\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add}
%\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}}
%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Amérique du Sud 24 novembre 2015},
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\d}{\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\,\text{i\,}} % le i des complexes
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 24 novembre 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  S Amérique du Sud~\decofourright\\[4pt]24 novembre 2015}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

 \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}


\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:
$u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés.

%On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite 
%$\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.4cm}
%\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(7,3.5)
%
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div}
%\pscustom[fillstyle=vlines]{
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div}
%\psline(4,0)(1,0)}
%\uput[dl](1,0){A}\uput[dr](4,0){B}\uput[dl](0,0){O}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\rput(1,3){\blue $\mathcal{C}_u$}
%\psline(-1,1)(7,1)\uput[u](6.5,1){$\mathcal{D}$}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,tickstyle=inner,labels=none](0,0)(-0.98,-1.5)(7,3.5)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1~;~0) et B(4~;~0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
La courbe $\mathcal C_u$ passe par le point A$\,(1\,;\,0)$ donc $u(1)=0$.

La courbe $\mathcal C_u$ passe par le point B$\,(4\,;\,0)$ donc $u(4)=0$.
 
\item% Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
La droite $\mathcal D$ d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe $\mathcal C_u$ en $+\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} u(x) = 1$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{b}{x}=0\\[10pt]
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{c}{x^2}=0
\end{array}
\right\rbrace
\implies \ds\lim_{x\to +\infty} \left (a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\right ) = a
\iff
\ds\lim_{x\to +\infty} u(x) =a $

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to +\infty} u(x) = 1\\
\ds\lim_{x\to +\infty} u(x) = a
\end{array}
\right\rbrace
\implies a=1$ donc $u(x)=1+\dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$

\item% En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$.
D'après la première question $u(1)=0$ ce qui équivaut à $1+\dfrac{b}{1} + \dfrac{c}{1^2} = 0 \iff b+c = -1$.

De même $u(4)=0$ équivaut à $1+\dfrac{b}{4} + \dfrac{c}{4^2} = 0 \iff
1+\dfrac{b}{4} + \dfrac{c}{16} = 0 \iff 4b+c = -16$.

On résout le système
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
b+c & -1\\
4b+c & -16
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
c & -1 -b\\
4b - 1 - b & -16
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
c & 4\\
b  & -5
\end{array}
\right. 
$

Donc pour tout $x$ de $\cg 0\,;\,+\infty\cd$, $u(x)=1-\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par :
$f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}$.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
$f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x} = \dfrac{x^2 - 5x\ln x -4}{x}$

$\left.
\begin{array}{@{} r}
\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x\to 0} x^2 = 0\\
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x\ln x = 0
\end{array} 
\right\rbrace 
\implies
\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left ( x^2 -5x\ln x -4\right ) = -4\\
\ds\lim_{x \to 0} x = 0\\
x > 0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{x^2 - 5x\ln x - 4}{x} = -\infty
$

donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=-\infty$

\item% Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
$f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x} = x\left ( 1- 5\,\dfrac{\ln x}{x}\right ) -\dfrac{4}{x}$

$\left. 
\begin{array}{@{} r}
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0
\implies
\ds\lim_{x \to +\infty} \left (1-5\,\dfrac{\ln x}{x}\right ) = 1
\implies
\ds\lim_{x \to +\infty} x\left ( 1-5\,\dfrac{\ln x}{x} \right ) =+\infty\\
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x} = 0
\end{array}
\right\rbrace \\\implies
\ds\lim_{x \to +\infty} x\left ( 1-5\,\dfrac{\ln x}{x} \right )-\dfrac{4}{x} = +\infty
$
donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

\item% Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ comme somme de fonctions dérivables et:

$f'(x)=1 -5\times \dfrac{1}{x} - 4\times \left ( -\dfrac{1}{x^2}\right) = 1-\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{x^2} = u(x)$

%En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.

$u(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x^2} = \dfrac{(x-1)(x-4)}{x^2}$; on peut donc déterminer le signe de $u(x)$ sur $\cg0\,;\,+\infty\cd$ et donc le signe de $f'(x)$.

