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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{16 juin 2009}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 
16 juin 2009~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\textbf{Commun  à tous les candidats}

%Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$.

%Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

%La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$.

%\medskip

%Une étude statistique a montré que 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ;
%\item[$\bullet~$] 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur  $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ;
%\item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette  ont un défaut.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item %On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise.

\medskip

%On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] F$_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] F$_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] F$_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] D : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents.
On a : $p\left(\text{F}_{1}\right) = \dfrac{1}{2}~; ~p\left(\text{F}_{2}\right) = \dfrac{1}{3}$. Puis :

$p_{\text{F}_{1}}(D) = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}~;~p_{\text{F}_{2}}(D) = \dfrac{1,5}{100} = \dfrac{15}{1000}\dfrac{3}{200}~;~p(D) = \dfrac{3,5}{100} = \dfrac{35}{1000} = \dfrac{7}{200}$.

%\emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.}

\bigskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{F$_{1}$}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	  { 
		  \TR{D}\taput{$\frac{1}{20}$}
		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{F$_{2}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{D}\taput{$\frac{3}{200}$}
		  \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots} 
	  }
	\pstree{\TR{F$_{3}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{D}\taput{\ldots}
		   \TR{$\overline{\mathrm{D}}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

		\item %Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut.
		Cette probabilité est égale à $p\left(\text{F}_{1}\right) \times p_{\text{F}_{1}}(D) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{40}= \dfrac{5}{200}$.
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement F$_{2} \cap \text{D}$.
De la même façon cette probabilité est égale à (troisième branche) à $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{200} = \dfrac{1}{200}.$
		\item %En déduire la probabilité de l'évènement F$_{3} \cap \text{D}$.
On a $p\left(\text{F}_{3}\right) = 1 - p\left(\text{F}_{1}\right) - p\left(\text{F}_{2}\right) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

D'autre part $p(D) = \dfrac{7}{200} = p\left(\text{F}_{1}\right) \times p_{\text{F}_{1}}(\text{D}) + p\left(\text{F}_{2}\right) \times p_{\text{F}_{2}}(\text{D}) + p\left(\text{F}_{3}\right) \times p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) \iff \dfrac{7}{200} = \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{200}  + \dfrac{1}{6}p_{\text{F}_{3}}(\text{D})\iff p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) = 6\left[\dfrac{7}{200} - \dfrac{1}{40} -\dfrac{1}{200} \right] = 6\left[\dfrac{6}{200} - \dfrac{1}{40} \right] = 6\left[\dfrac{6}{200} - \dfrac{5}{200} \right] = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100}$.

On a donc $p\left(\text{F}_{3} \cap \text{D} \right) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{100} = \dfrac{1}{200}$.
		\item %Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?
		On a $p_{\text{F}_{3}}(\text{D}) = \dfrac{p\left(\text{F}_{3} \cap \text{D} \right)}{p\left(\text{F}_{3} \right)} = \dfrac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100}$.
	\end{enumerate}
\item %L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.

%On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chaussettes défectueuses sur un tirage de 6 chaussettes. Elle suit une loi binomiale de paramètres $n = 6$ et de probabilité $p(\text{D}) = 0,035.$

Or $p(X = 2) = \displaystyle\binom{6}{2}0,035^2 (1 - 0,035)^4 = 15 \times 0,035^2 \times 0,965^4 \approx \nombre{0,015934} \approx 0,016$ (au millième près).		
		\item %Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$
		Cette probabilité est égale à $p(X = 0) + p(X = 1) = $
		
$\displaystyle\binom{6}{0}0,035^0 (1 - 0,035)^6 + \displaystyle\binom{6}{1}0,035^1 (1 - 0,035)^5 \approx \nombre{0,80754} + \nombre{0,175734} \approx \nombre{0,9832}\approx 0,983$ (au millième près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux  candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

%\medskip

%On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, $B$ d'affixe $b$ où $b$ est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

%On construit à l'extérieur du triangle OA$B$, les carrés directs O$DC$A et O$BEF$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

%\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les affixes $c$ et $d$ des points C et D. 
C($1-\text{i}$) et D($-\text{i}$)
\item %On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $+\frac{\pi}{2}$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $r$.
$z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z \iff z' = \text{i}z$. 
	\item %En déduire que l'affixe $f$ du point $F$ est  $\text{i}b$.
O$BEF$ étant un carré, $r(B) = F$, donc $f = \text{i}b$.
	\item %Déterminer l'affixe $e$ du point $E$.
	On a $\vect{\text{O}B} = \vect{FE} \iff b = e - f \iff e =  b + f =   b + \text{i}b = b(1 + \text{i}).$  
	\end{enumerate}
\item %On appelle $G$ le point tel que le quadrilatère O$FG$D soit un parallélogramme. 

