%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
%\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit et corrigé : François Hache
%\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
%\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\D}{\textbf{D}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
%\setlength{\textheight}{23.5cm}
%\setlength{\voffset}{-1.5cm}
\usepackage{vmargin}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4.25cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal

\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Asie - Corrigé},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{23 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Asie 23 juin 2016~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun  à tous les candidats\hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\bigskip
%
%Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.
%
%Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
%
%\begin{center}
%\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
%\end{center}

\subsubsection*{Partie A: production de fraises}

%Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B; 55\,\% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45\,\% dans la serre B.
%Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88; dans la serre B, elle est égale à 0,84
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}

\medskip


\begin{list}{\textbullet}{On appelle:}

\item $A$ l'évènement \og la fleur de fraisier vient de la serre A\fg;

\item $B$ l'évènement \og la fleur de fraisier vient de la serre B\fg;

\item $F$ l'évènement \og la fleur de fraisier donne une fraise\fg;

\item $\overline F$ l'évènement contraire de $F$.

\end{list}

On résume les données du texte dans un arbre pondéré:

\begin{center}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,55$}}
 	  { 
 		  \TR{$F$}\naput{$0,88$}
 		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{\red $1-0,88=0,12$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\nbput{$0,45$}}
 	  {
 		  \TR{$F$}\naput{$0,84$}
          \TR{$\overline{F}$}\nbput{\red $1-0,84=0,16$} 
     }
}
\end{center}


\textbf{Proposition 1:}

La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

\smallskip

D'après les notations, on cherche la probabilité de l'évènement $F$; d'après la formule des probabilités totales:

$P(F)= P(A \cap F) + P(B \cap F) = P(A) \times P_A(F) + P(B) \times P_B(F)
= 0,55 \times 0,88 + 0,45 \times 0,84 = 0,862$

\textbf{La proposition 1 est vraie.} 

\medskip

\textbf{Proposition 2:}

On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne une fleur.

La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

\smallskip

On cherche la probabilité que la fleur provienne de la serre A sachant qu'elle a donné une fraise:

$P_F(A)= \dfrac{P(A \cap F)}{P(F)}= \dfrac{0,55\times 0,88}{0,862} \approx 0,561 \neq 0,439$

\textbf{La proposition 2 est fausse.} 

\medskip

\subsubsection*{Partie B: conditionnement des fraises}

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$.

%La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
%\def\ymin {-0.008} \def\ymax {0.04}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%
%\def\m{250}% moyenne 
%\def\s{12}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%
%\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
%\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\def\inf{263} \def\sup{\xmax37}
%\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
%
%\psline(\xmin,0)(\xmax,0)
%
%%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%%
%\multido{\i=200+10}{11}
%{
%\uput[d](\i,0){\small \i}
%\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
%}
%
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $P(X \pp 237)=0,14$.% Calculer la probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes \fg.

On complète le graphique donné dans l'énoncé.

On constate que $237=250-13 = \mu - 13$ et $263 = 250+13 = \mu + 13$.

Pour des raisons de symétrie de la fonction de densité autour de la droite d'équation $x=\mu$, on a:

$P(X \pp 237) = P(X \pg 263)$ (parties grisées sur la figure).

$P(237 < X < 263) = 1 - \left ( P(X \pp 237) + P(X \pg 263) \right )
=  1 - 2\times P(X \pp 237)
= 1 - 2\times 0,14 = 0,72$.

La probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes\fg{} est 0,72.

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
\def\ymin {-0.015} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{250}% moyenne 
\def\s{12}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\def\inf{263} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\psline(\xmin,0)(\xmax,0)

\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%
\multido{\i=200+10}{11}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
}

\uput{12pt}[d](237,0){\red \small 237}
\uput{12pt}[d](263,0){\red \small 263}

\end{pspicture*}
\end{figure}

\item On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
D'après le cours, la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1 (la loi normale centrée réduite).

\item% Démontrer que $P\left ( Y \pp - \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.
On sait que $\sigma$ est un nombre strictement positif; donc:

$X \pp 237 \iff X-250 \pp 237-250 \iff \dfrac{X-250}{\sigma} \pp -\dfrac{13}{\sigma} \iff Y \pp -\dfrac{13}{\sigma}$
 
Comme $P(X\pp 237) = 0,14$, on en déduit que $P\left (Y \pp -\dfrac{13}{\sigma} \right ) =0,14$.

