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%Relecture : François Hache
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Asie 21 juin 2018~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Cohérence du modèle
	\begin{enumerate}
		\item On a $f_p(0) = \dfrac{100p}{1 - (1 - p)} = \dfrac{100p}{p} = 100$.
		
On a bien une masse initiale de $100$ tonnes. 
		\item On a successivement :
		
$0 < p < 1 \iff - p < 0 < 1 - p$.

D'autre part la fonction $t \longmapsto \mathrm{e}^{-pt}$ est strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ de $\mathrm{e}^{0} = 1$ à $0$.

Donc $\mathrm{e}^{0} \leqslant 1$ d'où en multipliant par le nombre positif $1 - p$ :

$(1 - p) \mathrm{e}^{t} \leqslant 1 - p \iff 1 - (1 - p) \mathrm{e}^{t} \geqslant p$.
		\item Le résultat précédent $0 < p \leqslant  1 - p \iff 1 - (1 - p) \mathrm{e}^{t}$ donne en prenant les inverses :
		
		$0 < \dfrac{1}{1 - (1 - p) \mathrm{e}^{t}} < \dfrac{1}{p}$ d'où en multipliant par $100p$ :
		
		$0  < \dfrac{100p}{1 - (1 - p) \mathrm{e}^{t}}< \dfrac{100p}{p}$ ou encore $0 < f_P(t) \leqslant 100$.
	\end{enumerate}
\item Cas particulier $p = 0,9$ : $f_{0,9}(t) = \dfrac{90}{1 - 0,1\mathrm{e}^{-0,9t}}$.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction est de la forme $\dfrac{a}{u}$ avec $u = 1 - 0,1\mathrm{e}^{-0,9t}$, de dérivée $- \dfrac{au'}{u^2}$, donc sur $[0~;~+ \infty[$ :
		
$f'_{0,9}(t) = - \dfrac{90 \times 0,1 \times 0,9\mathrm{e}^{-0,9t}}{\left(1 - 0,1\mathrm{e}^{-0,9t}\right)^2} = -\dfrac{8,1\mathrm{e}^{-0,9t}}{\left(1 - 0,1\mathrm{e}^{-0,9t}\right)^2}$.
		
$f'_{0,9}(t)$  opposée du quotient de deux termes positifs est négative, donc la fonction $f_{0,9}$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$
		\item On a $f_{0,9}(0) = \dfrac{90}{1 - 0,1} = \dfrac{90}{0,9} = 100$ (vu à la question 1) et comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \mathrm{e}^{-0,9t} = 0$,
		
		$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 0,1\mathrm{e}^{-0,9t} = 0$,\: $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 1 - 0,1\mathrm{e}^{-0,9t} = 1$ et finalement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f_{0,9}(t) =  90$.
		
On a donc $90 \leqslant f_{0,9}(t) \leqslant 100$.
		\item La masse des crevettes décroit de 100 tonnes à 90 tonnes.
	\end{enumerate}
\item Cas général $ < p < 1$

On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\mathrm{e}^{-pt}  = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} (1 - p)\mathrm{e}^{-0,9t} = 0$, puis $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}1 - (1 - p)\mathrm{e}^{-0,9t} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f_p(t) = 100p$.
\item Cas particulier $p = \dfrac{1}{2}$
	\begin{enumerate}
		\item On a $f_{\frac{1}{2}}(t) = \dfrac{100 \times \frac{1}{2}}{1 - \left(1 - \frac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} = \dfrac{50}{1 - \frac{1}{2}\mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} = \dfrac{100}{2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}}$.
			
Soit $H$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $H(t) = 100\ln \left(2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}\right) + 50t$.
		
Cette fonction est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :
		
$H'(t) = 100\dfrac{\frac{1}{2}\mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}}{2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} + 50 = \dfrac{50\mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}}{2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} + 50 = \frac{50\mathrm{e}^{- \frac{t}{2}} + 50 \left(2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}\right)}{2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} = \dfrac{100}{2 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{2}}} = f_{\frac{1}{2}}(t)$.

