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%Tapuscrit : Denis Vergès relu et corrigé par François Hache
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane ~\decofourright\\[4pt]22 juin 2015
}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
%
%Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par 
%
%$g_a(x) = ax^2$.
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On a construit en \textbf{annexe 1} (\emph{à rendre avec la copie}) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.
Pour toutes les courbes, on a $g_a(1) = a$. Donc on a de bas en haut les courbes $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.
\item %Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de
%$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.

Les courbes $\Gamma_{0,05}$ et $\Gamma_{0,1}$ semblent sécantes à $\mathcal{C}$ en deux points ;

La courbe $\Gamma_{0,19}$ semble être tangente à $\mathcal{C}$ ; 

La courbe $\Gamma_{0,4}$ et $\mathcal{C}$ semblent ne pas être sécantes.

Il semble donc que :

\begin{itemize}
\item si $0< a < 0,19$, $\Gamma_a$ et  $\mathcal{C}$ ont deux points communs ;
\item si $a = 0,19$, $\Gamma_{0,19}$ et $\mathcal{C}$ ont un point commun ;
\item si $a > 0,19$, $\Gamma_a$ et $\mathcal{C}$ n'ont pas de point commun.
\end{itemize}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%
%\[h_a(x) = \ln x - ax^2.\]

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
Si $m(x~;~y) \in \mathcal{C} \cap \Gamma_a$, alors $\ln x = ax^2 \iff \ln x- ax^2 = 0 \iff h_a(x) = 0$.

Le nombre de points communs à $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ est donc égal au nombre de solutions de l'équation $h_a(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle.

%Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous.

%Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.25)
\psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On a en fait : $h'_a(x) = \dfrac{1}{x} - 2ax = \dfrac{1 - 2ax^2}{x}$.

Comme $x > 0$ et $a > 0$, le signe de $h'_a(x)$ est celui de $1 - 2ax^2$.

Or $1 - 2ax^2 = 0 \iff 1 = 2ax^2 \iff \dfrac{1}{2a} = x^2 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{2a}}$.

D'où le tableau de variation de $h_a$.
		\item %Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$.

Comme $h_a(x) = x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right)$, on a donc :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln x}{x} - 2ax  = - \infty$ et par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right) = - \infty$.

%On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que 

$a = 0,1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution.
		
$h_{0,1}(x) = 0 \iff \ln x - 0,1 x^2 = 0$.

Soit $i$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $i(x) = \ln x - 0,1 x^2$ ; cette fonction est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$i'(x) = \dfrac{1}{x} - 0,2x$.

or $i'(x) = 0 \iff 	\dfrac{1}{x} - 0,2x = 0 \iff  1 = 0,2x^2 \iff 5 = x^2 \iff x = \sqrt{5}$.

On a de même $i'(x) > 0 \iff 	\dfrac{1}{x} - 0,2x > 0 \iff  1 > 0,2x^2 \iff 5 > x^2 \iff x < \sqrt{5}$.

Sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{5}\right[$, la fonction $i$ est continue et strictement croissante de $- \infty$ à 

$\ln \sqrt{5} - 0,1 \times \left(\sqrt{5} \right)^2 = \dfrac{1}{2}\ln 5 - 0,5 \approx 0,3 > 0$ : la fonction $i$ s'annule donc une seule fois sur cet intervalle.
	
On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$.
		\item %Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
D'après la question précédente la courbe $\Gamma_{0,}$ et $\mathcal{C}$ ont deux points communs : l'un sur $]0~;~\sqrt{5}[$ et l'autre sur $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que 
	$a = \frac{1}{2\text{e}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$.
Le tableau de variations montre que le maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$ est égal à $\dfrac{- 1 - \ln \frac{1}{\text{e}}}{2} = \dfrac{- 1 + \ln \text{e}}{2} = 0$.
		\item %En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier.
Le maximum étant nul, on en déduit que $h_{\frac{1}{2\text{e}}}(x)  \leqslant 0 \iff \ln x \leqslant \frac{1}{2\text{e}}x^2$ ; autrement dit $\mathcal{C}$ est sous $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$, sauf pour $x = \dfrac{1}{\sqrt{2\frac{1}{2\text{e}}}} = \sqrt{\text{e}}$ où elles ont un seul point commun.
	\end{enumerate}
	
\item 
%Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ?
	
%Justifier.