\item% En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.
Pour $Y$ suivant la loi normale centrée réduite, on cherche $\beta$ tel que $P(Y \pp \beta)=0,14$; la calculatrice donne pour résultat environ $-1,08$. On a donc:
$-1,08 = -\dfrac{13}{\sigma}$ et donc: $\sigma \approx 12$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.

\begin{enumerate}

\item Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle 

$\cd 250-n\,;\,250+n \cg$.% Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

D'après le cours, pour toute loi normale, $P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$; donc 

$P(250-2\times 12 \pp X \pp 250+2\times 12)\approx 0,95$ ou encore $P(250 - 24 \pp X \pp 250 + 24)\approx 0,95$.

Si $n'>n$, alors $\cd 250-n\,;\,250+n\cg{} \subset \cd 250-n'\,;\,250+n'\cg{}$ et donc 

$P(X\in \cd 250-n\,;\,250+n\cg{}) < P(X\in \cd 250-n'\,;\,250+n'\cg{})$. 

Donc $n=24$ est le plus petit entier tel que $P(250-n \pp X \pp 250+n)$.  

\item On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\cd 230\,;\,m\cg$. %Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

Cherchons $m$ pour que $P(230 \pp X \pp m)$ soit égal à $0,95$.

D'après le cours, on sait que $P(230 \pp X \pp m) = P(X \pp m) - P(X < 230)$.

En utilisant la calculatrice, on trouve que $P(X < 230) \approx \np{0,0478}$.

$P(230 \pp X \pp m) = 0,95
\iff
P(X \pp m) - P(X < 230) = 0,95
\iff
P(X \pp m) = P(X < 230) + 0,95
\iff
P(X \pp m) \approx \np{0,0478} + 0,95
\iff
P(X \pp m) \approx \np{0,9978}$

À la calculatrice, si $X$ suit la loi normale d'espérance 250 et d'écart-type 12, le nombre $m$ tel que $P(X \pp m) \approx \np{0,9978}$ vaut environ 284,2.

Donc la plus petite valeur de $m$ pour laquelle la probabilité que la masse de la barquette se trouve dans l'intervalle $\cd 230~;~m\cg$ soit supérieure ou égale à 0,95 est $m=285$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\R$ par:

$f_a(x)=a \e^{ax} + a.$

On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1:
$I(a)=\ds\int_0^1 f(x) \d x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose dans cette question $a=0$.% Déterminer $I(0)$.

$f_0(x)=0$ donc $I(0)=\ds\int_0^1 0 \d x=0$

\item On pose dans cette question $a=1$. 

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par:
$f_1(x)=\e^{x} +1$.

\begin{enumerate}
\item% Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
On représente la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal:

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\def\xmin {-5}     \def\xmax {4}
\def\ymin {-1}     \def\ymax {5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}

\def\f{2.7183 x exp 1 add}% définition de la fonction

%%% on hachure le domaine
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{
\def\inf{0} \def\sup{1}%   définition des bornes
\psset{plotpoints=2000}%   pour les tracés
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath
}
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]

\psplot[plotpoints=2000]{\xmin}{\xmax}{\f}%   f

\end{pspicture}
\end{center}

\emph{On connaît la représentation graphique de la fonction exponentielle donc on peut, sans étude, représenter la fonction $f_1$.}

\item% Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.  
La fonction $F_1$ définie par $F_1(x)=\e^{x}+x$ est une primitive de la fonction $f_1$.

Donc
$I(1)=\ds\int_0^1 f(x) \d x = \left [ F_1(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]_0^1 
= F_1(1)- F_1(0)= (\e^{1}+1) - (\e^{0} - 0)
= \e +1 -1
= \e \approx 2,7$

\end{enumerate}

\item On cherche s'il existe une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2.

%Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F_a(x)= \e^{ax} + ax$ est une primitive de $f$.

Donc $I(a)=\ds\int_{0}^{1} f_a(x) \d x
= F_a(1)-F_a(0) 
= (\e^{a} +a) - (\e^{0} + 0)
= \e^{a} + a - 1$ 

Soit $g$ la fonction définie sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ par $g(x)=\e^{x}+x-1$.

$g$ est dérivable donc continue et $g'(x)=\e^{x}+1 >0$ sur $\cd 0\,;\, 1\cg$.

$g(0)=\e^{0} + 0 - 1 = 0<2$ et $g(1) = \e^{1} + 1 -1 = \e \approx 2,72 >2$

La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$; $g(0)<2$ et $g(1)>2$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=2$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd 0\,;\,1\cg$.

Il existe donc une valeur unique de $a$ dans $\cd 0\,;\,1\cg$ telle que $I(a)=2$.

