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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie juin 2002~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser
% cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux
% tricolores.
% 
%Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note $E_n$ l'évènement
%\og Amélie est arrêtée par le $n\up{e}$ feu rouge ou orange \fg{} et 
%$\overline{E_n}$, l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme
% un feu rouge. 
% 
%Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de 
%$\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit
%rouge ou orange vaut $\dfrac{1}{8}$.
%
%On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
%
%$\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore
% soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est rouge ou orange, 
% vaut $\dfrac{1}{20}$.
% 
%$\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore
% soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est vert, est égale à 
% $\dfrac{9}{20}$.

\begin{enumerate} 
\item %On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
%,levelsep=3cm,treesep=2cm 
\hspace{0.3cm} 1\up{er} feu \hspace{1.5cm} 2\up{e} feu

\bigskip \smallskip
   
\pstree[linecolor=red,treemode=R,treesep=1.3cm,levelsep=3cm,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{}\taput{$\frac{7}{8}$} \tbput{vert}}
  {\TR{} \taput{vert $\frac{11}{20}$} %\tbput{}
  \TR{}\tbput{rouge ou orange $\frac{9}{20}$} %\tbput{}
  }
  \pstree{\TR{}\tbput{$\frac{1}{8}$} \tbput{rouge ou orange}}
  {
  \TR{} \taput{vert $\frac{19}{20}$} %\tbput{}
  \TR{} \tbput{rouge ou orange $\frac{1}{20}$} %\tbput{}
  }
}
\end{center}

\medskip

		\item %On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
D'après l'arbre :

$\bullet~~$$p(X = 0) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{160}$ ;

$\bullet~~$$p(X = 1) = \frac{1}{8} \times \frac{19}{20} + \frac{7}{8} \times \frac{9}{20} = \frac{19 + 63}{160} = \frac{82}{160}$ ;

$\bullet~~$$p(X = 2) = \frac{7}{8} \times \frac{11}{20} = \frac{77}{160}$.

On a bien $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)  = \dfrac{1 + 82 + 77}{160} = 1$.
		\item  %Calculer l'espérance mathématique de $X$.
E$(X) = 0 \times \frac{1}{160} + 1 \times \frac{82}{160} + 2 \times \frac{77}{160} = \frac{82 + 154}{160} = \frac{236}{160} = \frac{59}{40} \approx 1,5$.

Sur 20 feux rencontrés on aura à peu près 15 feux verts.
	\end{enumerate}
\item %On se place maintenant dans le cas général.
	\begin{enumerate}
		 \item %Donner les probabilités conditionnelles  $p_{E_n}\left(E_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1}\right)$.
D'après l'énoncé $p_{E_n}\left(E_{n+1}\right) = \dfrac{1}{20}$ et $p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1}\right) = \dfrac{9}{20}$.
		\item %En remarquant que $E_{n+1} = \left(E_{n+1} \cap E_n\right) \cup  \left(E_{n+1} \cap \overline{E_n}\right)$, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,

%\[p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n + \dfrac{9}{20}q_n.\]
D'après la loi des probabilités totales :

$p\left(E_{n+1} \right) = p\left(E_{n+1}\cap E_n \right) + p\left(E_{n+1}\cap \overline{E_n} \right) = p\left(E_n \right) \times p_{E_n}\left(E_{n+1} \right) +$

$ p\left(\overline{E_n} \right)\times p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1} \right) = p_n \times \dfrac{1}{20} + (1 - p_n) \times \dfrac{9}{20} =  \dfrac{1}{20}p_n +  \dfrac{9}{20}q_n$.

Pour tout naturel $n \geqslant 1$, \: $p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n +  \dfrac{9}{20}q_n$.
		\item %En déduire l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
$p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n +  \dfrac{9}{20}\left(1 - p_n \right) = p_n\left(\dfrac{1}{20} - \dfrac{9}{20} \right) + \dfrac{9}{20} = \dfrac{9}{20} - \dfrac{8}{20}p_n$.

