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% Tapuscrit Denis Vergès
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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small 20 juin 2019}
\cfoot{\small Page \thepage/\pageref{Fin}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. 

\smallskip

Une tasse de café est servie à une température initiale de 80~\degres C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$. 

Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction. 

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.} 

\medskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l'instant $n$, avec $T_n$ 
exprimé en degré Celsius et $n$ en minute. On a ainsi $T_0 = 80$. 

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n + 1$ par l'égalité: 

\[T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)\] 

où $k$ est une constante réelle. 

Dans la suite de la partie A, on choisit $M = 10$ et $k = - 0,2$. 

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n  -10\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$ ? .
Le café est chaud au départ, dans une pièce dont la température est fraiche ; le café va refroidir et sa température va aller vers celle de la pièce, donc la suite est décroissante.

\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ :\: $T_{n+1} = 0,8 T_n + 2$. 
Pour tout $n$, $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n  -10\right)\iff T_{n+1}=\boxed{\textcolor{red}{T_n- 0,2 \left(T_n  -10\right) = 0,8T_n + 2}}$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$:\: $u_n = T_n - 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
		Pour tout $n$, $u_{n+1}=T_{n+1}-10=0,8T_n + 2 - 10 = 0,8T_n-8 = 0,8\left(T_n-10\right)= 0,8u_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} = 0,8u_n}}$.
		
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,8$ et de premier terme 
$u_0=T_0-10=80-10=70$.
		
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n = 70 \times 0,8^n + 10$. 
On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=u_0q^n=70\times 0,8^n$ donc, comme $u_n = T_n - 10 \iff T_n = u_n + 10 $, on a donc $\boxed{\textcolor{red}{T_n = 70 \times 0,8^n + 10}}$.
		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$. 
		$-1<0,8<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}0,8^n= 0$ et aussi $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}70 \times 0,8^n = 0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty} T_n = 10}}$.
	\end{enumerate}
	
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline
Tant que $T \geqslant 40$\\ 
\hspace{0.8cm}$T\gets 0,8T+2$\\
\hspace{0.8cm}$ n \gets n+1$\\ 
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$. 

%Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? 
On obtient les valeurs 80~;~66~;~54,8~;~45,84~;~38,672.

À la fin de l'algorithme, $n$ vaut 4.

		\item %Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. 
		\fbox{\textcolor{red}{Au bout de 4 minutes, la température du café est tombée à 40 \degre C}}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\theta(t)$ la température du café à l'instant $t$, 
avec $\theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\theta(0) = 80$. 

\medskip

Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\theta$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par 
l'égalité : 

\[\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M). \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $M = 0$. On cherche alors une fonction $\theta$ dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ vérifiant $\theta(0) = 80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\theta'(t) = - 0,2\theta(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si $\theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}$. 

%Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t) = 0$. 
$f$ est un quotient : $f'(t)=\dfrac{\theta'(t)\times \mathrm{e}^{-0,2t}-\theta(t)\times \left(-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right)}{\left(\mathrm{e}^{-0,2t}\right)^2}=\dfrac{-0,2\theta(t)\mathrm{e}^{-0,2t}+0,2\theta(t)\mathrm{e}^{-0,2t}}{\left(\mathrm{e}^{-0,2t}\right)^2}$

$f'(t)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

		\item %En conservant l'hypothèse du \textbf{a.}, calculer $f(0)$. 
$f(0)=\dfrac{80}{1} = 80$.

%En déduire, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\theta(t)$. 
Puisque $f'(t) = 0$ pour tout $t$, $f$ est \textbf{constante}, donc, pour tout $t$, $f(t) =f(0) = 80$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\theta(t) = 80\mathrm{e}^{-0,2t}}}$.

		\item %Vérifier que la fonction $\theta$ trouvée en \textbf{b.} est solution du problème. 
$\theta(0)=80$ et $\theta'(t) = 80\times \left(- 0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right) = -0,2\theta(t)$ donc $\theta$ est solution du problème.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on choisit $M = 10$. On admet qu'il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de 
l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : 

\[g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t},\: \text{où }\: t\: \text{est exprimé en minute et}\: g(t) \:\text{en degré Celsius.} \]

Une personne aime boire son café à $40$~\degres C. 

