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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles  - Guyane}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[3pt] 23 juin 2009 }}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  tous les candidats}
%
%\medskip
%Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.

\smallskip
%On dispose de deux dés tétraédriques identiques: les quatre faces sont numrotées A, B, C et D.
\begin{enumerate}
\item 
%On lance les deux ds simultanément et on note la  lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.
On peut dénombrer les cas possibles  l'aide d'un tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{D 1}{D 2} & A & B &C&D\\
\hline
A&AA&AB&AC&AD\\
\hline
B&BA&BB&BC&BD\\
\hline
C&CA&CB&CC&CD\\
\hline
D&DA&DB&DC&DD\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Les deux dés peuvent être supposés équilibrés, il y a donc situation d'équiprobabilité et:

%
%\smallskip
%Dterminer la probabilit des vnements suivants:

$$p(E_{0})=\dfrac{9}{16};\qquad \qquad
p(E_{1})=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8};\qquad \qquad
p(E_{2})=\dfrac{1}{16}.$$


\item 
%On organise un jeu de la façon suivante:
%\begin{itemize}
%\item Le joueur lance les deux ds simultanment.
%\item Si les deux ds reposent sur les faces \og A \fg~, le jeu s'arrte.
%\item Si un seul d repose sur la face \og A \fg~, le joueur relance l'autre d et le jeu s'arrte.
%\item Si aucun d ne repose sur la face \og A \fg~, le joueur relance les deux ds et le jeu s'arrte.
%\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item \quad
%L'arbre sert aussi pour la question c., on y indique le gain algbrique du joueur.
%Recopier et complter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilit correspondante.

\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\qquad\qquad}c@{\qquad\qquad}c}
&Nombre de  &Nombre de \\
& faces \og A \fg{} &  faces \og A \fg{}\\[5ex]
&\rnode{b}{0}&
\begin{tabular}{c}
\rnode{e}{$0$}\\[2ex]
\rnode{f}{$1$}\\[2ex]
\rnode{g}{$2$}\\[4ex]
\end{tabular}
\\
\rnode{a}{}&\rnode{c}{1}&
\begin{tabular}{c}
\rnode{h}{$0$}\\[2ex]
\rnode{i}{$1$}\\[4ex]
\end{tabular}\\
&\rnode{d}{2}&\\[5ex]
&1\up{er} lancer&2\up{e} lancer 
\end{tabular}
\ncline[nodesepB=3pt]{a}{b} \taput{$\frac{9}{16}$}
\ncline[nodesepB=3pt]{a}{c} \taput{$\frac{6}{16}$}
\ncline[nodesepB=3pt]{a}{d}\tbput{$\frac{1}{16}$}
\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{e}\taput{$\frac{9}{16}$}
\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{f}\ncput*{$\frac{6}{16}$}
\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{g}\tbput{$\frac{1}{16}$}
\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{h} \taput{$\frac{3}{4}$}
\ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{i}\tbput{$\frac{1}{4}$}
\end{center}

		\item Il y a trois façons distinctes de gagner pour le joueur:
\begin{itemize}
\item il obtient deux faces \og A \fg{} au premier lancer, ou bien
\item il obtient une face \og A \fg{}  au premier lancer, et une face  \og A \fg{}  au deuxième, ou bien
\item il n'obtient aucune face  \og A \fg{}  au premier lancer, et deux  faces \og A \fg{}  au second.
\end{itemize}
À l'aide de l'arbre pondéré ci-dessus, la probabilité de gagner est  donc égale  à :

\[\dfrac{1}{16}+\dfrac{9}{16}\times\dfrac{1}{16}+\dfrac{6}{16}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{49}{256}.\]

%Le joueur gagne si, lorsque le jeu s'arrte, les deux ds reposent sur les faces \og A \fg~.\\
%Montrer que, pour le joueur, la probabilit de gagner est de $\dfrac{49}{256}$.
\item Notons $X$ la variable aléatoire désignant le gain algébrique du joueur.

\begin{itemize}
\item $X=5$ lorsque le joueur gagne, donc $p(X=5)=\dfrac{49}{256}$.
\item $X=0$ lorsqu'un seul dé repose sur la face \og A \fg{}, cela peut avoir lieu au premier ou au deuxième lancer, donc d'après l'arbre : 

