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%Merci à Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}% vecteur(AB)
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 2 décembre 2020},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
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\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{2 décembre 2020}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
2 décembre 2020}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\emph{L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire, type \og collège \fg, est autorisé}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\emph{Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.}\\
%\emph{Le candidat doit traiter tous les exercices.}\\
%\emph{Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.}\\
%\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.}\\
%\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) : z^3 = 4z^2 - 8z + 8$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$,
$ (z- 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = z^3-2z^2+4z-2z^2+4z-8=z^3-4z^2+8z-8$

		\item%  Résoudre l'équation $(E)$.
$(E) \iff z^3-4z^2+8z-8=0 \iff  (z- 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) =0
\iff z-2=0 \text{ ou } z^2 - 2z + 4=0$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $z-2=0 \iff z=2$
\item On résout $z^2 - 2z + 4=0$; $\Delta = (-2)^2 - 4\times 1 \times 4 = -12 = -\left (2\sqrt{3}\right )^2$

L'équation admet deux solutions conjuguées: \\
$z_1 = \dfrac{2 + \i \times 2\sqrt{3}}{2}=1+\i \sqrt{3}$ et
$z_2 = 1-\i \sqrt{3}$.
\end{list}

L'ensemble solution de l'équation $(E)$ est: $\left \{ 2~;~1+\i \sqrt{3}~;~1-\i \sqrt{3}\rule{0pt}{12pt}\right \}$. 

		\item On écrit les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle:
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $2 = 2\e^{0}$

\item $1+\i\sqrt{3} = 2\left (\dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )
= 2\left ( \cos \dfrac{\pi}{3} + \i \sin \dfrac{\pi}{3}\right )
= 2 \e^{\i\frac{\pi}{3}}$

\item  $1-\i\sqrt{3}$ est le conjugué de $1+\i\sqrt{3}$ donc $1-\i\sqrt{3} = 2 \e^{-\i\frac{\pi}{3}}$
\end{list}		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}	
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

Soit A, B, C et D les quatre points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad z_{\text{B}} = 2\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3} \quad z_{\text{D}} = 1.\]

Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-contre.

\columnbreak

\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.2)(2.5,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=lightgray!50](-1,-3)(2.5,2.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1pt](0,0)(-1,-3)(2.5,2.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2;60){A}\uput[dr](2;0){B}\uput[d](2;-60){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){D}
\pspolygon(0,0)(2;60)(2;0)(2;-60)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\uput[d](1,-2){Figure de l'exercice 1}
\psdots[linecolor=blue](1.75,0.433)
\uput[ur](1.75,0.433){\blue M}
\psline[linecolor=blue](1.75,0.433)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{multicols}

\begin{enumerate}[resume]
\item \ \\[-28pt]

\begin{list}{\textbullet}
\item Le milieu de [OB] a pour affixe $\dfrac{z_{\text O} + z_{\text B}}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1 = z_{\text D}$.
\item Le milieu de [AC] a pour affixe $\dfrac{z_{\text A} +  z_{\text C}}{2}=\dfrac{1+\i\sqrt{3}+1-\i\sqrt{3}}{2}=1 = z_{\text D}$.
\item Les segments [OB] et [AC] ont le même milieu D donc OABC est un parallélogramme.
\item $\text{OA} = |z_{\text A}| = \left | 1+\i\sqrt{3}\right |= \left | 2 \e^{\i\frac{\pi}{3}} \right | =2$
\item $\text{OC} = |z_{\text C}| = \left | 1-\i\sqrt{3}\right | = \left | 2 \e^{-\i\frac{\pi}{3}} \right | =2$
\end{list}

Le parallélogramme OABC a deux côtés consécutifs de même longueur donc OABC est un losange.

