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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat 
S Antilles--Guyane~\decofourright\\juin 2002}}\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société 
%immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant 
%l'été. On sait que $20\,\%$ des chaudières sont sous garantie. 
%
%Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu'une chaudière 
%soit défectueuse est de $\dfrac{1}{100}$. 
%
%Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité 
%qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{10}$.
%
%On appelle G l'évènement suivant : \og la chaudière est sous 
%garantie \fg{}.

\begin{enumerate} 
\item ~%Calculer la probabilité des évènement suivants : 
On peut dresser un arbre pondéré

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$} \naput{0,2}}
	{\TR{$B$}\naput{0,01}
	\TR{$\overline{B}$}\nbput{0,99}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$} \nbput{0,8}}
	{\TR{$B$}\naput{0,1}
	\TR{$\overline{B}$}\nbput{0,9}
	}
}
\end{center}

\smallskip

%$A$ : \og la chaudière est garantie et est défectueuse \fg{} ; 

%$B$ : \og la chaudière est défectueuse \fg{}.
D'où : $p(A) = p(G) \times p_G(B) = 0,2 \times 0,01 = 0,002$.

D'autre part $p\left(\overline{G} \cap B\right) = p\left(\overline{G}\right) \times p_{\overline{G}}(B) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(G \cap B) + p\left(\overline{G} \cap B\right) = 0,002 + 0,08 = 0,082$.
\item %Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu'elle soit sous garantie est de $\dfrac{1}{41}$.
Il faut trouver $p_B(G) = \dfrac{p(B \cap G)}{p(B)} = \dfrac{0,002}{0,082} = \dfrac{2}{82} =  \dfrac{1}{41}$.
\item %Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. 
%Il coûte $80$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et n'est pas 
%défectueuse. Il coûte $280$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et est défectueuse. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d'une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique.
Les probabilités sont respectivement égales à : $p(G) = 0,2$ ;

$ p\left(\overline{G} \cap \overline{B}\right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$ et $p\left(\overline{G} \cap B\right) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$ avec des valeurs de la variable aléatoire $X$ : 0, \: 80 et 280 euros.

D'où le tableau de la loi :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$	&0	&80		&280\\ \hline
$p$	&0,2&0,72	&0,08\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

D'où l'espérance mathématique $E = 0 \times 0,2 + 80 \times 0,72 + 280 \times 0,08 =$

$ 57,6 + 22,4 = 80$~(\euro)
\item %Au cours de la période de contrôle, on a trouvé $5$~chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles soit  sous garantie ?

La probabilité qu'une chaudière défectueuse soit hors garantie est 

$p_{B}\left(\overline{G}\right) = \dfrac{p\left(B \cap \overline{G}\right)}{p(B)} = \dfrac{0,08}{0,082} = \dfrac{80}{82} = \dfrac{40}{41}$.

La probabilité que les $5$  chaudières défectueuses soit hors garantie est donc $\left(\dfrac{40}{41}\right)^5$

Enfin la probabilité contraire qu'au moins une des 5 soit sous garantie est donc égale à $1 - \left(\dfrac{40}{41}\right)^5 \approx 0,12$ au centième près.
\end{enumerate} 

\newpage  

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, 
%(unité graphique 2 cm).
%
%On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et $- 2$. 
%Le point K est le milieu du segment [IA].
%
%On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [IA]. Faire une 
%figure et la compléter au fur et à mesure. 
%
%\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-2)(2.5,2)
\psdots(1,0)(-2,0)(-1.4,1.2)(0.25,1.299)%IABD
\uput[dr](1,0){I} \uput[dl](-2,0){A}
\uput[u](-1.4,1.2){B}\uput[ur](0.25,1.299){D}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(-0.5,0){1.5}
\psline(0.25,1.299)\psline(-1.4,1.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item %Soit B le point d'affixe $b = \dfrac{1 + 4\text{i}}{1 - 2\text{i}}$. Écrire $b$ sous forme algébrique et montrer que B  appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
On a  $b = \dfrac{1 + 4\text{i}}{1 - 2\text{i}} =  \dfrac{(1 + 4\text{i})(1 + 2\text{i})}{(1 - 2\text{i})(1 + 2\text{i})} = \dfrac{1 - 8 + 2\text{i} + 4\text{i}}{1 + 4} = \dfrac{- 7 + 6\text{i}}{5} = - \dfrac{7}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$.

