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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\newcommand\alert[1]{{\magenta #1}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Baccalauréat S - 9 septembre 2019 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{9 septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S~\decofourright\\[5pt]Antilles-Guyane 9 septembre 2019}}
\end{center}

%\def\labelitemi{$\bullet$}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\bigskip
%
%\emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :
un panier de petite taille, un panier de taille moyenne, et un panier de grande taille.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'association envisage de proposer en outre des livraisons d'œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.

On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A$ : \og l'adhérent choisit un panier de petite taille \fg{} ;
\item $B$ : \og l'adhérent choisit un panier de taille moyenne \fg{} ;
\item $C$ : \og l'adhérent choisit un panier de grande taille \fg{} ;
\item $F$ : \og l'adhérent est intéressé par une livraison d'œufs frais \fg.
\end{list}

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l'arbre ci-dessous:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$} \ncput*{$\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$F$} \ncput*{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{F}$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$} \ncput*{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{$F$} \ncput*{$\frac{3}{5}$}
	\TR{$\overline{F}$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C$}}
	{\TR{$F$} 
	\TR{$\overline{F}$}
	}
}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l'arbre.
	\begin{enumerate}
		\item \og L'adhérent choisit un panier de petite taille et est intéressé par une livraison d'œufs frais.\fg{} est l'événement $A\cap F$:
$P(A\cap F) = P(A)\times P_{A}(F) = \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$.

		\item $P\left(B \cap \overline{F}\right) = P (B) \times P_{B}\left (\overline{B}\right ) = P (B) \times \left (1-P_{B}\left ({B}\right )\right ) = \dfrac{1}{4}\times\left (1-\dfrac{3}{5}\right ) = \dfrac{1}{10}$
		
La probabilité que l'adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu'il ne soit pas intéressé par une livraison d'\oe ufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
				 
		\item La livraison d'œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l'évènement $F$ est supérieure à $0,6$. %Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
		
D'après la formule des probabilités totales,

$P(F) = P(A\cap F) + P(B\cap F) + P(C\cap F) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5} + P(C\cap F) = 0,65+ P(C\cap F) \geqslant 0,65$

Donc $P(F) \geqslant 0,65$, donc la livraison d'œufs frais sera mise en place.
	\end{enumerate}

\item Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
	\begin{enumerate}
		\item $P_C(F) = \dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}$%, est égale à $0,3$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $P(C\cap F) = P(F) - \left (P(A\cap F) + P(B\cap F)\right ) = 0,675 - 0,65 =0,025$
\item $P(C) = 1-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$ 
\end{list}		
		
$P_C(F) = \dfrac{P(F\cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,025}{\frac{1}{12}} = 12\times 0,025 = 0,3$
		
		\item L'adhérent interrogé est intéressé par la livraison d'œufs frais.
La probabilité qu'il ait choisi un panier de grande taille est 
$P_{F}(C)=\dfrac{P(C\cap F)}{P(F)} = \dfrac{0,025}{0,675} \approx 0,04$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La masse, en gramme, d'un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d'espérance \np{5000} et d'écart-type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$~kg.

On choisit au hasard un panier de grande taille.

La probabilité qu'il soit non conforme est
$P(X < \np{4500})$ qui, arrondie au centième, donne $0,12$.  

\item  Les responsables de l'association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d'un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$, suivant une loi normale d'espérance \np{5000} et d'écart-type $\sigma$. La probabilité qu'un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.

%Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'unité. 
On a donc $P(Y<\np{4500}) = 0,04$.

Soit $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma} = \dfrac{Y-\np{5000}}{\sigma}$. 

D'après le cours, la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

$Y<\np{4500} \iff Y-\np{5000} < -500 \iff \dfrac{Y- \np{5000}}{\sigma} < \dfrac{-500}{\sigma}$

Donc $P(Y<\np{4500}) = 0,04$ équivaut à $P\left ( Z < \dfrac{-500}{\sigma} \right ) = 0,04$; à la calculatrice on trouve\\
$\dfrac{-500}{\sigma} \approx \np{-1,75069}$ ce qui donne $\sigma \approx 286$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.