%Montrer qu'il existe un unique réel $t_0$ dans $[0~;~+\infty[$ tel que $g\left(t_0\right) = 40$. 
$g$ est dérivable ; $g'(t)=70\times \left(-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right)=-14\mathrm{e}^{-0,2t}<0$ donc $g$ est strictement décroisante sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item[$\bullet~~$] $g$ est continue (dérivable donc continue ou somme, produit et composée de fonctions continues)

\item[$\bullet~~$] $g(0) = 80>40$

\item[$\bullet~~$] $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}g(t)=10<40$ car $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}(-0,2t)=-\infty$ donc $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}70\mathrm{e}^{-0,2t}= \displaystyle\lim_{T\rightarrow -\infty}70\mathrm{e}^{T} = 0$.
\end{enumerate}

D'après le \textbf{théorème des valeurs intermédiaires}, l'équation $g(t)=40$ a au moins une solution. Comme la fonction est décroissante, cette solution est unique ; on la note $t_0$.
%Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde.
 
À la calculatrice, on trouve $t_0 = 4,236$ (min), donc environ 4~min~14 s.

Le café est à une température de 40\degre au bout de 4~min~14~s environ.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l'affirmation exacte, $0$ sinon. 
\smallskip

Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace. 

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

\textbf{ Aucune justification n'est demandée.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère le plan $P$  d'équation cartésienne $3x + 2 y + 9 z - 5 = 0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est:
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &4t+3\\ y& =& - t + 2 \\z&=& -t+9
\end{array}\right. , t \in \R$. 

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation A}} : l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées (3~;~2~;~9).

$M(x~;~y~;~z)\in P \cap d\iff \begin{cases}x=4t+3\\y=-t+2\\z=-t+9\\3x + 2 y + 9 z - 5 = 0\end{cases}\iff \begin{cases}x=4t+3\\y=-t+2\\z=-t+9\\3(4t+3)+2(-t+2)+9(-t+9)-5=0\end{cases}$

$\iff \begin{cases}x=4t+3\\y=-t+2\\z=-t+9\\t+89=0\end{cases} \iff \begin{cases}x=-353\\y=91\\z=98\\t=-89\end{cases}$.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation B}} : le plan $P$ et la droite $d$ sont orthogonaux. 

Un vecteur normal au plan $P$ est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\9\end{pmatrix}$.
 Un vecteur directeur de $d$ est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
 
$\overrightarrow{u}$et $\overrightarrow{n}$ ne sont pas colinéaires donc $d$ et $P$ ne sont pas orthogonaux.\\
L'affirmation B est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation C}} : le plan $P$ et la droite $d$ sont parallèles. \\
$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=3\times 4+2\times (-1)+9\times (1)=12-2+9\neq 0$ donc $\overrightarrow{u}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{n}$, vecteur normal à $P$ ; le plan $P$ et la droite $d$ ne sont pas parallèles.\\
L''affirmation C est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Affirmation D}} : l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353~;~91~;~98)$. \\
Vrai, puisque l'on a trouvé les coordonnées du point d'intersection pour la première affirmation.

\item ~

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles : 

\[\vect{\text{AI}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{DJ}}= \dfrac{1}{4}\vect{\text{DC}},\:\vect{\text{HK}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{HG}}.\]