$p(X = 0) = \dfrac{9}{16} \times \dfrac{6}{16}+\dfrac{6}{16} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{126}{256}$.
\item $X = - 5$ lorsque le joueur n'obtient aucune face \og A \fg{}, donc $p(X = - 5) =\dfrac{9}{16}\times\dfrac{9}{16} = \dfrac{81}{256}$.
\end{itemize}

On peut résumer la loi de $X$ dans le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $-5$ & $0$ & $5$ & TotalÊ\\
\hline
&&&&\\[-2ex]
$p(X = x)$&$\dfrac{81}{256}$&$\dfrac{126}{256}$&$\dfrac{49}{256}$ & 1\\[2ex]
\hline
\end{tabular}

\end{center}
L'espérance mathématique de $X$ est alors égale à :

\[E(X)=-5\times\dfrac{81}{256}+0\times\dfrac{126}{256}+5\times\dfrac{49}{256}=\dfrac{-160}{256}<0,\]

le jeu est donc \textbf{défavorable} au joueur.
%Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S'il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s'arrte, un seul d repose sur la face \og A \fg~, il est rembours. Sinon, il perd sa mise.\\
%Le jeu est-il favorable au joueur~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%
%\newpage


%%%%
%: EXERCICE 2 SP

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation propose est vraie ou fausse et justifier la réponse}.

\begin{enumerate}
\item L'écriture complexe de $f$ est de la forme $z'= az + b$ avec $a\in\C^*$ et $b\in\C$. D'après le cours, $f$ est donc une similitude directe. De plus:

\begin{itemize}
\item $a=1+ \text{i}\sqrt{3}$, donc $\left\vert a\right\vert = \sqrt{1+(\sqrt{3})^2} = 2$ et $f$ a pour rapport 2.
\item $a = 2\left(\dfrac{1}{2}+ \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, donc $\arg(a)=\dfrac{\pi}{3}~(2\pi)$ et $f$ a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\item $(1 + \text{i}\sqrt{3})\times 2\text{i} + 2\sqrt{3} = 2\text{i} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}= 2\text{i}$, donc $f(A) = A$.
\end{itemize}

La première affirmation  est donc \textbf{vraie}.
%Le plan complexe est muni d'un repre orthonormal \Ouv.\\
%On considre l'application $f$ du plan dans lui-mme qui,  tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=(1+i\sqrt{3})z+2\sqrt{3}$.\\
%On note $A$ le point d'affixe $2i$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2.
%\end{tabular}
\item 
On a: $1991\equiv 3~(7)$. De plus $3^2\equiv 2~(7)$ et $3^3\equiv -1~(7)$ donc $3^6\equiv 1~(7)$.\\
Comme $2009=6\times 334+5$ on en déduit que: 
$3^{2009}\equiv (3^6)^{334}\times 3^5~(7)$ c'est-à-dire
$3^{2009}\equiv (-1)^{334}\times 3^2\times 3^3~(7)$, d'o:
$3^{2009}\equiv 1\times 2\times (-1)~(7)$, soit:
$3^{2009}\equiv -2~(7)$.\\
On a finalement $1991^{2009}\equiv-2~(7)$.\\
La deuxième affirmation  est donc \textbf{fausse}.
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$1991^{2009}\equiv 2~(7)$.
%\end{tabular}
\item Soit $a$ et $b$  deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ deux entiers naturels premiers entre eux.
\begin{itemize}
\item Supposons que $a\equiv b~(p)$, alors $na\equiv nb~(p)$ par compatibilité de la multiplication avec les congruences.
\item Réciproquement, supposons que $na\equiv nb~(p)$. Alors $p$ divise $na-nb$, c'est--dire $p$ divise $n(a-b)$. Comme $n$ et $p$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss entraine que $p$ divise $a-b$, c'est-à-dire que $a\equiv b~(p)$.
\end{itemize}
L'équivalence est donc démontrée.