Lors d'une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88$\,\% des adhérents de ces associations sont satisfaits; la proportion d'adhérents satisfaits est donc supposée être de $p=0,88$.

Un auditeur intervient dans l'émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l'appui de son propos, l'auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.

%La contestation de l'auditeur est-elle fondée ?

On va teste l'hypothèse $p=0,88$ sur un échantillon de taille $n=120$.

\smallskip

$n=120\geqslant 30$, $np= 105,6 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 14,4$ donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.

$I
= \left [ p- 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;\, p+ 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]
= \left [ 0,88- 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,88\times 0,12}}{\sqrt{120}}~;\,  0,88+ 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,88\times 0,12}}{\sqrt{120}} \right ]\\[7pt]
\phantom{I}
\approx \left [ 0,822~;\, 0,938\strut \right ]$

\smallskip

La proportion d'adhérents satisfaits dans l'échantillon de taille 120 est $f=\dfrac{100}{120} \approx 0,833$.

$f\in I$ donc la contestation de l'auditeur n'est pas fondée.

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A(10~;~0~;~1), B(1~;~7~;~1) et C(0~;~0~;~5).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
%\psgrid
\psline{->}(1,3.7)(1,10)\uput[l](1,9.9){$z$}
\psline{->}(0,3.85)(11,5.5)\uput[d](11,5.5){$y$}
\psline{->}(0.8,4.2)(6,0)\uput[u](6,0){$x$}
\psdots(1,4)(1,9)(1,6.5)(4,3)(7,5.5)(2.5,6)(4,7.25)%OCDABFE
\uput[dl](1,4){O} \uput[l](1,9){C} \uput[l](1,6.5){D} 
\uput[dr](4,3){A} \uput[r](7,5.5){B} \uput[dl](2.5,6){F}\uput[ur](4,7.25){E}
\pspolygon(1,4)(4,3)(7,5.5)(1,9)%OABC
\psline(1,9)(4,3)%CA
\psline(1,6.5)(2.5,6)(4,7.25)%DFE
\psline[linestyle=dashed](1,4)(7,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1,6.5)(4,7.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\vectt{OA}\,(10~;~0~;~1)$ et $\vectt{OB}\,(1~;~7~;~1)$ donc $\vectt{OA}.\vectt{OB} = 10\times 1 + 0\times 7 + 1\times 1 = 11 \neq 0$ donc	les vecteurs $\vectt{OA}$ et $\vectt{OB}$ ne sont pas orthogonaux, donc	les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires. 
		
		\item %Déterminer la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondie au dixième.
$\vectt{OA}.\vectt{OB} = \text{OA}\times \text{OB}\times \cos \widehat{\text{AOB}}$ donc $\cos \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\vectt{OA}.\vectt{OB}}{\text{OA}\times \text{OB}}$

Or $\text{OA} = \ds\sqrt{10^2+0^2+1^2}=\sqrt{101}$
et $\text{OB} = \ds\sqrt{1^2+7^2+1^2} = \sqrt{51}$.
	
Donc $\cos \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{11}{\ds\sqrt{101}\times \sqrt{51}}$; on en déduit que la mesure en degrés, arrondie au dixième de $\widehat{\text{AOB}}$ est 81.	
 	\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{Q}$ le plan d'équation $7x + 9y - 70z = 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $7x_{\text O} + 9y_{\text O} - 70z_{\text O} = 7\times 0 + 9 \times 0 - 70\times 0 = 0$ donc $\text O \in \mathcal{Q}$.
\item $7x_{\text A} + 9y_{\text A} - 70z_{\text A} = 7\times 10 + 9 \times 0 - 70\times 1 = 0$ donc $\text A \in \mathcal{Q}$.
\item $7x_{\text B} + 9y_{\text B} - 70z_{\text B} = 7\times 1 + 9 \times 7 - 70\times 1 = 0$ donc $\text B \in \mathcal{Q}$.
\end{list}

Le plan (OAB) a donc pour équation cartésienne $7x + 9y - 70z = 0$.

