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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Antilles--Guyane},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016~\decofourright} }
\end{center}

%: EXERCICE 1
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\emph{Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près}.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:
\begin{itemize}
\item à la sortie de la machine A, 8~\% des ampoules présentent un défaut;

\item à la sortie de la machine B, 5~\% des ampoules présentent un défaut.

\end{itemize}

On définit les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{};

\item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{};

\item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg{}.

\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée.

\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré représentant la situation.
Arbre pondéré représentant la situation :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{$0,65$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,08$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,92$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{$0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,95$}}}
\end{center}
\medskip

\item %Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}.
On utilise la formule des probabilités totales :

$p\left(\overline{D}\right) = p_A\left(\overline{D}\right)\times p(A)+p_B\left(\overline{D}\right)\times p(B)=0,92\times 0,65+0,95\times 0,35=$

$0,598+ \np{0,3325}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9305}}}$.

\item %L'ampoule tirée est sans défaut. \\ Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A.
$p_{\overline{D}}(A)=\dfrac{p\left(A\cap\overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{0,598}{\numprint{0,9305}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0,6427}}}$.
\end{enumerate}

\item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise.

%Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
Notons $N$ le nombre d'ampoules sans défaut. On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues ; $N$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0,92 )$.

On sait que $p(X = k) = \binom{10}{k}\numprint{0,92}^k\times (1-\numprint{0,92})^{10-k}$.
	
$p(N\geqslant 9) =1-p(N\leqslant 8)\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0,8121}}}$ (calculé à la calculatrice)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $\displaystyle P(T\leqslant a)=\displaystyle\int_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $P(T\geqslant a)=\e^{-\lambda a}$.
$P(T\geqslant a)=1-P(T<a)=1-\int_0^a\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x=1-\left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_0^a=1-\left(-\mathrm{e}^{-\lambda a}-(-1)\right) = \boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-\lambda a}}}$.

\item %Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a
%\[
%P_{T\geqslant t}(T\geqslant t+a)=P(T\geqslant a).
%\]
$P_{T\geqslant t}(T\geqslant t+a)=\dfrac{p([T\geqslant t]\cap(T\geqslant t+a))}{P(T\geqslant t)}=\dfrac{p[T\geqslant t+a]}{P(T\geqslant t)}=\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(t+a)}}{\mathrm{e}^{-\lambda t}}=\mathrm{e}^{-\lambda a}=\boxed{\textcolor{red}{P(T\geqslant a)}}$
(loi de durée de vie sans vieillissement).
\end{enumerate}

\item Dans cette partie, la durée de vie en heures d'une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d'espérance \np{10000}.
	\begin{enumerate}
		\item
%Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi.
On sait que pour une loi exponentielle, l'espérance $E(T)$ est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$.

On a donc $\dfrac{1}{\lambda}=\numprint{1000}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lambda=\numprint{0,0001}}}$.

		\item %Calculer la probabilité $P(T\geqslant \np{5000})$.
$P(T\geqslant \numprint{5000})=\mathrm{e}^{-0,0001\times 5000}=\mathrm{e}^{-0,5}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,6065}}}$

		\item %Sachant qu'une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant \np{7000} heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse \np{12000} heures.
$P_{(T\geqslant \numprint{7000})}\left(T\geqslant \numprint{12000}\right)=P\left(T\geqslant \numprint{5000}\right)\approx \numprint{0,6065}$\: (d'après 1. b.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu'il n'y a pas plus de 6~\% d'ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur \np{1000}.
\begin{enumerate}
\item %Dans le cas où il y aurait exactement 6~\% d'ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% de la fréquence d'ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille \np{1000}.
On a $p=0,06$, $n=\numprint{1000}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n\geqslant 30$

\item $np=60\geqslant 5$

\item $n(1-p)=\numprint{9400}\geqslant 5$
\end{enumerate}
Les conditions sont réunies pour qu'on puisse calculer un  intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\%.