K étant le milieu de [IA] son affixe est égale à $\dfrac{1 - 2}{2} = - \dfrac{1}{2}$. Le rayon du cercle $(\mathcal{C})$ est donc égal à $- 0,5 + 2 = 1 - (- 0,5) = 1,5$.

D'où $\text{KB}^2 = \left(- \dfrac{7}{5} - \left(- \dfrac{1}{2} \right)  \right)^2 + \left(\dfrac{6}{5} \right)^2 = \left(- \dfrac{7}{5} + \left(\dfrac{1}{2} \right)  \right)^2 + \left(\dfrac{6}{5} \right)^2 = \left(\dfrac{- 14 + 5}{10}  \right)^2 + \left(\dfrac{6}{5} \right)^2 = \dfrac{81}{100} + \dfrac{36}{25} = \dfrac{81}{100} + \dfrac{144}{100} = \dfrac{225}{100} = \left(\dfrac{15}{10} \right)^2$.

D'où KB $ = \dfrac{15}{10} = 1,5$. Donc B $ \in (\mathcal{C})$.
\item %Soit D le point du cercle $(\mathcal{C})$ tel que 
%l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~ \vect{\text{KD}}\right) = 
%\dfrac{\pi}{3} + 2 k \pi$ où $k$ est un entier relatif et soit $d$ l'affixe de D. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Quel est le module de $d + \dfrac{1}{2}$~ ? Donner un argument de  $d + \dfrac{1}{2}$.
Puisque D est un point du cercle, KD $ = 1,5 = \left|d - (- 0,5)\right| = \left|d + 0,5\right| = 1,5$.

D'autre part par définition  $d + \dfrac{1}{2}$ a un argument de $\dfrac{\pi}{3}$. 
		\item %En déduire que $d = \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
		De la question précédente on peut écrire sous forme exponentielle :
		
$d + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{3}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3}{4} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.

On a donc $d = \dfrac{3}{4} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{2}}{4} - \dfrac{1}{2} =  \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
		\item %Déterminer un réel $a$ vérifiant l'égalité $\dfrac{1 + 2\text{i}a} 
%{1 - \text{i}a} = \dfrac{1}{4} + 3\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
$\dfrac{1 + 2\text{i}a}{1 - \text{i}a} = \dfrac{(1 + 2\text{i}a)(1 + \text{i}a)}{(1 - \text{i}a)(1 + \text{i}a)} = \dfrac{1 - 2a^2 + \text{i}(a + 2a)}{1 + a^2} = \dfrac{1 - 2a^2 + 3a\text{i}}{1 + a^2}$.

En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{1 - 2a^2}{1 + a^2}&=&\dfrac{1}{4}\\
\dfrac{3a}{1 + a^2}&=&\dfrac{3\sqrt{3}}{4}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4 - 8a^2&=&1 + a^2\\
12a &=&3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}a^2
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
3&=&9a^2\\
4a&=&\sqrt{3} + \sqrt{3}a^2 
\end{array}\right.\iff  \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1}{3}&=&a^2\\
4a&=&\sqrt{3} + \sqrt{3}a^2
\end{array}\right.$, 

d'où en remplaçant dans la deuxième équation $a^2$  par $\frac{1}{3}$ :

$4a =  \sqrt{3} + \sqrt{3}\times\frac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\sqrt{3}$ et enfin $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $x$ un réel non nul et $M$ le point d'affixe $m = 
%\dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x}$. On pose $Z = \dfrac{(m -1)}{ (m + 2)}$. 
%Calculer $Z$ et en déduire la nature du triangle AI$M$.
$Z = \dfrac{\dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x} - 1}{\dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x} + 2} = \dfrac{1 + 2 \text{i}x- 1 + \text{i}x}{1 + 2\text{i}x + 2 - 2\text{i}x} = \dfrac{3\text{i}x}{3} = \text{i}x$  ; donc $Z$ est un imaginaire pur.

