\documentclass[10p,leqno]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx,array}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{multirow}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tikz,tkz-tab}
\usepackage{amssymb}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Catherine Dubois
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\def\e{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand\alert[1]{{\magenta #1}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%% commandes personnelles 
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow} 
\newcommand{\SSI}{{\blue~~\Longleftrightarrow~}}
%\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\ }}
\newcommand{\norme}[1]{\left\|{\vect{#1}}\right\|}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|{#1}\right\|}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1\right\vert}
\newcommand{\Abs}[1]{\\left\vert #1\right\vert}
\newcommand{\limi}[2]{\lim\limits_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limg}[2]{\lim\limits_{\underset{\scriptstyle #1<#2}{\scriptstyle 
#1\rightarrow #2}}}
\newcommand{\limd}[2]{\lim\limits_{\underset{\scriptstyle #1>#2}{\scriptstyle 
#1\rightarrow #2}}}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}}
\newcommand{\integrale}[4]{\int_{#3}^{#4}#1\,\dx#2} 
\newcommand{\Integrale}[4]{\displaystyle\int_{#3}^{#4}#1\,\dx#2} 
\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Baccalauréat S - 9 septembre 2020 },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\labelitemi}{$\blacktriangleright$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemiii}{$\star$}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat S}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{9 septembre 2020 }}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2020 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\smallskip
\textbf{Partie A}

\smallskip

%Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture. 

%Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l'emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.
\begin{enumerate}
\item
On traduit cette situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant:
\vspace{0,2cm}
\begin{center}
		
		\pstree[treemode=R,nodesep=0pt,nodesepB=1.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~} \taput{0,55}}
	{\TR{$S$} \taput{0,7}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~} \tbput{ 0,45}}
	{\TR{$S$} \taput{0,24}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{ 0,76}
	}
}
\end{center}

\item  En utilisant l'arbre pondéré précédent, on obtient :

$P(M \cap S)=0,55\times0,7\approx0,385$. 

La probabilité que Louise emmène Zoé le matin et qu'elle la ramène le soir est à peu près égale à 0,385.

\item $P(S)= P(M \cap S)+ P(M \cap \overline{S})=0,385+0,45\times0,24\approx 0,493$.
\item Il s'agit de calculer $P_S(M)$.

$P_S(M)=\dfrac{P(M \cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,385}{0,493}\approx0,781$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

$X$ qui suit la loi normale d'espérance $28$ et d'écart-type $5$.

\smallskip
En utilisant la calculatrice, on obtient les résultats suivants:
\begin{enumerate}

\item  $P(X \leqslant 25)\approx0,274$.
\item $P(18\leqslant X \leqslant  38)\approx0,954$.
\item $P(X \geqslant d) = 0,1$, on obtient $d\approx34$. 

La durée du trajet (arrondie à la minute), telle que $P(X \geqslant d) = 0,1$ est de 34 minutes.
\item $Y$ suit la loi normale d'espérance $26$ et d'écart-type $\sigma$ alors $Z=\dfrac{Y-26}{\sigma}$ suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart type 1.


On sait que $P(Y \geqslant   30) = 0,1$.

$P(Y \geqslant 30) = 0,1 \Longleftrightarrow P(Y-26 \geqslant 30-26) = 0,1\Longleftrightarrow P\left( \dfrac{Y-26}{\sigma}\geqslant \dfrac{4}{\sigma}\right)  = 0,1\Longleftrightarrow P\left( Z \geqslant \dfrac{4}{\sigma}\right)  = 0,1$

À l'aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{4}{\sigma}\approx 1,281$ d'où $\sigma\approx \dfrac{4}{1,281}\approx 3,12$

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

Ici on interroge $N=254$ salariés de manière indépendante. 
	
La proportion annoncée des salariés pratiquant le covoiturage est  $p = 0,35$.
	
On a $N\geqslant 30~~,~~Np=88,9\geqslant 5~~\text{et}~~n(1-p)=165,1\geqslant 5$.
	