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.25,0.25)(4.75,4.75)%ABCD
\psline(4.75,0.25)(5.75,1.25)(5.75,5.75)(4.75,4.75)%BFGC
\psline(5.75,5.75)(1.25,5.75)(0.25,4.75)%GHD
\psline[linestyle=dashed](0.25,0.25)(1.25,1.25)(1.25,5.75)%AEH
\psline[linestyle=dashed](1.25,1.25)(5.75,1.25)%EF
\uput[l](0.25,0.25){A} \uput[r](4.75,0.25){B} \uput[r](4.75,4.75){C} \uput[l](0.25,4.75){D} 
\uput[ur](1.25,1.25){E} \uput[ur](5.75,1.25){F} \uput[ur](5.75,5.75){G} \uput[ul](1.25,5.75){H}
\psdots(3.375,0.25)(1.125,4.75)(4.625,5.75)%IJK
\psline(4.625,5.75)(1.125,4.75)%[JK]
\psline[linestyle=dashed](5.75,3.5)(4.625,5.75)%[LK]
\psline(5.75,3.5)(5.3,0.8)%[LM]
\psline[linestyle=dashed](3.375,0.25)(5.3,0.8)%[IM]
\psline(3.375,0.25)(1.125,4.75)%[IJ]
\uput[u](3.375,0.25){I} \uput[d](1.125,4.75){J} \uput[u](4.625,5.75){K} 
\psdots(5.75,3.5)(5.3,0.8)%L et M
\uput[r](5.75,3.5){L}%L
\uput[r](5.3,0.8){M}%M
\end{pspicture}
\end{center}

On cherche la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) :\\
On trace le segments [IJ] et [JK].\\
Le plan (ABC) est parallèle au plan (EFG) ; le plan (IJK) coupe ces deux plans selon deux droites parallèles, donc on trace le segment [KL], parallèle au segment [IJ].\\
De même, le plan (IJK) coupe les plans parallèles (ABF) et (DCG) selon deux droites parallèles ; on trace alors le segment [IM], parallèle au segment [JK].\\
On trace alors [KL].\\
La section du cube par le plan (IJK) est donc un pentagone IJKLM. (\textbf{\textcolor{red}{affirmation C}})


\item On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t + 2\\y &=& 2\\z&=&5t - 6
\end{array}\right.$ , avec $t \in \R$, et le 
point A$( - 2~;~1~;~0)$. Soit $M$ un point variable de la droite $d$. 

\medskip

%\textbf{Affirmation A} : la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{53}$ . 
%
%\textbf{Affirmation B} : la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{27}$. 
%
%\textbf{Affirmation C} : la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(-2~;~1~;~0)$. 
%
%\textbf{Affirmation D} : la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(2~;~2~;~-6)$. 
On a :\\
$AM^2=(t+2+2)^2+(2-1)^2+(5t-6)^2=(t+4)^2+1+(5t-6)^2=t^2+8t+16+1+25t^2-60t+36\\
=26t^2-52t+53$.\\
Le coefficient de $t^2$ est 2$6>0$ : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour $t=-\dfrac{52}{2\times 26}=1$.\\
Ce minimum vaut \fbox{\textcolor{red}{27}}.\\
Ainsi la plus petite longueur AM est-elle égale à $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. (\textbf{\textcolor{red}{Affirmation B}})

\item On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan $P'$ d'équation cartésienne $2x - y + 2 = 0$. 

\medskip
%
%\textbf{Affirmation A} : les plans $P$ et $P'$ sont parallèles. 
%
%\textbf{Affirmation B} : l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par les points A(5~;~12~;~10) et B (3~;~1~;~2). 
%
%\textbf{Affirmation C} : l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point C(2~;~6~;~5) et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~2~;~2)$. 
%
%\textbf{Affirmation D} : l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point D$(-1~;~0~;~0)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{v}(3~;~6~;~5)$. 
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $P$ ;
$\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $P'$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc l'affirmation A est fausse.

Le point B ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan $P'$. Affirmation B fausse.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=-1\neq 0$. Aucune droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ n’est incluse dans le plan $P$.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0$ et $\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{u}=0$. De plus les coordonnées du point D vérifient les deux équations cartésiennes.

\textbf{\textcolor{red}{L'affirmation D est vraie}}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les parties A, B et C sont indépendantes. 

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au millième. 

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip 

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années. 

En 2017, le pays comptait 52\,\% de femmes. Cette même année, 92\,\% des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, 55\,\% étaient des femmes. 