On a vu que $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection lorsque l'équation $h_a(x) = 0$ n'a pas de solution, c'est-à-dire lorsque le maximum de la fonction $h_a$ est inférieur à zéro, soit :

$\dfrac{- 1  - \ln (2a)}{2} < 0 \iff - 1  - \ln (2a) < 0 \iff \ln 2a > - 1 \iff \text{e}^{\ln 2a} > \text{e}^{- 1} \iff$
$2a > \text{e}^{- 1} \iff $

$a > \dfrac{1}{2\text{e}} \approx \np{0,18394} \approx 0,19$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
%
%On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif,
%
%\[P(X \leqslant  a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\]
%
%On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par
%
%\[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\]
%
%On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.
%
%On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que

%\[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} -  \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\]
D'après l'indication :

$\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x = - \left(x + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda x} - \left[- \left(0 + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda \times 0}\right] =  $

$\dfrac{1}{\lambda} - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} = \dfrac{1}{\lambda}\left[1 - x \lambda \text{e}^{- \lambda x} + \text{e}^{- \lambda x}\right]$
\item  %En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, on en déduit avec $\lambda > 0$, 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \lambda x} = 0$ et aussi 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \lambda \text{e}^{- \lambda x} = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = \displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une
%variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
%
%La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) :
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter la probabilité $P(X \leqslant  1)$.
Voir la surface hachurée sur  l'annexe 2 à la fin.
		\item %Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
On lit comme ordonnée à l'origine $\lambda = 0,5$.
 	\end{enumerate}
\item  On suppose que $E(X) = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
$E(X) = 2$ signifie que la durée de vie d'un composant est en moyenne égale à 2 ans.
		\item %Calculer la valeur de $\lambda$.
On a vu que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 2 \iff \lambda = 0,5$.
		\item %Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près.
On a :

$P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int_0^2 \lambda\text{e}^{- 0,5 t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- 0,5 t} \right]_0^2 = -	\text{e}^{- 0,5 \times 2} - \left(\text{e}^{- 0,5 \times 0} \right) = 1 - \text{e}^{- 1} = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}} \approx 0,632 \approx 0,63$ au centième près.	
%Interpréter ce résultat.
Ce résultat est la probabilité qu'un composant ait une durée de vie inférieure à l'espérance $E(X)$.
		\item %Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
Il faut trouver :

$P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 3) = P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 2) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - \left(1 - \text{e}^{- 1}\right) = \text{e}^{- 1}\approx  0,368$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
%On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.
%
%On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 
%
%$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
%
%Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,3.4)
%%\psgrid
%\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
%\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
%\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
%\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
%\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
%\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
%uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
%que le circuit A soit défaillant avant un an.
Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc :

$P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right)  = 0,39 \times 0,39 = \np{0,1521}$.
\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
%défaillant avant un an.
Ici la probabilité est égale à :

$P\left(D_1 \cup D_2 \right) =  P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \np{0,6279}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
%
%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$
%appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe
%$\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$.
%
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2.6}
\psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0)(1.879,1.158)(0.939,0.579)
\uput[u](1.879,1.158){$I$}\uput[ul](0.939,0.579){$M'$}
\uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psline(2.6;63)(2.6;0)
\psline(2.6;31.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
Puisque O$M$ = O$R$, on a $\left|z_M \right| = \left|z_R \right| = |z|$.

Comme $R$ a un argument égal à $0$ à $2\pi$ près on a $z_R = |z|$.
\item %Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\]

%Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
L'affixe de $\dfrac{z + |z|}{2}$ est égale à la demi-somme des affixes de celles de $M$ et de $R$. Le point ayant cette affixe  est donc le milieu $I$ du segment $[MR]$.

Finalement le point $M'$ est le milieu de [O$I$].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence :
%
%\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]
%
%Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
Si $z_0$ est un nombre réel négatif, on a $\left|z_0  \right| = - z_0$. D'où 
$z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 - z_0 }{4} = 0$ et tous les termes suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers $0$.
\item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
Si $z_0$ est un nombre réel positif, on a $\left|z_0  \right| =  z_0$. D'où

$z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 + z_0}{4} = \dfrac{z_0}{2}$, puis $z_2 = \dfrac{z_1 + \left|z_1 \right|}{4} = \dfrac{\frac{z_0 }{2} + \frac{z_0 }{2}}{4} = \dfrac{z_0}{4}$.

Montrons par récurrence que $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$.

\emph{Initialisation} : on vu que la relation est vraie pour $n = 0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour    $n \in \N$, \: $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$ ; alors 

$z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4} =
 \frac{\frac{z_0}{2^n} + \frac{z_0}{2^n} }{4} 
= \frac{\frac{z_0}{2^{n - 1}}}{2^2} =
 \frac{z_0}{2^{n+1}}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.
 
On a montré que $z_0 = \dfrac{z_0}{2^0}$ et que si pour   $n \in \N$, \: $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$ alors  $z_{n+1} = \frac{z_0}{2^{n+1}}$

On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n$, \: $u_n = \dfrac{z_0}{2^n}$.