$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l}
f(0,7) \approx 1,71 < 2\\
f(0,8) \approx 2,03 > 2
\end{array}
\right. 
\implies 
a \in \cd 0,7\,;\,0,8\cg
\hfill
\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l}
f(0,79) \approx 1,99 < 2\\
f(0,80) \approx 2,03 > 2
\end{array}
\right. 
\implies 
a \in \cd 0,79\,;\,0,80\cg$


\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

%Une société produit des bactéries pour l'industrie.
%En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20\,\% en un jour.
%
%La société met en place le dispositif industriel suivant.
%
%Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1~kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100~g de bactéries sont perdus.
%
%L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30~kg de bactéries.
%
%\smallskip
%
%\hfill \textbf{\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}\hfill{}
%
%\smallskip

\subsubsection*{Partie A: premier modèle -- avec une suite}

On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:

\hfill
$u_0=\np{1000}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.
\hfill{}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé.
On appelle $u_n$ la masse, en gramme, des bactéries présentes dans la cuve, et $n$ représente le nombre de jours depuis le début du processus. On a donc $u_0=\np{1000}$ puisqu'initialement, on introduit 1~kg soit \np{1000} grammes de bactéries.

D'un jour à l'autre, le nombre de bactéries augmente de 10\,\%, c'est donc qu'il est  multiplié par $1+\dfrac{20}{100}=1,2$. Chaque jour, en remplaçant le milieu nutritif, on perd 100 grammes de bactéries.

Donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=1,2\,u_n - 100$ avec $u_0=\np{1000}$. 

%On précisera en particulier ce que représente $u_n$.

		\item L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg soit \np{30000}~g.% \`A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n > \np{30000}$.

À la calculatrice, on trouve $u_{22} \approx \np{28103}$ et $u_{23} \approx \np{33624}$; donc on dépasse 30~kg de bactéries à partir de 23 jours.

		\item% On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.

On  complète l'algorithme:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Variables} & $u$ et $n$ sont des nombres\\
\hline
 & \\[-5pt]
 & $u$ prend la valeur \np{1000}\\
 & $n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement \hspace*{0.5cm}} & Tant que $\red u \pp \np{30000}$ faire\\
 & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $\red 1,2 \times u - 100$  \hspace*{1cm}\\
 & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
 & Fin Tant que\\
 & \\[-5pt]
\hline
\textbf{Sortie} & Afficher $\red n$\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n\pg \np{1000}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
		\item $u_0=\np{1000} \pg \np{1000}$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.
		\item On suppose la propriété vraie pour un rang quelconque $p \in \N,\: p \pg 0$, c'est-à-dire $u_p \pg \np{1000}$.

$u_{p+1} = 1,2\,u_p - 100$; $u_p \pg \np{1000}$ donc $1,2\,u_p \pg \np{1200}$ donc $1,2\,u_p -100 \pg \np{1100}$.

Donc $1,2\,u_p -100 \pg \np{1000}$ et on a démontré que 
la propriété était vraie au rang $p+1$.
	\item La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire pour tout $n\pg 0$, donc d'après le principe de récurrence elle est vraie pour tout $n\pg 0$. 
\end{list}

Pour tout $n$, $u_n \pg\np{1000}$.

\item% Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
Pour tout $n$,
$u_{n+1}-u_n = 1,2\,u_n - 100 - u_n = 0,2\,u_n - 100$

Or, pour tout $n$, $u_n \pg \np{1000}$ donc $0,2\,u_n \pg 200$ et donc $0,2\,u_n - 100 \pg 100$

On a donc démontré que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n >0$. 

On peut donc dire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\end{enumerate}

\item 
On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 500$ donc, $u_n=v_n+500$.

\begin{enumerate}

\item% Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
$v_{n+1} = u_{n+1} -500 = 1,2\,u_n-100-500 = 1,2(v_n+500) - 600 = 1,2\,v_n +600 - 600 = 1,2\,v_n$

$v_0 = u_0 -500 = \np{1000}-500 = 500$

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $v_0=500$.

\item% Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 500\times 1,2^n$.

Comme, pour tout $n$, $u_n=v_n+500$, on en déduit que $u_n=500 + 500 \times 1,2^n$.

\item% Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 1,2 et de premier terme positif; or $1,2>1$ donc, d'après le cours, $\ds\lim_{n \to +\infty} v_n=+\infty$.