\item Soit M le point d'affixe $z_{\text{M}} = \dfrac{7}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour démontrer que les points A, M et B sont alignés, on va utiliser les vecteurs $\vectt{AM}$ et $\vectt{AB}$:
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vectt{AM}$ a pour affixe $z_{\vectt{AM}} = \dfrac{7}{4} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{4}-1-\i\sqrt{3} = \dfrac{3}{4} -\i\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\item $\vectt{AB}$ a pour affixe $z_{\vectt{AB}} = 2-1-\i\sqrt{3} = 1 - \i\sqrt{3}$.
\item $\vectt{AM} = \dfrac{3}{4}\,\vectt{AB}$ donc les vecteurs $\vectt{AM}$ et $\vectt{AB}$ sont colinéaires.
\end{list}		

Les vecteurs $\vectt{AM}$ et $\vectt{AB}$ sont colinéaires donc les points A, M et B sont alignés.
		
		\item% Démontrer que le triangle DMB est rectangle.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour affixe $1-\i\sqrt{3}$ donc il a pour coordonnées
$\left (1~;~-\sqrt{3}\right )$.
\item Le vecteur $\vectt{DM}$ a pour affixe $\dfrac{7}{4} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{4} -1 = \dfrac{3}{4} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ donc il a pour coordonnées
$\left (\dfrac{3}{4}~;~\dfrac{ \sqrt{3}}{4}\right )$.
\item $\vectt{AB}\cdot\vectt{DM} = 1\times \dfrac{3}{4} + \left (-\sqrt{3}\right )\times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 0$ donc $\vectt{AB} \perp \vectt{DM}$.
\end{list}		

On en déduit que le triangle DMB est rectangle en M.
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le phaéton à bec rouge est un oiseau des régions intertropicales.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement pollué, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 0,95$.
	\begin{enumerate}
		\item On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y = \dfrac{X - \mu}{0,95}$.
%Donner sans justification la loi suivie par la variable $Y$.

D'après le cours, on peut dire que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale centrée réduite.

		\item On sait que $P(X \geqslant 4) = 0,146$ donc $P(X \leqslant 4)=1-0,146=0,854$..
		%Démontrer que la valeur de $\mu$ arrondie à l'unité est $3$.

$X \leqslant 4 \iff X-\mu \leqslant 4-\mu \iff \dfrac{X-\mu}{0,95} \leqslant \dfrac{4-\mu}{0,95} \iff Y \leqslant  \dfrac{4-\mu}{0,95}$

Donc $P(X \leqslant 4)=0,854$ équivaut à $P\left (Y \leqslant  \dfrac{4-\mu}{0,95}\right )=0,854$.

On sait que $Y$ suit la loi normale centrée réduite, donc on peut déterminer à la calculatrice le nombre $a$ tel que $P(Y\leqslant a)= 0,854$; on trouve $a\approx \np{1,0537}$.

Donc $\mu$ vérifie $\dfrac{4-\mu}{0,95} \approx \np{1,0537}$, c'est-à-dire $\mu \approx 4-0,95\times \np{1,0537}$ ce qui donne $\mu\approx 3$.

	\end{enumerate}
\item  Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement sain, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire $Z$.

Les courbes des fonctions de densité associées aux lois de $X$ et de $Z$ sont représentées sur l'\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}.
	\begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu=3$; donc la courbe de la fonction de densité associée à $X$ est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=3$. C'est donc la courbe $\mathcal{C}_2$.
		
		\item Sur l'ANNEXE, on hachure la zone du plan correspondant à $P(Z \geqslant 4)$.
		
On admettra par la suite que $P(Z \geqslant 4) = 0,677$.
	\end{enumerate}
\item  Une étude statistique portant sur une région donnée, a permis d'établir que 30\,\% des phaétons à bec rouge vivent dans un environnement pollué; les autres vivent dans un environnement sain.
On choisit au hasard un phaéton à bec rouge vivant dans la région donnée.

On considère les évènements suivants :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $S$ : \og le phaéton à bec rouge choisi vit dans un environnement sain \fg{} ;
\item $V$ : \og le phaéton à bec rouge choisi a une durée de vie d'au moins 4 ans \fg.
\end{list}

	\begin{enumerate}
		\item On complète l'arbre pondéré illustrant la situation sur l'ANNEXE.
		