On peut donc établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.

$I_N=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{N}}   ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{N}}  \right]$.
	
Or $p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{N}} \approx 0,291$ et $p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{N}} \approx 0,409$ donc $I_N=\left[ 0,291 ~  ;~ 0,409  \right]$.
	
La fréquence observée est $f=\dfrac{82}{254}\approx0,323 \in I_N$.
	
Ce sondage ne remet pas en cause l'information publiée par l'entreprise sur son site internet.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip
La fonction $g$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = 1 - \text{e}^{-x}.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -x = - \infty$ donc 
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} {\e}^{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 1 - \text{e}^{-x} = 1$ 

\smallskip

\item $g(x) = 1 - \text{e}^{-x}$ donc $g'(x)= \text{e}^{-x}$

Pour tout réel $x$, $\text{e}^{-x}>0$ donc $g'(x)>0$ sur $[0~;~ +\infty[$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.

%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}
%   \tkzTabInit{$x$ / 1 , $g'(x)$ / 1, $g$ / 1.5}{$0$, $+\infty$}
%   \tkzTabLine{,  +, }
%   \tkzTabVar{-/ $0$, +/  $1$}
%	\end{tikzpicture}
%	\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $f(x) = (x - 1)\text{e}^{-kx} + 1.$

		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}

$u(x)=x-1$ &$v(x)=\text{e}^{-kx}$&&\\

$u'(x)=1$ &$v'(x)=-k\text{e}^{-kx}$&&

\end{tabularx}

$f=uv+1$ et $(uv)' =u'v+uv'$
\smallskip

$f'(x) = 1\times\text{e}^{-kx}+(x-1)\times(-k\text{e}^{-kx})+0 = \text{e}^{-kx} \left( 1+(x-1)(-k)\right) = \text{e}^{-kx}(1-kx + k )= \text{e}^{-kx}(-kx + k + 1)$

\smallskip
		\item La tangente $T$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1).$
		
		or $f(1)=1$ et $f'(1)=\text{e}^{-k}$
		
		Donc $T$ a pour équation $y=\text{e}^{-k}(x-1)+1=\text{e}^{-k}x-\text{e}^{-k}+1$
		
		$B$ est le point de $T$ d'abscisse 0, donc $y_B = -\text{e}^{-k}+1=g(k)$
		
			\end{enumerate}
			\smallskip
\item D'après le tableau de variation de la fonction $g$ de la partie A, pour tout réel positif $k, g(k)\in[0~;~1]$.

Le point B ayant pour coordonnées $(0~;~g(k))$ avec  $0\leqslant{g(k)}\leqslant{1}$,  il appartient bien au segment $[OJ]$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\smallskip
 
La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = (x - 1)\text{e}^{-2x} + 1.$

%On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\R$.
%On se place dans un repère orthonormé (O~;~I, J).
%On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de la fonction $h$ et $d$ la droite d'équation $y = x$.
%La courbe $\mathcal{C}_h$ et la droite d sont représentées sur l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}.
%On admet que la courbe $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de la droite $d$ sur l'intervalle [0~;~1].
%Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_h$, la droite $d$ et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Soit $\mathcal{A}$ l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unité d'aire.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Voir \textbf{ANNEXE 1}.
\smallskip
Sur l'intervalle [0~;~1]:
\smallskip
la courbe $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de la droite $d$ d'équation $y=x$  donc  $h(x)\geqslant x$,

$\mathcal{D}$  est le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_h$ et la droite $d$. $\mathcal{A}$est  l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unité d'aire, donc 
\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (h(x) - x)\: \text{d}x.\]
\smallskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout réel $x$,

$h(x) - x = (x - 1)\text{e}^{-2x} + 1-x = -(1 - x)\text{e}^{-2x} + (1-x) = (1-x)(-\text{e}^{-2x} + 1)=
 (1 - x)\left(1 - \text{e}^{-2x}\right).$
\smallskip

		\item On admet que, pour tout réel $x$,\: $\text{e}^{-2x} \geqslant 1 - 2x$.
		