$u(x)$ s'annule pour $x=1$ et $x=4$; $f(1)=-3$ et $f(4)=3-5\ln 4 \approx -3,93$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$: 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l *5{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x)=u(x) & \vline\;\vline &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline &  & \Rnode{max1}{-3} & & & &  \Rnode{max2}{+\infty} \\
f (x) & \vline\;\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\ -\infty} & & & & \Rnode{min2}{3-5\ln 4} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.
On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure fournie avec le texte; c'est l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y)$ tels que $1 \pp x \pp 4$ et $u(x) \pp y \pp 0$.

Pour tout $x$ de $\cd 1\,;\, 4 \cg$, $u(x)\pp 0$ donc 
$\mathcal A = - \ds\int_{1}^{4} u(x) \d x$ 

$f'(x)=u(x)$ donc la fonction $f$ est une primitive de la fonction $u$ et donc $\ds\int_{1}^{4} u(x) \d x = f(4)-f(1)$.

On en déduit que
$\mathcal A = f(1)-f(4) = -3 - \left( 3-5\ln 4\right )= 5\ln 4 - 6$ unité d'aire. 

\item Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à 4, on note $\mathcal{A}_{\lambda}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine  formé par les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que
$4 \leqslant  x \leqslant \lambda$ et $0 \leqslant y \leqslant u(x)$.

%Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}$ ?

%Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Sur $\cd 4\,;\,+\infty\cd$, $u(x)\pg 0$ et donc l'aire $\mathcal A_{\lambda}$ est égale, en unité d'aire, à $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x$.

Or $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x = f(\lambda)-f(4)$;
on cherche donc $\lambda$ tel que $\ds\int_{4}^{\lambda} u(x) \d x = \mathcal A$ ce qui équivaut à 

$f(\lambda) - f(4) = 5 \ln 4 - 6 \iff f(\lambda) - (3-5\ln 4) = 5 \ln 4 - 6 \iff f(\lambda) = -3$ 

On complète le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l *5{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
% \hline
%f'(x) & \vline\;\vline &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline &  & \Rnode{max1}{-3} & & & &  \Rnode{max2}{+\infty} \\
f (x) & \vline\;\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\ -\infty} & & & & \Rnode{min2}{3-5\ln 4 \approx -3,93} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} 
\rput*(-1.5,1.15){\Rnode{zero}{\red -3}}
\rput(-1.5,2.4){\Rnode{lambda}{\red \lambda}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{lambda}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On peut conclure qu'il existe une unique valeur $\lambda$ telle que $\mathcal A_{\lambda} = \mathcal A$.

Remarque: $f(7) \approx -3,30$ et $f(8) \approx -2,90$ donc $\lambda \in \cd 7\,;\,8\cg$\\
$\phantom{\text{Remarque:}}$ 
$f(7,7) \approx -3,03$ et $f(7,8) \approx -2,98$ donc $\lambda \in \cd 7,7\,;\,7,8\cg$ 

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(8.1,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(8,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=inner,labels=none](0,0)(-0.98,-1.5)(7,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{8}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div}
\psline(4,0)(1,0)}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{7.76}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div}
\psline(7.76,0)(1,0)}
\uput[dl](1,0){A}\uput[dr](4,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput(1,3){\blue $\mathcal{C}_u$}
\psline(-1,1)(8,1)\uput[u](6.5,1){$\mathcal{D}$}
\uput[d](7.76,0){$\approx 7,8$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
%
%\smallskip
%
%\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}
%

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 

Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées :
$\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2)$.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$.

La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & - 1 + 4t\\
y &  4 - t\\
z & - 8 + 2t
\end{array}\right., \:t \in \R$.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales.

\medskip

En détaillant son écriture paramétrique, on peut dire que la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$.

La droite (AC) a pour vecteur directeur $\vect{\text A \text C}\,(1\,;\,0\,;\,-2)$.

$\vect{v}.\vect{\text A \text C} = 4\times 1 + (-1)\times 0 + 2\times (-2)=0$ donc les vecteurs $\vect{v}$ et $\vect{\text A \text C}$ sont orthogonaux; on peut en déduire que les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales. 

\textbf{Affirmation 1 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne 

$2x + 5y + z - 5 = 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les points A, B et C déterminent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

$\vect{\text A \text B}$ a pour coordonnées $(-4\,;\, 3\,;\, -7)$ et $\vect{\text A \text C}$ a pour coordonnées $(1\,;\,0\,;\,-2)$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignes; ils déterminent donc le plan (ABC).