		\item% Déterminer $P(V)$. Arrondir le résultat au millième.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(V)= P\left (S\cap V\right ) + P \left ( \overline{S}\cap V\right )
= 0,7 \times 0,677 + 0,3 \times 0,146 = \np{0,5177}\approx 0,518$
		
		\item Sachant que le phaéton à bec rouge a une durée de vie d'au moins 4 ans la probabilité qu'il vive dans un environnement sain est:
$P_{V}(S) = \dfrac{P\left (V\cap S\right )}{P(V)} = \dfrac{0,7\times 0,677}{\np{0,5177}}\approx 0,915$		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, par
$g(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{4}+ \dfrac{4}{\left(1 ++ \text{e}^x \right)^2}$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Limite en $+\infty$

$\ds\lim_{x\to +\infty} x^2+x+\dfrac{1}{4} = \ds\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty$

$\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{x}=+\infty \implies \ds\lim_{x\to +\infty} \left (1+\e^{x}\right )^2 = +\infty \implies \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{4}{\left (1+\e^{x}\right )^2}=0$

Donc $\ds\lim_{x\to +\infty}  x^2+x+\dfrac{1}{4}  + \dfrac{4}{\left (1+\e^{x}\right )^2}=+\infty$, c'est-à-dire $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.

\item Limite en $-\infty$

$\ds\lim_{x\to -\infty} x^2+x+\dfrac{1}{4} = \ds\lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty$

$\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{x}=0 \implies \ds\lim_{x\to -\infty} \left (1+\e^{x}\right )^2 = 1 \implies \ds\lim_{x\to -\infty} \dfrac{4}{\left (1+\e^{x}\right )^2}=4$

Donc $\ds\lim_{x\to -\infty}  x^2+x+\dfrac{1}{4}  + \dfrac{4}{\left (1+\e^{x}\right )^2}=+\infty$, c'est-à-dire $\ds\lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.
\end{list}

\item On admet que la fonction $g'$ est strictement croissante sur $\R$ et que $g'(0) = 0$.

%Déterminer le signe de la fonction $g'$ sur $\R$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $x<0$, comme la fonction $g'$ est strictement croissante, on a $g'(x) < g'(0)$; on sait que $g'(0)=0$ donc, pour tout $x<0$, on a $g'(x)<0$.
\item Pour $x>0$, comme la fonction $g'$ est strictement croissante, on a $g'(x) > g'(0)$; on sait que $g'(0)=0$ donc, pour tout $x>0$, on a $g'(x)>0$.
\end{list}

\item La fonction $g'$ s'annule et change de signe pour $x=0$; elle passe de négative à positive, donc la fonction $g$ admet un minimum en $x=0$ qui vaut $g(0)=\dfrac{1}{4}+ \dfrac{4}{\left (1+1\right )^2}= \dfrac{5}{4}$.

On dresse le tableau des variations de la fonction $g$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \esp & 0 & \esp & +\infty \\
 \hline
g'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{+\infty}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
g & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\frac{5}{4}} & & \rule[-8pt]{0pt}{0pt}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x) = 3 - \dfrac{2}{1 + \e^x}$.

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij, représentée dans la \textbf{figure} ci-dessous.

 Soit A le point de coordonnées $\left(- \dfrac{1}{2}~;~3\right)$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item $f(0)= 3 - \dfrac{2}{1+\e^{0}} = 3-\dfrac{2}{2} = 2$ donc
le point B(0~;~2) appartient à $\mathcal{C}_f$.

\item  Soit $x$ un réel quelconque.

On note M le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$. 

%Démontrer que AM$^2 = g(x)$.

$\text{AM}^2 = \left ( x_{\text M} - x_{\text A}\right )^2  + \left ( y_{\text M} - y_{\text A}\right )^2 
= \left ( x-\left (-\dfrac{1}{2}\right )\right )^2 + \left ( f(x) - 3\right )^2
= \left ( x + \dfrac{1}{2}\right )^2 + \left ( 3- \dfrac{2}{1+\e^{x}}-3 \right )^2\\
\phantom{\text{AM}^2}
= x^2+x+\dfrac{1}{4} + \left ( - \dfrac{2}{1+\e^{x}} \right )^2
= x^2+x+\dfrac{1}{4} +  \dfrac{4}{\left (1+\e^{x}\right )^2}
=g(x)$
 
\item On admet que la distance AM est minimale si et seulement si AM$^2$ est minimal.