\item Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA), on cherche les coordonnées du vecteur $\vectt{OA}$:
ce vecteur a pour coordonnées $(10-0~;\, 0-0~;\, 1-5) = (10~;\, 0~;\, -4)$.

La droite (CA) a donc pour représentation paramétrique:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & 0 + 10k\\
y & 0 + 0k\\
z & 5 - 4k
\end{array}
\right .$
soit
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & \phantom{0 +} 10k\\
y & 0\\
z & 5 - 4k
\end{array}
\right .$ où $k\in\R$.

\item Soit D le milieu du segment [OC]. % Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ parallèle au plan (OAB) passant par D.
Les coordonnées de D sont donc $(0~; \, 0~;\, 2,5)$.

Tout plan parallèle au plan (OAC) d'équation $7x + 9y - 70z = 0$ a une équation de la forme \\
$7x + 9y - 70z +d=0$.

Le  plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan (OAB) passe par D donc le réel $d$ vérifie
$7x_{\text D} + 9y_{\text D} - 70z_{\text D} +d=0$ soit $7\times 0 + 9\times 0 - 70\times 2,5 + d = 0$, 
ce qui donne $d=175$.

Le plan $\mathcal{P}$ a donc pour équation $7x +9y -70z +175=0$. 

\item Le plan $\mathcal{P}$ coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F

%Déterminer les coordonnées du point F.

Les coordonnées de F vérifient à la fois l'équation de la droite (CA) et l'équation du plan $\mathcal{P}$, donc vérifient le système:
$\left \lbrace
\begin{array}{r !{=} l}
x & \phantom{5-}10k\\
y & 0 \\
z & 5 - 4k\\
7x +9y -70z +175 & 0
\end{array}
\right .$

Il s'agit donc de chercher le réel $k$ tel que $7\left (10k\right ) +9\left (0\right ) -70\left (5-4k\right ) + 175 = 0$,
autrement dit $k=\dfrac{1}{2}$.

Cela donne $x_{\text F} = 10\times \dfrac{1}{2}=5$, $y_{\text F} = 0$ et $z_{\text F} = 5-4\times \dfrac{1}{2} = 3$.

Le point F a pour coordonnées $(5~;\, 0~;\, 3)$.

On admet que le point E a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{7}{2}~;~3\right)$.

\item On va démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

$\vectt{EF}$ a pour coordonnées $\left( 5-\frac{1}{2}~;~0-\frac{7}{2}~;~3-3\right) = \left(\frac{9}{2}~;~-\frac{7}{2}~;~0\right)$.

$\vectt{AB}$ a pour coordonnées $\left(1-10~;~7-0~;~1-1\right) = \left(-9~;~7~;~0\right)$.

$\vectt{AB} = -2 \vectt{EF}$ donc les vecteurs $\vectt{EF}$ et   $\vectt{AB}$ sont colinéaires, donc les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par  $g(x) = 4x - x \ln x$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $g'$ sa dérivée.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Le graphique ci-contre représente une partie de la 
courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item il semble que la fonction $g$ soit positive ;
\item il semble que la fonction $g$ soit strictement croissante.
\end{list}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,10.5)
\psaxes(0,0)(-0.9,-0.9)(10.5,10.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,Dy=2]{0.001}{4}{4 x mul x x ln mul sub}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

L'objectif de cette partie est de valider ou d'invalider chacune de ces conjectures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \\
$g(x)=0 \iff 4x - x\ln x = 0 \iff x\left (4-\ln x\right ) = 0 \iff 4-\ln x = 0 \iff 4=\ln x \iff x=\e^{4}$.

