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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S} 
\lfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\rfoot{\small{décembre 1999}} 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle Calédonie ~\decofourright\\décembre 1999}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, 
%on considère les points A$(3~;~0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~2)$ et C$(1~;~- 1~;~0)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
On a $\vect{\text{AB}}(-3~;~- 1~;~1)$ et $\vect{\text{AC}}(- 2~;~- 1~;~- 1)$, donc $\vect{n}(2~;~- 5~;~1)$ qui est donc un vecteur normal au plan (ABC).

Une équation de ce plan est donc $2x - 5 y + z = d$ et en écrivant que A appartient à ce plan, on en déduit que $d = 7$.

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x - 5 y + z = 7$. 
\item %Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit  scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$.
On a d'abord  $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}(2~;~- 1~;~3)$, puis $\vect{\text{DA}} \wedge \left(\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}} \right)(16~;~- 8~;~- 8)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant  par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$.
$\vect{\text{D}M} = t \vect{n}$ se traduit par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&2t\\
y - 1&=&- 5t\\
z + 2&=&t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + 2t\\
y &=&1 - 5t\\
z &=&- 2 + t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$. 
		\item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette droite avec le plan ABC.
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \cap \left(\text{D},~\vect{n}\right) \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 5 y + z &=& 7\\
x &=&1 + 2t\\
y &=&1 - 5t\\
z &=&- 2 + t
\end{array}\right. \Rightarrow 2(1 + 2t) - 5(1 - 5t) - 2 + t = 7 \iff $

$2 + 4t - 5 + 25t - 2   + t = 7 \iff 30t = 5 \iff t = \dfrac{1}{6}$.

En remplaçant dans les trois dernières équations $t$ par $\dfrac{1}{6}$, on obtient  : H$\left(\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{1}{6}~;~- \dfrac{11}{6}\right)$.
		\item %Calculer DH (distance du point D au plan ABC).
On a DH$^2 = \left(\dfrac{1}{3} \right)^2  + \left(- \dfrac{5}{6} \right)^2 + \left(- \dfrac{23}{6}\right)^2 = \dfrac{4 + 25 + 529}{36} = \dfrac{558}{36}$.

Donc DH$ = \sqrt{\dfrac{558}{36}} = \dfrac{3\sqrt{62}}{6} = \dfrac{\sqrt{62}}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC.
Si D$'$ est le symétrique du point D par rapport au plan ABC, c'est aussi le symétrique de D autour du point H, donc H est le milieu de [DD$'$]. Si $(x~;~y~;~z)$ sont les coordonnées de D$'$, on a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1 + x}{2}&=&\frac{4}{3} \\
\frac{1 + y}{2}&=&\frac{1}{6}\\
\frac{- 2 + z}{2}&=&- \frac{11}{6}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
1 + x&=&\frac{8}{3} \\
1 + y&=&\frac{1}{3}\\
- 2 + z&=&- \frac{11}{3}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\frac{5}{3} \\
y&=&- \frac{2}{3}\\
z&=&- \frac{5}{3}
\end{array}\right.$

On a donc D$'\left(\frac{5}{3}~;~- \frac{2}{3}~;~ - \frac{5}{3}\right)$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item %Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3} + \text{i},\: \sqrt{3}$ - \text{i} et $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
~
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){1} \pscircle(0,0){2}
\psdots(2;30)(2;-30)(1;120)(2;90)(1;60)
\uput[ur](2;30){A}\uput[dr](2;-30){B} \uput[ul](1;120){D}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](2;30){\blue B$'$}\uput[ur](2;90){\blue A$'$}
\uput[ur](1;60){\blue D$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %On considère la rotation R de centre O et d'angle 
%$\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation R.
La rotation R a pour écriture complexe : $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z = \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right)z = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \frac{1}{2}\right)z$.

On a donc $z_{\text{A}'} = \left(\sqrt{3} + \text{i}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \text{i}\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) =  2\text{i}$.