La troisième affirmation  est donc \textbf{vraie}.
%$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na\equiv nb~(p)$.
%\end{tabular}


\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace, alors:
$$
\Big(M\in\mathscr{S}\Big)
\Longleftrightarrow 
\Big(y=3\text{ et }x^2+y^2=z\Big)
\Longleftrightarrow 
\Big(y=3\text{ et }x^2+9=z\Big).
$$
Dans le plan d'équation $y=3$, $z=x^2+9$ est l'équation d'une parabole.\\
La quatrième affirmation est donc \textbf{fausse}.
%L'espace est muni d'un repre orthonormal \Oijk.\\
%$\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnes $(x;y;z)$ vrifient l'quation:
%$z=x^2+y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'quation $y=3$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$\mathscr{S}$ est un cercle.
%\end{tabular}

\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace  coordonnées entières appartenant à $\mathscr{P}$ et au plan $(yOz)$.

\begin{itemize}
\item $M=O$ vérifie ces conditions, puisque $x=0$, $0^2+0^2=3\times 0^2$ et $0\in\mathbb{Z}$.
\item Supposons que $M$ soit distinct de $O$. Alors $x=0$ car $M\in(yOz)$. On a donc: $y^2=3z^2$. Comme $z \neq 0$ (car sinon $y$ serait nul et $M$ serait confondu avec $O$), on obtient $\dfrac{y^2}{z^2}=3$, ce qui signifierait que $\dfrac{y}{z}$ est irrationnel (égal  $\pm\sqrt{3}$), ce qui est faux, car $y\in\mathbb{Z}$ et $z\in\mathbb{Z}$. L'hypothèse \og $M$ est distinct de $O$ \fg{} est donc absurde.
\item Le seul point vérifiant les conditions précédentes est donc le point $O$.
\end{itemize}
La cinquième affirmation est donc \textbf{vraie}.
%L'espace est muni d'un repre orthonormal \Oijk.\\
%$\mathscr{P}$ est la surface d'quation $x^2+y^2=3z^2$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$O$ le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(yOz)$  coordonnes entires.
%\end{tabular}
\end{enumerate}
%%%%
%: EXERCICE 2 OBLI

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

%\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation propose est vraie ou fausse et justifier la rponse}.

\begin{enumerate}
\item 
$\Big(M\in\mathscr{E}\Big)\Longleftrightarrow\Big(AM=BM
\Big)$. $\mathscr{E}$ est donc bien la médiatrice du segment $[AB]$.\\
La première affirmation est \textbf{vraie}.

%Le plan complexe est muni d'un repre orthonormal \Ouv.\\
%Soit le point $A$ d'affixe 3,  le point $B$ d'affixe $-4i$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-3\right\vert=\left\vert z+4i\right\vert$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$\mathscr{E}$ est la mdiatrice du segment $[AB]$.
%\end{tabular}

\item $\dfrac{c-a}{b-a}=2i$ entraine que: $\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right) = \arg(2i)~(2\pi)$, c'est-à-dire que :

$\left(\vect{AB};\vect{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}~(2\pi)$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$, ce qui entraine que $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$.\\
La deuxième affirmation est \textbf{vraie}.

%Le plan complexe est muni d'un repre orthonormal \Ouv.\\
%On considre trois points $A$, $B$ et $C$ deux  deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c-a}{b-a}=2i$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$A$ appartient au cercle de diamtre $[BC]$.
%\end{tabular}

\item Si  $z=2e^{i\frac\pi7}$, alors $z^{2009}=2^{2009}e^{i\frac{2009\pi}7}=2^{2009}e^{287i\pi}.$ 
Par conséquent : 

$\arg\left(z^{2009}\right)=287\pi~(2\pi)$, et comme 287 est impair, cela entraine que $z^{2009}$ est un réel strictement négatif.

La troisième affirmation est donc \textbf{fausse}.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$z^{2009}$ est un nombre rel positif.
%\end{tabular}

\item D'après le théorème de réduction: $\vect{MA}+\vect{MB}+\vect{MC}=3\vect{MG}$. Donc:
$$
\Big(
M\in\mathscr{F}
\Big)
\Longleftrightarrow
\Big(
\left\vert\left\vert 3\vect{MG}\right\vert\right\vert=6
\Big)
\Longleftrightarrow
\Big(
MG=2
\Big).
$$
$\mathscr{F}$ est donc la sphère de centre $G$ et de rayon 2.\\
La quatrième affirmation est \textbf{vraie}.
%On considre trois points $A$, $B$ et $C$ non aligns de l'espace. Le point $G$ est le centre de gravit du trangle $ABC$.\\
%On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points $M$ vrifiant $\left\vert\left\vert \vect{MA}+\vect{MB}+\vect{MC}\right\vert\right\vert=6$.

%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%$\mathscr{F}$ est la sphre de centre de $G$ et de rayon 2.
%\end{tabular}

\item La sphère $\mathscr{S}$ a pour rayon $\sqrt{5}$ et pour centre $O(0~;~0~;~0)$.