$p_{n+1} = \dfrac{9}{20} - \dfrac{2}{5}p_n$.
	\end{enumerate}
\item %Soit la suite $\left(u_n\right)$ de nombres réels définie pour
% tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n = 28p_n - 9$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison $k$.
On a $u_{n+1} = 28p_{n+1} - 9 = 28\left(\dfrac{9}{20} - \dfrac{2}{5}p_n \right) - 9 = \dfrac{63}{5}  - 9 - \dfrac{2}{5}\times 28p_n = $

$\dfrac{18}{5} -  \dfrac{2}{5}\times 28p_n =  -\dfrac{2}{5}\left(28p_n - 9\right) = - \dfrac{2}{5}u_{n}$.

Quel que soit $n \geqslant 1$, l'égalité $u_{n+1} = - \dfrac{2}{5}u_n$ montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{2}{5}$, de premier terme $u_1 = 28p_1 - 9 = 28 \times \dfrac{1}{8} - 9 = \dfrac{7}{2} - 9 = - \dfrac{11}{2}$.
		\item %Exprimer $u_n$, puis $p_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour $n \geqslant 1$, \: $u_n = - \dfrac{11}{2} \times \left(- \dfrac{2}{5} \right)^{n-1}$.

Or $u_n = 28p_n - 9 \iff p_n = \dfrac{u_n + 9}{28} = \dfrac{u_n}{28} + \dfrac{9}{28} = \dfrac{1}{28}\left[- \dfrac{11}{2} \times \left(- \dfrac{2}{5} \right)^{n-1} \right] + \dfrac{9}{28}$
		\item %Déterminer la limite, si elle existe, de $p_n$, quand $n$ tend vers
%$ + \infty$. Donner une interprétation de ce résultat.
Comme $- 1 < - \dfrac{2}{5} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{2}{5} \right)^{n-1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} - \dfrac{11}{2} \times \left(- \dfrac{2}{5} \right)^{n-1} = 0$, donc par limite de somme : 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}p_n =  \dfrac{9}{28} \approx 0,32$.

Sur un grand nombre de feux rencontrés la probabilité qu'Amélie rencontre un feu orange ou rouge est donc à peu près de 1 sur 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère
 orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre  points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~- 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item ~%Placer les points A, B, C et D dans le plan.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-7)(4,4)
\psdots(3,0)(0,4)(-2,3)(1,-1)(1.5,1.5)(-0.5,1.5)%ABCDEF
\uput[ur](3,0){A}\uput[ul](0,4){B}\uput[ul](-2,3){C}\uput[dr](1,-1){D}
\pspolygon(3,0)(0,4)(-2,3)(1,-1)
\rput(0.5,-1.5){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{3.5}{x dup mul 8 add sqrt}}
\rput(0.5,-1.5){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{3.5}{x dup mul 8 add sqrt neg}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.}{4}{x 2 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.}{4}{x neg 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}	
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
Le milieu de [AC] a pour coordonnées $\left(\frac{3-2}{2}~;~\frac{0+3}{2} \right) = \left(\frac{1}{2}~;~\frac{3}{2} \right)$.

Le milieu de [BD] a pour coordonnées $\left(\frac{0+1}{2}~;~\frac{4-1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2}~;~\frac{3}{2} \right)$.

Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui ont le même milieu : c'est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item %On considère dans l'ensemble des complexes les équations :

\[z^2 -(1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i} = 0 \quad (1) \quad  \text{et} \quad  
z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0 \quad (2)\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$, et
% l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$.
$z_1 \in \R$ est solution de (1) si et seulement si :

$z_1^2 - (1 + 3\text{i})z_1 - 6 + 9\text{i} = 0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
z_1^2 - z_ - 6&=&0\\
- 3z_1 + 9&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z_1^2 - z_1 - 6&=&0\\
z_1 &=&3 \end{array}\right.$

$z_1 = 3$ est solution de (1).

$z_2 = a\text{i}$ ($a \in \R$) est solution de (2) si et seulement si :

$z_2^2 - (1 + 3\text{i})z_2 - 6 + 9\text{i} = 0$ ou $- a^2 - (a\text{i} - 3a) + 4 + 4\text{i} = 0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
- a^2 + 3a + 4&=&0\\
- a   + 4&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- a^2 + 3a - 6&=&0\\
a   &=&4
\end{array}\right.$.

$z_2 = 4\text{i}$ est solution de (2).
		\item %Développer $(z - 3)(z + 2 - 3\text{i})$, puis $(z - 4\text{i})(z - 1 + \text{i})$.
$(z - 3)(z + 2 - 3\text{i}) = z^2 + 2z - 3\text{i}z - 3z - 6 + 9\text{i} = z^2 - z(1 + 3\text{i}) - 6 + 9\text{i}$.