De même $z_{\text{B}'} = \left(\sqrt{3} - \text{i}\right)\left(\frac{\frac{1}{2} + \text{i}\sqrt{3}}{2}  \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) =  \sqrt{3} + \text{i} = z_{\text{A}}$.
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T.
La translation a pour écriture complexe : $z' = z + 1$. Donc  
		
$z_{\text{D}'} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} + 1  = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
		\item %Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$.
Voir la figure ci-dessus. 
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer un argument du nombre complexe 
$\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}} = \dfrac{2\text{i} - \sqrt{3} - \text{i}}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}}   =
 \dfrac{- \sqrt{3} + \text{i}}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}}  = \dfrac{2\left(- \sqrt{3} + \text{i} \right)}{1 + \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{2\left(- \sqrt{3} + \text{i} \right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)}{\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)}$
 
$\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}} = \dfrac{2\left(- \sqrt{3} + \text{i} + 3\text{i}\sqrt{3}\right)}{1 + 3} = \dfrac{8\text{i}}{4} = 2\text{i}$. 
 
%Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle 
%OA$'$B$'$.
Géométriquement ce résultat signifie que $\left(\vect{\text{OD}'},\:\vect{\text{B}'\text{A}'} \right) = \dfrac{\pi}{2}$, autrement dit la droite (OD$'$) est perpendiculaire à la droite (B$'$A$'$).

Or $\left|z_{\text{B}'} \right| = 2$ et  $\left|z_{\text{A}'} \right| = 2$ : le triangle (OA$'$B$'$) est donc isocèle  et la droite (OD$'$) issue du sommet principal est hauteur et par conséquent médiatrice du côté opposé [B$'$A$'$].
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

%Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : 
%$N = 9 n + 1$ et $M = 9n - 1$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item %On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, 
%avec $p$ entier naturel non nul. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs.
		$N =  9 n + 1 = 9 \times 2p + 1 = 2\times (9p) + 1$  : c'est un multiple de 2 plus 1 : il est impair ; de même $M = 9 n - 1 = 9 \times 2p - 1 = 2\times (9p) - 1$ ; c'est un multiple de 2 moins 1 : il est impair.
		\item %En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
De façon évidente $N - M = 9n + 1 - 9n + 1 = 2$ ; or $N - M =  2 \iff N = M + 2$. $N$ et $M$ sont donc deux naturels impairs consécutifs : ils sont premiers entre eux. 
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs.
$N = 9 n + 1 = 9(2p + 1) + 1 = 2\times 9p + 9 + 1 = 2 \times 9p + 10 = 2(9p + 5)$ : $N$ est donc pair.

De même  $M = 9n - 1 = 9\times (2p + 1) - 1 = 2\times 9p + 8 = 2(9p + 4)$ : $M$ est pair.
		\item %En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
On a déjà vu que $N = M + 2$ ; PGCD$(M~;Ñ) = \text{PGCD}[2(9p + 5)~;~2(9p + 4) ] = 2\text{PGCD} (9p + 5~;~9p + 4) = 2$, puisque $\text{PGCD} (9p + 5~;~9p + 4) = 1$ car les entiers sont consécutifs.
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$.
$81n^2 - 1 = (9n + 1)(9n - 1) = N \times M$.
		\item %Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n^2 - 1$ est impair.
On a vu à la question 1. que $M$ et $N$ sont impairs donc leur produit l'est aussi : $81n^2 - 1$ est impair.
		\item %Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair.
		On a vu à la question 2. que si $n$ est impair, alors $M$ et $N$ sont pairs. Leur produit est donc pair et même multiple de 4puisque $MN = 2(9p + 5)\times (9p + 4) = 4(9p + 4)(9p + 5)$ : on peut même préciser que $MN$ est le produit de 4 par deux naturels consécutifs.
		
\emph{Exemple} : avec $n = 11$, \: $N = 100, \:M = 98$, donc $N \times M = 100 \times 98 =$

$ 2 \times 50 \times 2 \times 49 = 4 \times 49 \times 50$.
		
Inversement si $81 n^2 - 1$ est multiple de 4, il existe $p \in \N$ tel que $81n^2 - 1 = 4p$ soit $(9n + 1)(9n - 1) = 4p$.

Si $n$ est pair $9n +1$ et $9n - 1$ sont impairs et leur produit aussi : c'est impossible, donc $n$ est impair.

Conclusion : $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle : 

\[y'- 2y = \text{e}^{ 2x}, \quad (\text{E}).\]
 
\begin{enumerate} 
\item %Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = 
%x \text{e}^{2x}$ est une solution de (E).
$u(x) = x \text{e}^{2x}$est dérivable sur $\R$ et $u'(x) =  \text{e}^{2x} + 2x \text{e}^{2x} = \text{e}^{2x}(1 + 2x)$.

Donc $u'(x) - 2u(x) = \text{e}^{2x}(1 + 2x) - 2x \text{e}^{2x} = 2x \text{e}^{2x} + \text{e}^{2x} - 2x \text{e}^{2x}  = \text{e}^{2x}$.