La distance du point $O$ au plan $\mathscr{P}$ est égale  $\dfrac{\vert 0+0-5\vert}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.\\
$\sqrt{5}<\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$, donc la sphère et le plan ne sont pas sécants, et leur intersection est vide.

La cinquième affirmation est donc \textbf{fausse}. 

%L'espace est muni d'un repre orthonormal \Oijk.\\
%$\mathscr{S}$ est la sphre d'quation $x^2+y^2+z^2=5$.\\
%$\mathscr{P}$ est le plan d'quation $x+y-5=0$.
%\smallskip
%\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
%Le plan $\mathscr{P}$ coupe la sphre $\mathscr{S}$ suivant un cercle.
%\end{tabular}
\end{enumerate}

%%%%
%: EXERCICE 3

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  tous les candidats}

\smallskip

\textbf{PARTIE A.}

\smallskip

%La temprature de refroidissement d'un objet fabriqu industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.\\
%$f$ est dfinie sur l'ensemble des nombres rels positifs et vrifie l'quation diffrentielle:
%$$f'(t)+\dfrac12f(t)=10.$$
%La temprature est exprime en degrs Celsius (¡C) et le temps $t$ en heures.

\begin{enumerate}
\item $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = - \dfrac12y+10$, donc d'après un théorème du cours, il existe une constante $k$ telle que, pour tout $t\geqslant 0$: 

$f(t) = k\text{e}^{-\frac12t}-\dfrac{10}{-\frac12}= k\text{e}^{-\frac12t}+20$.

La condition $f(0)=220$ entraine alors que $k+20=220$, c'est-à-dire $k = 200$. Finalement:

\[f(t)=200\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20.\]

%Dterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la temprature de l'objet est 220¡C.
\item 
%On pourra admettre dsormais que la fonction $f$ est dfinie sur $\R^+$ par $$f(t)=200e^{-\frac{t}{2}}+20.$$
%On note $\mathscr{C}$ sa reprsentation graphique dans le plan muni d'un repre orthogonal; les  units graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrs Celsius en ordonne.
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est dérivable sur $\R^+$ en tant que combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout $t\geqslant 0$:

\[f'(t)=-100\text{e}^{-\frac{t}{2}} < 0 ;\]

la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\R^+$.
%tudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
\item $\displaystyle\lim_{t \to +\infty}-\dfrac{t}{2}=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}\text{e}^X=0$, donc par composition $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-\frac{t}{2}}=0$. On en déduit par opérations que $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=20$; ce qui signifie que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=20$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.
%tudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
%En dduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$  la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
		\item  Voir figure.
\begin{figure}[ht]
\label{fig1}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,12)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(7,12)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0375cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
{\small
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-20)(7,240)
}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-1}{7}{(--20-0*x)/1}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.0}{7.0}{200*2.718281828^(-(x)/2)+20}
\psplot[linecolor=ccqqcc]{-1}{7}{(--50-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqcc](3.79,50)(3.79,0)
\rput[bl](-0.98,23.9){\qqzzqq{$\mathscr{D}$}}
\rput[bl](0.21,213.67){\blue{$\mathscr{C}$}}
\rput[bl](-0.98,54.03){\ccqqcc{$y=50$}}
\psdots[linecolor= ccqqcc](3.79,50)
\psdots[linecolor=ccqqcc](3.79,0)
\rput[bl](3.71,-8.48){\ccqqcc{$\simeq\np{3,8}$}}
\uput[90](6.2,0){$t$ (en heures)}
\uput[0](0,230){$f(t)$ en \degres C}
\end{pspicture*}
\caption{exercice 3, question 2. c.}
\end{figure}
%Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0;7]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement, $f(t)=50$ pour $t=\np{3,8}$, soit 3 heures et 48 minutes environ.
%Utiliser le graphique pour dterminer une valeur approche, en heures et minutes, du moment o la temprature de l'objet est 50¡C. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Résolvons :
		
\begin{eqnarray*}
f(t) = 50 & \Longleftrightarrow & 200\text{e}^{-\frac{t}{2}}+20=50\\
&\Longleftrightarrow& 200\text{e}^{-\frac{t}{2}}=30\\
&\Longleftrightarrow&\text{e}^{-\frac{t}{2}}=\dfrac{3}{20}\\
&\Longleftrightarrow&-\dfrac{t}{2}=\ln\left(\dfrac{3}{20}\right)\\
&\Longleftrightarrow& t= - 2\ln\left(\dfrac{3}{20}\right)\simeq\np{3,79}\text{à  \np{0,01} près}
\end{eqnarray*}