$I_{95}=\left[p-\dfrac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1,96\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\approx \left[0,0452~;~0,0748\right]$.

\item %A-t-on des raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise~?
La fréquence observée d'ampoules  défectueuses est $f=\dfrac{0,71}{1000} = 0,071$.

$f\in I_{95}$.
Au risque d'erreur de 5\:\%, on il n'y a pas lieu de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise.
\end{enumerate}


%: EXERCICE 2
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On munit  le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-2\right\vert = 1$.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $\mathcal{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
Soit A le point d'affixe 2.

$\left\vert z-2\right\vert=1\iff AM=1$ donc $\mathcal{C}$ est le cercle de centre A et de rayon 1.

\item %Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=ax$.\\
%Déterminer le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.
$M(z)\in\mathcal{C}\cap\mathcal{D}\iff \begin{cases}\left\vert z-2\right\vert=1\\y=ax\end{cases}\iff \begin{cases}y=ax\\\left\vert x-2+\mathrm{i}ax \right\vert=1\end{cases}$.

$\left\vert x-2+\mathrm{i}ax \right\vert=1\iff (x-2)^2+a^2x^2=1\iff \left(1+a^2\right)x^2-4x+3=0$.

Le discriminant est $\Delta=16-12\left(1+a^2\right)=4-12a^2=4\left(1-3a^2\right)$.

Pour qu'il y ait une intersection, il faut que cette équation ait au moins une solution réelle, donc que $\Delta \geqslant 0$.

On doit avoir $1 - 3a^2 \geqslant  0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\leqslant a\leqslant \sqrt{\dfrac{1}{3}}}}$.

On peut alors distinguer trois cas :
\begin{itemize}
\item \textbf{Premier cas.} $a\in\left]-\infty~;-\frac{\sqrt{3}}{3}\right[\cup\left]\frac{\sqrt{3}}{3}~;~\infty\right[$:  aucun point d'intersection.

\item \textbf{Deuxième cas.} $a=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$: un seul point d'intersection (la droite et le cercle sont tangents).

\item \textbf{Troisième cas.} $a\in\left]-\frac{\sqrt{3}}{3}~;~\frac{\sqrt{3}}{3}\right[$: deux points d'intersection.
\end{itemize}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}


\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$.
\begin{enumerate}
\item
%Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
%\emph{Indication: on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de }\:$0$, 
Pour tout $x\neq 0$, $f(x)=x\mathrm{e}\times \mathrm{e}^{-x^2}=\dfrac{\mathrm{e}}{x}\times \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x^2}}$.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{x^2}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}++\infty$ (croissances comparées).

Donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x^2}}\right)=0$ .

Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}}{x}\right)=0$, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}}$.

$f(x)=\frac{\e}{x}\times\frac{x^2}{\e^{x^2}}$.

\smallskip

On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à 0.

\item \begin{enumerate}
\item %On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.\\
%Démontrer que pour tout réel $x$,
%\[
%f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.
%\]
$f=u\mathrm{e}^{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\u'(x)=1\end{cases}$ et $\begin{cases}v(x)=1-x^2\\v'(x)=-2x\end{cases}$.

$f'= u'\mathrm{e}^{v}+u\times v'\mathrm{e}^{v}$ d'où :

$f'(x)=\mathrm{e}^{1-x^2}+x\times (-2x)\mathrm{e}^{1-x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\left(1-2x^2\right)\mathrm{e}^{1-x^2}}}$.

\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Comme $\mathrm{e}^{1-x^2>0}$, $f'(x)$ est du signe de $1-2x^2$.

$1-2x^2=0\iff x^2=\dfrac{1}{2}\iff x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $1-2x^2$ est positif (signe opposé à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines.

$f\left(-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\mathrm{e}^{\frac12}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\frac12}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \mathrm{e}=-\dfrac{\sqrt{2\mathrm{e}}}{2}$ et $f\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{2\mathrm{e}}}{2}$.

Tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\d&-\dfrac{\sqrt{2\mathrm{e}}}{2}&\c&\h{\dfrac{\sqrt{2\mathrm{e}}}{2}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.
\begin{center}

\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2.7,-1.6)(3.2,2.75)
\multips(0,-1)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.7,0)(3.2,0)}
\multips(-2,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7)(0,2.7)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.7,-1.7)(3.2,2.75)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{x*EXP(1.0-x^(2.0))}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{EXP(1.0-x)}
\begin{scriptsize}
\uput[45](-1,-1){\qqwuqq{$C_f$}}
\uput[-135](0.5,1.6487212707){\ccqqqq{$C_g$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre~?
Il semble que $\mathscr{C}_f$ soit en dessous de $\mathscr{C}_g$  et que les deux courbes soient tangentes en un point.

\item %Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~0]$, $f(x)<g(x)$.
Soit $x\leqslant 0$ ; $f(x)=x\mathrm{e}^{1-x^2}\leqslant 0$ car $x\leqslant 0$ et $\mathrm{e}^{1-x^2}>0$ et $g(x)=\mathrm{e}^{1-x}>0$, donc $f(x)< g(x)$.

\item Dans cette question, on se place dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,
%\[
%f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0.
%\]
$f(x)\leqslant g(x)\iff x\mathrm{e}^{1-x^2}\leqslant \mathrm{e}^{1-x}\iff x\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x^2}\iff \mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\iff x\mathrm{e}^{-x^2}\leqslant \mathrm{e}^{-x}\iff \ln\left(x\mathrm{e}^{-x^2}\right)\leqslant \ln\left(\mathrm{e}^{-x}\right)$ (car la fonction $\ln$ est croissante).

cela équivaut à $\ln x-x^2\leqslant -x\iff \ln x-x^2+x\leqslant 0\iff \boxed{\textcolor{red}{\Phi(x)\leqslant 0}}$.

On admet pour la suite que $f(x)=g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.

\item %On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)
$\Phi'(x) = \dfrac{1}{x} - 2x + 1=\dfrac{-2x^2 + x + 1}{x}$ qui est du signe de $- 2x^2 + x + 1$ car $x > 0$.

On calcule le discriminant : $\Delta = 9 > 0$ : il y a deux racines : $-\dfrac{1}{2}$ et 1.

Cette expression est négative (du signe du coefficient de $x^2$, donc de -2) en dehors de l'intervalle formé par les racines.

$\Phi(1)=0$.

On en déduit le tableau de variations de $\phi$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
\Phi '(x)&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\m{\Phi(x)}&\bb&&\c&\h{0}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item %En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\leqslant 0$.
Le maximum de $\Phi(x)$ est $\Phi(1)=0$ donc, pour tout $x>0$, $\Phi(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide~?
$\Phi(x)\leqslant 0\iff f(x)\leqslant g(x)$ donc $\mathscr{C}_f$ est bien en dessous de $\mathscr{C}_g$.

\item %Montrer que $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.
$f(x)=g(x)\iff \Phi(x)=0\iff x=1$ donc les deux courbes ont un point commun, A, de coordonnées (1~;~1).

\item %Montrer qu'en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.
$f'(1)=-1$ : $g'(x)= -\mathrm{e}^{1-x}$ donc $g'(1)=-1$.

En A, les deux tangentes ont l même coefficient directeur, donc les deux courbes ont même tangente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
On pose $u(x)=1-x^2$ ; alors $u'(x)=-2x$ donc $x=-\dfrac{1}{2}u'(x)$ d'où $f=-\dfrac{1}{2}u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$.

Une primitive est $F(x)=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{u(x)}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{1-x^2}}}$.

\item %En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x$.
$\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x= \displaystyle\int_0^1[g(x)-f(x)\text{ d}x]$.