Or $Z = \dfrac{(m -1)}{ (m - (-  2)}$ ; donc un argument de $Z$ est $\left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{I}M} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ puisque $Z$ est un imaginaire pur. Ceci prouve que le triangle AI$M$ est rectangle en $M$. Comme l'hypoténuse est [AI], $M$ est quel que soit le réel $x$ un point du cercle $(\mathcal{C})$.
\item %Soit $N$ un point, différent de A du cercle $(\mathcal{C})$ et $n$ son affixe. 

%Démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $n = \dfrac{1 + 2\text{i}y}{1 - \text{i}y}$. 
On peut faire la réciproque de la question précédente.

Si $N$ d'affixe $n$ appartient à $(\mathcal{C})$, alors le triangle AI$N$ est rectangle en $N$, donc $Z' = \dfrac{(n -1)}{ (n - (-  2))}$ est un imaginaire pur. Il existe donc un réel $y$ tel que :

$Z' = \text{i}y = \dfrac{3\text{i}y}{3} = \dfrac{1 + 2 \text{i}y - 1 + \text{i}y}{1 + 2\text{i}y + 2 - 2\text{i}y} = \dfrac{\dfrac{1 + 2 \text{i}y}{1 - \text{i}y} - 1}{\dfrac{1 + 2 \text{i}y}{1 - \text{i}y} + 2} = \dfrac{n - 1}{n + 2}$.

Donc par identification : $n = \dfrac{1 + 2 \text{i}y}{1 - \text{i}y}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct 
%$\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ 
%(unité graphique 4 cm) 
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives : 

%\[Z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} ,~Z_{\text{B}} = 
%\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C}} = - 1,~Z_{\text{D}} = - 
%\text{i}~ \text{et}~ Z_{\text{E}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item ~%Faire la figure
\psset{unit=3.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(2.,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.1,-1)(2.,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1;30)(1;120)(1;180)(1,-90)(1;-30)(1.866,0.5)(1;60)%ABCDEKL
\uput[ur](1;30){A}\uput[ul](1;120){B}\uput[ul](1;180){C}\uput[dr](1;-90){D}
\uput[dr](1;-30){E}\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\uput[ur](1.866,0.5){K}\uput[ur](1;60){L}
\pscircle(0,0){1}
\psline(1;30)(1;-90)\psline(1;120)(1;180)
\psset{arrowsize=3pt 2}
\psline{->}(1;30)(1.866,0.5)\psline{->}(1;120)(1;60)
\end{pspicture}
\end{center} 

		\item %Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC]
$\bullet~~$Toutes les affixes sont des complexes de module 1 : tous les points A, B, C, D et E appartiennent donc au cercle unitaire.

$Z_{\text{A}}$ a un argument de $\frac{\pi}{6}$,  $Z_{\text{E}}$ a un argument de $-\frac{\pi}{6}$, donc $\widehat{\text{EOA}} = \frac{\pi}{3}$ : le triangle EOA est isocèle en O avec un angle au sommet de $\frac{\pi}{3}$ : il est donc équilatéral.

De même $Z_{\text{D}}$ a un argument de $- \frac{\pi}{3}$, donc $\widehat{\text{DOE}} = \frac{\pi}{3}$ ; le triangle DOE isocèle en O a un angle au sommet de $\frac{\pi}{3}$ : il est donc équilatéral.

On a donc OA = OE = AE = OD = DE = 1 ; donc en particulier EA = ED.

$\bullet~~$L'arc $\wideparen{\text{EB}}$ correspond à un angle au centre de $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

L'arc $\wideparen{\text{EC}}$ correspond à un angle au centre de $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}  = \frac{5\pi}{6}$.

Conclusion : les cordes EB et EC ont la même longueur.