Pour tout $n$, $u_n=v_n+500$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B: second modèle -- avec une fonction}

%On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50~kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\cd 0\,;\,+\infty\cd$ par:

Soit $f$ la fonction définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $f(t)= \dfrac{50}{1+49 \e^{-0,2 t}}.$

%où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}

\item% Calculer $f(0)$.
$f(0)= \dfrac{50}{1+49 \e^{0}} = \dfrac{50}{1+49}=1$

\item% Démontrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $f(t) < 50$.
Pour tout $t$, $\e^{-0,2 t}>0$ donc  $1+ 49\e^{-0,2 t}>1$ et donc $\dfrac{1}{1+ 49\e^{-0,2 t}}<1$

On en déduit que 
$\dfrac{50}{1+ 49\e^{-0,2 t}}<50$ et donc que, pour tout $t$, $f(t)<50$.

\item% \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
La fonction $t \longmapsto -0,2 t$ est décroissante sur $\R$. La fonction $x \longmapsto \e^{x}$ est croissante sur $\R$ donc, par composition, la fonction $t \longmapsto \e^{-0,2t}$ est décroissante sur $\R$.

On en déduit que la fonction $t \longmapsto 1+49 \e^{-0,2t}$ est décroissante sur $\R$.

La fonction inverse est décroissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ donc, par composition, la fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{1+49 \e^{-0,2t}}$ est croissante sur $\R$.

On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $\R$ donc sur $\cd 0~;~+\infty\cd$.

\item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,2t = -\infty$;
on pose $T=-0,2t$. Or $\ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T}=0$ donc $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-0,2t} = 0$.

On en déduit que 
$\ds\lim_{t \to +\infty} 1+49\e^{-0,2t} = 1$ et donc que
$\ds\lim_{t \to +\infty} f(t) = 50$.

\end{enumerate}

\item% Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
On sait que $f(t)$ représente la masse, en kg, de bactéries au temps $t$, exprimé en jours.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(0)=1$ signifie que la masse des bactéries à l'instant $t=0$ est de 1~kg;

\item $f(t)<50$ pour tout $t$ signifie que la masse de bactéries dans la cuve sera toujours inférieure à 50~kg;

\item $f$ est croissante signifie que la masse de bactéries augmente régulièrement au fil du temps;

\item $\ds\lim_{t \to +\infty} f(t)=50$ signifie que la masse de bactéries dans la cuve va se rapprocher de 50~kg.

\end{list}

\item% En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg.

On résout l'inéquation d'inconnue $t$: $f(t) > 30$:

%En déduire la réponse au problème.

\begin{center}
$\begin{array}{l !{\iff} l l}
f(t)>30 & \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}} >30& \\[5pt]
        & 50 > 30 +30\times 49\e^{-0,2t} & \text{car } 1+49\e^{-0,2t}>0 \text{ pour tout }t\\[5pt]
        & \dfrac{50-30}{30\times 49} > \e^{-0,2t} & \\[5pt]
        & \dfrac{2}{147} > \e^{-0,2t} & \\[5pt]
        & \ln\left( \dfrac{2}{147} \right) > -0,2 t & \text{croissance de la fonction ln sur } \cd 0~;~+\infty \cd \\[5pt]
        & \dfrac{\ln\left( \dfrac{2}{147}\right) }{-0,2} < t & \text{division par un nombre négatif}
\end{array}$
\end{center}

Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{2}{147}\right )}{-0,2} \approx 21,5$
donc on en conclut que la masse de bactéries dépassera 30~kg au bout de 22 jours. 

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C: un contrôle de qualité}

%Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l'industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d'un point de vue commercial.
%
%\smallskip
%
%L'entreprise affirme que 80\,\% des bactéries produites sont de type A.
%
%\smallskip
%
%Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production. \\
%L'analyse montre que 146 d'entre elles sont de type A.
%
%L'affirmation de l'entreprise doit-elle être remise en cause?

On prend un échantillon de taille $n=200$ et dans lequel l'entreprise affirme que 80\,\% des bactéries (celles de type A) produiront une protéine; donc la proportion de bactéries de type A est $p=0,8$.

$n=200 pg 50$; $np = 160 \pg 5$ et $n(1-p)=40 \pg 5$ donc les conditions sont vérifiées pour qu'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:

\begin{center}
$\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \right ]
= \left [ 0,8-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,8\times 0,2}}{\ds\sqrt{200}}~;~0,8+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,8\times 0,2}}{\ds\sqrt{200}} \right ]
\approx \cd 0,74~;~0,86 \cg$
\end{center}

La fréquence de bactéries dans l'échantillon est de $f=\dfrac{146}{200}=0,73$; cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation calculé.

Donc, au risque de 5\,\%; on peut remettre en cause l'affirmation de l'entreprise.