\item Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$ si les coordonnées des trois points A, B et C vérifient cette équation.
\begin{list}{$\circ$}{}
\item $2x_{\text A}+5y_{\text A}+z_{\text A} - 5= 2\times 3 +5\times (-1) + 4 - 5 = 0$

\item $2x_{\text B}+5y_{\text B}+z_{\text B} - 5= 2\times (-1) +5\times 2 + (-3) - 5 = 0$

\item $2x_{\text C}+5y_{\text C}+z_{\text C} - 5= 2\times 4 +5\times (-1) + 2 - 5 = 0$
\end{list}

\end{list}

Les coordonnées des trois points vérifient l'équation du plan donc ces points appartiennent au plan.

Le plan (ABC) a pour équation $2x+5y+z-5=0$. 

\textbf{Affirmation 2 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & 1 + \phantom{2}s - 2s'\\
y & 1 - 2s + \phantom{2}s'\\
z & 1- 4s + 2s'
\end{array}\right., \:
s \in \R,\: s' \in  \R$\:
appartiennent au plan $\mathcal{P}$.

\medskip

Soient $s$ et $s'$ deux réels et M le point de coordonnées $(1+s-2s' \,;\, 1-2s+s' \,;\, 1-4s+2s' )$.

Le plan $\mathcal P$ a pour équation $2x-3y+2z-7=0$.

$2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7 =
2(1+s-2s') -3( 1-2s+s') +2(1-4s+2s') - 7\\
\phantom{2x_{\text M}-3y_{\text M}+2z_{\text M}-7} =
2 + 2s -4s' -3 +6s -3s' +2 -8s +4s' -7 =
-6 -3s'$

n'est pas égal à 0 pour tout $s'$.

\textbf{Affirmation 3 fausse}

\medskip


\textbf{Affirmation 4 :} Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.

\medskip

Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$ si et seulement si la droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$.

La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(4\,;\,-1\,;\,2)$.
Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vect{n}\,(2\,;\,-3\,;\,2)$.

La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal P$ si et seulement si les vecteurs $\vect v$ et $\vect n$ sont orthogonaux.

$\vect v . \vect n = 4\times 2 + (-1)\times (-3) + 2\times 2 = 15\neq 0$ donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ce qui prouve que la droite $\Delta$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal P$.

\textbf{Affirmation 4 fausse}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante}
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.

\smallskip

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ;
\item la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On procède à un test de dépistage systématique dans une population \og cible \fg. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement: \og L'individu choisi est atteint du chikungunya \fg
\item $T$ l'évènement: \og Le test de l'individu choisi est positif \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l'évènement contraire de l'évènement $M$ (respectivement $T$).

On note $p\: (0 \leqslant  p \leqslant 1$) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'arbre de probabilité:
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$M$}\naput{p}}
	{\TR{$T$}\naput{0,98}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,98 = 0,02$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{\red $1-p$}}
	{\TR{$T$}\naput{0,01}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,01 = 0,99$}
	}
}
\end{center}

		\item% Exprimer $P(M \cap T),\: P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$.
\begin{list}{\textbullet}{D'après l'arbre:}
\item $P(M \cap T) = P(M)\times P_M(T)=p\times 0,98 = 0,98p$

\item $P(\overline M \cap T) = P(\overline M)\times P_{\overline M}(T)=(1-p)\times 0,01 = 0,01 - 0,01p$
\end{list}		

D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)=P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0,98p + 0,01 -0,01p = 0,97p + 0,01$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : 
		
%		\[f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.\]

La probabilité de $M$ sachant $T$ est $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1} = f(p)$ où $f$ est définie sur $\cd 0\,;\,1\cg$.		
		\item% Étudier les variations de la fonction $f$.
La fonction $f$ est une fonction rationnelle définie sur $\cd 0\,;\,1\cg$ donc dérivable sur $\cd 0\,;\,1\cg$ et:

$f'(p)=\dfrac{98\times (97p+1) - 98p\times 97}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$ sur $\cd 0\,;\,1\cg$

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$.
	\end{enumerate}
\item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$.
	
