $n \in \N$.
\item %En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$
On a démontré à la question \textbf{2.} que pour tout $n \in \N$, \: $u_n \geqslant 1$, donc $u_n + 4 > 0$,\: $u_n + 2 > 0$ et $u_n \geqslant $ entraîne $1 - u_n < 0$ et donc finalement pour tout $n \in \N$, \: $u_{n+1} - u_{n} < 0$, ce qui démontre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge. 
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 1 : elle converge donc vers une limite qui est supérieure ou égale à 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
		Pour tout naturel $n \in \N$, on a$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 2} = \dfrac{3 - \dfrac{10}{u_n + 4} - 1}{3 - \dfrac{10}{u_n + 4} + 2} = \dfrac{2 - \dfrac{10}{u_n + 4}}{5 - \dfrac{10}{u_n + 4}} = \dfrac{\dfrac{2u_n + 8 - 10}{u_n + 4}}{\dfrac{5u_n + 20 - 10}{u_n + 4}} = \dfrac{\dfrac{2u_n - 2}{u_n + 4}}{\dfrac{5u_n + 10}{u_ + 4}} = \dfrac{2u_n - 2}{5u_n + 10} = \dfrac{2(u_n - 1)}{5(u_n + 2)} = \dfrac{2}{5}\dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} = \dfrac{2}{5}v_n$.
		
		L'égalité $v_{n+1} = \dfrac{2}{5}v_n$, vraie pour tout naturel $n$,  démontre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = 0,4$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{u_0 - 1}{u_0 + 2} = \dfrac{4}{7}$.
		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
On sait que pour tout naturel $n$, $v_n = v_0 \times 0,4^n = \dfrac{4}{7} \times 0,4^n$.
		
%En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_n \ne 1$.
Comme $\dfrac{4}{7} < 1$ et $0,4 < 1$ et par conséquent $0,4^n < 1$, on peut en déduire que $v_n < 1$, donc en particulier $v_n \ne 1$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1 - v_n}$.
On part de la définition :

$v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}\iff v_n\left(u_n + 2 \right) = u_n - 1 \iff v_nu_n + 2v_n = u_n - 1 \iff$

$ v_nu_n - u_n =  - 2v_n - 1 \iff u_n\left(v_n - 1 \right) = - 2v_n - 1 \iff u_n = \dfrac{- 2v_n - 1}{v_n - 1} \iff u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1- v_n}$\: car $v_n \ne 1$.
\item  %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$v_n = \dfrac{4}{7}\times 0,4^n$. On sait comme $0 < 0,4 < 1$ que 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0$.

On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2v_n + 1 = 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 - v_n = 1$ et finalement 

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{1}{1} = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}On considère l'algorithme ci-contre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Après exécution de l'algorithme, quelle valeur est contenue dans la  variable $n$ ?
À la fin on a $n = 6$.
\item  %À l'aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
La suite $\left(u_n \right)$ est décroissante et tend vers 1 : on a $u_5 \approx 1,017$ ; la valeur suivante est inférieure à 1,01 : $u_6 \approx 1,008$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u \gets 5$\\
$n \gets 0$\\
Tant que $u \geqslant 1,01$\\
\quad $n \gets n+1$\\
\quad $u \gets 3 - \dfrac{10}{u+4}$\\
Fin du Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a > b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que PGCD$(a,~b) = \text{PGCD}(a-b,~b)$.
$\bullet~~$Tout diviseur commun de $a$ et de $b$ est un diviseur commun de $a - b$ et de $b$ ;

$\bullet~~$Tout diviseur commun de $a - b$ et de $b$ est un diviseur commun de $(a - b) + b = a$

Les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont donc les diviseurs communs de $a - b$ et de $b$, donc leur plus grand diviseur est le même.
\item %En utilisant l'égalité précédente, calculer PGCD$\left(4^3 -1,~4^2 -1\right)$.
On a donc d'après le résultat précédent :

PGCD$\left(4^3 -1,~4^2 -1\right) = \text{PGCD}\left(4^3 - 1 - 4^2 + 1~;~4^2 - 1\right) = \text{PGCD}\left(4^3 - 4^2~;~4^2 - 1\right) = \text{PGCD}(48~;~15) = \text{PGCD}(33~;~15) =  \text{PGCD}(18~;~15) = \text{PGCD}(3~;~15) = 3$.
\item %Compléter l'algorithme fourni en annexe de telle sorte qu'après exécution, la variable $A$ contienne PGCD$\left(4^3 -1,~4^2 -1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,\: u_1 =1$ et pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n.\]

On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est un entier naturel non nul.