$\bullet~~$On a vu que E est équidistant de A et de E ; on a aussi O équidistant de A et de E, donc la droite (OE) est la médiatrice de [AD] ; de même (OE) est médiatrice de [BC].
		\item %Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la 
translation $t$ de vecteur $\vect{\text{OI}}$. Placer les points K et L 
sur la figure.
Puisque A$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}~;~\frac{1}{2}\right)$, L translaté de 1 vers la droite à pour coordonnées $\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}~;~\frac{1}{2} \right)$.

De même puisque B$\left(- \frac{1}{2}~;~\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, alors L$\left(\frac{1}{2}~;~\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.  
	\end{enumerate} 
\item %On considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $Z$ 
%associe le point $M'$ d'affixe $Z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z}$ où $\overline{Z}$ désigne le conjugué de $Z$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Justifier l'égalité $F = R ~\circ~ S$ où $S$ est la réflexion ou symétrie axiale d'axe (OI) et $R$ une rotation dont on précisera le centre et l'angle. 
On sait que l'application $S$ définie par $M(Z) \longmapsto M_1\left(\overline{Z}\right)$ est la symétrie axiale d'axe (OI).

Soit le complexe $a = \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; on a $|a|^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$, d'où $|a| = 1$.

On a $a = 1\left(\cos \frac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{3} \right) = \text{e}^{-\frac{\pi}{3}}$.

On sait que l'application $R$ qui à $z$ associe $z\text{e}^{-\frac{\pi}{3}}$ est la rotation de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$.

On a donc $F = R ~\circ~S$.
		\item %Montrer que $F$ est une réflexion dont on précisera l'axe. 
Comme produit d'un anti-déplacement par un déplacement, $R$ est un anti-déplacement.

Or $F(\text{O}) = R \circ S(\text{O}) = R[S(\text{O})] = R(\text{O}) = \text{O}.$

$F(\text{E}) = R \circ S(\text{E}) = R[S(\text{E})] = R(\text{A}) = \text{E}.$

L'anti-déplacement a deux points fixes  : c'est donc la réflexion d'axe (OE).
	\end{enumerate} 
\item %Soit $G$ l'application qui, à tout point $M$  d'affixe $Z$ associe le point $M''$ dont l'affixe $Z''$ définie par la formule  $Z'' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z} + 1$. 

%Déterminer une application $T$ telle que $G = T ~\circ~ F$. En déduire que $G$ est un antidéplacement.
La translation $T$ de vecteur $\vect{\text{OI}}$ est définie de façon complexe par $z'' = z' + 1$.

$M$ a pour image $M'$ par $F$ et $M'$ a pour image $M''$ par $T$, donc $M$ est transformé en $M''$ par $T \circ F$.

$G = T \circ F$ composée d'un d'un anti-déplacement par un déplacement est un anti-déplacement.  
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
%Pour tout entier naturel $n$, on considère les fonctions $f_n$ définies 
%sur $\R$ par
 
\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x}\] 

\medskip 

\textbf{Partie A - Étude de \boldmath $f_0$ \unboldmath 
\textbf{et de} \boldmath $f_1$ \unboldmath}

\medskip

%On appelle $f_0$ la fonction définie par $f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
%
%On appelle $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ les courbes représentatives respectivement de $f_0$ et de $f_1$ dans un repère orthonormal 
%\Oij~ (unité graphique 5 cm). 
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer la limite de $f_0$ en $- \infty$ puis  en $+ \infty$. 
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{- \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{- \infty} 1 + \text{e}^x = 1$ et par quotient de limites $\displaystyle\lim_{- \infty} f_0(x) = 0$.

$\bullet~~$On a en multipliant chaque terme par $\text{e}^{-x}$, \:$f_0(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{-x} + 1}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{+ \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{+ \infty} \text{e}^{-x} + 1  = 1$ et par quotient de limites 

$\displaystyle\lim_{+ \infty} f_0(x)  = 1$.
\item %Calculer la dérivée de $f_0$ et étudier son sens de variation.
La fonction $f_0$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'_0(x) = \dfrac{\text{e}^x\left( 1 + \text{e}^x\right) - \text{e}^x\times \text{e}^x}{\left( 1 + \text{e}^x\right)^2}  = \dfrac{\text{e}^x}{\left( 1 + \text{e}^x\right)^2}$.