\item Sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\\
$g(x)>0 \iff 4x - x\ln x > 0 \iff x\left (4-\ln x\right ) > 0 \iff 4-\ln x > 0 \iff 4>\ln x \iff x<\e^{4}$.

Donc $g(x)>0$ sur $]0~;~\e^{4}[$ et $g(x)<0$ sur $]\e^{4}~;~+\infty[$.

\item% Les conjectures de l'élève sont-elles vérifiées ?
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g(x)<0$ sur $]\e^{4}~;~+\infty[$ donc la première conjecture est fausse.
\item $g(1)=4>0$ et $g(\e^{4})=0$, donc $g(1)>g(\e^{4})$ alors que $1<\e^{4}$; donc la deuxième conjecture est fausse. 
\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on poursuit l'étude de la fonction $g$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{\ln t}{t} = 0$.

Pour calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x$, on pose $t=\dfrac{1}{x}$; donc $x \ln x = \dfrac{1}{t} \ln\left (\dfrac{1}{t}\right ) = -\dfrac{\ln(t)}{t}$.

$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} t = +\infty$; or
$\ds\lim_{t\to +\infty} -\dfrac{\ln t}{t} =0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.

		\item %Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
$\ds\lim_{x\to 0} 4x=0$ et $\ds\lim_{x\to 0} x \ln x=0$ donc $\ds\lim_{x\to 0} g(x) =0$ 		
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ strictement positif, 
		$g'(x) = 4\times 1 + 1\times \ln x - x \times \dfrac{1}{x} = 4 + \ln x -1 = 3 - \ln x$.
		
		\item Pour tout réel $x>0$,
		$g'(x)>0 \iff 3- \ln x >0 \iff 3>\ln x \iff x<\e^{3}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a vu que $\ds\lim_{x\to 0} g(x)=0$.
\item $g(\e^{3}) = 4\e^{3} - \e^{3} \ln\left (\e^{3}\right ) =  4\e^{3} - \e^{3}\times 3 =  \e^{3}$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty \implies \ds\lim_{x\to +\infty} 4- \ln x = - \infty \implies \ds\lim_{x\to +\infty} x\left (4-\ln x\right ) = -\infty \implies \ds\lim_{x\to +\infty} g(x)  = -\infty$
\end{list}
		
On dresse  le tableau de variations de la fonction $g$ sur $]0~;\,+\infty[$:
				
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \e^{3} & \esp & +\infty \\ 
\hline
g'(x) & \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\;\vline & &   \Rnode{max}{\e^{3}}  &  &   \\  
g(x) &\vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline\;\Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}
\item On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 
$G(x) = \dfrac{1}{4}x^2(9 - 2\ln x)$.

On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur $]0~;~ +\infty[$, $G'(x)=\dfrac{1}{4} 2x \times (9-2\ln x) + \dfrac{1}{4} x^2 \left ( -\dfrac{2}{x}\right )
		= \dfrac{9x}{2} - x \ln x - \dfrac{x}{2} = 4x - x \ln x = g(x)$ donc $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~;\, +\infty[$.
		\item On cherche si l'affirmation suivante est vraie:
		
\og Il n'existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à 1 tel que $\displaystyle\int_1^{\alpha} g(x) \d x = 0$. \fg

$\displaystyle\int_1^{\alpha} g(x) \d x = G(\alpha) - G(1)$ donc $\displaystyle\int_1^{\alpha} g(x) \d x = 0 \iff G(\alpha) - G(1) = 0
\iff G(\alpha) = G(1)$

$G(1) = \dfrac{1}{4}\times 1^2(9 - 2\ln 1) = \dfrac{9}{4}$

Il s'agit donc de savoir s'il existe un réel $\alpha >1$ tel que $G(\alpha) = \dfrac{9}{4}$.