		$\text{e}^{-2x} \geqslant 1 - 2x\Longleftrightarrow-\text{e}^{-2x} \leqslant  2x -1
		\Longleftrightarrow1-\text{e}^{-2x} \leqslant 1+ 2x -1
		\Longleftrightarrow1-\text{e}^{-2x} \leqslant 2x$
		
		Sur $\left[ 0~;~1\right]$  , $x\leqslant1$ donc $1-x\geqslant0$ d'où
		
		$1-\text{e}^{-2x} \leqslant 2x\Longleftrightarrow(1-x)(1-\text{e}^{-2x}) \leqslant(1-x) 2x 
		\Longleftrightarrow h(x)-x \leqslant 2x -2x^{2}$
	\smallskip
	
		\item $h(x)-x \leqslant 2x -2x^{2}$ donc $\displaystyle\int_0^1 (h(x) - x)\: \text{d}x.\leqslant\displaystyle\int_0^1 (2x -2x^{2})\: \text{d}x.$
		
		$\displaystyle\int_0^1 (2x -2x^{2})\: \text{d}x=\left[x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{3} \right]_{_0}^{^{1}}= 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
		
		\smallskip
		
		on obtient donc $\mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{3}$.
			\end{enumerate}
			\smallskip

\item %Soit $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par\[H(x) = \dfrac{1}{4}(1 - 2x)\text{e}^{-2x} + x.\]
%On admet que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur [0~;~1].

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1 (h(x) - x)\: \text{d}x=\left[H(x)-\dfrac{x^{2}}{2} \right]_{_0}^{^{1}}=
H(1)-\dfrac{1}{2}-H(0)=\dfrac{1}{4}(1 - 2)\text{e}^{-2} -\dfrac{1}{2}+ 1-\dfrac{1}{4}\text{e}^{0} =-\dfrac{1}{4}\text{e}^{-2}-\dfrac{1}{2} + 1-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\text{e}^{-2} +\dfrac{1}{4}$

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  H$\left( 0~;~1~;~1\right)$ , M$\left( 0,5~;~0~;~0\right)$ et N$\left( 1~;~0,5~;~0\right)$.
\item  %On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) est définie par le point M et le vecteur $\vect{\text{MN}}$.
		
		M$\left( 0,5~;~0~;~0\right)$ et $\vect{\text{MN}}\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\0\end{pmatrix}$
		
Une  représentation paramétrique de la droite (MN) est donc :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 0,5+0,5k\\

y&=& 0,5k\\

z&=&0
\end{array}\right., \:k \in \R.\]
 
		\item 
		
Une représentation paramétrique de la droite (CD) est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\
y&=&1\\
z&=&0
\end{array}\right., \:t \in \R.\]

	K étant le point d'intersection des droites (CD) et (MN), ses coordonnées sont solutions du système suivant :
		
		\[\begin{cases}x=t\\y=1\\z=0\\x=0,5+0,5k\\y=0,5k\\z=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1=0,5k\\t=0,5+0,5k\\x=t\\y=1\\z=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k=2\\t=1,5\\x=1,5\\y=1\\z=0\end{cases}\]
		
		C'est pourquoi K $(1,5~;~1~;~0)$ 
	\end{enumerate}
	
\item  %On admet que les points H, M, N définissent un plan et que la droite (CG) et le plan
%(HMN) sont sécants. On note L leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{\text{HM}}\begin{pmatrix}0,5\\-1\\-1\end{pmatrix}$ ~~~~$\vect{\text{HN}}\begin{pmatrix}1\\-0,5\\-1\end{pmatrix}$~~~~$\vect{n}\begin{pmatrix}~2\\- 2\\~3\end{pmatrix}$
		
$\vect{\text{HM}}$ et $\vect{\text{HN}}$	ne sont	pas colinéaires car$ \dfrac{1}{0,5}\neq\dfrac{-0,5}{-1}$

 $\vect{n}\cdot\vect{\text{HM}}=2\times0,5-2\times(-1)+3\times(-1)=1+2-3=0$

$\vect{n}\cdot\vect{\text{HN}}=2\times1-2\times(-0,5)+3\times(-1)=2+1-3=0$

Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (HMN),c'est donc un vecteur normal à ce plan.