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og la personne choisie est un homme\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og la personne choisie a déjà consommé des produits bio \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Traduire les données numériques de l'énoncé à l'aide des évènements $F$ et $B$. 
Traduction des données :\\
$\boxed{\textcolor{red}{P(F)=0,52}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{P(B)=0,92}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{P_B(F)=0,55}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$. 
		On a : $P(F \cap B)=P_B(F)\times P(B)=0,55\times 0,92=0,506$

		\item %En déduire la probabilité qu'une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c'est une femme. 
		On en déduit : $P_F(B)=\dfrac{P(F \cap B)}{P(F)}=\dfrac{0,506}{0,52}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,973}}$.\\
La probabilité qu'une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c'est une femme vaut environ 0,973.

	\end{enumerate}
\item %Calculer $P_H\left(\overline{B}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 
$P(B)=P(B \cap F)+P(B \cap H)$ donc $P(B \cap H)=P(B)-P(B \cap F)=0,92-0,506=0,414$.\\
On a $P_H(B)=\dfrac{P(B \cap H)}{P(H)}=\dfrac{0,414}{0,48}$ donc $P_H\left(\overline{B}\right)=1-\dfrac{0,414}{0,48}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,1375}}}$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip 

Dans un supermarché, un chef de rayon souhaite développer l'offre de produits bio. 

Afin de justifier sa démarche, il affirme à son responsable que 75\,\% des clients achètent des produits bio au moins une fois par mois. 

Le responsable souhaite vérifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage à la sortie du magasin. Sur \np{20000} personnes interrogées, \np{1421} répondent qu'elles consomment des produits bio au moins une fois par mois. 

%Au seuil de 95\,\%, que peut-on penser de l'affirmation du chef de rayon ? 
La proportion théorique de personnes achetant des produit bio au moins une fois par mois est \\
$p=0,75$.\\
La taille de l'échantillon est $n=2000$.\\
On a : $\begin{cases}n=2000\geqslant 30\\np=1500\geqslant 5\\n(1-p)=500\geqslant 5\end{cases}$.\\
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est alors :\\
$I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,75-1,96\dfrac{\sqrt{0,75\times 0,25}}{\sqrt{2000}}~;~0,75+1,96\dfrac{\sqrt{0,75\times 0,25}}{\sqrt{2000}}\right]$

$\boxed{\textcolor{red}{\approx [0,731~;~0,769]}}$.

La fréquence observée réelle est $f=\dfrac{1421}{2000}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,7105\notin I}}$.

Au risque d’erreur de 5\:\%, on peut dire que l’affirmation du chef de rayon est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie C}}

\medskip 

Pour promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d'un magasin décide d'organiser un jeu qui consiste, pour un client, à remplir un panier avec une certaine masse d'abricots issus de l'agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu du panier si la masse d'abricots déposés est comprise entre $3,2$ et $3,5$~kilogrammes. 

La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi de probabilité de densité $f$ définie sur l'intervalle [3~;~4] par : 

\[f(x) = \dfrac{2}{(x - 2)^2}.\] 

Rappel : on appelle fonction de densité d'une loi de probabilité sur l'intervalle $[a~;~b]$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur 
$[a~;~b]$, telle que l'intégrale de $f$ sur $[a~;~b]$ est égale à 1. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $f$ précédemment définie est bien une fonction de densité d'une loi de probabilité sur l'intervalle [3~;~4]. 
On pose $u(x)=x-2$ : alors $u'(x)=1$. On en déduit $f=2\times \dfrac{u'}{u^2}$. Une primitive est alors \\
$F=2\times -\dfrac{1}{u}=-2\times \dfrac{1}{u}$ d'où $F(x)=-2\times \dfrac{1}{x-2}$\\
On en déduit : $\int_3^4f(x)\text{ d}x=F(4)-F(3)=-2\left[\dfrac{1}{2}-1\right]=-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=1$.\\
$f$ est donc bien une fonction de densité sur $[3~;~4]$.

\item %Le magasin annonce : \og Un client sur trois gagne le panier ! \fg. 