La suite $\left(z_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $z_0$ et de raison $\frac{1}{2}$. Comme $- 1 < \frac{1}{2} < 1$, on sait que cette suite converge vers $0$.
\item %On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite 
%$\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
D'après la première construction, le module de $z_M'$ est inférieur à celui de $z_M$  et son argument est égal à la moitié. On peut donc conjecturer que la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ va elle aussi converger vers $0$.
		\item %Démontrer cette conjecture, puis conclure.
		
On sait (inégalité triangulaire) que pour tous complexes $z_1$ et $z_2$, que 

$\left|z_1 + z_2 \right|\leqslant \left|z_1 \right| + \left|z_2 \right|$.

En appliquant cette inégalité à $\frac{z_n}{4}$ et à $\frac{|z_n|}{4}$, on obtient :

$\left|z_{n+1} \right| \leqslant \left|\frac{z_n}{4} \right| +  \left| \frac{|z_n|}{4}\right|$ ou encore 
$\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{2\left|z_n \right|}{4} $ ou 
$\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{\left|z_n \right|}{2}$.

On montre de la même façon que précédemment par récurrence que $\left|z_n \right| \leqslant \dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n}$.

La suite $\left(\dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n} \right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ qui converge vers $0$.   Donc d'après le théorème des gendarmes  la suite 	$\left(\left|z_n\right|\right)$  converge elle aussi vers $0$.	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables :	&$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\
			&$u$ est un réel\\
Entrée :	& Demander la valeur de $p$\\
Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\
			&\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\
			&\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\
			&\hspace{0.3mm}Fin de pour\\
Sortie:& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
valeur de $k$&	&1	&2\\ \hline
valeur de $u$&5	&1	&$-0,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Quel nombre obtient-on en sortie ?
On obtient en sortie  : $- 0,5$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par

\[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

\begin{enumerate}
\item %Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.

Algorithme modifié :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables :	&$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\
			&$u$ est un réel\\
Entrée :	& Demander la valeur de $p$\\
Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\
			&\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\
			&\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\
			&\hspace{0.6mm}Afficher $u$\\
Sortie:		&\hspace{0.3mm}Fin de pour \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  %À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$n$		&1 &2 		&3			&4\\ \hline
%$u_n$	&1 &$- 0,5$	& $-0,75$	&$- 0,375$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? 

%Justifier.
Puisque $u_4 > u_3$ la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4.
\item  %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$.
\emph{Initialisation} On vient de voir que $u_4 > u_3$ : la relation est vraie pour $n = 3$.

\emph{Hérédité} On suppose que pour $n \in \N$, \: $n \geqslant 3$ on ait \:$u_{n+1} > u_n$.

D'où $0,5u_{n+1} > 0,5u_n$ ;
D'autre part : $n+1 > n \Rightarrow 0,5(n + 1) > 0,5n$ d'où par somme des ces deux dernières inégalités : 

$0,5u_{n+1} + 0,5(n + 1) > 0,5u_n + 0,5n$ et en ajoutant $- 1,5$ à chaque membre :

$0,5u_{n+1} + 0,5(n + 1) - 1,5  > 0,5u_n + 0,5n - 1,5$ soit $u_{n+2} > u_{n+1}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

On a donc démontré que $u_4 > u_3$ et que pour $n$ entier naturel  supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$ entraîne $u_{n+2} > u_{n+1}$ ce qui montre d'après le principe de récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante à partir du rang 4.

%Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item  %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$.

%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout naturel $n$, on a :
$v_{n+1} = 0,1u_{n+1} - 0,1(n + 1) + 0,5 = 0,1u_{n+1} - 0,1n + 0,4 = $

$0,1\left(0,5u_n + 0,5n - 1,5 \right) - 0,1n + 0,4 = 0,05u_n + 0,05n - 0,15 - 0,1n + 0,4 =0,05u_n - 0,05n + 0,25 = 0,5\left(0,1u_n - 0,1n + 0,5 \right) = 0,5v_n$ : la suite  $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison 0,5.

Le premier terme est :
$v_0 = 0,1 \times 5 - 0,1 \times 0 + 0,5 = 1$.

