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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S~\decofourright\\ Antilles-Guyane 16 juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Figure:
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,runit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,4.99)

\pscircle[linecolor=lightgray](0,1){3.60555127546}
\psline[linecolor=orange](-3,-1)(-2,4)(3,-1)(-3,-1)
\psplot[linecolor=cyan]{-4}{4}{(--2--1*x)/2}
\psline[linecolor=magenta](-2.5,-0.5)(-2,0)(0.5,1.5)(0,1)(-2.5,-0.5)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-1)
\uput[-135](-3,-1){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,4)
\uput[90](-2,4){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,-1)
\uput[-45](3,-1){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,0)
\uput[135](-2,0){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,1)
\uput[-45](0,1){\blue{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.67,0.67)
\uput[-45](-0.666,.666){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2.5,-0.5)
\uput[-45](-2.5,-0.5){\blue{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.5,1.5)
\uput[45](0.5,1.5){\blue{$A'$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $JA=\left\vert j-a\right\vert=\left\vert -3-2\text{i}\right\vert=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$. On trouve de même que 

$JB=\sqrt{13}$ et que $JC = \sqrt{13}$. Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ a donc pour centre $J$ et pour rayon $\sqrt{13}$.  
\item On a: $\dfrac{b-c}{h-a}=\dfrac{-5+5\text{i}}{1+\text{i}}=\dfrac{(-5 + 5\text{i})(1- 
\text{i})}{2}=5\text{i}$. \\
Par conséquent: $\left(\vect{AH}~;~\vect{CB}\right)=\arg(5\text{i})=\dfrac\pi2~(2\pi)$, ce qui prouve que 

$(AH) \perp (BC)$.
\item $G$ est l'isobarycentre du système $\left\{A~;~B;~C\right\}$ donc, d'après le cours : 

\[g=\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{-3-i-2+4\text{i}+3-\text{i}}{3}=-\dfrac23+\dfrac23\text{i}.\] 

\item Le vecteur $\vect{HJ}$ a pour affixe $j-h = 2 + \text{i}$, le vecteur $\vect{JG}$ a pour affixe

$g - j= -\dfrac23-\dfrac13\text{i}$. On a donc $g - j=-\dfrac13(j - h)$ c'est-à-dire $\vect{JG}=-\dfrac13\vect{HJ}$. Ces deux vecteurs étant colinéaires, les points $J$, $G$ et $H$ sont donc alignés, ce qui se vérifie sur la figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Notons $k$ l'affixe du point $K$, alors: $k=\dfrac{a+h}{2}=\dfrac{-3-\text{i}-2}{2}=-\dfrac52-\dfrac12\text{i}$.
		\item Le vecteur $\vect{KH}$ a pour affixe $h - k = \dfrac12+\dfrac12\text{i}$ et le vecteur $\vect{JA'}$ a pour affixe $a'- j =\dfrac12+\dfrac12\text{i}$. Ces deux vecteurs ayant même affixe, ils sont égaux, et le quadrilatère $KHA'J$ est donc un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \begin{itemize}
		\item Il n'y a aucune forme indéterminée, d'après les limites usuelles : 
		
$\displaystyle\lim_{x\to  +\infty}x\e^x = +\infty$, donc par somme: $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$.
		\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout réel $x>0$: $f^{\prime}(x)=\e^x+x\e^x=(x+1)\e^x$. Comme $x\geqslant 0$ et $\e^x>0$, alors $f^{\prime}(x)\geqslant 0$ et la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{itemize}
		\item La fonction $f$ est continue (car dérivable), strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$. Elle réalise donc une bijection de $[0~;~+~\infty[$ sur l'intervalle $\left[f(0)~;~\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\right[=[-1~;~+\infty[$. Comme $0\in[-1~;~+\infty[$, l'équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution $\alpha$ dans $[0~;~+\infty[$.
		
À l'aide de la calculatrice $\alpha\simeq \np{0,57}$ à $10^{-2}$ près.
		\item $f(\alpha)=0$ et $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, on en déduit donc que:
	\begin{itemize}
		\item si $0\leqslant x<\alpha$, alors $f(x)<0$;
		\item si $x>\alpha$, alors $f(x)>0$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x>0$, on a $M(x~;~\e^x)$ et $N(x~;~\ln x)$. On a donc $MN=\left\vert \e^x-\ln x\right\vert=\e^x-\ln x$, d'après le rappel de l'énoncé. Posons $g(x)=\e^x-\ln x$, alors $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et pour tout $x>0$, $g'(x)=\e^x-\dfrac1x$. On a donc, pour tout $x>0$: 
\[
g'(x)>0\Leftrightarrow \e^x-\dfrac1x>0\Leftrightarrow x\e^x-1>0\Leftrightarrow f(x)=0\Leftrightarrow x>\alpha.
\]
Ainsi, $g$ est strictement croissante sur $]\alpha~;~+\infty[$ et décroissante sur $]0~;~\alpha[$. Elle admet donc un minimum en $x=\alpha$. La distance $MN$ est donc minimale lorsque $x=\alpha$ et cette longueur minimale vaut alors $\e^\alpha-\ln(\alpha)\simeq \np{2,33}$ à $10^{-2}$ près.
		\item On a $f(\alpha)=0$, donc $\alpha\e^\alpha-1=0$, d'où $\e^\alpha=\dfrac{1}{\alpha}$.
		