		\item $\vect{n}\begin{pmatrix}~2\\- 2\\~3\end{pmatrix}$ étant un vecteur normal du plan (HMN),
		
	une équation cartésienne de ce  plan est $2x-2y+3z+d=0$, H$\left( 0~;~1~;~1\right)$ appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation, on a donc $2\times0-2\times1+3\times1+d=0$ soit $d=-1$
	
	Une  équation du plan (HMN) est donc $2x-2y+3z-1=0$	
		
		\item %En déduire les coordonnées du point L.
		Déterminons une représentation paramétrique de la droite (CG).
		Cette droite est déterminée par le point C$\left( 1~;~1~;~0\right)$
		 et $\vect{\text{CG}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
		
Une  représentation paramétrique de la droite (MN) est donc :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\

y&=&1\\

z&=&p
\end{array}\right., \:p \in \R.\]		
		
		L est le point d'intersection de la droite (CG) et du plan (HMN), ses coordonnées sont donc solutions du système suivant:
		\[\begin{cases}2x-2y+3z-1=0\\x=1\\y=1\\z=p\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2-2+3p-1=0\\x=1\\y=1\\z=p\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}p=\dfrac{1}{3}\\x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}\]
		
		C'est pourquoi L $(1~;~1~;~\dfrac{1}{3})$ 
	\end{enumerate}
\item  Sur la face (ABCD), on trace le segment [MN], 

sur la face (BCGF), on trace le segment [NL], 

sur la face (CDHG), on trace le segment [LH],

Les faces (ABFE) et (CDHG) sont parallèles donc les droites d'intersection des ces deux plans avec le plan (HMN)  sont parallèles. On trace la parallèle à (LH) passant par M, elle coupe la droite (AE) en un point S.

Sur la face (ADHE), on trace le segment [SH],(on peut remarquer que (SH) est parallèle à (NL).

La section du cube par le plan (HMN) est donc MNLHS.

Voir ANNEXE 2.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
$u_0 = 4$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = - \dfrac{2}{3}u_n +1$ ~~et ~~$ v_n = u_n - \dfrac{2}{3}.$
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$u_0 = 4$ &$v_0 = 4 - \dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$\\
\end{tabularx}
\smallskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$u_1 = - \dfrac{2}{3}\times4 +1=- \dfrac{8}{3}+1=- \dfrac{5}{3}$&$ v_1 = - \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3}=- \dfrac{7}{3}$\\
\end{tabularx}
\smallskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$u_2 = - \dfrac{2}{3}\times\left( - \dfrac{5}{3}\right)  +1= \dfrac{10}{9}+1= \dfrac{19}{9}$&$v_2 =  \dfrac{19}{9} - \dfrac{2}{3}= \dfrac{13}{9}$
\end{tabularx}

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$\dfrac{v_1}{v_0}=\dfrac{- \dfrac{7}{3}}{ \dfrac{10}{3}}=- \dfrac{7}{3}\times\dfrac{3}{10}=-\dfrac{7}{10}$
&$\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{ \dfrac{13}{9}}{ -\dfrac{7}{3}}= -\dfrac{13}{9}\times\dfrac{3}{7}=-\dfrac{13}{21}$
\end{tabularx}
\smallskip

$\dfrac{v_1}{v_0}\neq\dfrac{v_2}{v_1}$, donc ($v_n$) n'est pas une suite géométrique. L'affirmation 1 est donc fausse.
\smallskip

\item %Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$ non nul,\[w_n = \dfrac{3 + \cos (n)}{n^2}.\]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $-1\leqslant\cos (n)\leqslant1$

$\Longleftrightarrow 3-1\leqslant3+ \cos (n)\leqslant 3+1\Longleftrightarrow2\leqslant3+ \cos (n)\leqslant 4$

$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{n^{2}}\leqslant\dfrac{3 + \cos (n)}{n^{2}}\leqslant \dfrac{4}{n^{2}}$

or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{n^{2}} =\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{4}{n^{2}}= 0$,

d'après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3 + \cos (n)}{n^2}=0$, l'affirmation 2 est donc vraie.