Il est clair que quel que soit $x$, \: $f'_0(x) > 0$ : la fonction $f_0$ est donc strictement croissante de $0$ à $1$.
\item %Montrer que le point I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un 
%centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_0$.
Prenons comme nouvelle origine le point I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

On a $\left\{\begin{array}{l c l}
X&=&x\\
Y&=&y - \frac{1}{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&X\\
y&=&Y + \frac{1}{2}
\end{array}\right.$

L'équation de la fonction $f_0$ dans le repère de centre I est donc  $Y + \frac{1}{2} = f_0(X)$ soit $Y = \dfrac{\text{e}^X}{1 + \text{e}^X} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\text{e}^X - 1 - \text{e}^X}{1 + \text{e}^X} = \dfrac{\text{e}^X - 1}{1 + \text{e}^X}$.

Or $Y(- X) = \dfrac{\text{e}^{-X} - 1}{1 + \text{e}^{-X}} = \dfrac{1 - \text{e}^X}{\text{e}^X + 1} = - \dfrac{\text{e}^X - 1}{\text{e}^X + 1} = - Y(X)$, ce qui montre que le point  est centre de symétrie de  $\mathcal{C}_0$  courbe représentative de $f_0$. 
\item %Déterminer une équation de la tangente en I à $\mathcal{C}_0$. 
Une équation de la tangente est :

$y - f_0(0) = f'_0(0)(x - 0)$ ; avec $f_0(0) = \frac{1}{2}$ et $f'_0(0) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, l'équation de la tangente est donc :

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x \iff y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}x$.
\item %Montrer que pour tout réel $x,~f_1(- x) = f_0(x)$.
$f_1(x) = \dfrac{\text{e}^{(1 - 1)x}}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}$, donc :

$f_1(- x) =  \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}} = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x } = f_0(x)$.
\item %Par quelle transformation simple $\mathcal{C}_1$ est-elle  l'image de $\mathcal{C}_0$ ? Construire $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$.
D'après la question précédente  $\mathcal{C}_1$ est la symétrique de $\mathcal{C}_0$ autour de l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.2)(1.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.2)(1.5,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{1.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{1.5}{1 2.71828 x exp 1 add div}
\psline(-1.5,1)(1.5,1)\uput[ur](0,0.5){I}
\uput[u](1.4,0.8){\blue $\mathcal{C}_0$}
\uput[d](1.4,0.2){\red $\mathcal{C}_1$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B Calcul d'une aire} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que pour tout réel $x,~ f_0(x) + f_1(x) = 1$.
Quel que soit le réel $x$, \: $f_0(x) + f_1(x) =  \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{1}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1 + \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = 1$. 
\item %Soit $a$ un réel positif ou nul. Calculer $\displaystyle\int_0^a f_0(x)\: \text{d}x$ puis $\displaystyle\int_0^a f_1(x)\: \text{d}x$. 
$f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ; en posant $u(x) = 1 + \text{e}^x$, on a $u'(x) = \text{e}^x$ et par conséquent $f_0(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ et l'on reconnaît la dérivée de $\ln |u(x)| = \ln \left(1 + \text{e}^x \right)$ puisque $u(x) \geqslant 1 > 0$.

Une primitive de $f_0$ est donc la fonction $F_0$ définie pour tout réel par $F_0(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x \right)$.

On en déduit que :

$\displaystyle\int_0^a f_0(x)\: \text{d}x = \left[F_0 \right]_0^a = F_0(a) - F_0(0) = \ln \left(1 + \text{e}^a \right) - \ln \left(1 + \text{e}^0 \right) = \ln \left(1 + \text{e}^a \right) - \ln 2 = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^a}{2} \right)$.