La fonction $u$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item %Résoudre l'équation différentielle : $y'- 2y = 0$ \quad 
%(E$_{0}$).
$y'- 2y = 0 \iff t' = 2y \iff \dfrac{y'}{y} = 2 \iff \ln |y| = 2x + K \iff y = K'\text{e}^{2x}.$ (avec $K \in \R$)
\item %Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\R$ est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$).
$v$ solution de (E) si et seulement si $v' - 2v =  \text{e}^{2x}$.

Or on a vu que $u' - 2u = \text{e}^{2x}$, donc par différence $v' - u' - 2(v - u) = 0$, c'est-à-dire que la fonction $v - u$ est solution de l'équation homogène (E$_{0}$).

In versement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$), alors 

$v' - u' - 2(v - u) = 0$, soit $v' - \text{e}^{2x}(1 + 2x) - 2v + 2x \text{e}^{2x} = 0 \iff v' - 2v = \text{e}^{2x}$ ce qui signifie que $v$ est solution de (E).
\item %En déduire toutes les solutions de l'équation (E). 
On a donc $v - u$ est solution de (E$_{0}$) signifie que $v - x \text{e}^{2x} = K'\text{e}^{2x}$, soit 

$v(x) = \left(K' + x)K' \right)\text{e}^{2x}$, avec $K' \in \R$.
\item %Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.
On a $v(0) = \left(K' + 0)\text{e}^{2\times 0} \right) = K' = 1$.

Conclusion $v(x) = (x + 1)\text{e}^{2x}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
% 
%\[f(x) = (x + 1) \text{e}^{2x} .\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
%\Oij.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item %Étudier la limite de $f$ en + ~$\infty$ puis la limite  de $f$ en $-\infty$.
On a 

$\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x + 1) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{2x} = + \infty$, donc par produit de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$ $f(x) = x\text{e}^{2x} + \text{e}^{2x}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ (l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini).
\item %Soit $x$ un nombre réel. Calculer $f'(x)$.
La fonction $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ donc sur cet intervalle :

$f'(x) = \text{e}^{2x} + 2(x + 1)\text{e}^{2x} = \text{e}^{2x}(1 + 2x + 2) = (2x + 3)\text{e}^{2x}$.
%Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{2x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $2x + 3$.

$2x + 3 > 0 \iff x > - \dfrac{3}{2}$ : la fonction $f$ est croissante sur $\left]- \dfrac{3}{2}~;~+ \infty\right[$ ;

$2x + 3 < 0 \iff x < - \dfrac{3}{2}$ : la fonction $f$ est décroissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{3}{2}\right[$ ;

$2x + 3 = 0 \iff x = - \dfrac{3}{2}$ : il y a un extremum (minimum) en $- \dfrac{3}{2}$ égal à 

$f\left(- \dfrac{3}{2} \right) = \left(1 - \frac{3}{2} \right)\text{e}^{2\times \left(- \frac{3}{2}\right)} = - \frac{1}{2}\text{e}^{- 3} = -\dfrac{1}{2\text{e}^3}$.

%Préciser le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$.
Le signe de $f(x)$ est celui de $x + 1$, donc $f$ est positive sur $]- 1~;~+ \infty[$ et négative sur $]- \infty~;~- 1[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,3)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$- \frac{3}{2}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](5.5,2.4){$-1$}
\uput[d](1.1,2){$0$} \uput[u](4,0){$-\dfrac{1}{2\text{e}^3}$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} 
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\rput(5.5,1){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Soit un réel $\alpha$ strictement inférieur à $- 1$. On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par $\mathcal{C}$, les droites  d'équation $x = \alpha,\: x = - 1$ et l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate} 
		\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire $\mathcal{D}(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}$.
		D'après le tableau de variations précédent la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $]- \infty~;~- 1[$. Donc l'aire de la surface $\mathcal{D}$ est égale (en unités d'aire) à l'opposée de l'intégrale :
		
		\[\displaystyle\int_{\alpha}^{-1} f(x) \:\text{d}x.\]
		
En posant $u(x) = x + 1$ et $v'(x) =  \text{e}^{2x}$, on obtient :

$u'(x) = 1$ et $v(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$.

