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%Merci à  Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
26 novembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%\emph{Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à  condition de l'indiquer clairement sur la copie.\\
%Le candidat est invité à  faire figurer sur la copie toute trace de recherche, màªme incompl7te ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
%Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\bigskip

%Une entreprise est spécialisée dans la vente de carrelage. 
%
%\smallskip
%
%\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}
%
%\begin{center}
%\textbf{Partie A}
%\end{center}
%
%On suppose dans cette partie que l'entreprise vend des lots de carrelage contenant
%$25$\,\% de carreaux avec motif et $75$\,\% de carreaux blancs.
%
%Lors d'un contrà´le qualité on observe que:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item $2,25\,\%$ des carreaux sont fissurés ;
%\item $6\,\%$ des carreaux avec motif sont fissurés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On prél7ve au hasard un carreau.
%
%On note $M$ l'év7nement \og le carreau a un motif \fg{} et $F$ l'év7nement \og le carreau est fissuré \fg.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Traduire la situation par un arbre pondéré.
D'apr7s l'énoncé $P(M) = 0,25$, donc $P\left(\overline{M} \right) = 1 - 0,25 = 0,75$.
D'autre part $P_M(F) = 0,06$. Donc $P_M\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,06 = 0,96$.

On peut commencer l'arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{0,25}}
	{\TR{$F$} \taput{0,06}
	\TR{$\overline{F}$} \tbput{0,96}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\tbput{0,75}}
	{\TR{$F$} \taput{$x$}
	\TR{$\overline{F}$} \tbput{$1 - x$}
	}
}
\end{center}
\item %On sait que le carreau prélevé est fissuré.

%Démontrer que la probabilité qu'il s'agisse d'un carreau avec motif est $\dfrac{2}{3}$
Il faut trouver $P_F(M) = \dfrac{P(F \cap M)}{P(F)} = \dfrac{P(M \cap F)}{P(F)} = \dfrac{P(M) \times P_M{F}}{P(F)} = \dfrac{0,25 \times 0,06}{0,0225} = \dfrac{\np{0,0150}}{\np{0,225}} = \dfrac{150}{225} = \dfrac{3 \times 50}{9 \times 25} = \dfrac{3 \times 2 \times 25}{3 \times 3 \times 25} = \dfrac{2}{3}$.
\item  %Calculer $P_{\overline{M}}(F)$, probabilité de $F$ sachant $\overline{M}$.
Soit $x = P_{\overline{M}}(F)$.

On sait d'apr7s la loi des probabilités totales que :

$P(F) = P(M \cap F) + P\left(\overline{M} \cap F\right)$ soit d'après l'énoncé :

$\np{0,0225} = 0,25 \times 0,06 + 0,75 \times x \iff  \np{0,0225} = 0,0150 + 0,75x \iff 0,75x = \np{0,0075} \iff $

$x = 0,01$.

La probabilité qu'un carreau avec motif soit fissuré est égale à  1\,\%.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

%On modélise l'épaisseur en millimètre d'un carreau pris au hasard par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart type $\sigma$.
%
%Un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre $10,1$~mm et $11,9$~mm. 
%
%On sait que 99 \,\% des carreaux sont commercialisables.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $P(X < 10,1) = 0,005$.
On a donc $P(10,1 \leqslant X \leqslant 11,9) = 0,99$, donc :

$P(X \leqslant 10,1) + P(X \geqslant 11,9) = 1 - 0,99 = 0,01$.

Mais par symétrie $P(X \leqslant 10,1) = P(X \geqslant 11,9) $, donc 

$P(X \leqslant 10,1) = P(X \geqslant 11,9)  = \dfrac{0,01}{2} = 0,005$. 
\item %On introduit la variable aléatoire $Z$ telle que

\[Z = \dfrac{X - 11}{\sigma}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi suivie par la variable aléatoire $Z$.
La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$.
		\item %Démontrer que $P\left(Z \leqslant - \frac{0,9}{\sigma}\right) = 0,005$.
De $10,1 \leqslant X \leqslant 11,9$ on en déduit successivement :

$-0,9 \leqslant X - 11 \leqslant0,9 \iff - \dfrac{0,9}{\sigma} \leqslant \dfrac{X - 11}{\sigma} \leqslant \dfrac{0,9}{\sigma}$ et d'après la question \textbf{1.} 

$P\left(Z \leqslant - \frac{0,9}{\sigma}\right) = 0,005$.
		\item %En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie au centième.
La calculatrice donne $\sigma \approx 0,35$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~2\pi]$ par

\[f(x) = -1,5 \cos(x) + 1,5\]

%On admet que la fonction $f$ est continue sur $[0~;~2\pi]$.
%
%On note $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-3.5)(7,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3.5)(7,3.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.282}{1 x 180 mul 3.14159 div cos sub 1.5 mul}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{6.282}{1 x 180 mul 3.14159 div cos sub 1.5 mul neg}
%\uput[u](5,1.15){\blue $\mathcal{C}_1$}\uput[d](5,-1.15){$\mathcal{C}_2$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $f$ est positive sur $[0~;~2\pi]$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~2\pi]$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 1,5 \times (- \sin x ) = 1,5\sin x$.

