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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{ Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars  2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\textbf{\Large{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\mars  2003}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

%On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 1.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer  les antécédents du point O.
Trouver les antécédents de O revient à résoudre l'équation :

$z' = 0 = z^2 + 1 \iff z^2 = - 1$ ; les solutions sont i et $-\text{i}$.

Les points d'affixe i et $-\text{i}$ ont pour image le point O.
\item %Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.
Un point $M(z)$ est invariant si son affixe vérifie :

$z' = z = z^2 + 1 \iff z^2 - z + 1 = 0 \iff \left(z - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = 0 \iff $

$\left(z - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \iff
 \left(z - \frac{1}{2}  + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(z - \frac{1}{2}  - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0$.

Les deux solutions sont $\frac{1}{2}  + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{1}{2}  - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\item %Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?
Comme $z^2 = (- z)^2$, deux points symétriques autour de O d'affixe $z$ et $- z)$ ont la même image.
\item %Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} =  \dfrac{\sqrt{2}}{2} (1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignés.
$z_{\text{A}'} = z_{\text{A}}^2 + 1 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} (1 + \text{i}) \right)^2 + 1 = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})^2 + 1  = \dfrac{1}{2}(1 - 1 + 2\text{i}) + 1 = 1 + \text{i}$.

$z_{\text{A}'}= 1 + \text{i}$.

On a bien sûr $\vect{\text{OA}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\vect{\text{OA}'}$, ce qui montre que les points 0, A et A$'$ sont alignés.
\item %Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ et $N$ le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\theta}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1. 
On a $\left|\text{e}^{\text{i}\theta} \right|^2 = \left|\cos \theta + \text{i}\sin \theta \right|^2 = \cos^2 \theta  + \sin ^2 \theta  = 1$, donc $\left|\text{e}^{\text{i}\theta} \right| = 1$ ce qui montre que tout point $N$ appartient au cercle unitaire.
		\item %Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Si $N$ a pour affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$, alors son image $N'$ a pour affixe :

$z' = \left(\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^2 + 1 \iff z' - 1 = \left(\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^2$.

Il en résulte en prenant les modules de chaque membre :

$\left|z' - 1 \right| = \left|\left(\text{e}^{\text{i}\theta} \right)^2 \right|  = 1^2 = 1$.

Donc $\left|z' - 1 \right| = 1$ égalité qui montre que le point $N'$ appartient au cercle centré au point d'affixe 1, de rayon 1.
		\item %Vérifier que $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta  \vect{\text{O}N}$. En déduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignés. 
L'affixe du vecteur  $\vect{\text{O}N'}$ est :

$z' = \left(\text{e}^{\text{i}\theta} \right)^2 + 1 = \text{e}^{\text{i}\theta}\left(\text{e}^{\text{i}\theta} + \text{e}^{-\text{i}\theta}\right) = \text{e}^{\text{i}\theta}(\cos \theta + \text{i}\sin \theta + \cos \theta - \text{i}\sin \theta)  = 2\cos \theta \text{e}^{\text{i}\theta} = 2\cos \theta z$.

On a donc $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta  \vect{\text{O}N}$ ce qui montre que les points O, $N$ et $N'$ sont alignés.
		\item %Expliquer la construction du point $N'$.
Pour un point $N$ qui correspond à un argument  $\theta$, on projette ce point orthogonalement sur l'axe des  abscisses en $N_1$ ; la distance de ce projeté à O est égale à $\cos \theta$, longueur que l'on double sur l'axe des abscisses pour obtenir le point $N_2$; le cercle de rayon O$N_2$   coupe la droite (O$N$) en $N'$

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(1.99,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.99,-0.5)(1.99,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){1}\uput[u](1;27){$N$}
\psline[linestyle=dashed](1;27)(0.891,0)
\uput[d](0.891,0){$N_1$} \uput[d](1.782,0){$N_2$}
\psarc(0,0){1.782}{0}{27}\uput[u](1.782;27){$N'$} 
\psline(2;27)
\psarc(0,0){0.3}{0}{27}\uput[r](0.3,0.1){$\theta$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{ Exercice 2}\hfill 5 points

\medskip

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services.