%On note 
%$V_n=\begin{pmatrix}
%u_{n+1}\\u_{n}
%\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $V_{n+1}= AV_n$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre 2 dont on précisera les coefficients.
On a $V_{n+1}=\begin{pmatrix}
u_{n+2}\\u_{n+1}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5u_{n+1} - 4u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5u_{n+1} - 4u_n\\u_{n+1} + 0u_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&- 4\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = AU_n$, 

avec $A = \begin{pmatrix}
5&- 4\\1&0
\end{pmatrix}$.
\item On pose $P= \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $P$ est inversible et donner $P^{-1}$.
On a det$(P) = 1 \times - 1 \times  4 = - 3\ne 0$, donc $P$ est inversible.

Soit $P^{-1} = \begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}$.

On sait que $P \times P^{-1} = I_2 = P^{-1} \times P$. Donc les nombres $x$, $y$, $z$ et $t$ vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + 4 z&=&1\\
y + 4t&=&0\\x + z&=&0\\y + t&=&1
\end{array}\right.$

Par différence des équations 1 et 3, on obtient $3z = 1 \iff z = \dfrac{1}{3}$.

Par différence des équations 2 et 4, on obtient $3t = - 1 \iff t = -\dfrac{1}{3}$.

D'où $x = - \dfrac{1}{3}$ et $y = -\dfrac{4}{3}$.

On a donc $x = - \dfrac{1}{3}$,\:$y = \dfrac{4}{3}$, \:$z = \dfrac{1}{3}$ et $t = \dfrac{1}{3}$.

Donc $P^{-1} = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{3}&\dfrac{4}{3}\\\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

		\item %Vérifier que $P^{-1}AP$ est la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$.
		On a $AP = \begin{pmatrix}
5&- 4\\1&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&16\\1&4\end{pmatrix}$, puis 

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{3}&\dfrac{4}{3}\\\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&16\\1&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}	
\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = PD^nP^{-1}$.
\emph{Initialisation } : d'après la question précédente  : $D = P^{-1}AP$, d'où en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$ :

$PD = AP$, puis $PDP^{-1} = A$ : la relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$, avec $n \geqslant 1$ et supposons que $A^n = PD^nP^{-1}$.

Alors en multipliant à gauche par $P^{-1}$, puis à droite par $P$, on obtient :

$P^{-1}A^nP = D^n$. Multiplions chaque membre par $D = P^{-1}AP$ :

$P^{-1}APP^{-1}A^nP = D^{n+1}$ ; or $PP^{-1} = I_2$, d'où :

$P^{-1}AA^nP = D^{n+1}$ et en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$ :

$PP^{-1}A^{n+1}PP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$, soit finalement :

\[A^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1}.\]

La relation est donc vraie au rang $(n + 1)$.

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang $n$ au moins égal à 1, elle est vraie au rang $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = PD^nP^{-1}$.
\item %Soit un entier naturel $n$ non nul. Calculer les coefficients de la matrice $A^n$.
$D = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$ et $D^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&4^2\end{pmatrix}$.

Démontrons par récurrence que $D^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&4^n\end{pmatrix}$.

\emph{Initialisation} : $D^1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$ : la relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n$ un entier naturel, $n \geqslant 1$ et supposons que $D^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&4^n\end{pmatrix}$.

Alors $D^{n+1} = D^n \times D =  \begin{pmatrix}1&0\\0&4^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&4^{n+1}\end{pmatrix}$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence $D^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&4^n\end{pmatrix}$ pour tout naturel $n $ non nul.

On a donc $A^n = PD^nP^{-1}$.