\smallskip

\item À la fin de l'exécution, la variable $U$ contient la première  valeur strictement supérieur à \np{5000}.

En effet l'algorithme ne s'arrête pas tant que $U \leqslant  \np{5000}$.

En utilisant la calculatrice, on obtient la valeur $\np{6565}$.

L'affirmation 3 est donc fausse.

\item %On note $\C$  l'ensemble des nombres complexes. On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ dans~$\C$

$(z - \text{i})\left(z^2 + z\sqrt{3} + 1\right) = 0.\Longleftrightarrow(z - \text{i})=0$ ou $\left(z^2 + z\sqrt{3} + 1\right) = 0$
\smallskip

$(z - \text{i})=0\Longleftrightarrow z = \text{i}$

\smallskip

$z^2 + z\sqrt{3} + 1 = 0$ ~~~~~~~~~~~~$\Delta=\sqrt{3}^{2}-4\times1=-1=i^{2}$

$\Delta$ est un réel strictement négatif donc l'équation a  pour solution deux nombres  complexes conjugués:

$z_1=\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}$ et $z_{2} =\overline{z_1}=\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2}$

L'équation $(z - \text{i})\left(z^2 + z\sqrt{3} + 1\right) = 0$ a donc comme ensemble solution : $S=\left\lbrace i,\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2},\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2}\right\rbrace $

$|i|=1$,~~ $\left|\dfrac{-\sqrt{3}-i}{2}\right|=\left|\dfrac{-\sqrt{3}+i}{2}\right|=\dfrac{3+1}{4}=1$.
L'affirmation 4 est donc vraie.
\smallskip

\item $z_0 = 2 $ et pour tout entier naturel $ z_{n+1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_n.$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$ z_{n+1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_n = 2\text{i}z_n$
&$ z_{1} = 2\text{i}z_0 =  2\text{i}\times2=4 \text{i}$
&$ z_{2} = 2\text{i}z_1 =  2\text{i}\times4 \text{i}=-8$
\end{tabularx}
\smallskip

Soit K le milieu du segment $\left[M_0M_{2}\right]$, $z_K=\dfrac{z_0+z_2}{2}=\dfrac{2-8}{2}=-3$.

le point O n'est donc pas le milieu du segment $\left[M_0M_{2}\right]$, l'affirmation 5 est fausse.

\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

On considère l'équation (E) $x^2 - 5y^2 = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %$x$ et $y$ peuvent-ils avoir la même parité ? Justifier.
Si $x$ et $y$ sont deux entiers naturels pairs, il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ tels que $x=2p$ et $y=2q$.

$(x~;y)$ est un couple solution de l'équation (E)$\Longleftrightarrow x^2 - 5y^2 = 1$

$\Longleftrightarrow (2p)^2 - 5(2q)^2 = 1\Longleftrightarrow 4p^2 - 5\times4q^2 = 1\Longleftrightarrow 4\left( p^2 - 5q^2\right) = 1 $

On en déduit 4 est un diviseur de 1, ce qui est impossible. Donc  $x$ et $y$ ne peuvent pas être tous les deux pairs.

\smallskip
Si $x$ et $y$ sont deux entiers naturels impairs, il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ tels que $x=2p+1$ et $y=2q+1$.