% Déterminer les coordonnées du point de la courbe $\mathcal{C}_f$ tel que la distance AM est minimale.

AM$^2=g(x)$ et $g(x)$ est minimale pour $x=0$; AM est minimale pour $x=0$ donc si M a pour abscisse 0, c'est-à-dire est en B. 
 
\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 	
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, $f'(x) = 0 - \dfrac{0 -2\e^{x}}{\left (1+\e^{x}\right )^2} =  \dfrac{2\e^{x}}{\left (1+\e^{x}\right )^2}$
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B.
		
%Démontrer que l'équation réduite de $T$ est $y = \dfrac{x}{2} + 2.$
L'équation réduite de $T$ est: $y=f'(0)\left (x-0\right ) + f(0)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f'(x) = \dfrac{2\e^{x}}{\left (1+\e^{x}\right )^2}$ donc $f'(0) = \dfrac{2\times 1}{\left (1+1\right)^2 } = \dfrac{1}{2}$
\item $f(0)= y_{\text B}=2$
\end{list}

Donc  l'équation réduite de $T$ est $y = \dfrac{x}{2} + 2$.


	\end{enumerate}
\item  %Démontrer que la droite $T$ est perpendiculaire à la droite (AB).
La droite $T$ a pour équation  $y = \dfrac{x}{2} + 2$ soit $\dfrac{x}{2}-y+2=0$; elle a donc pour vecteur normal $\vect{n}\left (\dfrac{1}{2}~;~-1\right )$.

Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $\left ( 0- \left (-\dfrac{1}{2}\right )~;~2-3\right )$ soit $\left (\dfrac{1}{2}~;~-1\right )$; il est donc normal à la droite $T$.

On en déduit que  la droite $T$ est perpendiculaire à la droite (AB).

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4.5,-0.75)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{5}{3 2 1 2.71828 x exp add div sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](0,2){B}\uput[ul](-1.5,1.365){M}\uput[dl](0,0){O}
%\uput[d](0,-0.4){Figure de l'exercice 3, partie B.}
\uput[ul](-0.5,3){A}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.6](-0.5,3)(0,2)(-1.5,1.365)
%%%%%%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{-4.5}{5}{x 2 div 2 add}
\psline[linecolor=blue](0,2)(-0.5,3)
\uput[dr](-3,0.5){\blue $T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.}
%
%\smallskip
%\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : L'équation $(3\ln  x - 5) \left(\e^x + 4\right) = 0$ admet exactement deux solutions réelles.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$(3\ln  x - 5) \left(\e^x + 4\right) = 0 \iff 3\ln  x - 5 = 0 \text{ ou } \e^x + 4 = 0$
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $3\ln  x - 5 = 0 \iff \ln x = \dfrac{5}{3} \iff x=\e^{\frac{5}{3}}$; une solution réelle.
\item $ \e^x + 4 = 0$ n'a pas de solution réelle car $\e^{x}>0 \Rightarrow \e^{x} > 4 > 0$ pour tout $x$.
\end{list}
L'équation n'a donc qu'une solution réelle.\\
\\
\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
$u_0 = 2$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 5n + 6$.

\textbf{Affirmation 2} : Pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 3 \times 2^n + 5n - 1$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
En calculant quelques termes de la suite, 2, 10, 21, 38, 67,120, on peut conjecturer que la propriété $u_n = 3 \times 2^n + 5n - 1$ est vraie, pour tout $n$.\\
On va démontrer cette propriété par récurrence.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}\newline
Pour $n=0$, on a $u_0=2$ et $3 \times 2^n + 5n - 1 = 3\times 1 + 0 -1 = 2$.\newline
Donc la propriété est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{Hérédité}\newline
On suppose la propriété vraie au rang $n\geqslant 0$;
c'est-à-dire: $u_n = 3 \times 2^n + 5n - 1$.\newline
On veut démontrer que $u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + 5\left (n+1\right ) - 1$.\newline
$u_{n+1} = 2u_n - 5n + 6 = 2\left (3 \times 2^n + 5n - 1\right ) -5n+6
= 3\times 2^{n+1} +10n -2 -5n+6\newline
\phantom{u_{n+1}}= 3\times 2^{n+1} +5n +4
= 3\times 2^{n+1} +5(n+1)-1$\newline
Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\item \textbf{Conclusion}\newline 
La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant  0$.
\end{list}
\\
\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = n^2 + \dfrac{1}{2}$.