%En utilisant les résultats de la question \textbf{2.}, à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?

La probabilité $f(p)$ qu'une personne  ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est égale à $0,95$ quand la proportion $p$ est solution de l'équation $f(p)=0,95$:

$f(p)=0,95 \iff \dfrac{98p}{97p+1} = 0,95 \iff \np{9800}p=95\times (97p+1) \iff 585p=95 \iff p=\dfrac{19}{117}$ soit approximativement $0,162$. 

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$ donc si $p>\dfrac{19}{117}$, alors $f(p)>0,95$.

C'est donc à partir d'une proportion $p=\dfrac{19}{117}\approx 16,2\,\%$ de malades dans la population que le test sera fiable.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15\,\% de la population est atteinte par le virus.

Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante.

Pour s'en assurer, on se propose d'étudier un échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On prend $p = 0,15$.

Pour une personne prise au hasard, il n'y a que deux issues possibles: elle est malade (avec une probabilité $p=0,15$) ou elle n'est pas malade (avec la probabilité $1-p=0,85$).
		
On choisit \np{1000} personnes, ce qui revient à une répétition de façon indépendante de \np{1000} tirages avec remise. 
		
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes malades dans un échantillon de \np{1000} personnes suit donc la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,15$.		
		\item  Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre $197$~personnes atteintes par le virus donc la fréquence observée est $f=0,197$.

$n=\np{1000} \pg 30$, $np=150 \pg 5$ et $n(1-p)=850 \pg 5$ donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation $I$ de la fréquence $F$ de personnes malades au seuil de 95\,\%:

$I= \left [ p - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p  + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]\\
\phantom{I} = 
\left [ 0,15 - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\ds\sqrt{1000}} \,;\, 0,15 + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\ds\sqrt{1000}} \right ]  \approx \cd 0,127 \,;\, 0,173 \cg$
		
Comme $0,197 \not\in \cd 0,127 \,;\, 0,173 \cg$ on peut en déduire que l'hypothèse d'un pourcentage de 15\;\% est sous-évaluée.
				
%Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15\,\% publié par l'institut de veille sanitaire ?
%
%Justifier. (On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.)
	\end{enumerate}
\item On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue.
	
%En utilisant l'échantillon de la question \textbf{1. b.}, proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de 95\,\%.

On sait que $f=0,197$; $n=\np{1000}\pg 30$, $nf=197 \pg 5$ et $n(1-f)=803 \pg 5$. On peut donc déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% autour de la fréquence observée:

$\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ]
=  \left [ 0,197 - \dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{1000}}} \,;\,  0,197 + \dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{1000}}}\right ] 
\approx \cd 0,165 \,;\, 0,229 \cg$
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

%\medskip

Le temps d'incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d'écart type $\sigma = 10$.
On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Conjecturer, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$.
D'après le graphique donné en annexe, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$.				
		\item% On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l'aire correspond à la probabilité donnée.
Voir graphique en annexe.				
	\end{enumerate}
\item On note $T'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T - \mu}{10}$.
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle loi la variable aléatoire $T'$ suit-elle?
D'après le cours, si la loi $T$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma=10$, alors la variable aléatoire $T'=\dfrac{T-\mu}{10}$ suit la loi normale centrée réduite.
		\item% Déterminer une valeur approchée à l'unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.
$T<110 \iff T-\mu < 110-\mu \iff \dfrac{T-\mu}{10} < \dfrac{110-\mu }{10} \iff T' < \dfrac{110-\mu }{10}$

Donc $P\left ( T <110\right )=0,18 \iff P\left ( T'< \dfrac{110-\mu }{10} \right )=0,18$

On cherche à la calculatrice le réel $\beta$ tel que $P(T'<\beta)=0,18$ sachant que $T'$ suit la loi normale centrée réduite.
On trouve $\beta \approx \np{-0,915}$. 

On résout $\dfrac{110-\mu }{10} = \np{-0,915}$ et on trouve $\mu \approx 119$ valeur proche de celle de la conjecture faite à la question 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ;
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants.
\end{itemize}

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
La population totale est constante et égale à 120 millions donc, pour tout entier naturel $n$, on peut dire que $u_n+v_n=120$.