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 4 points}
 
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip
%
%Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de \og coin de cube\fg, les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.  
%
%Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left ( \text{O}\,;\,\vect{\text{OA}},\,\vect{\text{OB}},\,\vect{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. 
%
%On utilisera ce repère dans tout l'exercice.
%
%Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
%
%\medskip
%
%\textbf{Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):}   
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%
%\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,-c)$;
%
%\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(-a\,;\,b\,;\,c)$;
%
%\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a\,;\,-b\,;\,c)$;
%
%\end{list}
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|p{8cm}|}
%\hline
%Vue en perspective cavalière de la réflexion d'un rayon lumineux sur le plan (OAB)\\
%\hline
%\psset{unit=1cm,arrowscale=1.5,dash=2pt 2pt}
%\def\xmin {-1}   \def\xmax {7}
%\def\ymin {-2}   \def\ymax {3}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%%\psgrid
%\psline(0,0)(\xmax,0) \psline(0,0)(-2,-2) 
%\psline{->}(0,0)(1.5,0) \uput[d](1.5,0){B}
%\psline{->}(0,0)(0,1.5) \uput[ul](0,1.5){C}
%\psline{->}(0,0)(-0.7,-0.7)  \uput[dr](-0.7,-0.7){A}
% \uput[dr](0,0){O}
%\psline[linestyle=dashed]{->}(1.9,0)(1.9,1.5)
%\psline{->}(3.7,-0.5)(3.7,1)
%\psline[linestyle=dashed]{<-}(5.5,-1)(5.5,0.5)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(5.5,-1)(3.7,-0.5)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(3.7,-0.5)(1.9,0)
%\psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.25](7.3,1.5)(3.7,-0.5)
%\psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.75](3.7,-0.5)(0.1,3.5)
%\psline(\xmin,-1.5)(6,-1.5)(7.5,0)
%\uput[r](3.7,0.8){\small $\vect{n}\,(0\,;\,0\,;\,1)$}
%\end{pspicture*}\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Propriété des catadioptres}

%En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.

Un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a\,;\,b\,;\,c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC).

Après réflexion sur le plan (OAB), le rayon a un vecteur directeur de coordonnées $(a\,;\,b\,;\,-c)$. 

Après réflexion sur le plan (OBC), le rayon a un vecteur directeur de coordonnées $(-a\,;\,b\,;\,-c)$. 

Après réflexion sur le plan (OAC), le rayon a un vecteur directeur de coordonnées $(-a\,;\,-b\,;\,-c)$ donc qui est égal à $-\vect v$; le rayon final est donc parallèle au rayon initial. 

\end{enumerate}

%Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vect{v_1}\,(-2\,;\,-1\,;\,-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2\,;\,3\,;\,0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vect{v_2}\,(-2\,;\,-1\,;\,1)$ et passant par le point I$_1$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item \emph{Réflexion de $d_2$ sur le plan \emph{(OBC)}}

\begin{enumerate}
\item% Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
La droite $d_2$ passe par le point I$_1\,(2~;~3~;~0)$ et a pour vecteur directeur $\vect{v_2}\,(-2\,;\,-1\,;\,1)$, donc $d_2$ a pour représentation paramétrique

\[d_2:~
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & 2 - 2t\\
y & 3 - \phantom{2}t\\
z & t
\end{array}
\right. 
\text{ avec } t\in \R.\]


\item% Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
Le plan (OBC) a pour vecteur normal le vecteur $\vect{\text{OA}}$ de coordonnées $(1~;~0~;~0)$.

Le plan (OBC) a pour équation $x=0$.

\item Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0\,;\,2\,;\,1)$.
%Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $x_{\text I_2}=0$ donc le point I$_2$ appartient au plan (OBC) d'équation $x=0$.

\item On regarde si la droite $d_2$ contient le point I$_2$ autrement dit s'il existe une valeur du paramètre $t$ telle que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
0 & 2 - 2t\\
2 & 3 - \phantom{2}t\\
1 & t
\end{array}
\right.$

C'est vrai pour $t=1$ donc I$_2 \in d_2$.

\item Le point I$_1$ appartient à la droite $d_2$ mais n'appartient pas au plan (OBC) car son abscisse est non nulle; la droite $d_2$ n'est donc pas contenue dans le plan (OBC).

\end{list}

On a donc démontré que le plan (OBC) et la droite $d_2$ étaient sécants en I$_2$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vect{v_3}\,(2\,;\,-1\,;\,1)$ passant par le point I$_2\,(0\,;\,2\,;\,1)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \emph{Réflexion de $d_3$ sur le plan \emph{(OAC)}}

La droite $d_3$ passe par le point I$_2\,(0~;~2~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{v_3}\,(2~;~-1~;~1)$; elle a donc pour représentation paramétrique:

\[d_3:~
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x &  2t\\
y & 2 - \phantom{2}t\\
z & 1+\phantom{2}t
\end{array}
\right. 
\text{ avec } t\in \R.\]

La plan (OAC) a pour équation $y=0$.