$(x~;y)$ est un couple solution de l'équation (E)$\Longleftrightarrow x^2 - 5y^2 = 1$

$\Longleftrightarrow (2p+1)^2 - 5(2q+1)^2 = 1\Longleftrightarrow 4p^2 +4p+1- 5(4q^2+4q+1) = 1$

$\Longleftrightarrow 4p^2 +4p+1- 20q^2-20q-5 = 1\Longleftrightarrow 4p^2 +4p- 20q^2-20q-4 = 1$

$\Longleftrightarrow 4\left( p^2+p - 5q^2-5q-1\right) = 1 $

On en déduit que 4 est un diviseur de 1, ce qui est impossible. Donc  $x$ et $y$ ne peuvent pas être tous les deux impairs.

En conclusion, $x$ et $y$ ne peuvent pas avoir la même parité.

\smallskip
\item %Démontrer que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
Soit d un diviseur commun à $x$ et $y$, il existe deux entiers naturels $X$ et $Y$ tels que $x=dX$ et $y=dY$.

$(x~;y)$ est un couple solution de l'équation (E)$\Longleftrightarrow x^{2} - 5y^{2} = 1$

$\Longleftrightarrow (dX)^{2} - 5(dY)^{2} = 1\Longleftrightarrow d^{2} X^2 - 5(d^{2} Y^{2}) = 1$

$\Longleftrightarrow d^{2}\left( X^{2} - 5Y^{2}\right) = 1$
\smallskip

On en déduit que $d^{2}$ est un diviseur de 1, donc $d =1$.

Le seul diviseur commun à $x$ et $y$ est 1, $x$ et $y$ sont donc  premiers entre eux.

\item Soit $k$ un entier naturel.

%Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Reste de la division euclidienne de $k$ par 5	&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
Reste de la division euclidienne de $k^2$ par 5	&0	&1	&4	&4	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %En déduire que $x \equiv 1\: [5]$ ou $x \equiv 4 \:[5]$.
$(x~;y)$ est un couple solution de l'équation (E) donc $x^{2}=1+5y^{2}$ 

On en déduit que $x^{2}\equiv 1\: [5]$, d'après le tableau précédent on a alors $x \equiv 1\: [5]$ ou $x \equiv 4 \:[5]$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

%Soit $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 9&20\\4&9\end{pmatrix}$.
%$\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ sont définies par

%\[x_0 = 1 \: \text{et }\:y_0 = 0, \:\text{et pour tout entier naturel}\: n, \:\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}= A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9&20\\4&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix} \phantom{2}$d'où$\phantom{2} \left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}&=&9x_n + 20y_n\\y_{n+1}&=&4x_n+9y_n
\end{array}\right.$


\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $\left(x_n,~y_n\right)$ est solution de l'équation (E).
\begin{list}{\textbullet}{}
\smallskip
\item \textbf{Initialisation}: $x_0=1$ et $y_0=0$ donc $x_0^{2}-5y_0^{2} = 1$

La propriété est vraie au rang 0.
\smallskip
\item \textbf{Hérédité}: Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $x_n^{2}-5y_n^{2}=1 $ et démontrons qu'alors elle est vraie au rang $(n+1)$, c'est à dire $x_{n+1}^{2}-5y_{n+1}^{2}=1 $

\smallskip
$(x_{n+1})^{2}-5(y_{n+1})^{2}=(9x_{n} + 20y_{n})^{2}-5(4x_{n}+9y_{n})^{2}$

\smallskip
$=81x_{n}^{2} + 360x_{n}y_{n}+400y_{n}^{2}-5(16x_{n}^{2} + 72x_{n}y_{n}+81y_{n}^{2})$

\smallskip
$=81x_{n}^{2} + 360x_{n}y_n+400y_{n}^{2}-80x_{n}^{2} - 360x_{n}y_{n}-405y_{n}^{2}=x_{n}^{2}-5y_{n}^{2}=1$

\smallskip
Donc la propriété est vraie au rang $(n+1)$; elle est héréditaire.