%Démontrer que l'affixe $g$ du point $G$ est égal à $\text{i}(b -1)$. 
O$FG$D est un parallélogramme si et seulement si $\vect{\text{O}D} = \vect{FG} \iff d = g - f \iff$

$ g = d + f = -\text{i} + \text{i}b = \text{i}(b - 1).$
\item %Démontrer que $\dfrac{e - g}{c - g} = \text{i}$ et en déduire que le triangle  $EG$C est rectangle et isocèle.
$\dfrac{e - g}{c - g} = \dfrac{b(1 + \text{i}) - \text{i}(b - 1)}{1- \text{i} - \text{i}(b - 1)} = \dfrac{b + \text{i}}{1 - \text{i}b} = \dfrac{(b + \text{i})(1 + \text{i}b)}{(1 - \text{i}b)(1 + \text{i}b)} = \dfrac{\text{i}\left(b^2 + 1 \right)}{1 + b^2} = \text{i}$.

Il en résulte que arg$\left( \dfrac{e - g}{c - g} \right) = \left(\vect{GC},~\vect{GE}\right) = \text{arg}(\text{i}) = \dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}%} \hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=2.25cm}\begin{pspicture}(-1.25,-1.5)(1.5,2)
%%\psgrid
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.25,-1.5)(1.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\psframe(0,0)(1,-1) \rput{40}(0,0){\psframe(0,0)(1.2,1.2)}
%\psline(0,-1)(-0.76,-0.12)(-0.76,0.92)
%\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){A} \uput[ur](0.86,0.78){$B$} \uput[dr](1,-1){C} 
%\uput[dl](0,-1){D} \uput[u](0.17,1.63){$E$} \uput[l](-0.78,0.86){$F$} \uput[dl](-0.78,-0.14){$G$} 
%\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux  candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que \[\left\{\begin{array}{l c l r}
%N&\equiv&5&(13)\\
%N&\equiv &1&(17)
%\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que 239 est solution de ce système.
$239 = 13 \times 18 + 5 \iff  239 \equiv 5 \quad (13)$

$239 = 17 \times 14 + 1 \iff 239 \equiv  1 \quad (17)$

Donc 239 est solution du système.
		\item %Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
		
		%Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
		$N \equiv 5 \quad (13)$ signifie : il existe $y \in \Z$ tel que $N = 13y + 5$ ;
		
De même $N \equiv 1 \quad (17)$ signifie : il existe $x \in \Z$ tel que $N = 17x + 1$.

Toute solution $N$ du système peut donc s'écrire de deux façons : 

$13y + 5 = 17x + 1$. Il en résulte que $17x + 1 - 13y - 5 = 0 \iff 17x - 13y = 4$, avec $x \in \Z,~y \in \Z$.
		\item %Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Une solution évidente saute aux yeux : le couple (1~;~1)

On a donc  le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
17x - 13y &=& 4\\
17\times 1 - 13 \times 1&=&4
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence})$

$ 17(x - 1) - 13 (y - 1) = 0 \iff 17(x - 1) = 13 (y - 1) \quad (1)$.

17 étant premier avec 13, il divise d'après le théorème de Gauss, $(y- 1)$ ; il existe donc $k \in \Z$ tel que $y - 1 = 17k \iff y = 17k + 1$.

En reportant dans l'équation (1), on obtient $17(x - 1) = 13 \times 17k \iff $

$x - 1 = 3k \iff x = 13k + 1$.

Les couples solutions s'écrivent sous la forme $(13k + 1~;~17k + 1),~k \in \Z$.
		\item %En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
		On a vu que $N = 17x + 1 = 17(13k + 1) + 1 = 221k + 17 + 1 = 221k + 18$.
		\item %Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et $\left\{\begin{array}{l c l r}
%N&\equiv&5&(13)\\
%N&\equiv &1&(17)
%\end{array}\right.$.
On a déjà démontré ci-dessus que $\left\{\begin{array}{l c l r}
N&\equiv&5&(13)\\
N&\equiv &1&(17)
\end{array}\right. \Rightarrow N \equiv 18 \quad (221).$

Inversement : $N \equiv 18 \quad (221) \iff N = 221q + 18 = 17 \times 13q + 18 = $

$17 \times 13q + 17 + 1 \iff N  = 17(13q + 1) + 1 \iff N \equiv 1 \quad 17.$

De même on peut écrire $N = 221q + 18 = 17 \times 13q + 18 = 17 \times 13q + 13 + 5 = 13(17q + 1) + 5 \iff N \equiv 5 \quad [13]$.
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
La réponse est oui s'il existe un nombre $N$ de la forme $10^k$.
		