%Cette annonce est-elle exacte ? 
$P(3,2\leqslant X\leqslant 3,5)=\int_{3,2}^{3,5}f(x)\text{ d}x=F(3,5)-F(3,2)=-2\left[\dfrac{1}{1,5}-\dfrac{1}{1,2}\right]=-2\left[\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}\right]=-2\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\
L'annonce est donc \textbf{\textcolor{red}{exacte}}.

\item Cette question a pour but de calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. 

On rappelle que, pour une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$,\: E($X$) est 
donnée par : E$(X) = \displaystyle\int_a^b x f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $G$, définie sur l'intervalle [3~;~4] par $G(x) = \ln (x - 2) - \dfrac{x}{x - 2}$, est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{x}{(x - 2)^2}$ sur cet intervalle. 
		Soit $G(x)=\ln (x - 2) - \dfrac{x}{x - 2}$.\\
		On sait que $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ donc $G'(x)=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1\times (x-2)-1\times x}{(x-2)^2}=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{(x-2)^2}=\dfrac{1(x-2)+2}{(x-2)^2}=\dfrac{x}{(x-2)^2}$.\\
		$G$ est bien une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{x}{(x-2)^2}$.
		
		\item %En déduire la valeur exacte de E($X$), puis sa valeur arrondie au centième. 

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
On a : $E(X)=\int_3^4xf(x)\text{ d}x=\left[2G(x)\right]_3^4=2\left[G(4)-G(3)\right]$.\\
$G(4)=\ln 2-2$~;~$G(3)=-3$ donc $E(X)=2(1+\ln 2)\approx 3,39$ ; $\boxed{\textcolor{red}{E(X)=2(1+\ln 2)\approx 3,39}}$\\
En moyenne, la masse du panier déposé par les clients est environ égale à 3,39 kg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $(E)$ à l'inconnue $z$ : 

\[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = 0\quad (E). \]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le nombre $-2\text{i}$ est une solution de l'équation $(E)$. 
		$(-2\mathrm{i})^3+\left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right)\times (-2\mathrm{i})^2+ \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right)\times (-2\mathrm{i})+8\mathrm{i}\\
		=8\mathrm{i}+\left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right)\times (-4)+ \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right)\times (-2\mathrm{i})+8\mathrm{i}\\
		=8\mathrm{i}+8\sqrt{3}-8\mathrm{i}-8\mathrm{i}-8\sqrt{3}+8\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
		$-2\mathrm{i}$ est donc bien une solution de l'équation $(E)$.
		
		\item %Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a : 

%\[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = (z + 2i)\left(z^2 - 2\sqrt{3} z + 4\right).\] 
Pour tout $z\in\mathbb{C}$, $(z + 2i)\left(z^2 - 2\sqrt{3} z + 4\right)=z^3-2\sqrt{3}z^2+4z+2\mathrm{i}z^2-4\sqrt{3}\mathrm{i}z+8\mathrm{i}\\
=z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i}$.
Donc : $z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i}=(z + 2i)\left(z^2 - 2\sqrt{3} z + 4\right)$.

		\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes. 
		Dans $\mathbb{C}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un l'un des facteurs est nul.
		
On a :
		\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $z+2\mathrm{i}=0$ donc $z_1=-2\mathrm{i}$

\item[$\bullet$] $z^2 - 2\sqrt{3} z + 4=0$\\
$\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times 4=12-16=-4<0$ ; l'équation a deux solutions complexes conjuguées.

$z_2=\dfrac{2\sqrt{3}-(2\mathrm{i})}{2}=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et $z_3=\overline{z_2}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$
\end{enumerate}
Les solutions de $(E)$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{S}=\{-2\mathrm{i}~;~\sqrt{3}-\mathrm{i}~;~\sqrt{3}+\mathrm{i}\}}}$.