Une primitive de $g-f$ est $G-F$ avec 

$(G-F)(x)=-\mathrm{e}^{1-x}-\left(-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{1-x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{1-x^2}-\mathrm{e}^{1-x}$.

$\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x=(G-F)(1)-(G-F)(0)=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)-\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\mathrm{e}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}}}$.

\item %Interpréter graphiquement ce résultat.
Ce résultat  correspond à l’aire en unités d'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$, $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
\end{enumerate}

EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{multicols}{2}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à~1.\\
L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;\vect{DC},\vect{DA},\vect{DH})$.

\smallskip

Dans ce repère, on a:

$D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,\\
$H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.

\smallskip

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.1,5.1)
\psset{PointSymbol=*}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](3,3){F}
\pstGeonode[PosAngle=180](1.2,1){D}
\pstTranslation[PosAngle=10]{C}{D}{B}[A]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{F}[E]
\pstMiddleAB[PosAngle=-100]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=10]{A}{E}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{E}{H}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{H}{G}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{G}{C}{K}
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray](L)(M)(N)(I)(J)(K)(L)
\psline(C)(B)(A)(E)(H)(G)(C)
\psline(G)(F)(E)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](C)(D)(A)(D)(H)
\psline(K)(J)
\psline(I)(N)
\psline(L)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(K)
\psline[linestyle=dashed](M)(N)
\psline[linestyle=dashed](J)(I)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

\smallskip

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
%Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
$\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$\\
$\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ ne sont clairement pas colinéaires.

$\overrightarrow{DF}.\overrightarrow{BG}=0-1+1=0$ ; $\overrightarrow{DF}.\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0$.

$\overrightarrow{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGE) donc c'est un vecteur normal à ce plan.

\item %En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
$\mathscr{P}$ et $(BGE)$ sont parallèles, donc $\overrightarrow{DF}$ est aussi un vecteur normal àu plan $\mathscr{P}$.

Une équation cartésienne de ce plan est : $\left(x-x_I\right)+\left(y-y_I\right)+\left(z-z_I\right)=0\iff \boxed{\textcolor{red}{x+y+z=\dfrac{3}{2}}}$.

\end{enumerate}

\item %Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
Le point N appartient à [AE]. Ses coordonnées sont donc $\left(0~;~1~;~z_N\right)$.

Il appartient au plan $\mathscr{P}$ donc $0+1+z_N=\dfrac{3}{2}\iff z_N=\dfrac{1}{2}$.

Ainsi N est le milieu de [AE].

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
$\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$.

Une représentation paramétrique de $(HB)$ est $\begin{cases}x=x_H-t\\y=y_H-t\\z-z_H+t\end{cases}~, t\in\mathbb{R}\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=-t\\y=-t\\z=1+t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$.

\item %En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
$\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{DF}=-1-1+1=-1\neq 0$.

Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(HB)$ sont donc sécants.

On injecte les équations de (HB) dans l’équation de $\mathscr{P}$.

$-t-t+1+t-\dfrac{3}{2} = 0\iff -t-\dfrac{1}{2}=0\iff t=-\dfrac{1}{2}$.

Donc $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ son sécants en un point $\boxed{\textcolor{red}{T\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.
\end{enumerate}

\item %Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
$BGF$ est rectangle en F. Son aire est $\mathscr{A}(BGF)=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

Le volume du tétraèdre $FBGE$ est alors $\mathscr{V}(FBGE)=\dfrac{\mathscr{A}(BGF)\times FE}{3}=\dfrac{\frac12\times 1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

On considère l'équation suivante d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs:
\begin{equation}
\tag{E}
7x-3y=1.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Un  algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant $-5\leqslant x\leqslant 10$ et 