La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\alpha$ a pour coefficient directeur le nombre dérivé de $\exp$ en $\alpha$, c'est-à-dire $\e^\alpha$.

La tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse $\alpha$ a pour coefficient directeur le nombre dérivé de $\ln$ en $\alpha$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{\alpha}$.

D'après ce qui précède, ces deux valeurs sont égales; les deux tangentes ayant le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $h$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout $x>0$: $h'(x)=x\times\dfrac1x+1\times\ln x-1=\ln x$. $h$ est donc une primitive de la fonction $\ln$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Gamma$, donc, l'aire $\mathcal{A}$ hachurée sur la figure est donnée (en unités d'aire) par:
\[
\mathcal{A}=\int_1^2\e^x-\ln x\text{d}x=\left[\e^x-h(x)\right]_1^2=\e^2-\e-2\ln 2+1\simeq\np{4,28}.
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'évènement \og le tireur atteint la cible au moins une fois \fg{} est le contraire de l'évènement \og le tireur rate toujours sa cible \fg{}. On a donc $p_n=1-\np{0,7}^n$. Par conséquent:


$p_n\geqslant\np{0,9}
\iff
1-\np{0,7}^n\geqslant\np{0,9}
\iff
\np{0,1}\geqslant \np{0,7}^n
\iff
\ln(\np{0,1})\geqslant n\ln(\np{0,7})
\iff \dfrac{\ln(\np{0,1})}{\ln(\np{0,7})}\leqslant n.$

Or $\dfrac{\ln(\np{0,1})}{\ln(\np{0,7})}\simeq\np{6,4}$. La plus petite valeur possible de $n$ est donc $7$: \textbf{réponse b)}.

\item La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de \np{10000} heures est:
\(
p(X>\np{10000})=1-p(X\leqslant \np{10000})=\displaystyle1-\int_0^{\np{10000}}\lambda \e^{-\lambda x}\text{d}x=1-\left[-\e^{-\lambda x}\right]_0^{\np{10000}}=\e^{-\np{0,0002}\times\np{10000}}=\e^{-2}\simeq\np{0,135}
\):
\textbf{réponse b)}.
\item Le nombre $X$ de fois où le joueur perd au cours d'une partie suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~,~\frac16)$, donc:
\(
p(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^2=\dfrac{125}{\np{3888}}:
\)
\textbf{réponse a)}.

\item $A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(A\cap B)=p(A)p(B)$. 

L'égalité $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ devient donc :

$\np{0,65}=\np{0,3}+p(B)-\np{0,3}p(B)$, qui équivaut à $\np{0,35}=\np{0,7}p(B)$, d'où $p(B)=\np{0,5}$: \textbf{réponse a)}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les entiers 11 et 7 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Bézout, il existe un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $11u-7v=1$.
Par ailleurs $11\times 2-7\times 3=1$, le couple $(2~;~3)$ répond alors à la question.
		\item On a, en multipliant chaque membre de la dernière égalité par 5,

 $11\times 10-7\times 15=5$. Le couple $(10~;~15)$ est donc une solution particulière de (E).
\item Soit $(x~;~y)$ une solution de (E), alors $11x-7y=11\times 10-7\times 15$, d'où: 
\begin{equation}
11(x-10)=7(y-15).
\end{equation}
7 divise $11(x-10)$ et est premier avec 11, donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $x-10$: il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x-10=7k$. En remplaçant $x-10$ par $7k$ dans (1), puis en simplifiant, on en déduit que $y-15=11k$.
Ainsi, si $(x~;~y)$ est solution de (E), alors nécessairement $(x~;~y)$ est de la forme $(10+7k~;~15+11k)$ avec $k\in\Z$. Réciproquement, on vérifie aisément que de tels couples sont bien solutions de (E).
		\item Un point de $D$ à coordonnées entières appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{l}x\in\Z~;~y\in\Z\\ 11x-7y=5\\ 0\leqslant x\leqslant 50~;~0\leqslant y\leqslant 50\end{array}\right.$
		
