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%%% Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

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\begin{document}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{7 mars 2014}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{-0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]
7 mars 2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textit{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}

\medskip


%\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
%\textbf{Le candidat indiquera SUT la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\\ 
%Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}
%
%\medskip
% 
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $z$ un nombre complexe de la forme $x + \text{i}y$, où $x$ et $y$ sont des réels.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item

\textbf{Réponse b.}: $4 \e^{\i \pi}$

% Soit $z$ le nombre complexe d'affixe $(1 + \text{i})^4$. L'écriture exponentielle de $z$ est : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}$
%		\item $4\text{e}^{\text{i}\pi}$ 
%		\item $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
%		\item $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$
%	\end{enumerate} 

Le nombre $1+\i$ a pour écriture complexe $\sqrt{2} \e^{\i\frac{\pi}{4}}$ donc le nombre $\left (1+\i\right )^4$ a pour écriture complexe $\left (\sqrt 2\right )^4 \e^{\i 4\frac{\pi}{4}} = 4 \e^{\i\pi}$.

\item
\textbf{Réponse c.}: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Si on appelle $A$ le nombre d'affixe $1-\i$, l'équation $|z - 1 + \i| = \left|\sqrt{3} - \i\right|$ équivaut à 

$\left| z-z_A \right | = \left | \sqrt 3 - \i\right|$, ou encore $\left| z-z_A \right |^2 = \left | \sqrt 3 - \i\right|^2   \iff \left| z-z_A \right |^2 = 4$.


%L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z = x + \text{i}y$ tels que $|z - 1 + \text{i}| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right|$ a pour équation : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$ 
%		\item $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ 
%		\item $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$ 
%		\item $y = x +  \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ 
%	\end{enumerate} 

\item 
\textbf{Réponse c.}: la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$  est convergente.

$Z_{n+1} = \dfrac{1 + \i}{2}Z_{n} \Longrightarrow
\left | Z_{n+1}\right | = \left |\dfrac{1 + \i}{2}Z_{n}\right | \iff
\left | Z_{n+1}\right | = \left |\dfrac{1 + \i}{2}\right | \times \left | Z_{n}\right | \iff
\left | Z_{n+1}\right | = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left | Z_{n}\right |
$

Donc la suite $U_n=\left |Z_n\right |$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; or $-1< \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1$ donc la suite est convergente et a pour limite 0.

%On considère la suite de nombres complexes $\left(Z_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $Z_{0} = 1 + \text{i}$ et $Z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}Z_{n}$. On note $M_{n}$ le point du plan d'affixe $Z_{n}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$.
%		\item Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$M_{n}M_{n + 1}$ est équilatéral. 
%		\item La suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$  est convergente. 
%		\item Pour tout entier naturel $n$, un argument de $\dfrac{Z_{n+1} - Z_{n}}{Z_{n}}$  est $\frac{\pi}{2}$. 
%		\end{enumerate} 

\item 
\textbf{Réponse c.}: ABC est rectangle en A.

AB$ = \left |z_{\text B}-z_{\text A}\right | = \sqrt{10}$;
AC$ = 2\sqrt{10}$ et
BC$ = 5\sqrt{2}$;
$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$ d'où la réponse \textbf{c.}


%Soit A, B, C trois points du plan complexe d'affixes respectives : 
%
%\[Z_{\text{A}}= - 1 - \text{i} \quad ;\quad  Z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\quad  \text{et}\quad  Z_{\text{C}} = 1 + 5\text{i}.\]
%
%On pose $Z = \dfrac{Z_{\text{C}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item $Z$ est un nombre réel. 
%		\item Le triangle ABC est isocèle en A. 
%		\item Le triangle ABC est rectangle en A. 
%		\item Le point $M$ d'affixe $Z$ appartient à la médiatrice du segment [BC].
%	\end{enumerate} 


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}
%
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A}


\textbf{Restitution organisée des connaissances}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{1.5cm}|X}
&Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0~;~1[, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \pp X \pp \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.
\end{tabularx} 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 
$f(t) = \dfrac{1}{\ds\sqrt{2\pi}}\e^{- \frac{t^2}{2}}$.
 
Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par 
$H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t)\:\text{d}t$.

\begin{enumerate}

\item% Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ? 
La fonction $f$ représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite.

\item% Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
$H(0)=\ds\int_0^0f(t)\d t = 0$;
et d'après le cours $\ds\lim_{x \to +\infty} H(x)=1$.


\item% À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,\: H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. 

D'après la relation de Chasles: $\ds\int_{-x}^{x}f(t)\d t = \ds\int_{-x}^{0}f(t)\d t + \ds\int_{0}^{x}f(t)\d t$.

Mais la fonction $f$ est positive donc $\ds\int_{-x}^{0}f(t)\d t$ est l'aire du domaine hachuré en rouge sur la figure ci-dessous, tandis que $\ds\int_{0}^{x}f(t)\d t$ est l'aire du domaine hachuré en bleu.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=3cm, runit=1cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4.3}
\def\xmax {4.3}
\def\ymin {-0.2}
\def\ymax {0.6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=0pt 0pt,  labels=none, comma]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\multido{\n=0.0+0.1}{6}{\psline[linewidth=0.4pt, linecolor=gray](-4,\n)(4,\n)}
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\def\m{0} \def\s{1}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{-4}{4}{\f}
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[ur](\m,0.4){$A$}
%\uput[ur](0.5,0.33){$\Cr f$}
\def\inf{-1} \def\sup{0}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[d](\inf,0){$-x$} \uput[d](\sup,0){$0$}
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[d](\sup,0){$x$}
\psaxes[ticksize=0pt 0pt,  labels=none, comma]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

De plus la fonction $f$ est paire, donc ces deux aires sont égales.

Enfin $H(x)$ est l'aire du domaine situé sous la courbe représentant $f$ hachuré en rouge et en bleu sur la figure.

Donc $H(x)= \ds\int_{-x}^{x}f(t)\d t = \ds\int_{-x}^{0}f(t)\d t + \ds\int_{0}^{x}f(t)\d t = 2 \ds\int_{0}^{x}f(t)\d t$. 

\item% En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0~;~+ \infty[$. 

On sait que la fonction $x \longmapsto \ds\int_{0}^{x} f(t) \d t$ a pour dérivée la fonction $f$; donc la fonction $H$ définie par $H(x)=2 \ds\int_{0}^{x} f(t) \d t$ a pour dérivée la fonction $2f$.

Or $f(t) = \dfrac{1}{\ds\sqrt{2\pi}\rule[-4pt]{0pt}{12pt}} \e^{-\frac{t^2}{2}} > 0$ sur $\R$; comme $H'=2f$, $H'(x)>0$ pour tout réel $x$, et donc la fonction $H$ est strictement croissante sur $[0\:; +\infty[$.
On établit le tableau de variations de $H$ sur $[0\:; +\infty[$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*3{c}|}
\hline
x & 0 &  \hspace*{4cm} &  +\infty \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
H'(x) &    & \pmb{+} &   \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 &  &  &    \Rnode{un}{1}    \rule{0pt}{12pt} \\
H(x) &   & &         \\ 
 & \Rnode{zero}{0} &   &    
 \ncline{->}{zero}{un} \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

\item% Démontrer alors le théorème énoncé. 

En prenant $\alpha$ dans l'intervalle $]0\:; 1[$, on a aussi $1-\alpha$ dans l'intervalle $]0\:; 1[$; on complète le tableau de variations de $H$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*3{c}|}
\hline
x & 0 &  \hspace*{4cm} &  +\infty \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
 &  &  &    \Rnode{un}{1}  \rule{0pt}{12pt}   \\  
H(x) &   & &         \\ 
 & \Rnode{zero}{0} &   &    
 \ncline{->}{zero}{un} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-2.4,0.5)(-2.4,1.3)
\rput*(-2.4,0.55){\red 1-\alpha}
\rput(-2.4,1.65){\red \chi_{\alpha}}
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

D'après le tableau de variations, il existe un réel strictement positif unique noté $\chi_\alpha$ tel que $H\left (\chi_\alpha\right ) = 1-\alpha$, donc tel que $P\left (-\chi_\alpha \pp X \pp \chi_\alpha\right ) = 1-\alpha$.

\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

 
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
 
60\,\% des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6\,\% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.
 