$(z - 4\text{i})(z - 1 + \text{i}) = z^2 - z + z\text{i} - 4z\text{i} + 4\text{i} + 4 = z^2 - z(1  + 3\text{i})+ 4\text{i} + 4$.
		\item %En déduire les solutions de l'équation :

\[\left(z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}\right)\left(z^2
 - (1 +3\text{i})z + 4 + 4\text{i}\right) = 0.\]
 
$\left(z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}\right)\left(z^2
 - (1 +3\text{i})z + 4 + 4\text{i}\right) = 0 \iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}	&=&0\\
z^2 - (1 +3\text{i})z + 4 + 4\text{i}	&=&0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
z - 3			&=&0\\
z - 1 + \text{i}&=&0\\
z - 4\text{i}	&=&0\\
z - 1 + \text{i}&=&0
\end{array}\right.$.

L'équation a donc quatre solutions : $3~;~4\text{i}~;~- 2 + 3\text{i}~;~1 - \text{i}$.
		\item %Soit $z_0$ la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$.
On a donc $z_0 = 1 - \text{i}$.
		
$\left|z_0^2 \right|^2 = 1 + 1 = 2$, donc $\left|z_0^2 \right| = \sqrt{2}$.

On a donc $z_0 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) = \sqrt{2}\left(\cos \left(- \frac{\pi}{4} \right) + \text{i}\sin \left(- \frac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$.
		\item %Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points $M_n$
% d'affixes $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y = x.$
Puisque  $z_0 = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$, alors $z_0^n = \left( \sqrt{2}\right)^n\text{e}^{-n \frac{\pi}{4}}$.

Donc $M_n \in y = x \iff - n \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi$, avec $k \in \Z$, soit 

$- n \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k \iff - n = 1 + 4k \iff n = - 1 - 4k$, avec $k \in \Z$.

En posant $k' = - k$, les solutions naturelles sont donc les nombres $n = - 1 + 4k'$ avec  $k \in \N*$.
	\end{enumerate} 
\item %On appelle $f$ l'application qui au point $M$, d'affixe $z$, associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que : 

%\[z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item %On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$. 
%Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
$z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i} = z' = (x + \text{i}y)^2 - (1 + 3\text{i})(x + \text{i}y) - 6 + 9\text{i} = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy - x - \text{i}y + 3x\text{i} - 3y + 6 + 9\text{i} = x^2 - y^2 - x  - 3y + 6 + \text{i}(2xy  - 3x - y  + 9)$.

On a donc :

\[x' = x^2 - y^2 - x  - 3y + 6\quad \text{et} \quad y' = 2xy  - 3x - y  + 9.\]
		\item %Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points $M$ pour lesquels $f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées.
$f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées si $x' = 0 \iff x^2 - y^2 - x  - 3y + 6 = 0$.

\emph{Remarque:} $x^2 - y^2 - x  - 3y + 6 = 0 \iff \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} - \left(y + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{9}{4} + 6 = 0\iff \left(x - \frac{1}{2} \right)^2  - \left(y + \frac{3}{2} \right)^2 + 8 = 0$.

En posant $X = x - \frac{1}{2}$ et $Y = y + \frac{3}{2}$ (changement d'origine), l'équation s'écrit $X^2 - Y^2 = - 8 \iff (X + Y)(X - Y) = - 8$.

C'est une hyperbole de centre le point $\Omega\left(\frac{1}{2}~;~- \frac{3}{2}\right)$.

Vérification : soit E(1,5~;~1,5) un point de (H) ; son image $f(\text{E})$ a pour coordonnées  (0~;~7,5) ;

F$(0,5~;~1,5)$ un autre point de (H) ; son image $f(\text{F})$ a pour coordonnées  (0~;~7,5).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et
%
%\renewcommand\arraystretch{2}
%\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
%x_{n+ 1} & = &  \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\
%y_{n + 1} &  =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
%\end{array}\right., ~n \in \N \]
%\renewcommand\arraystretch{1}
 
\begin{enumerate} 
\item %Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que $x_{n+1} = 4x_n + 2.$
$\bullet~~$\emph{Initialisation :} On a bien $5\times 1 - 8 + 3 = 0$, soit $5x_0 - y_0 + 3 = 0$, donc $M_0 \in (\Delta)$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité :} Supposons que pour  $n$ naturel, on ait  $M_n \in (\Delta)$, c'est-à-dire que $5x_n - y_n + 3 = 0$.