\item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

%Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B&C\\ \hline
%1&$n$		&Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline
%2&0	&90 		&30\\ \hline
%3&1	&82,5 		&37,5\\ \hline
%4&2	&76,125 	&43,875\\ \hline
%5&3	&70,706 	&49,294\\ \hline
%6&4	&66,100 	&53,900\\ \hline
%7&5	&62,185 	&57.815\\ \hline
%8&6	&58,857 	&61,143\\ \hline
%9&7	&56,029 	&63,971\\ \hline
%10&8&53,625 	&66,375\\ \hline
%11&9&51,581 	&68,419\\ \hline
%12&10&49,844 	&70,156\\ \hline
%13&11&48,367 	&71,633\\ \hline
%14&12&47,112 	&72,888\\ \hline
%15&13&46,045 	&73,955\\ \hline
%16&14&45,138 	&74,862\\ \hline
%17&15&44,368 &75,632\\ \hline
%18&16&43,713 &76,287\\ \hline
%19&17&43,156 &76,844\\ \hline
%20&18&42,682 &77,318\\ \hline
%21&19&42,280 &77,720\\ \hline
%22&20&41,938 &78,062\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{m{1cm}}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
%59&57 &40,005 &79,995\\ \hline
%60&58 &40,004 &79,996\\ \hline
%61&59 &40,003 &79,997\\ \hline
%62&60 &40,003 &79,997\\ \hline
%63&61 &40,002 &79,998\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Dans B3 on entre la formule \texttt{=0,9*B2+0,05*C2}.

Dans C3 on entre la formule \texttt{=0,1*B2+0,95*C2}.

\item% Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
D'après les données du tableur, la suite $(u_n)$ (donc le nombre de ruraux) semble décroitre et tendre vers 40 millions, et la suite $(v_n)$ (donc le nombre de citadins) semble croitre et tendre vers 80 millions.
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n> u_{n+1}$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \emph{Initialisation} : $u_0 = 90$ et $u_1 = 0,85u_0 = 0,85\times 90 + 6 = 82,5$ donc $u_0 > u_1$

La propriété est vraie au rang 0.

\item \emph{Hérédité} : on suppose la propriété vraie à un  rang $n \pg 0$ avec $n \in \N$, c'est-à-dire $u_n> u_{n+1}$.

$u_n > u_{n+1} \iff 0,85u_n > 0,85u_{n+1} \iff 0,85u_n + 6 > 0,85u_{n+1} + 6 \iff u_{n+1} > u_{n+2} $

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$; elle est héréditaire.

\item $\mathcal P_n$ est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

Pour tout $n$, $u_n > u_{n+1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.		
		\item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$, donc la suite $(u_n)$ est minorée par 0.
		
On a vu que la suite était décroissante.

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. 

%Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
	\end{enumerate}	
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$, donc $u_n=w_n+40$.
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $w_{n+1}=u_{n+1}-40 = 0,85u_n+6-40 = 0,85(w_n+40)-34 = 0,85w_n+34-34=0,85w_n$
\item $w_0=u_0-40 = 90 - 40 = 50$

\end{list}

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = 0,85$ et de premier terme $w_0 = 50$.
		\item% En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout $n$: $w_n=w_0\times q^n = 50\times 0,85^n$

Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, on peut dire que $u_n=50\times 0,85^n + 40$
		\item% Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$,
$\left. 
\begin{array}{l}
u_n+v_n=120\\
u_n=50\times 0,85^n + 40
\end{array}
\right\rbrace 
\implies v_n=80- 50\times 0,85^n
$
	\end{enumerate}
\item% Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout $n$, $w_n=50\times 0,85^n$ donc $w_n>0$

$w_{n+1}= 0,85 w_n < w_n$ et donc la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante. 

Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\item $(w_n)$ est géométrique de raison $0,85$; or $-1<0,85 < 1$ donc la suite $(w_n)$ converge vers 0. Comme pour tout $n$, $u_n=w_n+40$, la suite $(u_n)$ converge vers 40.  
\item Pour tout $n$, $v_n=120 - u_n$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, donc la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers 40 et, pour tout $n$, $v_n = 120 - u_n$, donc la suite $\left(v_n\right)$ est convergente vers $120-40=80$. 