Pour déterminer le point d'intersection de la droite $d_3$ et du plan (OAC), on résout le système:

\[\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x &  2t\\
y & 2 - \phantom{2}t\\
z & 1+\phantom{2}t\\
y & 0\hfill{}
\end{array}
\right. \]

$y=0$ et $y=2-t$ entraîne $t=2$ donc $x=4$ et $z=3$.

Le point I$_3$ d'intersection de $d_3$ et du plan (OAC) a pour coordonnées $(4~;~0~;~3)$.

%Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC).
%
%On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.

\item \emph{\'Etude du trajet de la lumière}

On donne le vecteur $\vect{u}\,(1\,;\,-2\,;\,0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que le vecteur $\vect u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le plan $\mathcal P$ est défini par les droites $d_1$ et $d_2$ donc il a pour vecteurs directeurs les vecteurs $\vect{v_1}$ et $\vect{v_2}$ qui ne sont pas colinéaires.

\item $\vect u . \vect{v_1}=-2+2+0 = 0$ donc $\vect u \perp \vect{v_1}$

\item $\vect u . \vect{v_2}=-2+2+0 = 0$ donc $\vect u \perp \vect{v_2}$

\end{list}

Le vecteur $\vect u$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan $\mathcal P$, donc $\vect u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.

\item% Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
Le plan $\mathcal P$ contient les droites $d_1$ et $d_2$; les trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ seront dans un même plan si et seulement si elles sont dans le plan $\mathcal P$, c'est-à-dire si et seulement si la droite $d_3$ est contenue dans le plan $\mathcal P$.

On cherche une équation du plan $\mathcal P$.

Le plan $\mathcal P$ a le vecteur $\vect u$ pour vecteur normal et il contient le point I$_1$ qui appartient à $d_1$; donc:

$\mathcal P = \left\lbrace \text M ~/~ \vect{\text I_1 \text M} \perp \vect u \right\rbrace$ 

Si on appelle $(x~;~y~;~z)$ les coordonnées de M, les coordonnées de $\vect{\text I_1 \text M}$ sont $(x-2~;~y-3;~z)$.

$\vect{\text I_1 \text M} \perp \vect u 
\iff 
\vect{\text I_1 \text M} . \vect u = 0
\iff
(x-2)(1)+(y-3)(-2)+z(0)=0
\iff
x-2y+4=0$

Le plan $\mathcal P$ a pour équation $x-2y+4=0$.

La droite $d_3$ a pour représentation paramétrique
$
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x &  2t\\
y & 2 - \phantom{2}t\\
z & 1+\phantom{2}t
\end{array}
\right. 
\text{ avec } t\in \R.$

En prenant $t=1$, on prouve que le point H\,$(2~;~1~;~2)$ appartient à $d_3$.

Mais $x_{\text H} -2 y_{\text H} +4 = 4 \neq 0$ donc H\,$\notin \mathcal P$.

La droite $d_3$ n'est pas contenue dans $\mathcal P$ donc les trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan. 
		\item% Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
Le plan $\mathcal P$ contient les droites $d_1$ et $d_2$; les trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ seront dans un même plan si et seulement si elles sont dans le plan $\mathcal P$, c'est-à-dire si et seulement si la droite $d_4$ est contenue dans le plan $\mathcal P$.

La droite $d_4$ représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC); le point d'intersection du rayon avec le plan (OAC) est le point I$_3\,(4~;~0~;~3)$ donc I$_3 \in d_4$.

$x_{\text I_3} -2 y_{\text I_3} +4 = 8 \neq 0$ donc I$_3 \notin \mathcal P$

La droite $d_4$ n'est pas contenue dans le plan $\mathcal P$, donc les trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 4 points}
 
%\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip

%L'objet du problème est l'étude d'une méthode de cryptage, dite \og chiffrement de Hill\fg, dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme
%$\begin{pmatrix}
%a & b \\ c & d
%\end{pmatrix}$,
%dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et 25, et tels que $ad-bc$ soit premier avec 26.
%
%Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
%
%\begin{center}
%\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}}
%\end{center}

\subsubsection*{Partie A: quelques résultats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E)$: $9d-26m=1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.

\begin{enumerate}
\item%  Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre 0 et 3.
Les nombres 9 et 26 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de \textsc{Bézout}, l'équation $(E)$: $9d - 26m=1$ admet des solutions entières.