D'après le petit théorème de Fermat :

17 est premier et 10 est un entier non divisible par 17.

On sait qu'alors $10^{17 - 1} \equiv 1 \quad [17] \iff 10^{16}\equiv 1 \quad [17].$ 
		\item %Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?
On a vu que $10^{\ell} \equiv 18 \quad [221] \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
		10^{\ell} &\equiv& 5 \quad [13]\\
		10^{\ell} &\equiv& 1 \quad [17]
		\end{array}\right.$
		
Or 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $10 \equiv -3 \quad [13]$ 
\item[$\bullet~$] $10^2 \equiv 9  \quad [13]$
\item[$\bullet~$] $10^3 \equiv -1 \quad [13]$
\item[$\bullet~$] $10^4 \equiv 3 \quad [13]$
\item[$\bullet~$] $10^5 \equiv 4 \quad [13]$
\item[$\bullet~$] $10^6 \equiv 1\quad [13]$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans la division par 13, tous les nombres $10^{\ell}$ ont donc comme reste : $-3~;~-1~;~3~;~4~ ;~9$, mais jamais 5.

Conclusion : il n'existe pas d'entier $\ell$ tel que $10^{\ell} \equiv 18 \quad [221]$. 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

%\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip

%On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.

%\medskip
% 
%Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\end{center}
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f (x) = x + \ln x$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ : elle est donc dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant 1 > 0$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
On a : 

- $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ ;

- $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

Comme la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~ +\infty[$ il existe un réel unique $\alpha > 0$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
\item %Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} + \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2} - \ln 2 < 0$.

$f(1) = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1 >0$.

On a : $f\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0,~f(1) > 0$ et $f$ croissante sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, donc 

$\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center}
 
%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		$g$ est une différence de fonctions dérivables sur  $]0~;~ +\infty[$ ; elle est donc dérivable et $f'(x) = \dfrac{1}{5}\left(4 - \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{5}\dfrac{4x - 1}{x}$ qui est du signe de $4x - 1$, donc négative sur $\left]0~;~\dfrac{1}{4}\right]$ et positive sur $\left[\dfrac{1}{4}~;~+ \infty\right[.$
		
	$g$ est donc décroissante sur $\left]0~;~\dfrac{1}{4}\right]$, puis croissante.
	\item %En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient à cet intervalle.
	Sur l'intervalle  $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right]$, on vient de voir que $g$ est croissante. Donc :
	
	$\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow g\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant g(x) \leqslant g(1).$
	
Or $g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2 - \ln \frac{1}{2}}{5} = \dfrac{2 + \ln 2}{5} \approx 0,53 > 0,5$ et $g(1) = \dfrac{4 - \ln 1}{5} = \dfrac{4}{5} < 1$.

Conclusion : $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant g(x) \leqslant 1.$ 
	\item %Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	On a (E) $\quad : g(x) = x \iff \dfrac{4x - \ln x}{5} = x \iff 4x - \ln x = 5x \iff  x + \ln x = 0 \iff f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par 

%$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$.
		
\emph{Initialisation} : $u_{0} = \dfrac{1}{2}$, on a vu que $u_{1} = g\left(u_{0} \right) \approx 0,53$.

Donc $\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{0} \leqslant  u_{1} \leqslant 1$. La relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} :  soit $n \in \N$ et supposons que  $\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$.

D'une part $\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant  g\left(u_{n}\right) \leqslant    1$ soit $\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$.

D'autre part par croissance de la fonction $g$ :

$u_{n} \leqslant  u_{n+1} \Rightarrow g\left(u_{n}\right) \leqslant  g\left(u_{n+1}\right)$, soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2}.$

La relation au rang $0$ est vraie et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n+1$. On a donc démontré  par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$.
	\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
On vient donc de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ croissante et majorée par 1 converge vers une limite $\ell \leqslant 1$.
	
On a $u_{n+1} = g\left(u_{n} \right)$. La fonction étant continue sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, la limite $\ell$ vérifie : $\ell = g(\ell)$ c'est-à-dire d'après la question \textbf{1. c.} vérifie $x + \ln x = 0 \iff f(x) = 0$, dont l'unique solution est $\alpha$.
	