On retrouve bien le résultat précédent.
%Retrouver ce rsultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{PARTIE B.}

\smallskip

%On considre la suite de terme gnral $d_{n}=f(n)-f(n+1)$ o $n\in\mathbb{N}$. $d_{n}$ reprsente l'abaissement de temprature de l'objet entre l'heure $n$ et l'heure $n+1$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, au dixième près:

$d_{0}\simeq\np{78,7}$, 
$d_{1}\simeq\np{47,7}$, 
$d_{2}\simeq\np{28,9}$. 
%Calculer des valeurs approches au dixime de $d_{0}$, $d_{1}$ et $d_{2}$.
\item Comme $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$, il est clair que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(n)=\lim_{n\to+\infty}f(n+1)$ donc que: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}d_{n}=0$.
%Quelle est la limite de $d_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$~?
\end{enumerate}
\item On détermine à partir de quel entier naturel $n$ on a $d_{n}\leqslant 5$.
\begin{eqnarray*}
d_{n}\leqslant 5 &\Longleftrightarrow & 200\text{e}^{-\frac{n}{2}}-200\text{e}^{-\frac{n+1}{2}}\leqslant 5 \\
&\Longleftrightarrow & 200\text{e}^{-\frac{n}{2}}\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\leqslant 5\\
&\Longleftrightarrow & 40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\leqslant \text{e}^{\frac{n}{2}}\\
&\Longleftrightarrow & \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\leqslant\dfrac{n}{2}\\
&\Longleftrightarrow & 2 \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\leqslant n
\end{eqnarray*}
et comme $2 \ln\left[40\left(1-\text{e}^{-\frac12}\right)\right]\simeq\np{5,5}$ (au dixième près), la plus petite valeur de l'entier $n$  partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5\degres C est donc $n = 6$.

\emph{Remarque:}
On pouvait aussi démontrer que la suite $(d_{n})$ est décroissante, puis calculer $d_{5}$ et $d_{6}$ et conclure.
%Dterminer la plus petite valeur de l'entier $n$  partir de laquelle l'abaissement de temprature est infrieur  5¡C.
\end{enumerate}
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%: EXERCICE 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  tous les candidats}

\smallskip

%On considre la suite $(u_{n})$ dfinie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par:
%$$u_{n}=\left(1+\dfrac1n\right)^n.$$
\begin{enumerate}
\item 
%On considre la fonction $f$ dfinie sur $[0;+\infty[$ par:
%$$f(x)=x-\ln(1+x).$$
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R^+$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel $x\geqslant 0$: $f'(x)=1-\dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{x}{1 + x} > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R^+$, et pour tout $x\geqslant 0$ on a alors $f(x)\geqslant f(0)$, c'est-à-dire $x-\ln(1+x)\geqslant 0$, d'où :
$\ln(1 + x)\leqslant x$.
%En tudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout rel $x$ positif ou nul, $\ln(1+x)\leqslant x$.
		\item Soit $n \in \N^*$, $\ln(u_{n}) = n \ln\left(1+\dfrac1n\right)$ et $\dfrac1n\in\R^+$, donc d'après la question précédente:

$\ln(u_{n})\leqslant n\times \dfrac1n$, c'est-à-dire $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
%En dduire que, pour tout entier naturel $n$  non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
		\item Pour tout $n\in\N^*$, $\ln(u_{n})\leqslant 1$, donc $u_{n}\leqslant e$ et la suite $(u_{n})$ est majorée par $e$, elle ne peut donc pas diverger vers $+\infty$.
%La suite $(u_{n})$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item 
%On considre la suite $(v_{n})$ dfinie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $v_{n}=\ln(u_{n})$.
	\begin{enumerate}
		\item $v_{n}=\ln(u_{n})=n\ln\left(1+\dfrac1n\right)$, en posant $x=\dfrac1n$ on a donc: $v_{n}=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$.
%On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$.
		\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ d'après une limite du cours. Quand $n\to+\infty$, on a $x\to 0$, donc :
 $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}=1$.
		\item $v_{n}=\ln(u_{n})$, donc $u_{n}= \text{e}^{v_{n}}$, et comme $(v_{n})$ converge vers 1, on en déduit que $(u_{n})$ converge vers $e$.
%En dduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et dterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}