On note, pour $n$ entier naturel non nul, $I_{n}$ l'évènement \og La société intervient durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur \fg{} et  $p_{n} = p(I_{n})$ la probabilité de l'évènement $I_{n}$.

Le bureau d'étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p\left(I_{1}\right) = p_{1} = 0,75.$
\item[$\bullet~$]  Sachant qu'il y a eu une intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilité d'intervention le mois suivant est égale à $0,04$.
\item[$\bullet~$]  Sachant qu'iI n'y a pas eu d'intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilité d'intervention le mois suivant est égale à $0,64$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que $\overline{\text{A}}$ est l'évènement contraire de l'évènement A et que $p_{\text{B}}$(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Partie 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Préciser $p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right)$ puis calculer $p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right)$ et$p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right)$ en fonction de $p_{n}\quad  \left(n \in  \N^*\right)$.
D'après l'énoncé :

$\bullet~~$$p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right) = 0,04$ ;

$\bullet~~$$p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right) = 0,64$ ;

$\bullet~~$$p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right) = p_{I_{n}} \times p_{I_n}\left(I_{n+1}\right) = p_n \times 0,04$ ;

$\bullet~~$$p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right) = p\left(\overline{I_{n}}\right) \times p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1} \right) = (1 - p_n)\times 0,64 = 0,64\left( 1 - p_n\right)$.
\item %En déduire $p_{n + 1} = - 0,6p_{n} + 0,64$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p_{n+1} = p\left(I_{n+1} \right) = p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right) + p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right) = 0,04p_n + 0,64\left( 1 - p_n\right) = $

$0,04p_n + 0,64 - 0,64p_n = 0,64 - 0,6p_n$.
\item On considère la suite $(q_{n})$ définie sur $\N^*$ par : $q_{n} =  p_{n} - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $(q_{n})$ est une suite géométrique.
Pour $n > 0$, \:$q_{n+1} = p_{n+1} - 0,4 = 0,64 - 0,6p_n - 0,4 = 0,24 - 0,6p_n = $

$0,6\left( 0,4 - p_n\right) = 0,6q_n$.

La relation $q_{n+1} = 0,6q_n$, montre que la suite $\left(q_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6 de premier terme $q_1 = p_1 - 0,4 = 0,75 - 0,4 = 0,35$.
		\item %En déduire $q_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. 
On sait que pour $n > 0$, \: $q_n = q_1 \times r^{n-1} = 0,35 \times 0,6^{n-1}$.

Or $q_{n} =  p_{n} - 0,4 \iff p_n = q_n + 0,4 = 0,4 + 0,35 \times 0,6^{n-1}$.
		\item %Donner une valeur approchée de $p_{6}$ à $10^{-3}$ près par excès.
		On a donc $p_6 = 0,4 + 0,35 \times 0,6^{n-1} = 0,4 + 0,35\times 0,6^5 = \np{0,427216}$, soit 0,427 au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Partie 2}}

\medskip

%Le même mois, la société  de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.
%
%On estime que la probabilité d'intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à $0,373$.
%
%Donner, à $10^{-3}$ près par excès, la probabilité qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).
Soit $X$ la variable égale au nombre de déplacements au cours du mois ; on peut considérer que cette variable suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et 

$p = 0,373$.

La probabilité qu'au cours de ce mois il n'y ait aucune intervention est égale à 

$(1 - 0,373)^{10} = 0,627^{10}$.

La probabilité qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois est donc égale à $1 - 0,627^{10} \approx \np{0,9906}$, soit 0,991 à $10^{-3}$ près par excès.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip


\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(8,0.6)
\psaxes[Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(8,0.6)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.846}{8}{x ln x div}
\psline(0.8,-0.2)(1.6,0.6)
\psline(0,0)(3.262,0.6)
\psline(0,0.368)(8,0.368)
\psline(0,0.44)(8,0.25)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,0.6)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\qdisk(1,0){2pt} \qdisk(1.648,0.3031){2pt} \qdisk(2.7183,0.368){2pt}
\qdisk(4.4817,0.3347){2pt}
\uput[ul](1,0){A} \uput[dr](1.648,0.3031){B} \uput[d](2.7183,0.368){C} \uput[d](4.4817,0.3347){D}
\uput[u](7.75,0.26){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](7.75,0.25){(T)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Partie I}}