La fonction $h$ est donc une primitive de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Par définition la masse moyenne sur l'intervalle [0~;~5] est égale à :
		
		$m = \dfrac{1}{5 - 0}\displaystyle\int_0^5 f_{\frac{1}{2}}(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{5}[F(t)]_0^5 = \dfrac{H(5) - H(0)}{5} = \dfrac{100\ln \left(2 - \mathrm{e}^{- \frac{5}{2}}\right) + 50\times 5 -  \left(100\ln \left(2 - \mathrm{e}^{- \frac{0}{2}}\right) + 50\times 0\right)}{5} = 20\ln \left(2 - \mathrm{e}^{- \frac{5}{2}}\right) + 50 \approx 63,02$ soit 63 à la tonne près.. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $M$ l'évènement : \og l'individu est malade \fg{} ;

$T$ l'évènement \og le test de l'individu est positif \fg.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\naput{0,15}}
	{\TR{$T$} \naput{0,94}
	\TR{$\overline{T}$} \nbput{0,06}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\nbput{0,85}}
	{\TR{$T$} \naput{$x$}
	\TR{$\overline{T}$} \nbput{$1 - x$}
	}	
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\left\{T~;~\overline{T}\right\}$ étant une partition de l'univers, la loi des probabilités totales permet d'écrire :

$P(T) = p(T \cap M) +  P\left(T \cap \overline{M}\right)$, soit 

$0,158 = 0,15 \times 0,94 + 0,85x \iff 0,158 = 0,141 + 0,85x \iff 0,017 = 0,85x \iff x = \dfrac{0,017}{0,85} = 0,02$.

On veut trouver la probabilité qu'un individu soit malade sachant que son test est positif, soit :

$P_T(M) = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} = \dfrac{0,141}{0,158} \approx 0,892$, soit 0,89 au centième : réponse C
\item La population est assez importante pour que l'on puisse avoir $n$ épreuves indépendantes de Bernoulli avec comme paramètres $n$ et $p = 0,158$.

La probabilité que sur $n$ personnes le test ne soit pas positif est $(1 - 0,158)^n = 0,842^n$ et par conséquent la probabilité qu'au moins un individu soit testé positivement est $1 - 0,842^n$.

On veut que $1 - 0,842^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,842^n \iff \ln (0,01) \geqslant n \ln (0,842) \iff n \geqslant \dfrac{\ln (0,01)}{\ln (0,842)}$ (car $\ln (0,842) < 0$).

Or $\dfrac{\ln (0,01)}{\ln (0,842)}\approx 26,7$.

Il faut donc tester au moins 27 personnes : réponse B.
\item On sait que $P(2 - 3\sigma \leqslant X \leqslant 2 + 3\sigma) \approx 0,997$.

On a donc $0,01 = 3\sigma \iff \sigma = \dfrac{0,01}{3} \approx 0,0033$ : donc réponse C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $E$ la variable aléatoire donnant la durée d'efficacité après les 12 premiers mois.

On sait que $P(E > 18 - 12) = 0,887$ ou $P(E > 6) = 0,887 \iff \text{e}^{- 6\lambda} = 0,887 \iff - 6\lambda = \ln 0,887 \iff \lambda = - \dfrac{\ln 0,887}{6} \approx \np{0,019985}$.
\item Les paramètres sont $p = 0,15$ et $n = \np{100000}$.

Or $n \geqslant 30$ est vraie, $np = 0,15 \times \np{100000} = \np{15000} \geqslant 5$ est vraie et $n(1 - p) = \np{100000} \times 0,85 = \np{85000} \geqslant 5$ est vraie.

On peut donc calculer un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de personnes touchées par la maladie  : 

\[\left[0,15 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{\np{100000}}}~;~0,15 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{\np{100000}}}\right] \approx [\np{0,14778}~;~\np{0,15222}]\]

Il faut que le stock soit au moins de \np{15222} de boîtes de médicament.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On a AB$^2 = (3 + 3)^2  + 2^2 + 0^2 = 36$ et AD$^2 = 3^2  + 3 + 4 \times 4  = 36$. 

On a donc AB = AD = 6.


\item
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées de H milieu de [CD] sont $\left(0~;~2\sqrt{3}~;~\sqrt{6}\right)$. Donc 
$\vect{\text{OH}}\left(0~;~2\sqrt{3}~;~\sqrt{6}\right)$.

$\vect{\text{OH}}$ étant normal au plan $\mathcal{P}$ celui-ci a une équation de la forme $0\times x + 2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} + d = 0$.