$PD^n = \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\0&4^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&4^{n+1}\\1&4^n\end{pmatrix}$, puis 

$PD^nP^{-1} = A^n = \begin{pmatrix}1&4^{n+1}\\1&4^n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{3}&\dfrac{4}{3}\\\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{1}{3} + \frac{4^{n+1}}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^{n+1}}{3}\\-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^n}{3}\end{pmatrix}$.
\item On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $V_n= A^n V_0$.

%Justifier que pour tout entier naturel $n$,\:$u_n = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times 4^n$.
$V_n= A^n V_0$ ou encore $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{1}{3} + \frac{4^{n+1}}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^{n+1}}{3}\\-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^n}{3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{1}\\u_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{1}{3} + \frac{4^{n+1}}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^{n+1}}{3}\\-\frac{1}{3} + \frac{4^n}{3}&\frac{4}{3} - \frac{4^n}{3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{1}{3}+ \frac{4^{n+1}}{3}\\-\frac{1}{3} + \frac{4^{n}}{3}\end{pmatrix}$. Donc $u_n = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4^{n}}{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 4u_n +1$.
D'après le résultat précédent :
		
$4u_n + 1 = 4\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{4^{n}}{3} \right) + 1 = - \dfrac{4}{3} + 1  + \dfrac{4^{n+1}}{3} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4^{n+1}}{3} = u_{n+1}$.

On a donc pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 4u_n +1$.
		\item %En déduire PGCD$\left(u_{n+1},~ u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.
D'après la partie A : 
		
PGCD$\left(u_{n+1},~ u_n\right) = \text{PGCD}\left(4u_n + 1~;~u_n\right) = \left(3u_n + 1~;~u_n\right) = \left(2u_n + 1~;~u_n\right) = \left(u_n + 1~;~u_n\right) = \left(1~;~u_n\right) = 1$.

$u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
		\item %Déterminer pour tout entier naturel $n$, PGCD$\left(4^{n+1} - 1,~4^n -1\right)$.
		On a démontré à la question \textbf{5.} que $u_n = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4^{n}}{3}$ soit en multipliant chaque membre par 3 : $3u_n = - 1 + 4^n$ et par conséquent $3u_{n1} = - 1 + 4^{n+1}$.
		
On a donc PGCD$\left(4^{n+1} - 1,~4^n -1 \right) = \text{PGCD}\left(3u_{n+1}~;~3u_n \right)$.

Comme PGCD$\left(u_{n+1},~ u_n\right) = 1, \: \text{PGCD}\left(3u_{n+1}~;~3u_n \right) = 3 \times \text{PGCD}\left(u_{n+1},~ u_n\right) = 3 \times 1 = 3$.

Deux termes consécutifs de la suite $\left(4^n - 1 \right)_{n \in \N}$ ont pour PGCD 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\medskip

\textbf{À compléter et à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 3}\end{flushleft}

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(7,7)
%\psgrid
\psframe(0.5,1.5)(4.3,5.3)%BCGF
\psline(4.3,1.5)(6.5,2.6)(6.5,6.4)(4.3,5.3)%CDHG
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\psline(2.4,1.5)(4.3,-0.4)%IN
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](6.5,2.6)(2.7,6.4)(0.5,3.4)%DEM
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.4,1.5)(6.5,2.6)%ID
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.4,1.5)(4.6,4.5)(0.5,3.4)(4.3,-0.4)
\uput[d](2.7,2.6){A} \uput[d](0.5,1.5){B} \uput[dr](4.3,1.5){C} 
\uput[d](6.5,2.6){D} \uput[u](2.7,6.4){E} \uput[u](0.5,5.3){F} 
\uput[u](4.3,5.3){G} \uput[u](6.5,6.4){H} \uput[d](2.4,1.5){I} 
\uput[l](0.5,3.4){M} \uput[r](4.6,4.5){P} \uput[r](4.3,-0.4){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{3cm}

\begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 4 (spécialité)}\end{flushleft}

\fbox{
\begin{tabular}{l}
$A \gets 4^3-1$\\
$B \gets 4^2-1$\\
Tant que {\red $A \ne B$}:\\
\qquad Si $A > B$, alors:\\
\qquad\qquad  $A \gets  {\red A - B}$\\
\qquad Sinon:\\
\qquad\qquad $B \gets  {\red B - A}$\\
\qquad Fin Si \\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{document}