\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
On calcule quelques termes de la suite $(u_n)$.\newline
$u_0 = 0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$;
$u_1= 1^2+ \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$;
$u_2= 2^2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$;
$u_3= 3^2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{19}{2}$\\
\smallskip
$\dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{\frac{19}{2}}{\frac{9}{2}} = \dfrac{19}{9}$;
$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{9}{3}=3$\\
$\dfrac{19}{9}\neq 3$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.\\
\\
\textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{tabular}

\item  Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par le point A$(-3~;~7~;~ -12)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$.

Soit $d'$ la droite ayant pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t-1\\
y & -4t + 3\\
z & 10t - 2 .

\end{array}\right.,\:t \in  \R$

\textbf{Affirmation 4 }: Les droites $d$ et $d'$ sont confondues.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
Les droites sont confondues si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires et si elle ont un point en commun.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La droite $d'$ a pour vecteur directeur $(2~;~-4~;~10)$ qui est égal à $2.\vect{u}$; les droites $d$ et $d'$ sont donc parallèles.
\item On regarde si le point A appartient à la droite $d'$, autrement dit s'il existe un réel $t$ tel que:
$\left\lbrace
\begin{array}{r !{= } r}
-3 & 2t-1\\
7 & -4t+3\\
-12 & 10t-2
\end{array}
\right .$\newline
La valeur $t=-1$ convient donc $\text A\in d'$.
\end{list}
Les deux droites $d$ et $d'$ sont confondues.\\
\\
\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\item  On considère un cube ABCDEFGH, L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$

\parbox{0.55\linewidth}{
Une représentation paramétrique de la droite (AG) est

\medskip

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & t\\
y& t\\
z& t
\end{array}\right.\:t \in \R$.

\medskip

On considère un point M de la droite (AG).}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psline(0.7,0.6)(3.8,0.4)(5.5,1)(5.5,4.5)(3.8,3.9)(0.7,4.1)(2.4,4.7)(5.5,4.5)%ABCGFEHG
\psline(0.7,0.6)(0.7,4.1)%AE
\psline(3.8,0.4)(3.8,3.9)%BF
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(2.4,1.2)(2.4,4.7)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.2)(5.5,1)%DC
\uput[d](0.7,0.6){A} \uput[d](3.8,0.4){B} \uput[r](5.5,1){C} \uput[d](2.4,1.2){D} 
\uput[ul](0.7,4.1){E} \uput[u](3.8,3.9){F} \uput[u](5.5,4.5){G} \uput[u](2.4,4.7){H}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{0}{6}{39 x mul 48 div 1.5 48 div add}
\uput[u](3,2.469){M}
\psline(2.4,1.2)(3,2.469)(3.8,0.4)
\psline(3.1,2.2)(3,1.93)(2.84,2.195)
\end{pspicture}}