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $\R$, on peut donc intégrer par parties :

$\displaystyle\int_{\alpha}^{-1} f(x) \:\text{d}x = \left[(x + 1) \times   \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\right]_{\alpha}{- 1} - \displaystyle\int_{\alpha}^{-1}\text{e}^{2x}\:\text{d}x =\left[(x + 1) \times   \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\right]_{\alpha}^{- 1} =$

$ \left[ \dfrac{x}{2}\text{e}^{2x} \right]_{\alpha}^{- 1} = \dfrac{- 1}{2}\text{e}^{2\times (- 1)} - \dfrac{\alpha}{2}\text{e}^{2\alpha}$.

Donc $\mathcal{D}(\alpha) = \dfrac{\alpha}{2}\text{e}^{2\alpha} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2}$. 
		\item %Déterminer la limite de $\mathcal{D}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty}  \dfrac{\alpha}{2}\text{e}^{2\alpha} = 0$, donc :
		
		\[\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} \mathcal{D}(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{- 2}}{2} \approx 0,068~(\text{u. a.})\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Résolution d'une équation} 

\medskip

\begin{enumerate} 
	\item %Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution  unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0,2~;~0,3].
Sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est continue car dérivable et croît de zéro à plus l'infini ; d'après le théorème de la bijection il existe donc un réel unique $x_0 \in  ]- 1~;~+ \infty[$ tel que $f\left(x_0\right) = 2$.

La calculatrice donne $f(0,2) \approx 1,79$ et $f(0,3) \approx 2,37$, donc $x_0 \in ]0,2~;~0,3[$.
	\item %Recopier, puis compléter le tableau  suivant :
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 	&0,05 	&0,1 	&0,15 	&0,2 	&0,25 	&0,3 \\ \hline 
$f(x)$ 	&1,16 		&1,34 		&1,55 		&1,79 		&2,06		&2,37 \\ \hline 
\end{tabularx}\] 

%Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec une précision de $10^{-2}$ près par défaut. 
\item ~ 
%Sur le papier millimétré, ci-dessous, où les unités sont de 10 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à $[0~;~0,3]$.

%Faire apparaître $x_{0}$ sur le graphique. 

 
\begin{center} 
\psset{xunit=10cm,yunit=5cm} 
\begin{pspicture}(1,2) 
\psgrid[subgriddiv=50,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt](0,0)(1,2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,tickstyle=bottom,Oy=1]{->}(0,0)(1,2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1](0,0)(1,2)
\uput[d](0.1,0){0,1} \uput[d](0.2,0){0,2} \uput[d](0.3,0){0,3} 
\multido{\n=0.0+0.1}{10}{\psline(\n,0)(\n,-0.025)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.3}{x 1 add 2.71828 x   2 mul exp mul 1 sub}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,ArrowInside=->](0,1)(0.24,1)(0.24,0)
\uput[d](0.24,0){\red $x_0$} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip
 
%Démontrer que $x_{0}$ satisfait à la relation : $x_{0} = \dfrac{1}{2} \ln \left(\dfrac{2}{x_{0}+1}\right)$.
On a  $f\left(x_0\right) = 2 \iff \left(x_0 + 1\right)\text{e}^{2x_0} = 2 \iff \ln \left(x_0 + 1\right) + 2x_0 = \ln 2 \iff$

$2x_0 = \ln 2 - \ln \left(x_0 + 1\right) \iff 
2x_0 =  \ln \left(\dfrac{2}{x_{0}+1}\right) \iff x_{0} = \dfrac{1}{2} \ln \left(\dfrac{2}{x_{0}+1}\right).$
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D - Approximation de} \boldmath $x_{0}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
%\item %Soit $h$ la fonction définie sur I = [0,2~;~0,3] par
 
%\[h(x) = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right).\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $h(x)$ appartient à I.
		
$0,2 \leqslant x\leqslant 0,3 \Rightarrow  1,2 \leqslant x + 1\leqslant 1,3 \Rightarrow \dfrac{1}{1,3}\leqslant \dfrac{1}{x + 1} \leqslant \dfrac{1}{1,2} \Rightarrow  \dfrac{2}{1,3}\leqslant \dfrac{2}{x + 1} \leqslant \dfrac{2}{1,2} \Rightarrow  \ln \dfrac{2}{1,3}\leqslant \ln\dfrac{2}{x + 1} \leqslant \ln \dfrac{2}{1,2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,3}\leqslant \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{2}{x + 1} \leqslant \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,3}\leqslant h(x)  \leqslant \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,2}$.