Le fonction $G$ est dérivable donc continue, et a pour dérivée la fonction $g$ dont on connaît le signe: on sait que si $x>\e^{4}$, $g(x)<0$ donc la fonction $G$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left ] \e^{4}~;\, +\infty\right [$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty \implies
\ds\lim_{x\to +\infty} 9-2 \ln x = -\infty \implies
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{4} x^2 \left (9-2 \ln x\right ) = -\infty\\
 \implies \ds\lim_{x\to +\infty} G(x)=-\infty$
\item $G(\e^{4}) = \dfrac{1}{4} \left ( \e^{4} \right )^2 \left (9 - 2 \ln \left ( \e^{4}\right ) \right )
= \dfrac{1}{4} \e^{8} \left (9-8\right ) = \dfrac{\e^{8}}{4} >\dfrac{9}{4}$
\end{list}

La fonction $G$ est continue, strictement décroissante sur $\left ] \e^{4}~;\, +\infty\right [$; de plus $G(\e^{4}) > \dfrac{9}{4}$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} G(x) = - \infty$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $G(x)=\dfrac{9}{4}$ admet une solution unique sur $\left ] \e^{4}~;\, +\infty\right [$.

L'affirmation proposée est donc fausse.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
%
%\emph{Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte, une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par 
$p_n = n^2 - 42n + 4$.

\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.


\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$p_{22}=22^2 - 42\times 22 +4 = -436$ et
$p_{23}=23^2 - 42\times 23 +4 = -433$

$p_{22} < p_{23}$ donc la suite $(p_n)$ n'est pas décroissante.

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et 
$\left(v_n\right)$ définies par :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$ ;
\item $v_n = u_n^2 - 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Pour tout $n$, $v_n = u_n^2 - 1$ donc $u_n^2 =v_n+ 1$.

$v_{n+1}= u_{n+1}^2-1 = \left ( \dfrac{1}{3} \sqrt{u_n^2+8}\right )^2-1
= \dfrac{1}{9}\left (u_n^2+8\right )-1
= \dfrac{1}{9} u_n^2 + \dfrac{8}{9} - 1
= \dfrac{1}{9} \left ( v_n+1\right ) - \dfrac{1}{9}$

$\phantom{v_{n+1}}
= \dfrac{1}{9} v_n + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9}
= \dfrac{1}{9} v_n$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$,
$n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n$.

\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(w_n\right)$ converge.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Pour tout $n$ non nul,

$n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n
\iff
\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \leqslant w_n \leqslant \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}$
\smallskip

$\phantom{n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n}
\iff
\left (\dfrac{n}{n+1}\right )^2 \leqslant w_n \leqslant \dfrac{n^2+n}{n^2+2n +1}$
\smallskip

$\phantom{n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n}
\iff
\left ( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\right )^2 \leqslant w_n \leqslant \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+ \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}$

\smallskip

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = \lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$ donc
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left ( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\right )^2  = 1$
et
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+ \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}} = 1$.

\smallskip

D'après le théorème des gendarmes, on peut en déduire que 
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} w_n=1$. 

Donc la suite $(w_n)$ converge.

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}$.

\begin{enumerate}
\item $U_1 = \dfrac{2U_0}{1 + U_0} =  \dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}} =  \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$

\item On va démontrer par récurrence, pour tout entier naturel $n$, la propriété $\mathcal{P}_n$:
$U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $\dfrac{2^n}{1 + 2^n} = \dfrac{2^0}{1 + 2^0} = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2} = U_0$ donc la propriété est vraie au rang 0. 

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie pour un entier naturel $n$ quelconque; on va démontrer que la propriété est vraie au rang $n+1$.

$U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1+U_n} = \dfrac{2  \dfrac{2^n}{1 + 2^n}}{1+ \dfrac{2^n}{1 + 2^n}}
= \dfrac{2\times 2^n}{1+2^n} \times \dfrac{1+2^n}{1+2^n+2^n}
= \dfrac{2^{n+1}}{1+2\times 2^n}
= \dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n= \dfrac{2^n}{1+2^n}$.

\item On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d'exécution.