Calculons $5x_{n+1} - y_{n+1} + 3 =  5\left(\dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1 \right) - \left(\dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3}y_n + 5 \right) + 3 =$

$x_n\left(\dfrac{35}{3} - \dfrac{20}{3} \right) + y_n\left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{8}{3}\right) + 3 = 5x_n - y_n + 3 = 0$.

La relation est vraie au rang 0 et, si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$ : on a démontré par le principe de récurrence que quel que le naturel $n$, \: $5x_n - y_n +3 = 0$, c'est-dire que tous les points $M_n$ appartiennent à la droite $(\Delta)$.

\renewcommand\arraystretch{1.8}
$\bullet~~\left\{ \begin{array}{l c l}
x_{n+ 1} & = &  \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\
y_{n + 1} &  =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l}
8x_{n+ 1} & = &  \dfrac{56}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 8\\
y_{n + 1} &  =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence})\: 8x_{n+1} - y_{n+1} = 12x_n + 3$.
\renewcommand\arraystretch{1}

On  a $y_{n+1} = 5x_{n+1}  + 3$, donc 

$8x_{n+1} - 5x_{n+1}  - 3 = 12x_n + 3 \iff 3x_{n+1} = 12x_n + 6$ et enfin en simplifiant par 3 :
$x_{n+1} = 4x_n + 2$.
\item %Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels.
\emph{Initialisation :} $x_0$ et $y_0$ sont des naturels.

\emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $x_p$ et $y_p$ soient des naturels.

$x_p \in \N \Rightarrow 4x_p \in \N \Rightarrow  4x_p  + 2 \in \N$, soit $x_{p+1} \in \N$.

On a donc démontré par récurrence que tous les termes $x_n$ sont des naturels.

Or on a pour tout naturel $n$, \: $y_n = 5x_n + 3$ ;

$x_n \in \N \Rightarrow 5x_n \in \N \Rightarrow  5x_p  + 3 \in \N$, soit $y_{n} \in \N$. 
\item Montrer que :
	\begin{enumerate} 
		\item %$x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par 3.
On a pour tout naturel $n$, \: $5x_n = y_n - 3$ ;
		
$\bullet~~$si $y_n$ est multiple de 3, $y_n - 3$ l'est aussi  ; donc $5x_n$ est multiple de 3 et comme 5 est premier avec 3, $x_n$ est divisible par 3.

$\bullet~~$si $x_n$ est multiple de 3, $y_n = 5x_n + 3$ l'est aussi, soit $y_n$ est divisible par 3.
		\item %Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.
Supposons que  $x_n$ et $y_n$ aient un diviseur commun différent de 3 ; il existe donc $k \in Z$ tel que $x_n = kd$ et $l \in Z$ tel que $y_n = ld$.

Or $y_n = 5x_n + 3 \iff ld = 5kd + 3 \iff (l - 5k)d = 3$ égalité qui montre que $d$ divise 3 qui n'a pour diviseurs que 1 et 3 : c'est impossible puisque $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3.

On a donc démontré par l'absurde que s'ils ne sont pas divisibles par 3, $x_n$ et $y_n$ sont premiers entre eux. 
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer, par récurrence, que $x_n = \dfrac{1}{3}  \left(4^n \times  5 - 2\right).$
\emph{Initialisation :}   $\dfrac{1}{3}\left(4^0 \times  5 - 2\right) = \dfrac{1}{3} \times 3 = 1 = x_0.$

\emph{Hérédité :} Supposons que pour  $n$ naturel, on ait :  $x_n = \dfrac{1}{3}  \left(4^n \times  5 - 2\right).$

On a $x_{n+1} = 4x_n + 2 = 4 \times \dfrac{1}{3}  \left(4^n \times  5 - 2\right) + 2 = \dfrac{1}{3} \left(4^{n+1} \times  5 - 2 \times 4\right) + 2 =$