Dans le stock total du laboratoire, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise A \fg{};
\item[ ] $B$ l'évènement : \og La pipette est fournie par l'entreprise B \fg{}; 
\item[ ] $D$ l'évènement : \og La pipette a un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
%\def\ABleu{\ncline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]}
%\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
%       {\TR{}}
%       {
%       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{0,6}}
%	                        {
%	                        \TR{$D$}\naput{0,046}
%			                \TR{$\overline D$}\nbput{0,954}
%	                        }
%       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{0,4}}
%	                        {
%	                        \TR{$D$}\naput{}
%			                \TR{$\overline D$}\nbput{}
%	                        }
%      }
%\end{center}
%
 
\begin{enumerate}
\item La pipette choisie au hasard présente un défaut; la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A est $P_D(A)$.

$P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} = \dfrac{0,6 \times 0,046}{0,05} = 0,552$

\item% Montrer que $p(B \cap D) = \np{0,0224}$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) \iff
0,05 = 0,6\times 0,046 + P(B\cap D) \iff
0,05 - \np{0,0276} = P(B\cap D)$

Donc $P(B\cap D)=\np{0,0224}$.


\item Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, la probabilité qu'une pipette présente un défaut est $P_B(D)$. 
Or $P(B)=1-P(A)=1-0,6=0,4$.

$P_B(D) = \dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} = \dfrac{\np{0,0224}}{0,4} = 0,056$.

Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, le pourcentage de pipettes présentant un défaut est donc de $5,6\,\%$.


\end{enumerate}

%\medskip
 
\subsubsection*{Partie C}
 
%Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL.
% 
%Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).
%
%On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = \np{1,0424}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item
% Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Contenance $x$ (en mL)& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline 
%$P(X \leqslant x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&\np{0,00000} &\np{0,00004} &\np{0,00165} &\np{0,02506} &\np{0,16368}\\ \hline\hline 
%Contenance $x$ (en mL)&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline
%$P(X \leqslant x)$ $\left(\text{arrondi à }\:10^{- 5}\right)$&0,5 &\np{0,83632} &\np{0,97494} &\np{0,99835} 
%&\np{0,99996}\\ \hline  
%\end{tabularx}
%\end{center}

On cherche la probabilité qu'une pipette prise au hasard soit conforme, soit $P(98<X<102)$, en sachant que $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=100$ et $\sigma^2=\np{1,0424}$.

\`A la calculatrice, on trouve $\np{0,9499}$ à $10^{-4}$ près.

\medskip

En utilisant la table fournie:

$P(98<X<102) = P(X<102) - P(X \pp 98) \approx \np{0,97494} -\np{0,02506} \approx \np{0,94988}$

 
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. 

\item On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un  entier naturel supérieur ou égal à $100$ et  on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
 
Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon. 
	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ? 
Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire $Y_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n \pg 100$ et $p=0,05$.

		\item% Vérifier que $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$. 
On sait que $n \pg 100$ donc $n\pg 30$.

$n \pg 100$ et $p=0,05$ donc $np \pg 100\times 0,05 \iff np \pg 5$

$p=0,05$ donc $1-p=0,95$; $n(1-p) \pg 100\times 0,95 \iff n(1-p) \pg 95$ et donc $n(1-p) \pg 5$.

Les trois conditions sont vérifiées.

		
		\item% Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
		
Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

{\centering $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} 		

Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence des pipettes non conformes dans un échantillon est:

{\centering $\left[ 0,05- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,05\left(1-0,05\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: 0,05 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,05\left(1-0,05\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right] = \left[ 0,05- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{\np{0,0475}}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: 0,05 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{\np{0,0475}}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} 		
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par 
$f(x) = x\ln (x)$.
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 

D'après le cours, on sait que 
$\ds\lim_{x \to 0} x\,\ln(x)=0$
donc
$\ds\lim_{x \to 0} f(x)=0$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x \to +\infty}x = +\infty\\
\ds\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty
\end{array}
\right\rbrace 
\ds\lim_{x \to +\infty} x\,\ln(x) = +\infty
$ (par produit) donc
$\ds\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$.