Le milieu de [BC] est I$\left(\frac{3}{2}~;~\frac{3}{2}\sqrt{3}~;~0\right)$ : ce point appartenant au plan $\mathcal{P}$ ses coordonnées vérifient l'équation précédente soit :

$2\sqrt{3} \times \frac{3}{2}\sqrt{3} + \sqrt{6} \times 0 + d = 0$, soit $9 + d = 0 \iff d = - 9$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc : 
$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9 = 0$.
		\item 
		
		[BD] a pour milieu J$\left(\frac{3}{2}~;~\frac{1}{2}\sqrt{3}~;~\sqrt{6} \right)$.

Or $\text{J} \in \mathcal{P} \iff 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2}\sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{6} - 9 = 0 \iff 3  6 - 9 = 0$ : cette égalité est vraie donc $\text{J} \in \mathcal{P}$.

J est donc le point d'intersection de la droite (BD) et du plan $\mathcal{P}$.
		\item Équation paramétrique de la droite (AD) :
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AD}) \iff \text{il existe } t \in \R\: \text{tel que } \vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AD}}\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - (- 3)	&=&3t\\
y - 0 		&=&t\sqrt{3}\\
z - 0		&=&2t\sqrt{6}
\end{array} \right.$

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AD}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t - 3\\
y&=&t\sqrt{3}\\
z&=&2t\sqrt{6}
\end{array} \right.$

Les points communs à la droite (AD) et au plan $\mathcal{P}$ ont leurs coordonnées qui vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t - 3\\
y&=&t\sqrt{3}\\
z&=&2t\sqrt{6}\\
2y\sqrt{3} + z\sqrt{6} - 9&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow 2 \times t\sqrt{3}\times \sqrt{3} + 2t\sqrt{6}\times \sqrt{6} - 9 = 0 \iff$

$ 6t + 12t - 9 = 0 \iff 18t = 9 \iff t = \frac{1}{2}$.

En remplaçant dans l'équation paramétrique de la droite (AD) on trouve que le point K$\left(- \frac{3}{2}~;~\frac{\sqrt{3}}{2}~;~\sqrt{6} \right)$ est le point commun à la droite (AD) et au plan $\mathcal{P}$.
		\item On calcule les coordonnées des vecteurs :
		
$\vect{\text{IJ}}\left(0~;~- \sqrt{3}~;~\sqrt{6} \right)$ et $\vect{\text{JK}}\left(- 3~;~0~;~0 \right)$.

Calculons le produit scalaire : $\vect{\text{IJ}} \cdot \vect{\text{JK}} = 0 + 0 + 0 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires en J.
		\item Soit L le milieu du segment [AC] de coordonnées $\left(- \frac{3}{2}~;~\frac{3}{2}\sqrt{3}~;~0\right)$.
		
Or $2\times \frac{3}{2}\sqrt{3} \times \sqrt{3} + 0 - 9 = 0$, ce qui montre que  L appartient au plan 
$\mathcal{P}$.

Le plan $\mathcal{P}$ coupe donc [BC] en I, [BD] en J, [AD] en K et [AC] en L, donc la section de ABCD par le plan $\mathcal{P}$ est le quadrilatère (IJKL).

Or dans le triangle (BCD), (IJ) $\parallelsum$ (CD) (droite des milieux) et CD = 2IJ = 3,

dans le triangle (ACD), (KL) $\parallelsum$ (CD) (droite des milieux) et CD = 2KL = 3,

dans le triangle (ABC), (IO) $\parallelsum$ (AC) (droite des milieux) et AC = 2IO = 3,

dans le triangle (BCD), (OK) $\parallelsum$ (AD) (droite des milieux) et AD = 2OK = 3, d'où il résulte que IJ = JK = KL = LI = 1,5, ce qui montre que le quadrilatère (IJKL) est un losange.

Or on a démontré à la question 2. d. que l'angle en J de ce losange est droit, donc (IJKL) est un carré.
	\end{enumerate}
\item À partir des coordonnées $\vect{\text{BD}}\left(- 3~;~\sqrt{3}~;~2\sqrt{6} \right)$ on trouve qu'une écriture paramétrique de la droite (BD) est :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 3t + 3\\
y&=&t\sqrt{3}\\
z&=&2t\sqrt{6}
\end{array} \right.$. On a donc :

$\vect{\text{O}M}\begin{pmatrix}- 3t + 3\\t\sqrt{3}\\2t\sqrt{6}\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{I}M}\begin{pmatrix}- 3t + \frac{3}{2}\\t\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{3}\\2t\sqrt{6}\end{pmatrix}$.