On sait que sur $[0~;~\pi], \sin (x) \geqslant 0$ et donc $f'(x) \geqslant 0$ et 

que sur $[\pi~;~2\pi], \sin x \leqslant 0$ et donc $f'(x) \leqslant 0$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $[0~;~\pi]$ de $f(0) = - 1,5 + 1,5 = 0$ à  $f(\pi) = - 1,5 \times (- 1) + 1,5 = 3$, puis décroissante de $f(\pi) = 3$ à  $f(2\pi) = -1,5 + 1,5 = 0$.

Conclusion : sur $[0~;~2\pi], \: f(x) \geqslant 0$.
\item %Sur la figure ci-dessus, la courbe tracée en tiretés, notée $\mathcal{C}_2$, est la courbe symétrique de $\mathcal{C}_1$ par rapport à  l'axe des abscisses.
La forme d'un carreau est celle de la zone délimitée par les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

%On note $\mathcal{A}$ son aire, exprimée en unité d'aire. 

%Calculer $\mathcal{A}$.
La fonction $f$ étant positive l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_1$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x  = 2\pi$ est égale (en unité d'aire à  l'intégrale $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\:\text{d}x$ et par raison évidente de symétrie l'aire du carreau est égale à  :

$2\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\:\text{d}x = 2\displaystyle\int_0^{2\pi} [f(x)]-1,5\cos x + 1,5]\:\text{d}x = 2\left[-1,5\sin x + 1,5x \right]_0^{2\pi} = $

$2(0 + 1,5 \times 2\pi- (- 1,5 \times 0 + 1,5 \times 0) = 2 \times 3\pi = 6\pi$ (unité d'aire).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right).\]
%
%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
%
%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(5.2,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(5.2,1.1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.1}{3 x mul 1 add x 1 add div ln}
%\uput[u](5,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
Pour $x \ne 0$, on a $f(x) = \ln \left(\dfrac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{3 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \dfrac{3}{1} = 3$ et finalement 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \ln 3$.

Ce résultat montre que géométriquement la droite d'équation $y = \ln 3$ est asymptote horizontale à  $\mathcal{C}_f$ au voisinage de plus l'infini.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, 
$f$ est la composée de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{u'}{u}$.

Avec $u(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 1}$, on a $u'(x) = \dfrac{3(x + 1) - 1\times (3x + 1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{3x + 3 - 3x - 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{2}{(x + 1)^2}$.

Donc $f'(x) = \dfrac{\frac{2}{(x + 1)^2}}{\frac{3x + 1}{x + 1}} = \dfrac{2}{(3x + 1)(x + 1)}$.
		
%		\[f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}\]
		
		\item %En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.
$f'(x)$ quotient de nombres supérieurs à  zéro est supérieure à  zéro, donc $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty]$ de $f(0) = \ln \frac{1}{1} = 0$ à  $\ln 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par
%
%\[u_0 = 3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\emph{Initialisation} : $u_0 = 3$ et $u_1 = \ln \left(\dfrac{9 + 1}{3 + 1}\right) = \ln \frac{10}{4} = \ln \frac{5}{2} \approx 0,92$.

On a bien $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{1} \leqslant u_0$ : l'encadrement est vrai au rang $0$.

\emph{Hérédité} : on suppose que pour $n \in \N$,\: $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

Par croissance (démontrée en \textbf{A. 2.}) de la fonction $f$, on a :

$f\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant f\left(u_{n+1}  \right)\leqslant f\left(u_{n}  \right)$.

Or $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \ln \left(\dfrac{\frac{3}{2} + 1}{\frac{1}{2} + 1} \right) = \left(\dfrac{5}{3} \right) \approx 0,51 > 0,5$.