\item% On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
% Montrer que  $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
 
La fonction $f$ est dérivable sur $]0\:; +\infty[$ comme produit de fonctions dérivables:

$f'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)+1$.
 
\item% Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
On étudie le signe de $f'(x)$ sur $]0\:; +\infty[$:
$\ln(x)+1>0 \iff \ln(x) >-1 \iff x > \e^{-1}$

\begin{list}{\textbullet}{Donc:}
\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\:; \e^{-1}]$;
\item la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\e^{-1}\:; +\infty[$.
\end{list}

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
% 
%Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
% 
%On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 
%
%\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}

{\centering\textbf{Figure}\par}

\medskip

%\begin{center}
\psset{unit=2.9cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
{
\psset{linecolor=blue,fillstyle=vlines,hatchcolor=blue}
\psframe(1,0)(1.25,0.279)
\psframe(1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe(1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe(1.75,0)(2,1.386)
}
{
\psset{linecolor=red,fillstyle=hlines,hatchcolor=red}
\psframe(1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe(1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe(1.75,0)(2,0.979)
}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}

{\centering\textbf{Algorithme}\par}

\medskip

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $V$ prend la valeur 0\\
\hspace{0,8cm} $n$ prend la valeur 4\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,8cm} Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $V$\\ \hline 
\end{tabularx}
%\end{center} 
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
Sur la figure ci-dessus, le nombre $U$ représente la somme des aires des rectangles inférieurs (en rouge); cette somme minore l'aire sous la courbe. Le nombre $V$ représente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l'aire sous la courbe.

		\item% Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 

On fait tourner l'algorithme ci-dessus:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\sep{\hspace*{0.5cm}}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline 
Variables & \sep $k$ \sep & \sep $U$ \sep  & \sep  $V$ \sep & \sep $n$ \sep  \\ 
\hline 
Initialisation &  & 0 & 0 & 4\\ 
\hline 
%Entrées & 0 &  &  \\ 
%\hline 
Traitement & 0 & 0 & \np{0,0698} & 4 \\ 
\cline{2-5} 
 & 1 & \np{0,0697} & \np{0,2218} & 4  \\ 
\cline{2-5} 
 & 2 & \np{0,2217} & \np{0,4667} & 4 \\ 
 \cline{2-5} 
 & 3 & \np{0,4666} & \np{0,8132} & 4 \\ 
\hline 
Affichage & \multicolumn{4}{c|}{On affiche la valeur de $U$: \np{0,4666} } \\ 
\cline{2-5} 
 & \multicolumn{4}{c|}{On affiche la valeur de $V$: \np{0,8132}} \\ 
\hline 
\end{tabular} }
\end{center}


		\item% En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
On peut donc en déduire que $\np{0,4666} < \mathcal A < \np{0,8132}$.


	\end{enumerate} 

\item% Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 

  
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
Sachant que 
$U_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]$ et que\\
$V_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]$,\\
on peut dire que
$V_n - U_n = \dfrac{1}{n}\left (f(2)-f(1)\right ) = \dfrac{2\ln(2)-0}{n}= \dfrac{2\ln(2)}{n}$. 

$V_n-U_n < 0,1 \iff \dfrac{2\ln(2)}{n} < 0,1 \iff 2\ln(2) < 0,1\,n
\iff \dfrac{2\ln(2)}{0,1} < n$

Or $\dfrac{2\ln(2)}{0,1} \approx 13,86$ donc le plus petit entier $n$ tel que $V_n-U_n$ soit inférieur à 0,1 est 14.

Vérification: $V_{13}-U_{13}\approx 0,107 > 0,1$ et $V_{14}-U_{14}\approx 0,099<0,1$. 

		\item% Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
Pour obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ dans l'algorithme, il suffit d'entrer 14 comme valeur de $n$; autrement dit, au lieu de  \og{}$n$ prend la valeur 4\fg{}, on entrera \og{}$n$ prend la valeur 14\fg{}.




	\end{enumerate}

\end{enumerate}
	
%\bigskip
	 
\subsubsection*{Partie C}

Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}$.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
$F'(x)= \dfrac{2x}{2}\times \ln(x) + \dfrac{x^{2}}{2}\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{2x}{4}= x\ln(x) +\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{2} = x\ln(x)=f(x)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\:; +\infty[$.