D'où on déduit : $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{I}M} = \left(- 3t + 3 \right)\left(- 3t + \frac{3}{2} \right) + t\sqrt{3}\left(t\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{3}\right) + 2t\sqrt{6} \times 2t\sqrt{6}  =$

$  9t^2 - \frac{9t}{2} - 9t + \frac{9}{2}   + 3t^2 - \frac{9}{2}t + 24t^2 = 36t^2 - 18t + \frac{9}{2}$.

Le triangle O$M$I est rectangle en $M$ si les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{I}M}$ sont orthogonaux, donc si leur  produit scalaire est nul, donc si le trinôme du second degré est nul, or 

$\Delta = 18^2 - 4 \times 36 \times \frac{9}{2} = 464 - 18 \times 36 = - 324$.

Ce trinôme n'a pas de racines réelles : il n'existe pas de position du point $M$ tel que le triangle OI$M$ soit rectangle en $M$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On calcule $\left|\text{OC}\right|^2 = y^2 + 1$ ; $\left|\text{OA}\right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ ; $\left|\text{OB}\right|^2 = x^2 + 1$.

Si OC = OA $\times$ OB, alors $\text{OC}^2 = \text{OA}^2 \times \text{OB}^2$, soit :

$y^2 + 1 = 2\left(x^2 + 1 \right) \iff y^2 + 1 = 2x^2 + 2 \iff y^2 = 2x^2 + 1$.
\item~
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
Pour $x$ allant de 1 à 10 faire\\
\hspace{0.5cm}Pour $y$ allant de 1 à 10 faire\\
\hspace{1cm}Si $y^2 = 2x^2 + 1$\\
\hspace{1.5cm}Afficher $x$ et $y$\\
\hspace{1cm}Fin Si\\
\hspace{0.5cm}Fin Pour\\
Fin Pour\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On a $x = 2$ et $y = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$, donc $\left|  \right|^2 = 1 + 1 = 2$, d'où $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{2}$.

Donc $z_{\text{A}} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right)$. Donc un argument de $z_{\text{A}}$ est $\frac{\pi}{4}$.
		\item On a OC $= \sqrt{3^2 + 1} = \sqrt{10}$.
		
OA $= \sqrt{2}$ et OB $ = \left|x + \text{i} \right| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

On a bien OC = OA $\times $ OB.
		\item On a $z_{\text{B}}z_{\text{C}} = (x + \text{i})(y + \text{i}) = (2  \text{i})(3 + \text{i}) = 6 + 5\text{i} - 1 = 5 + 5\text{i}$.
		
$5z_{\text{A}} = 5(1 + \text{i}) = 5 + 5\text{i}$.

Donc $z_{\text{B}}z_{\text{C}} = 5z_{\text{A}}$.

On en déduit en prenant les arguments que arg$\left(5z_{\text{A}} \right) = \text{arg}\left(z_{\text{A}} \right) =$

$ \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right) =  \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item arg$\left(\dfrac{(x + \text{i})(y + \text{i}}{1 + \text{i}} \right) = \text{arg}((x + \text{i})(y + \text{i}) )- \text{arg}(1 + \text{i}) = \text{arg}(x + \text{i}) + \text{arg}(y + \text{i} - \text{arg}(1 + \text{i}) = \text{arg}z_{\text{B}} + \text{arg}z_{\text{C}} - \text{arg}z_{\text{A}} = \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OC}}\right) - \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right) = 0$ à $2\pi$ près, d'après le résultat de la question précédente.
		\item On a vu que si OC = OA $\times $ OB, alors $y^2 = 2x^2 + 1$ et donc $y = \sqrt{2x^2 + 1}$ puisque $y$ est positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\begin{enumerate}
	\item Dans le triangle rectangle, on applique le théorème de
Pythagore : $a^2=1^2+1^2=2$.
	
En appliquant le théorème dans les deux autres triangles rectangles on
peut écrire : 

$b^2=1^2+u^2=1+u^2$ et $c^2=1^2+v^2=1+v^2$.

$a$, $b$ et $c$ sont 3 longueurs donc sont des nombres positifs donc 
$ab=c \iff a^2b^2=c^2$; ainsi $2(1+u^2)=1+v^2$ c'est-à-dire
$2+2u^2=1+v^2$ donc $v^2-2u^2=1$.