\item %Écrire les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle. 
	\begin{enumerate}
		\item[$\bullet$] $z_1=-2\mathrm{i}=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi2}$.\\
		$z_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi6}$.
		\item[$\bullet$] $z_3=\overline{z_2}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\emph{Dans la suite, on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine }O. 

\begin{enumerate}
\item On considère les points A, B, C d'affixes respectives $-2i$, $\sqrt{3} + \text{i}$ et $\sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon. 
		On a $\left|z_1\right|=2$~;~$\left|z_2\right|=2$ et $\left|z_3\right|=\left|\overline{z_2}\right|=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{OA=OB=OC=2}}$.\\
		A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
		
		\item %Placer ces points sur une figure que l'on complètera par la suite. 
		Voir figure en fin d'exercice.
		
		\item %On note D le milieu du segment [OB]. Déterminer l'affixe $z_{\text{L}}$ du point L tel que AODL soit un parallélogramme. 
		AODL est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{LD}\iff -z_A=z_D-z_L\iff z_A=z_L-z_D$ donc $z_L=z_A+z_D=z_A+\dfrac{1}{2}z_B=-2\mathrm{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives $(x~;~y)$ et $(x'~;~y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy' = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs du plan, d'affixes respectives $z$ et $z'$. 

%Montrer que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $z \overline{z'}$ est un imaginaire pur. 
$z\overline{z'}=(x+\mathrm{i}y)\left(x'-\mathrm{i}y'\right)=xx'+yy'+\mathrm{i}\left(x'y-xy'\right)$.

$\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx'+yy'=0\iff \text{Re}\left(z\overline{z'}\right)=0$, donc si, et seulement si, $z \overline{z'}$ est un imaginaire pur.

		\item %À l'aide de la question \textbf{3. a.}, démontrer que le triangle AOL est rectangle en L. 
		L'affixe du vecteur $\vect{OL}$ est $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}$.\\
		Celle du vecteur $\vect{AL}$ est $z'=z_L-z_A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}+2\mathrm{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.
		
Alors : $z\overline{z'}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}-\dfrac{3}{4}=-\sqrt{3}\mathrm{i}\in \mathrm{i}\mathbb{R}$.\\
		Les vecteurs $\vect{OL}$ et $\vect{AL}$ donc donc orthogonaux ; le triangle AOL est bien \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en L.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textcolor{red}{Figure}
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,3.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(3.,3.)
\pspolygon[linewidth=1pt](0.,-2.)(0.,0.)(0.8660254037844386,0.5)(0.8660254037844386,-1.5)
\pspolygon[linewidth=1pt](0.,-2.)(0.,0.)(0.8660254037844386,-1.5)
\pscircle[linewidth=2.pt](0.,0.){3}
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.,-2.)(0.,0.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.8660254037844386,0.5)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.8660254037844386,0.5)(0.8660254037844386,-1.5)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.8660254037844386,-1.5)(0.,-2.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.,-2.)(0.,0.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.8660254037844386,-1.5)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](0.8660254037844386,-1.5)(0.,-2.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0.,-2.)
\rput[bl](-0.2837108450420116,-2.3114560063359404){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1.7320508075688772,1.)
\rput[bl](1.7906327726119675,1.1411427666720229){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](1.7320508075688772,-1.)
\rput[bl](1.8602416188419668,-1.1002620819339533){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=ududff](0.,0.)
\rput[bl](-0.3115543835340113,0.09701007322203399){\ududff{$O$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](0.8660254037844386,0.5)
\rput[bl](0.9274830793599762,0.6121155353240285){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](0.8660254037844386,-1.5)
\rput[bl](0.9274830793599762,-1.39261923609995){\darkgray{$L$}}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=1pt](-3,-3)(3,3)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%% spé
\vspace{0,5cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice IV\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi la spécialité mathématique}

\medskip

On note $r$ l'ensemble des matrices colonnes à 2 lignes, à coefficients entiers. 

Soit $U = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$. À $U$ et $V$, on associe la matrice $A = \begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A) = u_1 v_2 - u_2v_1$. 