\item% Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 

La fonction $f$ est croissante sur $[1\:; 2]$ et $f(1)=0$ donc
la fonction $f$ est positive sur $[1\:; 2]$; on peut donc dire que $\mathcal A = \ds\int_1^2 f(t) \d t$.

$\mathcal A = \ds\int_1^2 f(t) \d t = F(2)-F(1) = \left (2\ln(2)-1\right ) - \left (-\dfrac{1}{4} \right ) = 2\ln(2)-\dfrac{3}{4}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
 
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].
 
On note Q le point défini par $\vect{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(13,7)
%\psgrid
\psframe(10.3,3.5)%BCGF
\psline(10.3,0)(12,2.1)(12,6.1)(10.3,3.5)%CDHG
\psline(12,6.1)(1.7,6.1)(0,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,2.1)(1.7,6.1)%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(12,2.1)%AD
\uput[l](1.7,2.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.3,0){C} 
\uput[r](12,2.1){D} \uput[ul](1.7,6.1){E} \uput[l](0,3.5){F} 
\uput[dr](10.3,3.5){G} \uput[ur](12,6.1){H} \uput[ul](11.15,1.05){I} 
\uput[ul](0.85,4.8){J} \uput[ul](0.85,1.05){P}\uput[u](5.11,2.1){Q}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(0.85,1.05)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(5.11,2.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(1.7,6.1)
\pspolygon[linestyle=dashed](1.7,2.1)(0.85,4.8)(0,0)(11.15,1.05)
\psline[linestyle=dashed](11.15,1.05)(0.85,4.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0.85,1.05)(5.11,2.1)(0.85,4.8)(11.15,1.05) 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

On appelle \textbf{plan médiateur d'un segment} le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 

L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. 
Les points A, B et I appartiennent au plan (ABC); comme J est sur l'arête [EF] qui est strictement parallèle au plan (ABC), le point J n'appartient pas au plan (ABC).

Donc les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.

\item% Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB]. 
Le plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB] est le plan perpendiculaire à [AB] passant par le milieu P de [AB]; c'est donc l'ensemble des points M de l'espace tels que les vecteurs $\vect{\text A \text B}$ et $\vect{\text P \text M}$ soient orthogonaux.

Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$, A a pour coordonnées $(0\:; 0\:; 0)$ et B a pour coordonnées $(2\:; 0\:; 0)$, donc $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $(2\:; 0\:; 0)$.

Le point M a pour coordonnées $(x\:; y\:; z)$ et le point P a pour coordonnées $(1\:; 0\:; 0)$, donc $\vect{\text{PM}}$ a pour coordonnées $(x-1\:; y\:; z)$.

$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{PM}}$ sont orthogonaux si et seulement si 
$\vect{\text{AB}}\,.\,\vect{\text{PM}}=0 \iff (x-1)\times 2 + y\times 0 + z\times 0 = 0 \iff x-1=0$

Le plan $\left (P_1\right )$ a pour équation $x-1=0$.

\medskip

On peut aussi justifier que le plan médiateur du segment [AB] est le plan (PIJ) et que les trois points P, I et J ont pour abscisse 1; donc une équation du plan (PIK) est $x=1$.

\item Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. 

D'après le texte, $\vect{\text{AD}}=3 \vect{\text{AQ}}$; or le point Q a pour coordonnées $\left (0\:; 1\:; 0\right )$ donc le point D a pour coordonnées $\left (0\:; 3\:; 0\right )$.

$\vect{\text{AC}} = \vect{\text{AD}} + \vect{\text{DC}} = \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AB}}$; or $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\left (2\:; 0\:; 0\right )$ donc $\vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $\left (2\:; 3\:; 0\right )$. Ce sont aussi les coordonnées du point C.

Le point I est le milieu de [CD] donc le point I a pour coordonnées 
$\left ( \dfrac{0+2}{2}\:; \dfrac{3+3}{2}\:; \dfrac{0+0}{2}\right )$ soit $\left (1\:; 3\:; 0\right )$.