Les solutions du problème sont donc les solutions $(u~;~v)$ de l'équation
$(E): \, v^2 - 2u^2=1$ où $u$ et $v $ sont des entiers naturels non nuls.
	\item Algorithme :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{4.5cm}|}\hline
Pour $u$ allant de 1 à 1000 faire&Au cours de son exécution,\\
\hspace{0.5cm}Pour $v$ allant de 1 à 1000 &l'algorithme affiche :\\
\hspace{1cm}Si $v^2-2u^2=1$&2 \quad 3\\ \cdashline{2-2}
\hspace{1.5cm}Afficher $u$ et $v$&12 \quad 17\\ \cdashline{2-2}
\hspace{1cm}Fin Si&70 \quad 99\\ \cdashline{2-2}
\hspace{0.5cm}Fin Pour&408 \quad 577\\
Fin Pour&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\item
		\begin{enumerate}
			\item Supposons que le couple $(u,v)$ est une solution de l'équation $(E)$ et que $u\geqslant v$. 
			
On a alors :  $u^2 \geqslant v^2$ et comme $2u^2 \geqslant u^2$, on a $2u^2 \geqslant v^2$ ce qui implique $v^2-2u^2\leqslant 0$. 

C'est impossible car $v^2-2u^2=1$.

Conclusion : $u < v$.	
			\item On suppose que $n$ est pair. Il existe alors un entier naturel $k$
tel que $n=2k$.
			
On a alors $n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)$. Ainsi $n^2$ est pair.

On suppose que $n$ est impair. Il existe alors une entier naturel $q$ tel
que $n=2q+1$.

Alors $n^2=(q+1)2=4q^2+4q+1=2(2q^2+2q)+1$. Ainsi  $n^2$ est impair.


Conclusion : $n$ et $n^2$ ont la même parité.
			
			\item Soit un couple solution $(u,v)$ du problème. On a  :
			
$v^2-2u^2=1 \iff v^2=2u^2+1$. 

Ainsi $v^2$ est impair. D'après la question précédente $v$ est aussi impair.
			
			\item On a : $v^2-2u^2=1 \iff 2u^2=v^2-1 \iff 2u^2=(v-1)(v+1)$.
			
Or $v$ est impair donc $v-1$ et  $v+1$ sont pairs : il existe ainsi un
entier naturel $k$ tel que $v-1=2k$ et $v+1=2(k+1)$.

Alors $2u^2=2k \times 2(k+1) \iff u^2=2k(k+1)$.

$u^2$ est donc pair. D'après la question \textbf{3.b.}, $u$ est donc pair.	
		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
		\item Soit $X=\begin{pmatrix}		u\\v		\end{pmatrix}$ une solution de l'équation $(E)$.
		
$AX=\begin{pmatrix} 3&2\\ 4&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} u\\ v
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3u+2v\\ 4u+3v\end{pmatrix}$.

On a : $(4u+3v)^2-2(3u+2v)^2=16u^2+24uv+9v^2-18u^2-24uv-8v^2=v^2-2u^2=1$.

Ainsi $AX$ est aussi solution de $(E)$.
		
		\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^nX$ est une solution de l'équation $(E)$.
		
		\begin{itemize}
		\item Initialisation : $n=0$.
		
$A^0X=I_2X=X$. Et $X$ est solution de $(E)$. L'affirmation est donc vraie pour $n=0$.
		
		\item Soit $n \geqslant 0$ quelconque tel que $A^nX$ est une solution de $(E)$. 
		
$A^{n+1}X=A \times A^nX$ est une solution de $(E)$ d'après la question précédente.
		\item Conclusion : la propriété est vraie pour $n=0$ et est
héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. D'après le raisonnement par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
		\end{itemize}
		
On a donc démontré que, si $X$ est une solution de $(E)$, alors, pour tout entier naturel $n$, $A^nX$ est aussi une solution de $(E)$.		
			
		\item On a : $3^2-2 \times 2^2=9-8=1$ donc le couple $(2;3)$ est solution de $(E)$.
		
$A^5 \times X = \begin{pmatrix} \np{13860}\\ \np{19601}\end{pmatrix}$. 
		
Donc le couple $(\np{13860}~;~\np{19601})$ est une solution de $(E)$ telle que $v > \np{10000}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}