$9\times 3 - 26\times 1=1$ donc le couple $(3~;~1)$ est solution de l'équation $(E)$.

\item% Démontrer que le couple $(d\,;\,m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si:
%\[9(d-3) = 26(m-1).\]

\begin{tabular}[t]{@{} l !{si et seulement si} l}
Le couple $(d~;~m)$ est solution de $(E)$
    & $9d - 26m=1$\\
    & $9d - 26m=9\times 3 - 26 \times 1$\\
    & $9(d-3) - 26(m-1)=0$\\
    & $9(d-3) = 26(m-1)$
\end{tabular}

\item% En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme:

%\[\left\lbrace 
%\begin{array}{l !{=} l}
%d & 26k+3\\
%m & 9k+1
%\end{array}
%\right., \text{ avec } k \in \Z.\]

$9(d-3) = 26(m-1)$ donc 9 divise $26(m-1)$. Or 9 et 26 sont premiers entre eux donc, d'apèrs le théorème de \textsc{Gauss}, 9 divise $m-1$. On peut donc écrire $m-1$ sous la forme $9k$ avec $k\in \Z$. Donc $m=9k+1$ avec $k\in\Z$.

$9(d-3) = 26(m-1)$ et $m-1=9k$ donc $9(d-3) = 26\times 9k$ ce qui équivaut à $d-3=26k$ ou encore $d=26k + 3$ avec $k\in\Z$.

Réciproquement, si $d=26k + 3$ et $m=9k+1$ avec $k\in\Z$, alors \\
$9d-26m = 9(26k+3) - 26(9k+1) = 9\times 26k + 27 - 26\times 9k - 26 = 1$
et donc le couple $(d~;~m)$ est solution de $(E)$.

Les solutions de l'équation $(E)$ sont donc les couples $(d~;~m)$ tels que

\[\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
d & 26k+3\\
m & 9k+1
\end{array}
\right., \text{ avec } k \in \Z.\]

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}

\item Soit $n$ un nombre entier.% Démontrer que si $n=26k-1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et 26 sont premiers entre eux.
%Si $n=26k-1$ et si $n$ et 26 ont un diviseur commun $\delta$, alors $\delta$ divisant $n$ et 26, divise $n-26k$ donc divise $-1$. Donc les seuls diviseurs communs de $n$ et $26k$ sont 1 et $-1$ donc les nombres $n$ et 26 sont premiers entre eux.

$n=26k-1 \iff 26k-n=1 \iff 26k + n(-1)=1$

Il existe donc deux entiers relatifs $k$ et $-1$ tels que $26k + n(-1)=1$ donc, d'après le théorème de \textsc{Bézout}, les nombres $n$ et 26 sont premiers entre eux.

\item% En déduire que les nombres $9d-28$, avec $d=26k+3$ et $k\in \Z$, sont premiers avec 26.
Soit $n=9d-28$, avec $d=26k+3$ et $k\in \Z$.

$n=9d-28 = 9(26k+3)-28 = 9\times 26k +27-28 = 26(9k)-1 = 26K-1$ où $K\in\Z$

D'après la question précédente, on peut déduire que $n=9d-28$ et 26 sont premiers entre eux.

\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B: cryptage et décryptage}

\medskip

On considère la matrice 
$A=
\begin{pmatrix}
9 & 4 \\ 7 & 3
\end{pmatrix}$.

%On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.
%
%
%\begin{center}
%\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\ca}X|}}
%\hline
%A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M\\
%\hline
%0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\ca}X|}}
%\hline
%N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\\
%\hline
%13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{1}{|>{\centering \arraybackslash}m{6cm}|}{\textbf{Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres)}}&\multicolumn{2}{c|}{\textbf{Exemple : avec le mot MATH}}\\ 
%\hline   
% \textbf{1.}  On regroupe les lettres par paires. &\multicolumn{2}{c|}{MA\quad TH}\\ 
% \hline   
%\textbf{2.} On remplace les lettres par les valeurs  
%associées à l'aide du tableau précédent, et on  place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. & 
%\ 
%
%$C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$& 
%\ 
%
%$C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$\\ 
%\hline          
%\textbf{3.} On multiplie les matrices colonne par la      
%gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ & 
%\ 
%
% $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$&  
% \ 
% 
%  $AC_2  =   \begin{pmatrix}
%199\\ 154\end{pmatrix}$\\ 
%\hline    
%\textbf{4.} On remplace chaque coefficient des  
%matrices colonne obtenues par leur reste dans
%la division euclidienne par 26.&$108 = 4\times 26 + 4$ 
%
%$84= 3 \times 26 + 6$
%
%On obtient :  $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$&
%\ 
%
%\ 
%
%$\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$\\ \hline  
%\vspace*{-20pt}
%
%\textbf{5.} On utilise le tableau de correspondance   
%entre lettres et nombres pour obtenir le mot   
%crypté. &\multicolumn{2}{c|}{\rule{0pt}{20pt} EGRY}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\psline{->}(2.5,6)(2.1,5.5)\psline{->}(3.9,6)(4.8,5.5)
%\psline{->}(2.8,1.3)(3,0.95)\psline{->}(4.5,1.3)(3.5,0.95)
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item En cryptant par cette méthode le mot \og PION \fg{}, on obtient \og LZWH\fg; on veut crypter le mot \og ESPION\fg.