On calcule de même les coordonnées du point J, milieu de [EF], et on trouve 
$\left (1\:; 0\:; 1\right )$

Un point M de coordonnées $(x\:; y\:; z)$ appartient au plan médiateur de [IJ] si et seulement si IM$\,=\,$JM autrement dit IM$^2=\,$JM$^2$.

IM$^2 = (x-1)^2+(y-3)^2+z^2$;
JM$^2 = (x-1)^2+y^2+(z-1)^2$

IM$^2=\,$JM$^2 \iff (x-1)^2+(y-3)^2+z^2 = (x-1)^2+y^2+(z-1)^2 \iff
y^2-6y+9+z^2 = y^2+z^2-2z+1 \iff
-6y +2z +8=8 \iff
3y-z-4=0$

Le plan médiateur de [IJ] a pour équation $3y-z-4=0$ donc c'est le plan $\left (P_2\right )$.

%Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. 

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. 
Le plan $\left (P_1\right )$ d'équation $x-1=0$ a pour vecteur normal le vecteur $\vect{n_1}$ de coordonnées $(1\:; 0\:; 0)$.

Le plan $\left (P_2\right )$ d'équation $3y-z-4=0$ a pour vecteur normal le vecteur $\vect{n_2}$ de coordonnées $(0\:; 3\:; -1)$. 

Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires donc les plans $\left (P_1\right )$ et $\left (P_2\right )$ ne sont pas parallèles.

Les plans $\left (P_1\right )$ et $\left (P_2\right )$ sont donc sécants.

		\item% Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est 

Pour déterminer la droite d'intersection des plans  $\left (P_1\right )$ et $\left (P_2\right )$, on résout le système

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\;=\;} l}
x-1 & 0\\
3y-z-4 & 0
\end{array}
\right. $
que l'on écrit
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\;=\;} l}
x & 1\\
y & y\\
z & 3y-4
\end{array}
\right.
$

Donc la droite $(\Delta)$ d'intersection des plans $\left (P_1\right )$ et $\left (P_2\right )$ a pour représentation paramétrique:
$\left\{\begin{array}{l @{\;=\;} l}
x & 1\\ 
y & t\\
z & 3t - 4
\end{array}\right.\: \text{où }\: t \in \R$.
  
		\item% Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I. 

Un point de $(\Delta)$ a pour coordonnées $(1\:; t\:; 3t-4)$ où $t$ est un réel.

On va donc chercher une valeur de $t$ pour laquelle $\Omega$A\,=\,$\Omega$I, le point $\Omega$ étant un point de $(\Delta)$, autrement dit pour laquelle $\Omega\text A^2 = \Omega\text I^2$.

$\Omega \text A^2 = (-1)^2+(-t)^2+ (-3t+4)^2$;
$\Omega \text I^2 = (1-1)^2+(3-t)^2+ (-3t+4)^2$

$\Omega\text A^2 = \Omega\text I^2 \iff
(-1)^2+(-t)^2+ (-3t+4)^2 = (1-1)^2+(3-t)^2+ (-3t+4)^2 \iff
1+t^2 = 9-6t + t^2 \iff
6t=8 \iff
t=\dfrac{4}{3}
$

Le point $\Omega$ de $(\Delta)$ tel que $\Omega\text A = \Omega\text I$, correspond au paramètre $t=\dfrac{4}{3}$ et a donc pour coordonnées $\left (1\:; \dfrac{4}{3}\:; 3\times \dfrac{4}{3} - 4\right )$ c'est-à-dire $\left (1\:; \dfrac{4}{3}\:; 0\right )$.

		\item% Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ. 
Le point $\Omega$ appartient à la droite $(\Delta)$ donc il appartient à la fois à $\left (P_1\right )$ et à $\left (P_2\right )$.

$\left (P_1\right )$ est le plan médiateur de [AB] et $\Omega \in \left (P_1\right )$ donc $\Omega$A\,=\,$\Omega$B. 		

$\left (P_2\right )$ est le plan médiateur de [IJ] et $\Omega \in \left (P_2\right )$ donc $\Omega$I\,=\,$\Omega$J.

De plus $\Omega$A\,=\,$\Omega$J; donc $\Omega$A\,=\,$\Omega$B\,=\,$\Omega$I\,=\,$\Omega$J:

le point $\Omega$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}