\smallskip

\textbf{Affirmation 5} : Il y a exactement deux positions du point M sur la droite (AG) telles que les droites (MB) et (MD) soient orthogonales.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
On cherche le point M de (AG) tel que $\vectt{MB} \perp \vectt{MD}$, c'est-à-dire tel que $\vectt{MB} \cdot \vectt{MD} = 0$. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\text M \in (\text{AG})$ donc les coordonnées de M sont de la forme $(t~;~t~;~t)$.
\item B a pour coordonnées $(1~;~0~;~0)$ donc $\vectt{MB}$ a pour coordonnées $(1-t~;~-t~;~-t)$.
\item D a pour coordonnées $(0~;~1~;~0)$ donc $\vectt{MD}$ a pour coordonnées $(-t~;~1-t~;~-t)$.
\item  $\vectt{MB} \cdot \vectt{MD} = -t(1-t)+(1-t)(-t) + (-t)(-t)
= -t+t^2-t+t^2+t^2
=3t^2-2t
=t(3t-2)$
\item  $\vectt{MB} \cdot \vectt{MD} =0 \iff t(3t-2)= 0 \iff t=0 \text{ ou } t=\dfrac{2}{3}$
\end{list}
Il y a exactement deux positions du point M sur la droite (AG) telles que les droites (MB) et (MD) soient orthogonales; soit M est en A (pour $t=0$), soit M a pour coordonnées $\left ( \dfrac{2}{3}~;\dfrac{~2}{3}~;\dfrac{~2}{3}\right )$.\\
 \\
 \textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.}
%
%\smallskip
%
%\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : Les solutions de l'équation $7x - 12y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs, sont les couples $(- 1  +12k~;~-1 +7k)$ où $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
Les nombres 7 et 12 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de \textsc{Bézout}, l'équation $7x - 12y = 1$ admet des solutions donc l'équation $7x - 12y = 5$ aussi. \newline
On appelle $(E)$ l'équation $7x - 12y = 5$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout entier relatif $k$, si $x=-1+12k$ et $y=-1+7k$, alors \newline
$7x-12y= 7\left (-1+12k\right ) -12\left (-1+7k\right ) = -7 +84k +12 -84k = 5$; donc le couple $\left (-1+12k~;~-1+7k\right )$ est solution de l'équation $(E)$.
\item On suppose maintenant que le couple $(x~;~y)$ est solution de $(E)$. On sait aussi que $(-1~;~-1)$ est solution de $(E)$. On a donc:
\begin{center}
$\begin{array}{l !{-} l !{=} c l}
7x & 12y & 5\\
7(-1) & 12(-1) & 5\\
\cline{1-3}
7(x+1) & 12(y+1) & 0 & \text{par soustraction membre à membre}
\end{array}$
\end{center}
Donc $7(x+1)-12(y+1)=0$ ce qui équivaut à $7(x+1)=12(y+1)$.\newline
$7(x+1)=12(y+1)$ donc 7 divise $12(y+1)$; or 7 et 12 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de \textsc{Gauss}, 7 divise $y+1$. On peut donc écrire $y+1$ sous la forme $7k$ donc $y=-1+7k$.\newline
$7(x+1)=12(y+1)$ et $y+1=7k$ donc $7(x+1)=12\times 7k$ donc $x+1=12k$ ce qui veut dire que $x=-1+12k$.
\end{list}
Donc  les solutions de l'équation $7x - 12y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs, sont les couples $(- 1  +12k~;~-1 +7k)$ où $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.\\
\\
\textbf{Affirmation 1 vraie}
\end{tabular}

\item  \textbf{Affirmation 2} : Pour tout entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne de $4 + 3\times 15^n$ par $3$ est égal à 1.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$3 \equiv 0 \pmod 3$ donc, pour tout $n$, on a $3\times 15^{n} \equiv 0 \pmod 3$.\\
On en déduit que $4+3\times 15^{n} \equiv 4 \pmod 3$; or $4 \equiv 1 \pmod 3$ donc $4+3\times 15^{n} \equiv 1 \pmod 3$.\\
Comme $0 \leqslant 1 <3$, on peut dire que pour tout $n$, le nombre 1 est le reste de la division de $4 + 3\times 15^n$ par $3$.\\
\\
\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\item  \textbf{Affirmation 3} : L'équation $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 3$, où $n$ est un entier naturel, admet au moins une solution.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
On a $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 3$, où $n$ entier naturel; donc $n$ divise 3, donc $n=1$ ou $n=3$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $n=1$, on a $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 1\left ( 2-3+5\right )=4\neq 3$.
\item Si $n=3$, on a $n\left(2n^2 - 3n + 5\right) = 3\left ( 18-9+5\right )=42\neq 3$.
\end{list}
L'équation n'a pas de solution.\\
\\
\textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{tabular}