%Déterminer lequel en justifiant votre choix.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
\begin{tabular}{l}
$u\gets \dfrac{1}{2}$\\
$i \gets 0$\\
Tant que $i < n$\\
\hspace{1cm}$u\gets \dfrac{2u}{u+1}$\\
\hspace{1cm}$i \gets i + 1$\\
Fin Tant que\\
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l}
$u\gets \dfrac{1}{2}$\\
Pour $i$ allant de 0 à $n$\\
\hspace{1cm}$u\gets \dfrac{2u}{u+1}$\\
Fin Pour\\
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l}
$p \gets 2^n$\\
$u \gets \dfrac{p}{p + 1}$\\
\end{tabular}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans l'algorithme 2, le nombre $i$ varie entre 0 et $n$ donc prend $n+1$ valeurs; la valeur de $u$ en sortie est donc $U_{n+1}$.
L'algorithme 2 ne convient donc pas.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une ville possède deux ports maritimes:
un port de plaisance A, un port de commerce B.

Le port de plaisance A n'a pas d'accès direct à l'océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l'océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l'eau.
À l'instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.

Soit $n$ un entier naturel.
On admet que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu'elle y soit encore l'heure suivante est $\dfrac{3}{5}$ ;
\item quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu'elle soit dans le port A l'heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu'elle se trouve toujours dans le port B l'heure suivante est $\dfrac{1}{15}$ ;
\item le port A n'ayant pas d'accès direct à l'océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l'océan l'heure suivante;
\item une fois dans l'océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.
\end{list}

Soient les évènements :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A_n$ : \og la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures \fg{} ;
\item $B_n$ : \og la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures \fg{} ;
\item $C_n$ : \og la bouteille se trouve dans l'océan au bout de $n$ heures \fg.
\end{list}

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.

Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'arbre pondéré:
	
\begin{center}
%\bigskip
	\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,treesep=1.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A_n$}\ncput*{\blue $a_n$}}
	{%
	\TR{$A_{n+1}$}\ncput*{\blue $\frac{3}{5}$}%
	\TR{$B_{n+1}$}\ncput*{\blue $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$}%
	}%
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B_n$}\ncput*{\blue $b_n$}}
	{%
	\TR{$A_{n+1}$}\ncput*{\blue $\frac{1}{10}$}
	\TR{$B_{n+1}$}\ncput*{\blue $\frac{1}{15}$}
	\TR{$C_{n+1}$}\ncput*{\blue $1-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{5}{6}$}
	}%
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C_n$}\ncput*{\blue $c_n$}}
	{%
	\TR{$C_{n+1}$} \ncput*{\blue 1}%
	}%
}
\bigskip
	\end{center}	
		
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
%		
%		\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
%		a_{n+1} & \dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}b_n\\
%		b_{n+1} & \dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n
%		\end{array}\right.\]

D'après la formule des probabilités totales:

$a_{n+1}=P(A_{n+1}) = P(A_n \cap A_{n+1}) + P(B_n \cap A_{n+1})
= P(A_n) \times P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) \times P_{B_n}(A_{n+1}) \\
\phantom{a_{n+1}}
= a_n \times \dfrac{3}{5} + b_n \times \dfrac{1}{10}$

De même:

$b_{n+1}=P(B_{n+1}) = P(A_n \cap B_{n+1}) + P(B_n \cap B_{n+1})
= P(A_n) \times P_{A_n}(B_{n+1}) + P(B_n) \times P_{B_n}(B_{n+1}) \\
\phantom{b_{n+1}}
= a_n \times \dfrac{2}{5} + b_n \times \dfrac{1}{15}$
  
On a donc:  
		$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
		a_{n+1} & \dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}b_n\\
		b_{n+1} & \dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n
		\end{array}\right.$
\end{enumerate}
		