On a donc l'encadrement $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$, et s'il est vrai à  un rang $n \in \N$ quelconque, il est vrai au rang $n + 1$. D'après le principe de récurrence, on a donc démontré que pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
\item  %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
Le résultat précédent montre que le suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}$ : elle converge donc vers une limite supérieure ou égale à  $\dfrac{1}{2}$, donc positive.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

%On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.
%
%\smallskip

%L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
%
%On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.
%
%\smallskip
%
%On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ où 
%
%$x_0 = \dfrac{- 2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$  et $g\left(x_0\right) \approx  0,088$, en arrondissant à  $10^{-3}$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3)
%\psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
%\uput[u](,2.4){$x$}\uput[u](2.15,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$x_0$}\uput[u](7.6,2.4){$+ \infty$}
%\rput(1,1.9){Variations }\rput(1,1.3){de la}\rput(1,0.7){fonction $g$}
%\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(7.5,0.5)
%\uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](5,2.5){$g\left(x_0\right)$}\uput[u](7.5,0){$- \infty$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
Le tableau de variations montre que sur l'intervalle $\left[x_0~;~+ \infty\right[$, la fonction $g$ décroit de $g\left(x_0\right) \approx  0,088 > 0$ à  $- \infty$.

Elle est continue sur cet intervalle car dérivable, donc d'après le principe des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in \left[x_0~;~+ \infty\right[$ tel que $g(\alpha) = 0$.

Comme $x_0 > 0$,\: $\alpha > 0$.
\item ~

%\parbox{0.65\linewidth}{
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Recopier et compléter l'algorithme ci-contre afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à  $0,01$ près.
		\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  0,22$\\
Tant que $g(x) > 0$ faire\\
\hspace{1.25cm}$x \gets x + 0,01$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
		\item Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}%} \hfill
%\parbox{0.32\linewidth}{

%}
\item  En déduire une valeur approchée à  0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Soit ABCDEFGH un cube et I le centre du carré ADHE, c'est-à -dire, le milieu du segment [AH] et du segment [ED]. Soit J un point du segment [CG].
%
%La section du cube ABCDEFGH par le plan (FIJ) est le quadrilatère FKLJ.
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{c c}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,6.5)
%\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
%\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
%\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
%\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
%\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
%\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
%\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
%\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
%\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
%\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
%\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](5.6,2.7){L}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
%\rput(3,0.3){Figure 1}
%\end{pspicture}
%&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,6.5)
%\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,2.7)(2.6,5.2)(0.5,4.7)%BCDLKFB
%\psline(3.5,1)(3.5,2.1)(0.5,4.7)%CJF
%\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
%\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
%\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.2)%%AK
%\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
%\uput[r](5.6,2.1){D}  \uput[ul](0.5,4.7){F} \uput[ur](2.6,5.2){K}
% \uput[ur](4.1,3.95){I} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
%\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[r](5.6,2.7){L} 
%\rput(3,0.3){Figure 2}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabular}
%
%\end{center}
%
%On se place dans le rep7re orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},\vect{\text{AD}},\vect{\text{AE}}\right)$. 
%
%On a donc A(0~;~0~;~0), B(1~;~0~;~0), D(0~;~1~;~0) et E(0~;~0~;~1).
%
%\smallskip
%
%\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent àªtre traitées de mani7re indépendante.} 

\begin{center}

\textbf{Partie A}\end{center}
Dans cette partie, le point J a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\dfrac{2}{5}\right)$

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les coordonnées du point I sont $\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
I est le centre du carré ADHE, donc en particulier I est le milieu du segment [DE], donc I$\left(\frac{0+0}{2}~;~\frac{1 + 0}{2}~;~\frac{0 + 1}{2} \right)$ soit I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (FIJ). 
Avec F(1~;~0~;~1), \: I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et J$\left(1~;~1~;~\dfrac{2}{5}\right)$, on obtient :

$\vect{\text{IF}}\begin{pmatrix}1\\- \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{FJ}}\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{3}{5}\end{pmatrix}$.

Or $\vect{n} . \vect{\text{IF}} = - 1 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 0$ et $\vect{n} . \vect{\text{FJ}} = 0 + 3 - 3 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à  deux vecteurs non colinéaires du plan (FIJ) est un vecteur normal à  ce plan.
\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est
D'après le résultat précédent on sait que :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff - 1x + 3y + 5z = d = 0$, avec $d \in \R$.

Or F $ \in (\text{FIJ}) \iff - 1 + 0 + 5 = d = 0 \iff d = 4$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff -x + 3y + 5z - 4 = 0$.

%\[-x + 3y + 5z - 4 = 0.\]

\end{enumerate}
\item  %Soit $d$ la droite orthogonale au plan (FIJ) et passant par B.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		Si $(d)$ est orthogonale au plan (FIJ), tout vecteur directeur de ($d$), donc en particulier $\vect{\text{B}M}$ est colinéaire au vecteur $\vect{n}$ précédent.
		