$-5\leqslant y\leqslant 10$.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{ll}
Variables: & X est un nombre entier\\
& Y est un nombre entier\\
Début: & Pour X variant de $-5$ à 10\\
&\phantom{XXXX} (1) \textbf{\textcolor{red}{Pour Y variant de -5 à 10}}\\
&\phantom{XXXXXXXX} (2) $\textbf{\textcolor{red}{Si 7X-3Y=1}}$\\
&\phantom{XXXXXXXX} Alors Afficher X et Y\\
&\phantom{XXXXXXXX} Fin Si\\
&\phantom{XXXX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
Fin&
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item
%Donner une solution particulière de l'équation (E).
$7\times 1-3\times 2=7-6=1$ donc $(1~;~2)$ est une solution particulière de (E).

\item %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Soit $(x~;~y)$ un couple solution quelconque de (E).

Pn a alors : $7x-3y=7\times 1-3\times 2\iff 7(x-1)=3(y-2)$.

7 divise $7(x-1)$ donc 7 divise $3(x-2)$.

7 et 3 sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, 7 divise $y-2$ donc $y-2=7k$ d'où $y=2+7k,~k\in\mathbb{Z}$.

On remplace $y$ par $7+2k$ : on trouve $x=7(x-1)=3\times 7k$ d'où $x-1=3k$ donc $x=1+3k$.

L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(1+3k~;~2+7k\right),~k\in\mathbb{Z}\right\}}}$.

\item %Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$.
On veut que $-5\leqslant 1+3k\leqslant 10$ et $-5\leqslant 2+7k\leqslant 10$
Soit $-6\leqslant 3k\leqslant 9$ et $-7\leqslant 7k\leqslant 8$
D’où $-2\leqslant k\leqslant 3$ et $-1\leqslant k\leqslant \dfrac{8}{7}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

\smallskip

On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation 
\[
7x - 3y-1=0
\]
On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $(x_n~:~y_n)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_0&=&1\\
y_0&=&2
\end{array}
\right.\qquad\text{et}\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex]
y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item
On note $M$ la matrice \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}
\frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8
\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}. Pour tout entier naturel $n$, on pose 

$X_n=\begin{pmatrix}
x_n\\y_n
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
$MX_n=\begin{pmatrix}-\dfrac{13}{2}x_n+3y_n\\-\dfrac{35}{2}x_n+8y_n\end{pmatrix}=X_{n+1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{X_{n+1}=MX_n}}$.

\item %Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
Pour tout $n$, on a : $\boxed{\textcolor{red}{X_n=M^nX_0}}$.
\end{enumerate}

\item On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}
-2&-3\\-5&-7
\end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix}
7&-3\\-5&2
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item
%Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
$P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ donc $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ qui est bien une matrice diagonale.

 \item %Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
 Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2^n}\end{pmatrix}}}$.

 \item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{Initialisation} : Pour $n=0$, $M^0=I_2$ (matrice identité) et $PD^0P-1=I_2$ donc c'est vrai.

\item \emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$ quelconque, on ait $M^n = PD^nP^{-1}$, alors 

$M^{n+1}=M^n\times M=PD^nP^{-1}\times M=PD^nP^{-1}\times PDP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}$.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
La propriété étant vraie au rang $0$ et la propriété étant héréditaire à tout rang, d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.
\end{enumerate}

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix}
-14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex]
-35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n}
\end{pmatrix}$.\\
% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
On a $X_n=M^nX_0$ donc $\begin{cases}x_n=-14+\dfrac{15}{2^n}+12-\dfrac{12}{2^n}\\y_n=-35+\dfrac{35}{2^n}+30-\dfrac{25}{2^n}\end{cases}$ donc :
\renewcommand\arraystretch{2}
$\boxed{\textcolor{red}{\begin{array}{l c r}x_n&=&-2+\dfrac{36}{2^n}\\y_n&=&-5+\dfrac{7}{2^n}\end{array}}}$.

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
Pour tout $n$, $7x_n-3y_n-1=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1=1-1=0$ donc $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{document}