Or $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,3} > 0,21$ et  $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{1,2} < 0,255$, donc $h(x) \in [0,2~;~0,3]$.
		\item %Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $|h'(x)| \leqslant 0,42$.
		 
Pour $x \in [0,2~;~0,3], \:h'(x) = \dfrac{1}{2}\dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u(x) = \dfrac{2}{x + 1}$, soit $u'(x) = - \dfrac{2}{(x + 1)^2}$.

Donc $h'(x) = \dfrac{1}{2}\dfrac{- \frac{2}{(x + 1)^2}}{\frac{2}{x + 1}} = - \dfrac{1}{2(x + 1)}$.

D'où $0,2 \leqslant x\leqslant 0,3 \Rightarrow 1,2 \leqslant x + 1\leqslant 1,3 \Rightarrow  2,4 \leqslant 2(x + 1) \leqslant 2,6 \Rightarrow \dfrac{1}{2,6} \leqslant \dfrac{1}{2(x + 1)} \leqslant \dfrac{1}{2,4}$.

Or $\dfrac{1}{2,6} > 0,38$ et $\dfrac{1}{2,4} < 0,406$.

On en déduit que sur I, $|h'(x)| \leqslant 0,42$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit ($u_{n}$) la suite définie par : $u_{0} = 0,2$ et, pour tout entier naturel $n$,
~
%$u_{n+1} = h(u_{n})$. 
	\begin{enumerate} 
		\item %En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $|u_{n+1} - x_{0}| \leqslant 0,42| u_{n} - x_{0}|$.
On a $\left|u_{n+1} - x_{0}\right| = \left|h\left(u_n\right) - h\left(x_0\right)\right|$ ; en appliquant l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle $[u_n~;~x_0]$, on obtient avec la majoration du nombre dérivé :

$\left|h\left(u_n\right) - h\left(x_0\right)\right| \leqslant 0,42\left|u_n - x_0 \right|$, soit  $|u_{n+1} - x_{0}| \leqslant 0,42| u_{n} - x_{0}|$.
%À l'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire que, pour tout  entier naturel $n$ on a : $\left|u_{n} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$.

Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$\emph{Initialisation} :

$u_0 = 0,2$,\: et $0,2 \leqslant x_0 \leqslant 0,3$, donc $\left| u_{0} - x_{0}\right| < 0,1$.

Donc d'après la relation démontrée dans la question précédente :

$|u_{1} - x_{0}| \leqslant 0,42 \times 0,1$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} :

Supposons que pour tout  $p \in \N$, \: $\left|u_{p} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^p$.

D'après la relation démontré dans la question précédente : 

$\left|u_{p+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,42\left|u_{p} - x_{0}\right|\leqslant 0,42 \times 0,1 \times (0,42)^p$, soit

$\left|u_{p+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times 0,42^{p+1}$ : l'hérédité est démontrée.

Conclusion : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie à un rang quelconque elle l'est au rang suivant : on a donc démontré par récurrence que pour tout  entier naturel $n$ on a : 
$\left|u_{n} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$.
	\item %Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Comme $0,42 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,42^n = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left|u_{n} - x_{0}\right|  = 0$ ce qui signifie que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est $x_0$.
	\item %Déterminer un entier $p$ tel que $\left|u_{p} - x_{0}\right| \leqslant  10^{-5}$.
D'après la question précédente il faut trouver un entier $p$ tel que :
	
$0,1 \times (0,42)^p < 10^{-5} \iff 0,42^p < 10^{-4} \iff p \ln 0,42 < -4 \ln 10 \iff $

$p > \dfrac{-4\ln 10}{\ln 0,42} \approx 10,6$. Il faut prendre $p \geqslant 11$.
	\item %On note $b$ la valeur de $u_{p}$ affichée sur la calculatrice. 
%Déterminer $\beta$ valeur décimale approchée par défaut de $b$ à $10^{-5}$ près.
On obtient $u_{11} \approx \np{0,239296}$, donc $\beta = \np{0,23930}$. 
%Classer par ordre croissant les réels $f(\beta),~ f\left(\beta + 10^{- 5}\right)$  et 2.
On obtient :

$f(\beta) \approx \np{1,99999904}$ ;

$f\left(\beta + 10^{- 5}\right) \approx \np{2,000055}$.

On a donc $f(\beta) < 2 < f\left(\beta + 10^{- 5}\right)$, donc la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 5}$  près est \np{0,23930}.
%En déduire la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 5}$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}