$\left\{
\begin{array}{l}
(x~;~y)\text{ solution de (E)}\\
0\leqslant x\leqslant 50~;~0\leqslant y\leqslant 50
\end{array}
\right.$
On cherche donc tous les entiers relatifs $k$ tels que $0\leqslant 10+7k\leqslant 50$ et $0\leqslant 15+11k\leqslant 50$, ce qui équivaut à $-\dfrac{10}{7}\leqslant k\leqslant \dfrac{50}{7}$ et $-\dfrac{15}{11}\leqslant k\leqslant\dfrac{35}{11}$. Les seules valeurs possibles de $k$ sont $-1$, $0$, $1$, $2$ et $3$. Il y a donc cinq points de $\mathcal{C}$ donc les coordonnées sont entières:
\[
A(3~;~4)\quad
B(10~;~15)\quad
C(17~;~26)\quad
D(24~;~37)\quad
E(31~;~48).
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $11\equiv 1~(5)$, $7\equiv 2~(5)$ et $5\equiv 0~(5)$, par conséquent, si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), en \og passant\fg{} aux congruences:
$11x^2-7y^2=5$ devient $x^2-2y^2\equiv 0~(5)$, c'est-à-dire $x^2\equiv 2y^2~(5)$.
		\item On calcule aisément:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, $x^2$ est congru à &0&1&4&4&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, $2y^2$ est congru à &0&2&3&3&2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ par 5 sont donc 0, 1 et 4. De même, les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $2y^2$ par 5 sont 0, 2 et 3.
\item Si $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2~(5)$ ce qui n'est possible, d'après les tableaux précédents, que si $x\equiv 0~(5)$ et $y\equiv 0~(5)$, c'est-à-dire si $x$ et $y$ sont des multiples de 5.
	\end{enumerate}
\item Supposons que $x$ et $y$ sont deux entiers multiples de 5. Alors il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $x=5a$ et $y=5b$. En \og réinjectant\fg{} cela dans l'équation (F) on a alors: $11\times 25a^2-7\times 25b^2=5$, c'est-à-dire $25(11a^2-7b^2)=5$, ce qui est impossible (5 n'est pas multiple de 25~!). L'équation (F) ne possède donc aucune solution.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\vect{u}\cdot\vect{w}=1\times 1-3\times 0+1\times (-1)=0$, donc $\vect{u}\perp\vect{w}$. La droite $\Delta$ est dirigée par le vecteur $\vect{u'}(-1~;~1;~-1)$ et $\vect{u'}\cdot\vect{w}=0$, donc $\vect{u'}\perp\vect{w}$. Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{u'}$ dirigent respectivement $D$ et $D'$ et sont orthogonaux à $\vect{w}$ qui est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{n}\cdot\vect{u}=3-6+3=0$ donc $\vect{n}\perp\vect{u}$; de même, $\vect{n}\cdot\vect{w}=3-3=0$ donc $\vect{n}\perp\vect{w}$. Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$ n'étant pas pas colinéaires, ils forment une base du plan $P$, et le vecteur $\vect{n}$ est donc normal à ce plan.
		\item $P$ a pour vecteur normal $\vect{n}(3~;~2~;~3)$. Une équation cartésienne de $P$ est donc: 
$3x+2y+3z+d=0$, où $d$ est un réel à déterminer. Comme $A(3~;~-4~;~1)\in P$, on a:
$3\times 3+2\times(-4)+3\times 1+d=0$, d'où $d=-4$. Une équation cartésienne de $P$ est donc: $3x+4y+3z-4=0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $H'$ est un point de $D'$, il existe donc un réel $t$ tel que $H'(-1-t~;~2+t~;~1-t)$. Par ailleurs $H'\in P$, donc $3(-1-t)+4(2+t)+3(1-t)-4=0$, d'où, en développant, $-4t=0$ puis $t=0$, ce qui donne $H'(-1~;~2~;~1)$.
		\item La droite $\Delta$ passe par $H'(-1~;~2~;1)$ et est dirigée par $\vect{w}(1~;~0~;~-1)$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&- 1 + s\\
y&=&\phantom{-}2\qquad (s\in\R)\\
z&=&\phantom{-}1-s
\end{array}
\right.
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $H\in D$, donc il existe $\lambda\in\R$ tel que $\vect{AH}=\lambda\vect{u}$, d'où l'on déduit $H(3+\lambda~;~-4-3\lambda~;~1+\lambda)$. De plus  $H$ est un point commun aux droites $D$ et $\Delta$, il existe donc une valeur de $s$ et une valeur de $\lambda$ telles que:
\[
\left\{
\begin{array}{rcr}
-1+s&=&3 + \lambda\\
2&=&- 4 - 3\lambda\\
1-s&=&1 + \lambda
\end{array}
\right.
\]
L'équation du milieu donne $\lambda=-2$ et les deux autres donnent alors $s=2$; on en déduit que $H(1~;~2~;~-1)$.
		\item $HH'=\sqrt{(-1-1)^2+(2-2)^2+(1+1)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la relation de Chasles, $\vect{MM'}=\vect{MH}+\vect{HH'}+\vect{H'M'}$. Posons 
		
$\vect{v}=\vect{MH}+\vect{H'M'}$, alors $\vect{v}\cdot\vect{HH'}$ car $(MH)\perp(HH')$ et $(H'M')\perp(HH')$.
		\item $\vect{MM'}=\vect{HH'}+\vect{v}$, donc $\left(\vect{MM'}\right)^2=\left(\vect{HH'}\right)^2+2\vect{HH'}\cdot\vect{v}+\vect{v}^2$, comme $\vect{HH'}\cdot\vect{v}=0$, il reste $MM'=HH'^2+\left\vert\left\vert\vect{v}\right\vert\right\vert^2$, d'où: $MM'^2\geqslant HH'^2$.
\\
La plus petite distance possible entre deux points de $D$ et de $D'$ est donc obtenue pour les points $H$ et $H'$. La distance entre les droites $D$ et $D'$ est donc égale à $2\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}