On a donc pour tout naturel $n$, \: $v_n = 1 \times 0,5^n = 0,5^n = \dfrac{1}{2^n}$.
\item  %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

%\[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
On a $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 0,5^n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 10\times 0,5^n = u_n - n + 5 \iff $

$u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5$.
\item  % Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$.
La suite $\left(u_n\right)$ ne converge pas.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de faÃ§on indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
%
%On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
%Variables :&$c$ est un entier naturel\\
%			&$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\
%Entrées :	&Demander $a$\\
%			&Demander $b$\\
%Traitement:	&Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\
%			&Tant que $c \ne 0$\\
%			&\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\
%			&\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\
%			&\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\
%			&Fin Tant que\\
%Sortie :	&Afficher $b$\\ \hline
%			\end{tabularx}
%			\end{center}

\begin{enumerate}
\item ~%Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
valeur de $a$&26&9&8\\ \hline
valeur de $b$&9&8&1\\ \hline
valeur de $c$&8&1&0\\ \hline
Affichage &&&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item ~%Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$.

%Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre
%eux ou non.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables :&$c$ est un entier naturel\\
			&$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\
Entrées :	&Demander $a$\\
			&Demander $b$\\
Traitement:	&Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\
			&Tant que $c \ne 0$\\
			&\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\
			&\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\
			&\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\
			&Fin Tant que\\ \hline
Sortie :	&Si $b = 1$\\ 
			&\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés sont premiers entre eux \fg\\
			&Sinon \\
			&\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux \fg\\ 
			&Fin de Si\\ \hline		
			\end{tabularx}
			\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Ã€ chaque lettre de l'alphabet on associe grÃ¢ce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre
%0 et 25.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A 	&B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I	&J 	&K 	&L 	&M\\ \hline
%0	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline\hline
%N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline
%13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%On définit un procédé de codage de la faÃ§on suivante :
%
%\textbf{Ã‰tape 1 :} on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
%
%\textbf{Ã‰tape 2 :} à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
%
%\textbf{Ã‰tape 3 :} on calcule l'entier $x'$ défini par les relations 
%
%\[x' \equiv  px + q\quad  [26]\quad \text{et}\quad  0 \leqslant  x' \leqslant 25.\]
%
%\textbf{Ã‰tape 4 :} à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
Dans le tableau V correspond à 21,
or $9  \times 21 + 2 = 189 + 2 = 191$ et $191 = 26 \times 7 + 9$ ; donc $x' \equiv 9\quad  [26]$.

Dans le tableau 9 correspond à la lettre J. 
		\item %Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient.
9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$.

Le couple $(3~;~- 1)$ est un couple simple solution de cette équation.
		\item %Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv  3x' + 20\quad [26]$.
On a $x' \equiv 9x + 2\quad [26] \iff $ il existe $k \in \Z,\:\: x' = 26k  + 9x + 2 \iff $

$3x' = 26k' + 27x + 6\iff 3x' = 26k' + 26x + x + 6\iff 3x' = 26r'' + x + 6 \iff x = 26(- r'')  + 3x' - 6 \iff x = 26(- r'') + 3x' + 20$, soit $x \equiv  3x' + 20\quad [26]$
		\item %Décoder la lettre R.
R correspond à $x' = 17$, donc $3x' + 20 = 51 + 20 = 71$ et 

$71 = 26 \times 2 + 19$, soit $71 \equiv 19 \quad [26]$.

On a donc $x = 19$ qui correspond à la lettre T.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D.
J correspond à $x = 9$ et D correspond à $x' = 3$. de plus $q = 2$ ; on a donc :

$3 = 9p  + 2 \quad [26] \iff 9p \equiv 1 \quad [26]$ ou encore $27p \equiv 3 \quad [26]$, mais on sait que $27 \equiv 1 \quad [26]$ ; il en résulte que $p \equiv 3 \quad [26]$ et comme $p$ est compris entre 0 et 25, on a donc $p = 3$.	
%Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
\item %Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?
B correspond à $x = 1$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P.

D correspond à $x = 3$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 41 \quad [26]$ et $41 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P.

Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est pas bon puisque le décryptage donnera plusieurs solutions.
\end{enumerate} 
%\vspace*{-15cm} 
\pagebreak
\begin{landscape}
\begin{center}

\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln}
\rput{-90}(7.5,2.5){\textbf{\large ANNEXE 1 de l'exercice 1}}
\uput[d](6.9,2.3){$\Gamma_{0,05}$}
\uput[d](6.95,4.7){$\Gamma_{0,1}$}
\uput[d](5.1,4.7){$\Gamma_{0,19}$}
\uput[d](3.5,4.5){$\Gamma_{0,4}$}
\rput{-90}(8,2.5){\textbf{\large Ã€ RENDRE AVEC LA COPIE}}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{landscape} 
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large ANNEXE 2 de l'exercice 2}

\vspace{0.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.1)(10.5,1)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=25]
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(10.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div}
\uput[u](10.3,0){$x$}\uput[r](0,0.98){$y$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psline(1,0)(0,0)}
\end{pspicture*}
\end{center} 
 \end{document}