$ \dfrac{1}{3}  \left(4^{n+1} \times  5 - 2 \times 4\right) + \dfrac{1}{3}\times 6 = \dfrac{1}{3}  \left(4^{n+1} \times  5 - 8 + 6\right)=  \dfrac{1}{3}  \left(4^{n+1} \times  5 - 2 \right)$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 0 et, si elle est vraie a	u rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ : donc d'après le principe de récurrence :

Quel que soit l'entier $n, \: x_n =  \dfrac{1}{3}  \left(4^n \times  5 - 2\right)$.
		\item %En déduire que $4^n \times  5 - 2$ est un multiple de 3, pour tout entier naturel $n$.
		D'après la question précédente $x_n$ étant un entier  $4^n \times  5 - 2$ est un multiple de 3 car  $3x_n = 4^n \times  5 - 2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\begin{center} \textbf{Partie 1} \end{center}

%On définit la fonction $u$ sur $\R^*$ par 

\[u(x) = 2x^3 - 1 + 2 \ln |x|.\] 

\begin{enumerate} 
\item %Étudier les variations de la fonction $u$ sur $\R^*$.
%Préciser la valeur de l'extremum relatif de $u$.
$x$ étant non nul, $u$ est dérivable sur  $\R^*$ comme somme de fonctions dérivables et :

$\bullet~~$ si $x > 0$,\:$u'(x) = 6x^2 + 2\dfrac{1}{x} > 0$ car somme de deux termes supérieurs à zéro : la fonction $u$ est donc strictement croissante sur  et sur $]0~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$ si $x < 0$,\:$u'(x) = 6x^2 - 2\dfrac{1}{-x} = 6x^2 + 2\dfrac{1}{x}$

$u'(x) = 0 \iff 6x^2 + 2\dfrac{1}{x} = 0 \iff 6x^3 + 2 = 0 \iff 3x^3 + 1 = 0 \iff$

$ x^3 = - \dfrac{1}{3} \iff  x = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \approx - 0,693$ ; 

Donc $u'(x) > 0 \iff x <  - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$.

Donc $u$ est croissante sur $\left]- \infty~;~- \sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right[$ et décroissante sur $\left]- \sqrt[3]{\frac{1}{3}}~;~0\right[$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x^3 - 1 = - 1$ et que $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2 \ln |x| = - \infty$ que $x$ soit positif ou négatif, on a donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0}u(x) = - \infty$.

D'autre part l'extremum relatif $u\left(- \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right) = 2\left(- \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right)^3 - 1 + 2\ln \left|- \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right| =$

$ - \dfrac{2}{3} - 1 + 2 \ln \left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right) = - \dfrac{5}{3} + 2 \ln \left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right) = - \dfrac{5}{3} - 2\ln  3^{\frac{1}{3}} = - \dfrac{5}{3} -  \dfrac{2}{3}\ln 3 = - \dfrac{1}{3}\left(5 + 2\ln 3 \right)$

$ \approx - 2,399$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.2)
\psframe(8,4.2)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(0,3)(8,3)\psline(0,3.5)(8,3.5)
\psline(2,0)(2,4.2)\psline(5.95,0)(5.95,3.5)\psline(6.05,0)(6.05,3.5)
\uput[u](1,3.4){$x$} \uput[u](2.5,3.4){$- \infty$} \uput[u](4,3.4){$-  \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$} 
\uput[u](6,3.4){$0$} \uput[u](7.5,3.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.9){$3x^3 + 1$} \uput[u](3,2.9){$-$} \uput[u](4,2.9){$0$} \uput[u](5,2.9){$+$}\uput[u](7,2.9){$+$}
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](3,2.4){$-$} \uput[u](5,2.4){$-$} \uput[u](7,2.4){$+$}
\uput[u](1,1.9){$u'(x)$} \uput[u](3,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5,1.9){$-$} \uput[u](7,1.9){$+$} 
\rput(1,1){$u$} \uput[d](4,2){$\approx - 2,399$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$} \uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(5.5,0.5)\psline{->}(6.5,0.5)(7.5,1.5)   
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Étudier les limites de $u$ en 0, et en $+ \infty.$
Par somme de limites, comme  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = x^3  = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2\ln x = + \infty,$

$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty}u(x) = + \infty$.
\item %On considère l'équation $u(x) = 0$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer qu'elle n'admet qu'une seule solution sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ et en déduire qu'elle est la seule sur $\R^*$ ; cette solution sera notée $\alpha$.
On a $u(0,5) \approx - 2$ et $u(1) = 1$.

Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ est continue car dérivable et $u(0,5)\times u(1) < 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ tel que $u(\alpha) = 0$.

Comme $u(x) < 0$ sur $]- \infty~;~0[$, $u$ ne s'annule donc qu'en $\alpha$.
		\item %Donner un encadrement de $\alpha$ par deux nombres rationnels de la forme$\dfrac{n}{10}$ et $\dfrac{n+1}{10}$, avec $n$ entier.
On a $u(0,8) \approx - 0,4$ et $u(0,9) \approx 0,2$, on a donc $0,8 < \alpha < 0,9$, soit 
		
$\dfrac{8}{10} < \alpha < \dfrac{9}{10}$. 
	\end{enumerate} 
\item %En déduire le signe de $u(x)$ sur $\R^*$.
Des questions précédentes, on déduit que $u(x) < 0$ sur $]- \infty~;~0[$ et sur $[0~;~\alpha[$ et $u(x) > 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 2} \end{center}

%On définit la fonction $f$ sur $\R^*$ par 

\[f(x) = 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item %Étudier les limites de $f$ en 0, en $+ \infty$ et $- \infty$.
$\bullet~~$Limite en 0 : comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = + \infty$, \: $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln |x|}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$Limite en $- \infty$ :  on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln |x|}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item %Pour tout $x$ réel, déterminer le nombre dérivé $f'(x)$.
$\bullet~~$Pour $x > 0$ :\: $f(x) =  2x - \dfrac{\ln x}{x^2}$, donc :

$f'(x) = 2 - \dfrac{\frac{1}{x}\times x^2 - 2x\ln x}{x^4} = 2 - \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = 2 - \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} = \dfrac{2x^3  - 1 + 2 \ln x}{x^3} = $

$f'(x) = \dfrac{u(x)}{x^3}$.

Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $u(x)$ pour $x > 0$.

$\bullet~~$Pour $x < 0$ :\: $f(x) =  2x - \dfrac{\ln (- x)}{x^2}$, donc :

$f'(x) = 2 - \dfrac{-\frac{1}{x}\times x^2 - 2x\ln (- x)}{x^4} = 2 - \dfrac{- x - 2x\ln (- x)}{x^4} = 2 - \dfrac{- 1 - 2\ln (- x)}{x^3} = $

$\dfrac{2x^3 + 1  + 2\ln (- x)}{x^3} = \dfrac{- 2(- x)^3 + 1 + 2\ln (- x)}{x^3} = - \dfrac{2(- x)^3 - 1 + 2\ln (- x)}{- (- x)^3} =$

$ \dfrac{2(- x)^3 - 1 + 2\ln (- x)}{(- x)^3} = \dfrac{u(x)}{x^3}$.

Le signe de $f'(x)$ est donc l'opposé du signe de $u(x)$ pour $x < 0$.

\item %En utilisant les résultats déjà établis, donner les variations de la fonction $f$ et le tableau de variations de $f$.
$\bullet~~$Sur $]- \infty~;~0[,\: f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante

$\bullet~~$Sur $]0~;~\alpha[$, \:$f'(x) <0$, donc $f$ est décroissante

$\bullet~~$Sur $]\alpha~;~+ \infty[$, \: $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que $f(\alpha) = 3\alpha - \dfrac{1}{2\alpha ^2}$.
$\alpha$ est défini par $u(\alpha) = 0 \iff 2\alpha^3 - 1 + 2\ln |\alpha| = 0 \iff  2\alpha^3 - 1 + 2\ln \alpha = 0  \iff 2 \ln \alpha = 1 - 2\alpha^3$ puisque $\alpha > 0$ ou encore $2 \ln \alpha = 1 - 2\alpha^3$.