D'après la question 1., $f_1(x) = 1 - f_0(x)$, donc :

$\displaystyle\int_0^a f_1(x)\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^a [1 - f_0(x)]\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^a 1\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^a f_0(x)\: \text{d}x  = a - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^a}{2} \right)$.
\item %En déduire l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie du plan 
%définie par  \[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
%0 & \leqslant x \leqslant & a \\ 
%f_{1}(x) & \leqslant y \leqslant & 1 
%\end{array}\right.\] 
L'aire cherchée $\mathcal{A}(a)$ est la différence entre l'aire du rectangle de côtés $a$ et 1 et de l'intégrale précédente soit :

$\mathcal{A}(a) = a - \left[a - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^a}{2} \right) \right] = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^a}{2} \right)$. 
\item %Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand  $a$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} \text{e}^a = + \infty$, il en résulte que $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} \mathcal{A}(a) = + \infty$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C Étude d'une suite}

\medskip

%Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$
On a calculé $u_0 = \displaystyle\int_0^1 f_0(x)\: \text{d}x = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^1}{2} \right) = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$.

On a aussi $u_1 = \displaystyle\int_0^1 f_1(x)\: \text{d}x = 1 - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}^1}{2} \right) = 1 - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$.
\item %Montrer que pour tout entier $n,~ u_{n+1} + u_{n} = 
%\dfrac{1}{n} \times \dfrac{\text{e}^n - 1}{\text{e}^n}$.
Quel que soit le naturel $n$, \: $u_{n+1} + u_{n} = \displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\: \text{d}x + \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x =$

$ \displaystyle\int_0^1 \left[f_{n+1}(x) + f_n(x)\right] \: \text{d}x$.

Or $f_{n+1}(x) + f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{(1 - (n+1))x}}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{\text{e}^{- nx} + \text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{\text{e}^{- nx}\left(1 + \text{e}^{x}\right)}{1 + \text{e}^{x}} = \text{e}^{- nx}$.

D'où $\displaystyle\int_0^1 \left[f_{n+1}(x) + f_n(x)\right] \: \text{d}x =  \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{- nx}\: \text{d}x = \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{- nx}  \right]_0^1 = - \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{-n} - 1\right)$ soit en multipliant chaque terme par $\text{e}^n$ :

$\displaystyle\int_0^1 \left[f_{n+1}(x) + f_n(x)\right] \: \text{d}x = \dfrac{\text{e}^n - 1}{n\text{e}^n}$.
\item %En déduire la limite quand $n$ tend vers $+  \infty$ de $u_{n+1} + u_{n}$.

Avec l'écriture précédente $u_{n+1} + u_{n} = - \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{-n} - 1\right)$ ; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{-n} - 1 = - 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} + u_{n} = 0$. 
\item %Montrer que pour tout réel $x$ de [0 ;1]~ 
%\[\dfrac{\text{e}^{(1-n)x}}{1 + \text{e}^x} \geqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x}.\]
La fonction exponentielle est croissante sur [0~;~1], donc :

$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow \text{e}^0 \leqslant \text{e}^x \leqslant \text{e}^1$ ou $1 \leqslant \text{e}^x \leqslant \text{e}$.

Donc $1 \leqslant \text{e}^x \Rightarrow \dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x} \times 1 \leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x} \times \text{e}^x$, soit 

$\dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x} \leqslant \dfrac{\text{e}^{(1-n)x}}{1 + \text{e}^x}$.
\item %En déduire le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Considérons $u_{n+1} - u_n = \displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\: \text{d}x  - \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left[f_{n+1}(x) - f_n(x)\right]\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left[\dfrac{\text{e}^{(1 - n - 1)x}}{1 + \text{e}^x} - \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x}\right]\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left[\dfrac{\text{e}^{(- n)x}}{1 + \text{e}^x} - \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x}\right]\: \text{d}x$ ; d'après la question précédente la fonction à intégrer est négative donc l'intégrale l'est aussi : $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ : la suite est donc décroissante.

Tous les termes de la suite sont positifs car intégrales de fonctions positives.

On a donc $0\leqslant u_n < u_n + u_{n+1}$ et on a vu que  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} + u_{n} = 0$, donc d'après le théorème des gendarmes $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$.
\end{enumerate}
\end{document} 