Soient les matrices suivantes :
$M = \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix}$ et $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{2}
		\item %Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$,\; $U_n = M^nU_0$.
Le système 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
		a_{n+1} & \dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}b_n\\
		b_{n+1} & \dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n
		\end{array}\right.$
s'écrit sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1}\end{pmatrix}		
=
\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{1}{10\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \\  \frac{2}{5} & \frac{1}{15}\end{pmatrix}				
\times
\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n}\end{pmatrix}	$
ou encore	
$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1}\end{pmatrix}		
=
\begin{pmatrix} \frac{18}{30} & \frac{3}{30\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \\  \frac{12}{30} & \frac{2}{30}\end{pmatrix}				
\times
\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n}\end{pmatrix}	$
c'est-à-dire
$U_{n+1} = M U_n$.

\smallskip

On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=M^nU_0$..

Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $U_n=M^nU_0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $M^0=I_2$ la matrice unité d'ordre 2 et on a $I_2 U_0=U_0$.

Donc la propriété est vraie au rang 0.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie pour un $n$ entier naturel quelconque; on va démonter qu'elle est vraie au rang $n+1$.

$\mathcal{P}_n$ est vraie, ce qui signifie que $U_n=M^nU_0$.

$U_{n+1}= MU_n = M\times M^nU_0 = M^{n+1}U_0$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ entier naturel. 
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=M^n U_0$.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le texte,  $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$, donc 
		$U_0 = \begin{pmatrix} a_0\\b_0	\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0	\end{pmatrix}$.
		
		\item% Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l'un des coefficients et en déduire qu'il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
$M^2 = 
\dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix} \times
\dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{900} \begin{pmatrix}18\times 18 + 3\times 12 &18\times 3 + 3\times 2\\
                                                      12\times 18 + 2 \times 12& 12 \times 3 + 2\times 2 \end{pmatrix}
= \dfrac{1}{900} \begin{pmatrix}360 & 60\\ 240 & 40 \end{pmatrix}\\
\phantom{M^2}
= \dfrac{1}{45} \begin{pmatrix}18 & 3\\ 12 & 2 \end{pmatrix}
= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18 & 3\\ 12 & 2 \end{pmatrix}
= \dfrac{2}{3} M$

		\item  On démontre par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif,
$M^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=1$, $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M = M^1$ donc la propriété est vraie. 

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie pour $n$ entier quelconque non nul, c'est-à-dire $M^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M$.

$M^{n+1} = M^n \times M = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M \times M 
= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M^2
= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{2}{3} M
= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} M$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$; d'après le principe de récurrence, elle est donc vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{list}
		
On a donc démontré que, pour tout entier naturel non nul, $M^n = 	\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M$.	
		
		\item  Pour tout entier $n$ strictement positif,
		
	$U_n=M^n U = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M U 
	=  \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}
	= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18\\12 \end{pmatrix}
	= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \begin{pmatrix}\frac{3}{5\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}\\\frac{2}{5} \end{pmatrix}\\
	\phantom{U_n}
    =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\
\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$.
On en déduit que
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n & \dfrac{3}{5\rule[-8pt]{0pt}{0pt}}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\
b_n & \dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}
\end{array}
\right .$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $n$ un entier strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la bouteille soit dans l'océan au bout de $n$  heures est égale à 
		
$c_n = 1-a_n-b_n = 1- \dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} - \dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} 
= 1- \left (\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\right )\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}
= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.

		\item  On considère l'algorithme ci-dessous :
		
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{X}%\hline
$n\gets 1$\\
Tant que $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} < 0,9$\\
\hspace{0.8cm}$n \gets n+1$\\
Fin  Tant que\\%\hline
\end{tabularx}}
\end{center}

Pour $n=6$, on a $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \approx 0,87< 0,9$
et pour $n=7$, on a $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \approx 0,91> 0,9$
donc le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution est 7.

%Interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.
Donc au bout de 7 heures, la probabilité que la bouteille se trouve dans l'océan est strictement supérieure à $0,9$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}