$f(\alpha) = 2\alpha - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha^2} = 2\alpha - \dfrac{\frac{1}{2} - \alpha^3}{\alpha^2} = 2\alpha - \frac{1}{2\alpha^2}  + \alpha = 3\alpha - \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
		\item %En utilisant l'encadrement de $\alpha$ trouvé à la \textbf{partie 1 3}, prouver que 
$0,8 < \alpha < 0,9 \Rightarrow 2,4 < 3\alpha < 2,7 \quad (1)$ ;

$0,8 < \alpha < 0,9 \Rightarrow 0,64 < \alpha ^2 < 0,81 \rightarrow 0,128 < 2\alpha^2 < 1,62 \Rightarrow$

$ \dfrac{1}{1,62} < \dfrac{1}{2\alpha^2} < \dfrac{1}{1,28}$.

Comme $\dfrac{1}{1,62} \approx 0,617$ et $\dfrac{1}{1,28} \approx 0,781$, on peut donc écrire que 

$0,6 < \dfrac{1}{2\alpha^2} < 0,8 \Rightarrow -0,8 < - \dfrac{1}{2\alpha^2} < - 0,6$ et en ajoutant membre avec le premier encadrement (1) $2,4 - 0,8 < 3\alpha - \dfrac{1}{2\alpha ^2} < 2,7 - 0,6$ soit finalement : $1,6 < f(\alpha) < 2,1$.
%$1,6 < f(\alpha) < 2,1$.

%La construction de $\mathcal{C}$ n'est pas demandée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 3} \end{center}

%Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~y)$ et $M'$ le point de coordonnées $(x'~;~y')$ dans le repère \Oij, où $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées. 

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
On a $x' = - x$ et $y' = y$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer qu'une équation de la courbe $\Gamma$ à laquelle appartient $M'$ lorsque $M$ décrit la courbe $\mathcal{C}$ est la suivante : $y = - 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}$.
		Puisque $x = - x'$ et $y = y'$, \:$y' = 2(- x') - \dfrac{\ln |- x'|}{(- x')^2}$ soit :
		
		$y' = - 2x' - \dfrac{\ln |x'|}{\left(x'\right)^2}$. 
		\item %Étudier la position relative des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
		On a vu à la question 1. que la courbe $\Gamma$ est la symétrique de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des ordonnées.
		
		Soit $p$ la fonction définie sur $\R*$ par : $d(x) = 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2} - \left[- 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2} \right] = 4x$ qui est donc négative sur $]- \infty~;~0[$ et positive sur $]0~;~+ \infty[$.
		
		Ceci signifie que sur $]- \infty~;~0[$ la courbe  $\mathcal{C}$ est sous la courbe $\Gamma$ et que sur $]0~;~+ \infty[$ la courbe  $\mathcal{C}$ est au dessus de  la courbe $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 4} \end{center}

%On considère un réel $m$ supérieur ou égal à 1.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %On note $A(m$) l'intégrale $\displaystyle\int_1^m  \left[2x - 
%f(x)\right]\: \text{d}x$. Calculer $A(m$). (On utilisera une intégration par parties.) 
$A(m$) l'intégrale $\displaystyle\int_1^m  \left[2x - \left(2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2} \right)f(x)\right]\: \text{d}x = \displaystyle\int_1^m\dfrac{\ln |x|}{x^2}\: \text{d}x =  \displaystyle\int_1^m\dfrac{\ln x}{x^2}\: \text{d}x$ puisque $m \geqslant 1 > 0$.

Soit $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x^2}$, d'où :

$u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = - \dfrac{1}{x}$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur  $[1~;~+ \infty[$ ; on peut donc intégrer par parties :

$A(m) = \left[- \dfrac{\ln x}{x}\right]_1^m + \displaystyle\int_1^m \dfrac{1}{x^2}\: \text{d}x = \left[- \dfrac{\ln x}{x} -  \dfrac{1}{x} \right]_1^m = - \dfrac{\ln m}{m} -  \dfrac{1}{m} + 0 + 1 =$

$A(m) = 1 - \dfrac{\ln m + 1}{m}$.
\item %Déterminer, si elle existe, la limite de $A(m$)  quand $m$ tend vers	$+ \infty$.
$A(m) = 1 - \dfrac{\ln m + 1}{m} = 1 - \dfrac{\ln m}{m} - \dfrac{1}{m}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  \dfrac{1}{m} = 0$, \:$\displaystyle\lim_{m \to + \infty}  \dfrac{\ln m}{m} = 0$, d'où par somme de limites 

\[\displaystyle\lim_{m \to + \infty}A(m) = 1.\]
\end{enumerate}
\end{document}