\item \textbf{Conclusion}: la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc, par application du principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $A^2$, puis en déduire $x_2$ et $y_2$.
$A^2=\begin{pmatrix} 9&20\\4&9\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 9&20\\4&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 81+80&180+180\\36+36&80+81\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 161&360\\72&161\end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=A^{2}	\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 161&360\\72&161\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

d'où$ \left\{\begin{array}{l c l}
x_{2}&=&161\\y_{2}&=&72
\end{array}\right.$		
		 
		\item Soit $p$ un entier naturel.
		
%Démontrer que si $y_p$ est un multiple de 9 alors $y_{p+2}$ est aussi un multiple de $9$.
$\begin{pmatrix}x_{p+2}\\y_{p+2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{p+1}\\y_{p+1}\end{pmatrix}=A^{2}	\begin{pmatrix}x_p\\y_p\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 161&360\\72&161\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_p\\y_p\end{pmatrix}$

d'où $y_{p+2}= 72x_p+161y_p$

Si $y_p$ est multiple de 9, il existe un entier naturel $k$ tel que $y_p=9k$

d'où $y_{p+2}= 72x_p+161\times9k=9(8x_p+161k)$, donc$ x_{p+2}$ est bien multiple de 9.		
 
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n, y_{2n}$ est un multiple de 9.
\begin{list}{\textbullet}{}
\smallskip
\item \textbf{Initialisation}: $y_0=0$  est bien multiple de 9.

La propriété est vraie au rang 0.
\smallskip
\item \textbf{Hérédité}: Supposons la propriété vraie au rang $n$, et démontrons qu'alors elle est vraie au rang $(n+1)$.

$y_{2(n+1)}=y_{2n+2}$ ,d'après  la question précédente, puisque $y_{2n}$ est multiple de 9, alors $y_{2n+2}$ est également multiple de 9.

\smallskip
Donc la propriété est vraie au rang $(n+1)$; elle est héréditaire.
\smallskip
\item \textbf{Conclusion}: la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc, par application du principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}	
\smallskip
	
$y_{2020}=y_{(2\times1010)}$ est donc  un multiple de $9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
%\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip
\textbf{ANNEXE 1 (exercice 2, partie C)}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(3.25,1.5)
\pscustom [fillstyle=hlines,hatchcolor=red]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 1 sub 2.71828 2 x mul exp div 1 add}
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=15,gridwidth=1.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.75,-0.75)(3.25,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{6.5}{x 1 sub 2.71828 2 x mul exp div 1 add}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-1.6,-0.2){$T$}\uput[u](2.9,1){\red $\mathcal{C}_h$}\uput[dr](1.4,1.4){$d$}
\psline[linewidth=1.25pt](-0.5,-0.5)(1.5,1.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(0,1)(1,0)

\end{pspicture*}

\vspace{1.5cm}

\textbf{ANNEXE 2 (exercice 3)}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.2)(6.5,6.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,4)(0,0)(-2,-1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(4,0)
\pspolygon(2,3)(-2,3)(-2,-1)(2,-1)(4,0)(4,4)%GFBCDHG
\psline(2,-1)(2,3)%DG
\psline(4,4)(0,4)(-2,3)%HEF
\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)\psline{->}(4,0)(6,0)\psline{->}(0,4)(0,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(-1,-0.5)
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](-2,-1){B} \uput[d](2,-1){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[ul](0,4){E} \uput[l](-2,3){F} \uput[ul](2,3){G} \uput[ur](4,4){H} 
\uput[ul](-1,-0.5){M} \uput[d](0,-1){N}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,0,333)(1,-1.5)
\uput[ul](2,0.333){L} \uput[d](1,-1.5){K}
\uput[ul](0,1.333){S}
\psline(2,-1)(0,-2)%(CD) 
\psline(0,-1)(2,-2)%(MN)
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=red](0,-1)(2,0.333)(4,4)%NLH
\psline[linewidth=1.75pt,linestyle=dotted,linecolor=red](0,-1)(-1,-0.5)(0,1.333)(4,4)%NMSH
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}