\end{list}

\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
Entrée :		&$n$ et $u$ sont des nombres\\
Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\
				&$u$ prend la valeur $90$\\
Traitement :	&Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\
				&\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
				&\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Que fait cet algorithme ?
Dans cet algorithme, la variable $u$, initialisée à 90, représente le terme $u_n$, et $120-u$ représente donc $v_n$.

On sort de la boucle \og tant que\fg{} dès que $u<120-u$ c'est-à-dire dès que $u_n <v_n$; l'algorithme affiche donc la plus petite valeur $n$ pour laquelle $u_n<v_n$.

C'est la plus petite valeur de $n$ pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.
		\item% Quelle valeur affiche-t-il ?
D'après le tableur, $u_5>v_5$ et $u_6<v_6$ donc la valeur affichée sera 6.				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité\hfill 5 points}

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville;
\item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$;
\item[$\bullet~~$]$C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010+n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, 
$U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$.
D'après le texte:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
R_{n+1} & 0,9 R_n + 0,05 C_n\\
C_{n+1} & 0,1 R_n + 0,95 C_n
\end{array}
\right. $
ce qui s'écrit sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix}
R_{n+1} \\ C_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,05\\
0,1 & 0,95
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
R_{n} \\ C_{n}
\end{pmatrix}$
ou encore
$U_{n+1} = MU_n$		
		\item% Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
$U_0=
\begin{pmatrix}
R_0 \\ C_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
90 \\ 30
\end{pmatrix}
$
donc 
$U_1= MU_0 =
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,05\\
0,1 & 0,95
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
90 \\ 30
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,9\times 90 + 0,05\times 30\\
0,1\times 90 + 0,95\times 30
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
82,5 \\ 37,5
\end{pmatrix}
$

Donc il y a $87,5$ millions de ruraux et $37,5$ de citadins en 2011.

	\end{enumerate}
\item% Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
D'après le cours, on sait que si, pour tout $n\pg 0$, $U_{n+1}=MU_n$ alors $U_n=M^nU_0$.

\emph{La démonstration par récurrence de cette propriété a été faite plusieurs fois au cours de l'année; elle peut donc être considérée comme faisant partie du cours.}
\item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$.
Soit $P'$ la matrice
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\[7pt]
\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}$;
on remarque que $P'=\dfrac{1}{3}P$.

$P\times P
= \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\times 1 + 1\times 2 & 2\times 1 + (-1)\times 2\\
1\times 1 + 1\times (-1) & 2\times 1 + (-1)\times (-1) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix} = 3I$
où $I$ est la matrice identité d'ordre 2:
$I= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$.

On en déduit que:
$P\times P' = P \times \dfrac{1}{3}P = \dfrac{1}{3}P\times P =
\dfrac{1}{3}\times 3I = I$
et que:
$P'\times P = \dfrac{1}{3}P \times P = 
\dfrac{1}{3}\times 3I = I$

Donc la matrice $P'$ est l'inverse de la matrice $P$; on l'appelle alors $P^{-1}$.

% Montrer que la matrice \renewcommand\arraystretch{1.9}$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $\Delta = P^{-1}MP$. 
À l'aide de la calculatrice, on trouve 
$\Delta=		
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 0,85
\end{pmatrix}$				
		\item% Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
On utilise les propriétés de la matrice identité et l'associativité du produit des matrices:

$\Delta = P^{-1}MP 
\iff 
P \Delta = P (P^{-1}MP)
\iff
P \Delta = (PP^{-1})MP
\iff
P \Delta = IMP
\iff
P \Delta = MP\\
\phantom{\Delta = P^{-1}MP}
\iff
(P\Delta) P^{-1} = (MP)P^{-1}
\iff
P\Delta P^{-1} = M(PP^{-1})
\iff
P\Delta P^{-1} = MI\\
\phantom{\Delta = P^{-1}MP}
\iff
P\Delta P^{-1} = M\\
\phantom{\Delta = P^{-1}MP}
\iff
M=P\Delta P^{-1}
$
		\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul:
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = P\Delta^nP^{-1}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \emph{Initialisation} : pour $n = 1$: $M^n=M$ et $P\Delta^nP^{-1} = P\Delta P^{-1}=M$ (vu à la question précédente).

Donc la propriété est vraie au rang 1.