\medskip

%Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ où $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R_{+}^{*}$. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1,~$\sqrt{\text{e}}$,   e et e$\sqrt{\text{e}}$ ; de plus, A appartient à l'axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à $\mathcal{C}$ au point D.

\begin{enumerate}
\item %Dans cette question, on ne demande qu'une observation graphique.

%\textsl{Avec la précision permise par ce graphique :}

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une estimation à $5 \times 10^{-2}$ près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, B, C et D.
On lit $f'(1) \approx 1$ ; $f'(\text{e}) \approx \frac{0,3}{\sqrt{\text{e}}} \approx 0,2$ ; $f'(\text{e}) = 0$ ;  $f\left(\text{e} \sqrt{\text{e}}\right)  \approx - \frac{0,05}{3,5} \approx - 0,01$.

		\item %Préciser combien la courbe $\mathcal{C}$ admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l'origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l'abscisse du point de contact avec la courbe $\mathcal{C}$.
$\mathcal{C}$ admet une seule tangente horizontale  au point d’abscisse e ; une seule tangente de coefficient directeur 1  au point d’abscisse 1.%
		\item %Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction dérivée de $f$. Justifier ce choix.
Le seul tableau possible est le premier : la fonction est croissante puis décroissante.
	\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(12,2.6)
%\psframe(0,0)(3.8,2.6)
%\psline(0,2)(3.8,2) \psline(0.8,0)(0.8,2.6)
%\uput[u](0.4,2){$x$} \uput[u](1,2){$0$} \uput[u](3.5,2){$+ \infty$}
%\psframe(4,0)(7.8,2.6)
%\psline(4,2)(7.8,2) \psline(4.8,0)(4.8,2.6)
%\uput[u](4.4,2){$x$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$}
%\psframe(8,0)(11.8,2.6)
%\psline(8,2)(11.8,2) \psline(8.8,0)(8.8,2.6)
%\uput[u](8.4,2){$x$} \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](11.5,2){$+ \infty$}
%\uput[u](2.3,2){e} \uput[u](6.3,2){e$\sqrt{\text{e}}$}  
%\psline{->}(0.9,0.1)(2.2,1.8) \psline{->}(2.4,1.8)(3.7,0.1) 
%\psline{->}(4.9,1.8)(6.3,0.1) \psline{->}(6.5,0.1)(7.7,1.8) 
%\psline{->}(8.9,0.1)(11.7,1.8) \end{pspicture}\end{center}

\item %On rappelle que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$.

%On admet que la fonction dérivée de $f$ est définie sur $\R_{+}^{*}$ par
		
\[g(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de $g$. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question \textbf{1. c.} ? 
Comme $x > 0$, la fonction $g$ est dérivable et 

$g'(x) = \dfrac{- \frac{1}{x}\times x^2 - 2x\left(1 - \ln x \right)}{x^4} = \dfrac{- x - 2x + 2x \ln x }{x^4} = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}$.

Comme $x^3 > 0$, $g'(x)$ est du signe de $2\ln x - 3$.

$\bullet~~$$2\ln x - 3 > 0 \iff 2\ln x > 3 \iff \ln x > \frac{3}{2} \iff x > \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ;

$\bullet~~$$2\ln x - 3 < 0 \iff 2\ln x < 3 \iff \ln x < \frac{3}{2} \iff x < \text{e}^{\frac{3}{2}}$ ;

$\bullet~~$$2\ln x - 3 = 0 \iff 2\ln x = 3 \iff \ln x = \frac{3}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{3}{2}}$.

$\text{e}^{\frac{3}{2}} = \text{e}^{1 + \frac{1}{2}} = \text{e} \times \text{e}^{\frac{1}{2}} =  \text{e}\sqrt{e}$.