	Conclusion : la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha.$
	\end{enumerate} 
\item %Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$

	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. 
La calculatrice donne $u_{10} \approx \nombre{0,567124}$ à $10^{-6}$ près.
	\item %On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près de $\alpha$.
On admet que :

$\nombre{0,567124} \leqslant \alpha \leqslant u_{10}  + 5\times 10^{-4} $, soit $\nombre{0,567124} \leqslant \alpha \leqslant \nombre{0,567524}$.

Donc au millième près : $0,567 \leqslant \alpha \leqslant 0,568.$

%En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant  \alpha \leqslant  v$ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

%\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip

%\emph{L'exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d'entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s'agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.\\ 
%Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Question 1
 
%La solution $f$ de l'équation différentielle $y'+ 2y = 6$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

%\medskip

%\hspace*{-1.3cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}} 
%Réponse (1) : $f(x) = -2\text{e}^{-2x} +3$&  Réponse (2) : $f(x) = - 2\text{e}^{2x} +3$& 
%Réponse (3) : $f(x) = -2\text{e}^{-2x}- 3$\\
%\end{tabularx}
La fonction constante $x \mapsto 3$ est solution de l'équation et les solutions de l'équation $y' + 2y = 0$ sont de la forme $x \mapsto K\text{e}^{-2x}$.

Les solutions sont donc de la forme : $f(x) = K\text{e}^{-2x} + 3$. Or $f(0) = 1 \iff K + 3 = 0 \iff K = - 2$. Donc réponse (1).
\medskip 
\item  %Question 2
 
%On considère un triangle ABC et on note I le point tel que $2\vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}}= \vect{0}$.

% Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : 
 
%\medskip

%\hspace*{-1.3cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}  
%Réponse (1) : \{(A,~1), (C,~2)\}& Réponse (2) : \{(A,~1), (B,~2), (C,~2)\}& Réponse (3) : \{(A,~1), (B,~2), (C,~1)\} 
%\end{tabularx}
G, I et A sont alignés si G est le barycentre de I et A, ou encore par associativité le barycentre de (B, 2), (C, 1) et A, donc en particulier de (B, 2), (C, 1) et (A, 1).

La bonne réponse est la (3).
\medskip
\item  %Question 3
 
%Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $x -3y + 2z = 5$ et le point A$(2~;~3~;~-1)$. 

%Le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ est le point :
La perpendiculaire à $\mathcal{P}$ contenant A a pour équations paramétriques :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 +1t\\
y&=&3 - 3t\\
z&=&-1 + 2t
\end{array}\right.,~t \in \R$

Le projeté orthogonal de A sur $\mathcal{P}$ est donc le point commun à cette droite et à $\mathcal{P}$. Ses coordonnées vérifient donc le système :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 +1t\\
y&=&3 - 3t\\
z&=&-1 + 2t\\
x -3y + 2z &=& 5
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 +1t\\
y&=&3 - 3t\\
z&=&-1 + 2t\\
2 + t -3(3 - 3t) + 2(-1 + 2t) &=& 5
\end{array}\right.\]

\[\iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2 +1t\\
y&=&3 - 3t\\
z&=&-1 + 2t\\
14t &=&14
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&3\\
y&=&0\\
z&=&1\\
t&=&1
\end{array}\right.\]

Réponse (3)
%\medskip

%\hspace*{-1.3cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}} 
%Réponse (1) : H$_{1}(3~;~-1~;~4)$& Réponse (2) : H$_{2}(4~;~-3~;~-4)$& Réponse (3) : H$_{3}(3~;~0~;~1)$
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Question 4
 
%La valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ est égale à :  

%\medskip

%\hspace*{-1.3cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}} 
%Réponse (1) : $-\dfrac{\pi}{2}$& 	Réponse (2) : $\dfrac{\pi}{4}$& 	Réponse (3): $\dfrac{\pi}{2}$
%\end{tabularx}
La valeur moyenne de la fonction $f$ est :

$m = \dfrac{1}{}\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^2}\:\text{dx}.$

Cette intégrale ne peut être calculée, mais sur [0~;~1] :

$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant x^2 \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant 1 + x^2 \leqslant 2 \iff \dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{1 + x^2} \leqslant 1$.

Ces fonctions étant positives, on obtient en intégrant sur [0~;~1] :

$\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{2}\:\text{dx} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^2}\:\text{dx} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 1\:\text{dx}$, soit $\dfrac{1}{2} \leqslant m \leqslant 1.$

Or $\dfrac{\pi}{2} \approx 1,57$, donc la seule réponse possible est la réponse (2).
\medskip 
\end{enumerate} 


\end{document}