\item  Soit $t$ un nombre réel. On pose $A = \begin{pmatrix}t&3\\2t&-t\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 4} : Il n'existe aucune valeur du réel $t$ pour laquelle $A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
% $A = \begin{pmatrix}t&3\\2t&-t\end{pmatrix}$ donc
  $A^2 = \begin{pmatrix}t&3\\2t&-t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t&3\\2t&-t\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}t^2+6t&3t-3t\\2t^2-2t^2&6t+t^2\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}t^2+6t&0\\0&t^2 +6t\end{pmatrix} $
  
$A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\iff t^2+6t=1$
  
$t^2+6t=1 \iff t^2+6t-1=0$; $\Delta= 6^2 -4\times 1\times (-1) = 40>0$ donc l'équation admet deux solutions distinctes; il y a donc deux valeurs de $t$ pour lesquelles  $A^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Ce sont $-3+\sqrt{10}$ et $-3-\sqrt{10}$.\\
\\
\textbf{Affirmation 4 fausse}
\end{tabular}
\item On considère les matrices $A= \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}$
 et $I_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 5} : Pour tout entier $n\geqslant  2$,\: $A^n = \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
On va démontrer par récurrence que la propriété $A^n = \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3$ est vraie pour tout $n\geqslant 2$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=2$, 
$A^2= \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3\\-3 & 4 & -3 \\ 3 & -3 & 4\end{pmatrix}
$

$ \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3$ devient

$3A -2I_3 
=  \begin{pmatrix}0&3&-3\\-3&6&-3\\3&-3&6\end{pmatrix}
-  \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3\\-3 & 4 & -3 \\ 3 & -3 & 4\end{pmatrix}
= A^2$

La propriété est donc vérifiée pour $n=2$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie pour le rang $n\geqslant 2$ et on va démontrer qu'elle est vraie pour le rang $n+1$.

Autrement dit, on suppose $A^n = \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3$ et on veut démontrer $A^{n+1} = \left(2^{n+1} - 1\right)A + \left(2 - 2^{n+1}\right)I_3$.

$A^{n+1} 
= A^n\times A = \left ( \left(2^n - 1\right)A + \left(2 - 2^n\right)I_3\right ) \times A
= \left(2^n - 1\right)A^2 + \left(2 - 2^n\right)A\newline
\phantom{A^{n+1}}
= \left(2^n - 1\right)\left (3A-2I_3 \right ) + 2 A - 2^n A
= 3\times 2^n A -3A -2^n \times 2 I_3 +2I_3 +2A -2^n A\newline
\phantom{A^{n+1}}
= 2\times 2^n A -A +2I_3 - 2^{n+1} I_3
= 2^{n+1} A -A +2I_3 - 2^{n+1} I_3\newline
\phantom{A^{n+1}}
= \left ( 2^{n+1}  - 1\right ) A + \left (2 - 2^{n+1}\right ) I_3$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang $2$ et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 2$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant  2$.
\end{list}

\\
\textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 2 -- question 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(19,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!30,linecolor=blue](4,0)(4,0.13)(5,0.125)(6,0.115)(7,0.097)(8,0.08)(10,0.043)(12,0.025)(15,0.012)(19,0)(4,0)
\multido{\n=-1+1}{21}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{6}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(19,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=red,mue=3,sigma=0.95]{0}{7}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,0.045)(2,0.095)(3,0.12)(4,0.13)(5,0.125)(6,0.115)(7,0.097)(8,0.08)(10,0.043)(12,0.025)(15,0.012)(19,0)
%\psplot{0}{19}{x 2.71828 4 x mul exp div 1.5  mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{Exercice 2 -- question 3}

\vspace{2cm}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$} \naput{\blue $1-0,30=0,70$}}
	{\TR{$V$} \naput{0,677}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,677 = 0,323$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{S}$} \nbput{\blue $0,30$}}
	{\TR{$V$} \naput{0,146}
	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,146=0,854$}
	}
}
\end{center}

\end{document}