Conclusion : la fonction $g$ est décroissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$ et croissante sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty \right[$.
		\item %Déterminer les limites de $g$ en 0, puis en $+ \infty$.
$\bullet~~$Limite en 0 = $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} 1 - \ln x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = + \infty$ ;

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : $g(x) = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{\ln x}{x^2}$.

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^2}$ et l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$, d'où par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$.
		\item %Calculer $g(1),~ g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)$ ; puis démontrer que l'équation $g(x) = 1$ n'a qu'une seule solution. Quelle observation de la question \textbf{1. b.} a-t-on démontrée ? 
$g(1) = \dfrac{1 - 0}{1^2} = 1$ ;

$g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{1 - \ln \text{e}\sqrt{\text{e}}}{\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)^2} = \dfrac{1 - \frac{3}{2}}{\text{e}^3} = - \dfrac{1}{2\text{e}^3}$.

On a vu que $g$ est croissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$ et croissante sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty \right[$ ; comme $g(1) = 1$ et $g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right) < 0$  , il n'existe qu'une seule solution à l'équation $g(x) = 1$. (résultat vu sur le graphe à la question 1. b.)
		\item %Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R_{+}^{*}$ par 
$g$ est la dérivée de $f$ et comme $f(1) = 0$, $f$ est l'intégrale de sa dérivée $g$ sur l'intervalle $[1~;~x]$, d'où :

\[f(x) = \displaystyle\int_{1}^x \left(\dfrac{1 - \ln t}{t^2}\right)\:\text{d}t.\]

%Calculer $f(x)$ à l'aide d'une intégration par parties.
Avec $u(t) = 1 - \ln t$ et $dv = \dfrac{1}{t^2}$, on a :

$du = - \dfrac{1}{t}$ et $v = - \dfrac{1}{t}$, d'où en intégrant par parties toutes les fonctions étant continues car dérivables pour $x \geqslant 1$ :

$f(x) = \left[- \dfrac{1 - \ln t}{t} \right]_1^x - \displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t^2}\:\text{d}t = \left[- \dfrac{1 - \ln t}{t} \right]_1^x + \left[ \dfrac{1}{t}\right]_1^x = \left[\dfrac{\ln t}{t}\right]_1^x = \dfrac{\ln x}{x}$.

$f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

%On étudie la fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$, préciser ses limites en $0$ puis en $+ \infty$.
On a vu que $g(x) = f'(x)$ :

$\bullet~~$$g(x) > 0 \iff 1 - \ln x > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < \text{e}$ ;

$\bullet~~$$g(x) < 0 \iff 1 - \ln x < 0 \iff \ln x > 1 \iff x > \text{e}$ ;

$\bullet~~$$g(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \text{e}$

La fonction $f$ est donc croissante sur $]0~;~\text{e}[$ et décroissante sur $]\text{e}~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$Limite en $0$ : comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

$\bullet~~$Limite en $+\infty$ :on sait  $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item %On cherche à justifier les observations de la question \textbf{I. 1.} concernant les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

%Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condition donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie \textbf{I. 2. c.} et préciser ces points.
$\bullet~~$Tangente(s) horizontale(s)  : il y a une tangente horizontale si 

$f'(x) = g(x) = 0 \iff \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \text{e}$ : il y a une seule tangente horizontale, celle au point d'abscisse e.

$\bullet~~$Tangente(s) de coefficient directeur égal à 1  : il faut que 

$f'(x) = g(x) = 1 \iff \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = 1 \iff 1 - \ln x = x^2 \iff x^2 + \ln x - 1 = 0$.

Soit, pour $x > 0$, \: $u(x) =  x^2 + \ln x - 1$, on a $u'(x) = 2x + \dfrac{1}{x} > 0$, car somme de deux termes positifs. $u$ est donc croissante de $- \infty$ à $+ \infty$ et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha$ tel que 

$u(\alpha) = 0 = \alpha^2 + \ln \alpha - 1 = 0$. Ce nombre est bien sûr $1$. ($1^2 + \ln 1 - 1 = 0$)

$\bullet~~$Tangente(s) contenant l'origine : une équation de la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}$ en un point de coordonnées $(x~;~f(x))$ est :

$M(X~;~Y) \in (T) \iff Y - f(x) = f'(x)(X - x) \iff $

$Y  - \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}(X - x) \iff Y = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}(X - x) + \dfrac{\ln x}{x} \iff $

$Y = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}X - \dfrac{1 - \ln x}{x} + \dfrac{\ln x}{x} \iff Y = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}X + \dfrac{2\ln x - 1}{x}$.