On dit que $(U,~V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU + bV$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, \:$V = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $X$ ne peut pas s'écrire $X = a U + b V$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs. 
		$X=aU+bV\iff \begin{cases}2a+b=10\\a+2b=10\end{cases}\iff \begin{cases}2a+b=10\\2a+4b=20\end{cases}\iff \begin{cases}2a+b=10\\3b=10\end{cases}$ donc $b$ n'est pas entier ; $X$ne peut pas s'écrire comme $aU+bV$ avec $a$et $b$ entiers relatifs.
		
		\item %Le couple $(U,~ V)$ est-il une base de $r$ ? 
Le couple $(U~;~V)$ n'est donc pas une base de $r$ puisque $C=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s'écrire sous la forme $aU+bV$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\emph{Dans la suite de l'exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété : \og si $d(A) = 1$, alors $(U, V)$ est une base de $r$ \fg.} 

\begin{enumerate}
\item En posant $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ le but de cette question est de déterminer $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ tel que $d(A) = 1$. On rappelle dans ce cas que la matrice $A$ associée au couple $(U,~ V)$ s'écrit : $A = \begin{pmatrix}6&v_1\\- 11&v_2\end{pmatrix}$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer la condition $d(A) = 1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$. 
		$d(A)=1\iff 6v_2+11v_1=1\iff \boxed{\textcolor{red}{11v_1+6v_2=1}}$.
		
		\item On considère l'équation $(E) :\: 11 x + 6 y = 1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. 

%Donner une solution particulière de l'équation $(E)$. 
$11\times (-1)+6\times 2=1$ donc le couple $(-1~;~2)$ est une solution particulière de cette équation.

		\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des entiers relatifs. 
		$(E)\iff 11 x + 6 y = 1\iff 11 x + 6 y = 11\times (-1)+6\times 2\iff 11(x+1)=6(2-y)$.\\
		11 divise $11(x+1)$ donc 11 divise 6(2-y) ; 11 et 6 sont premiers entre eux. D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème de Gauss}}, 11 divise $2-y$ donc $2-y=11k,~k\in\mathbb{Z}$ d'où $y=2-11k,~k\in\mathbb{Z}$.\\
		On remplace dans l'équation : $11(x+1)=6\times 11k$ d'où, en divisant par 11 non nul, $x+1=6k$ qui donne $x=-1+11k$.\\
		L'ensemble des solutions de (E) est $\boxed{\textcolor{red}{\mathcal{S}=\left\{(-1+6k~;~2-11k),~k\in\mathbb{Z}\right\}}}$
		
		\item %Déterminer alors une matrice $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d'une part l'égalité $d(A) = 1$ et, d'autre part, la condition $0 \leqslant v_1 \leqslant 10$. 
		Pour $k=1$, on trouve $x=5$ donc $0\leqslant x\leqslant 10$ et $y=-9$.\\
		La matrice $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix}$ vérifie $d(A)=1$ et $0\leqslant v_1\leqslant 10$.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}5\\- 9\end{pmatrix}$. Ainsi $A = \begin{pmatrix}6&5\\- 11&-9\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$. 
		On pose $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.\\
		$A\times B= \begin{pmatrix}6&5\\- 11&-9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\times (-9)+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+(-9)\times 11&-11\times (-5)+(-9)\times 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\text{Id}$ en notant Id la matrice identité .\\
		De même : $B\times A=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}6&5\\- 11&-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\text{Id}$.
		$AB=BA=Id$ donc $A$ est inversible et $A^{-1}=B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
		
		\item Soit $X$ un élément de $r$. 

%Montrer que l'égalité $X = aU + b V$ s'écrit matriciellement $X = A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. 
$X=aU+bV\iff \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix}\iff \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases}\iff \boxed{\textcolor{red}{X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$.
	
\item %Déduire des questions précédentes qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU +bV$, c'est-à-dire tel que $(U,~ V)$ est une base de $r$. 
$X=a\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\iff A^{-1}X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.\\
Ainsi, pour une matrice $X$ de $r$ donnée, existe-til une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que \\
$X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
		
		\item %Déterminer ce couple $(a~;~b)$ lorsque $X = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. 
Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{a=-33}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{b=40}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{Fin}
\end{document}