Les lettres ES correspondent à la matrice colonne 
$\begin{pmatrix} 4\\18\end{pmatrix}$; 
$\begin{pmatrix}
9 & 4 \\ 7 & 3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 4\\18\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 36+72\\ 28+54\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 108\\82\end{pmatrix}$

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
108 = 4\times 26+4 \text{ donc } 108 \equiv 4 \text{ modulo 26}\\
82 = 3\times 26+4 \text{ donc } 82 \equiv 4 \text{ modulo 26}
\end{array}
\right\rbrace 
\text{ donc } 
\begin{pmatrix} 108\\82\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix} 4\\4\end{pmatrix} \text{ modulo 26}$
ce qui correspond à EE.

Le mot ESPION se code donc en EELZWH.

\item \textbf{Méthode de décryptage}

%\medskip
%
%\textbf{Notation:} lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation \og $\equiv$\fg{} pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire:
%
%\begin{center}
%$\begin{pmatrix} 108 \\ 84 \end{pmatrix} 
%\equiv 
%\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
%modulo 26 car $108 \equiv 4$ modulo 26 et $84 \equiv 6$ modulo 26.
%\end{center}
%
%Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x'$ et $y'$ des nombres entiers relatifs.
%
%On sait que si $x \equiv x' \text{ modulo 26}$ et $y \equiv y' \text{ modulo 26}$ alors \\$ax+by \equiv ax'+by' \text{ modulo 26}$.
%
%Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2\times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2\times 1$, alors:
%
%\begin{center}
%$B \equiv C$ modulo 26 implique $AB \equiv AC$ modulo 26.
%\end{center}
%

\begin{enumerate}
\item% \'Etablir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
$A=
\begin{pmatrix}
9 & 4 \\ 7 & 3
\end{pmatrix}$;
$\det(A)=9\times 3 - 4\times 7 = -1\neq 0$ donc la matrice $A$ est inversible.

On trouve son inverse à la calculatrice:
$A^{-1}=
\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\ 7 & -9
\end{pmatrix}$

\item% Décrypter le mot XQGY.
Au cryptage, une matrice colonne $X$ correspondant à deux lettres, est d'abord transformée en la matrice $Y$ telle que $AX=Y$. Puis on cherche la matrice $Y'$  composée de nombres entiers entre 0 et 25 et telle que $Y' \equiv Y$ modulo~26.

Au décryptage, on cherche la matrice colonne $Y$ correspondant aux deux lettres à décrypter. Puis on détermine la matrice $X$ telle que $AX=Y$, autrement dit telle que $X=A^{-1}Y$. Enfin on détermine la matrice colonne $X'$ composée des restes des éléments de $X$ modulo 26.

Comme $X \equiv X'$ modulo 26, d'après le texte $AX \equiv AX'$ modulo~26 et donc $AX$ et $AX'$ correspondent à la même matrice colonne $Y$ modulo 26; ce qui valide le processus de décryptage.

\smallskip

Pour décrypter les lettres XQ, on cherche la matrice colonne correspondant à ces deux lettres: 
$\begin{pmatrix} 23\\16 \end{pmatrix}$
puis on multiplie à gauche par la matrice $A^{-1}$

$\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\ 7 & -9
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 23\\16 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -3\times 23+4\times 16\\7\times 23 -9\times 16 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -5\\17 \end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix} 21\\17 \end{pmatrix}$ modulo~26
ce qui correspond à VR.

On fait de même avec GY représenté par
$\begin{pmatrix} 6\\24 \end{pmatrix}$:

$\begin{pmatrix}
-3 & 4 \\ 7 & -9
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 6\\24 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -3\times 6+4\times 24\\7\times 6 -9\times 24 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 78\\-174 \end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix} 0\\8 \end{pmatrix}$ modulo~26
ce qui correspond à AI.

Le mot XQGY se décode en VRAI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}