Cette droite contient l'origine s'il existe un réel $x$ tel que $\dfrac{2\ln x - 1}{x} = 0 \iff 2\ln x - 1 = 0 \iff 2\ln x = 1 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}}$.

La tangente au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est la seule qui contienne l'origine.
\item Étude de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point D (le point D a pour abscisse e$\sqrt{\text{e}}$).
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point D est
$M(x~;~y) \in (\text{T}) \iff y - f\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right) = f'\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)(x - \text{e}\sqrt{\text{e}}) \iff y - \dfrac{\ln \left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)}{\text{e}\sqrt{\text{e}}} =$

$ \dfrac{1 - \ln \text{e}\sqrt{\text{e}}}{\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)^2}(x - \text{e}\sqrt{\text{e}}) \iff y = \dfrac{\frac{3}{2}}{\text{e}\sqrt{\text{e}}} + \dfrac{1 - \frac{3}{2}}{\text{e}^3}\left(x - \text{e}\sqrt{\text{e}}\right) \iff $

$y = \dfrac{3}{2\text{e}\sqrt{\text{e}}} - \dfrac{1}{2\text{e}^3} \left(x - \text{e}\sqrt{\text{e}}\right) \iff 
y = \dfrac{3}{2\text{e} \sqrt{\text{e}}} -  \dfrac{1}{2\text{e}^3}x + \dfrac{1}{2\text{e} \sqrt{\text{e}}}$
		
\[y = \dfrac{- x + 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2\text{e}^3}.\] 

		\item %Montrer que le signe de $\left(2\text{e}^3\ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}\right)$ détermine la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente.
Soit la fonction $d$ définie pour $x > 0$ par :

$d(x) = \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{- x + 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2\text{e}^3} = \dfrac{2\text{e}^3\ln x  + x^2 - 4x \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2x\text{e}^3}$ qui est du signe du numérateur car $2x\text{e}^3 > 0$.

$d(x) > 0$, autrement dit la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la tangente (T) si $2\text{e}^3\ln x  + x^2 - 4x \text{e}\sqrt{\text{e}} > 0$ ; 

$d(x) < 0$, autrement dit la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la tangente (T) si $2\text{e}^3\ln x  + x^2 - 4x \text{e}\sqrt{\text{e}} < 0$. 
		\item %On note $\varphi$ la fonction définie sur $\R_{+}^{*}$ par

\[\varphi(x) = 2\text{e}^3 \ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}.\]

%À partir des variations de $\varphi$, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente (T).
Sur $\R_{+}^{*}$, \:$\varphi$ est dérivable et sur cet intervalle : 

$\varphi'(x) = \dfrac{2\text{e}^3}{x} + 2x - 4\text{e}\sqrt{\text{e}}$.

$\varphi''(x) = - \dfrac{2\text{e}^3}{x^2} + 2$.

$\varphi''(x) \geqslant 0 \iff - \dfrac{2\text{e}^3}{x^2} + 2 \geqslant 0 \iff 2 \geqslant \dfrac{2\text{e}^3}{x^2} \iff x^2 \geqslant \text{e}^3 \iff x \leqslant - \text{e}^{\frac{3}{2}$ ou $x \geqslant \text{e}^{\frac{3}{2}$, c'est-à-dire$x \geqslant \text{e}^{\frac{3}{2}$ ou encore x \geqslant  
\text{e}\sqrt{\text{e}}$.

De même $\varphi''(x) \leqslant 0 \iff  0 < x \leqslant \text{e}\sqrt{\text{e}}$.

Donc $\varphi'$ est décroissante sur $]0~;~\text{e}\sqrt{\text{e}}[$ et croissante sur $]\text{e}\sqrt{\text{e}}~;~+ \infty[$.