\item \emph{Hérédité} : on suppose la propriété vraie au rang $p\pg 1$, \: $p \in \N$ quelconque c'est à dire
$M^p = P\Delta^p P^{-1}$

$M^{p+1} = M^p \times M = P\Delta^p P^{-1} \times P\Delta P^{-1}
= P\Delta^p (P^{-1}P)\Delta P^{-1}
= P\Delta^p \Delta P^{-1}
= P\Delta^{p+1} P^{-1}$

La propriété est donc démontrée au rang $p+1$.

\item La propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire. 

D'après le principe de récurrence, on a donc démontré que pour tout $n \in \N$, \: $M^n = P\Delta^n P^{-1}$.

\end{list}			
		
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On admet que:
$M^n = 
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\[8pt]
\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n
\end{pmatrix}$.

%En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $R_n = 50 \times  0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.

Pour tout $n\pg 1$, $U_n=M^nU_0$ donc

$\begin{pmatrix}
R_n \\ C_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\[8pt]
\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
90 \\ 30
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\left (\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n\right ) \times 90 +\left (\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\right )\times 30\\[8pt]
\left (\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n\right )\times 90 +\left ( \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\right )\times 30
\end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix}
R_n \\ C_n
\end{pmatrix}}
=
\begin{pmatrix}
30 + 60 \times 0,85^n +10 - 10 \times 0,85^n\\[8pt]
60 - 60 \times 0,85^n +20 + 10 \times 0,85^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
40 + 50 \times 0,85^n\\[8pt]
80 - 50 \times 0,85^n
\end{pmatrix}
$

Donc $R_n=40 + 50 \times 0,85^n$ et $C_n=80 - 50 \times 0,85^n$
		\item% Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$  lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
La suite $\left(0,85^n\right)$ est géométrique de raison $0,85$; or $-1<0,85<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,85^n=0$ et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 50\times 0,85^n=0$

On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} R_n = 40$ et $\ds\lim_{n\to +\infty} C_n = 80$.
		
%Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante.

Voir l'algorithme donné en annexe. 
		
%Compléter l'algorithme donné en annexe  afin qu'il affiche le nombre
%d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
		\item On résout l'inéquation d'inconnue $n$, $50 \times  0,85^n + 40 < 80 - 50 \times  0,85^n$
		
$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
R_n < C_n & 50 \times  0,85^n + 40 < 80 - 50 \times  0,85^n & \\
 & 100 \times 0,85^n < 40 &\\
 & 0,85^n < 0,4 &\\
 & \ln\left (0,85^n\right ) < \ln 0,4 & \text{la fonction ln est croissante sur } \cg 0\,;\, +\infty\cd \\
 & n\times \ln 0,85 < \ln 0,4 & \text{propriété de la fonction ln}\\
 & n > \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85} & \text{car } \ln 0,85 < 0
\end{array}$

$\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85} \approx 5,6$ donc la valeur de $n$ donnée par l'algorithme est 6.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\centering Annexe}

\begin{center}

\textbf{Exercice 3 Partie C Question 1}

\textbf{(à compléter et à remettre avec la copie)}
 
\vspace{1cm}
 
\textbf{Courbe représentative de la fonction densité de la loi normale }\boldmath $\mathcal{N}\left(\mu~;~10^2\right)$\unboldmath
 
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.125cm,yunit=120cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {78}   \def\xmax {162}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\def\m{119}% moyenne 
\def\s{10}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{160}
\psplot[plotpoints=5000]{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\multido{\n=10+5}{31}
{\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot[plotpoints=5000]{80}{110}{\f}
\psline(110,0)(80,0)
}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm} 

\textbf{Exercice 4 Spécialité }

\textbf{Question 6}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
Entrée :		&$n$, \:$R$ et $C$ sont des nombres\\
Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\
				&$R$prend la valeur $90$\\
				&$C$ prend la valeur $30$\\
Traitement :	&Tant que $\red R \pg C$ faire\\
				&\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $\red n+1$\\
				&\hspace{0.75cm}$R$ prend la valeur $50 \times 0,85^n + 40$\\
				&\hspace{0.75cm}$C$ prend la valeur $\red 80-50 \times 0,85^n$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\end{document}