$\varphi'\left(\text{e}\sqrt{\text{e}} \right)$ est donc le minimum de $\varphi'$.

$\varphi'\left(\text{e}\sqrt{\text{e}} \right) = \dfrac{2\text{e}^3}{\text{e}\sqrt{\text{e}}} + 2\text{e}\sqrt{\text{e}} - 4\text{e}\sqrt{\text{e}} = 2\text{e}\sqrt{\text{e}} + 2\text{e}- 4\text{e}\sqrt{\text{e}}\sqrt{\text{e}} = 0$.

Le minimum étant $0$, on peut en conclure que $\varphi'(x) \geqslant 0$ : la fonction $\varphi$ est donc croissante et on a :

$\varphi\left(\text{e}\sqrt{\text{e}} \right) = 2\text{e}^3\ln \left(\text{e}\sqrt{\text{e}} \right) + \left(\text{e}\sqrt{\text{e}} \right)^2 - 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}\times \text{e}\sqrt{\text{e}} = 3\text{e}^3 + \text{e}^3 - 4\text{e}^3 = 0$

Conclusion :

$\bullet~~$sur $]0~;~\text{e}\sqrt{\text{e}}[$, \:$\varphi(x) \leqslant 0$ ou $d(x) \leqslant 0$ : la courbe $\mathcal{C}$ est sous la droite (T) ;

$\bullet~~$sur $]\text{e}\sqrt{\text{e}}~;~+ \infty[$, \:$\varphi(x) \geqslant 0$ ou $d(x) \geqslant 0$ : la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de  la droite (T). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie III Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison. Vérifier que l'abscisse de D est le quatrième terme de cette suite. 
1,\:\sqrt{\text{e}}$ et e sont les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison $\sqrt{\text{e}}$.

Le terme suivant est $\text{e} \times \sqrt{\text{e}}$ qui est bien l'abscisse de D.
\item %Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement supérieur à 1 et $E$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{0}$. On considère les droites $\Delta_{\text{A}},~\Delta_{\text{B}},~\Delta_{\text{C}},~\Delta_{\text{D}}$ et $\Delta_{E}$ parallèles à l'axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et $E$.

%On note U$_{1}$  l'aire de la partie du plan limite par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{A}}$ et $\Delta_{\text{C}}$  ; U$_{2}$ l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{B}}$ et $\Delta_{\text{D}}$ et U$_{3}$ l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{C}}$ et $\Delta_{E}$

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer U$_{1}$, puis U$_{2}$.
On a $U_{1} = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x$.

En posant $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x}$, on a :

$u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = \ln x$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables pour $x \geqslant 1$, donc on peut intégrer par parties : 

$\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = (\ln x)^2 - $\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}$ ; d'où $2\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = (\ln x)^2$ et donc 

$\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$.

Donc $U_1 = \left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_1^{\text{e}} = \dfrac{1}{2}$.

$U_2 = \left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}\sqrt{\text{e}}} = \dfrac{1}{2}\left(\ln \text{e}\sqrt{\text{e}} \right)^2 - \dfrac{1}{2}\left(\ln \sqrt{\text{e}} \right)^2 = \dfrac{9}{8} - \dfrac{1}{8} = 1$.
		\item %Déterminer $x_{0}$ pour que U$_{1},~ \text{U}_{2}$ et U$_{3}$ soient les trois premiers termes d'une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l'abscisse du point $E$ ?
La suite arithmétique a pour raison $\dfrac{1}{2}$. On doit donc avoir $U_3 = \dfrac{3}{2}$ soit :

$\displaystyle\int_{\text{e}}^{x_0} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_{\text{e}}^{x_0} = \dfrac{1}{2}(\ln x_0)^2 - \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 = \dfrac{3}{2} \iff $

\dfrac{1}{2}\left(\ln x_0\right)^2 = \dfrac{1}{2} +  \dfrac{3}{2} \iff (\ln x_0)^2 = 4 \iff \ln x_0 = 2 \iff x_0 = \text{e}^{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 