		Il existe donc $t \in \R$ tel que :
		
$\vect{\text{B}M} = t\vect{n} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&- t\\y - 0&=&3t\\
z - 0&=&5t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}x&=&1 - t\\y&=&3t\\z&=&5t\end{array}\right.$

Conclusion $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c r}x&=&1 - t\\y&=&3t\\z&=&5t\end{array}\right.$\: avec $t \in \R$.
		\item %On note M le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (FIJ).
		
%Démontrer que M $\left(\dfrac{6}{7}~;~\dfrac{3}{7}~;~\dfrac{5}{7}\right)$.
M$(x~;~y~;~z)$ a ses coordonnées qui vérifient les équations paramétriques de $(d)$ et l'équation cartésienne du plan, soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 - t\\y&=&3t\\z&=&5t\\-x + 3y + 5z - 4 &=& 0\end{array}\right. \Rightarrow - 1 + t  + 9t + 25t - 4 = 0\iff 35t = 5 \iff $

$7t = 1 \iff t = \dfrac{1}{7}$.

Les coordonnées de M sont donc M$\left(1 - \dfrac{1}{7}~;~3 \times \dfrac{1}{7}~;~5 \times \dfrac{1}{7} \right)$, donc M$\left(\dfrac{6}{7}~;~\dfrac{3}{7}~;~\dfrac{5}{7} \right)$.

	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](2.4,4.2){M}\uput[r](5.6,2.7){L}
\psline[linestyle=dashed](0,0.786)(4,6.5)
\psline(0,0.786)(0.5,1.5)
\psline(2.8,4.786)(4,6.5)
\pswedge*(0.5,1.5){5mm}{56}{90}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2.4,4.2)(4.1,3.95)
\rput(3,0.3){Figure 1}

\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\vect{\text{BM}} . \vect{\text{BF}}$.
On a $\vect{\text{BM}}\begin{pmatrix}\dfrac{6}{7}-1\\\dfrac{3}{7}\\\dfrac{5}{7}\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{BM}}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{7}\\\dfrac{3}{7}\\\dfrac{5}{7}\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{BF}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{BM}} . \vect{\text{BF}} = \dfrac{5}{7}$.
		\item %En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{MBF}}$.
On sait que le produit scalaire peut aussi s'écrire :
		
$\vect{\text{BM}} . \vect{\text{BF}} = \text{BM} \times \text{BF} \times \cos \widehat{\text{MBF}}$ \quad (1).

De façon évidente BF $= 1$ ; BM$^2 = \left(-\dfrac{1}{7} \right)^2 + \left(\dfrac{3}{7} \right)^2 + \left(\dfrac{5}{7} \right)^2 = \dfrac{1}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{1}{49} + \dfrac{25}{49} = \dfrac{35}{49}$.

Donc BM $ = \dfrac{\sqrt{35}}{7}$.

L'égalité (1) s'écrit donc :

$\dfrac{5}{7} = 1 \times \dfrac{\sqrt{35}}{7} \times \cos \widehat{\text{MBF}} \iff \cos \widehat{\text{MBF}} = \dfrac{5}{\sqrt{35}} = \sqrt{\dfrac{5}{7}}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{MBF}} \approx 32,31\degres$ soit 32\degres{} au degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans cette partie, J est un point quelconque du segment [CG].

Ses coordonnées sont donc $(1~;~1~;~ a)$, où $a$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la section du cube par le plan (FIJ) est un parallélogramme.
Les faces (BCGF) et (ADHE) sont parallèles ; le plan (FIJ) les coupent donc suivant deux parallèles (FJ) et (KL).

De même les faces (ABFE) et (DCGH) sont parallèles ; le plan (FIJ) les coupent donc suivant deux parallèles (FK) et (JL).

Le quadrilatère (FJLK) ayant ses côtés opposés parallèles est donc un parallélogramme.
\item %On admet alors que L a pour coordonnées $\left(0~;~ 1~;~\dfrac{a}{2}\right)$.

%Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère FKLJ est-il un losange ?
On a FJ$^2 = 1 + (a - 1)^2$ et JL$^2 = 1 + \dfrac{a^2}{4}$.

FKLJ est  un losange si deux de ses côtés consécutifs ont la même longueur, d'où 

$\text{FJ} = \text{JL} \Rightarrow \text{FJ}^2 = \text{JL}^2 \iff 1 + (a - 1)^2 = 1 + \dfrac{a^2}{4} \iff (a - 1)^2 = \dfrac{a^2}{4} \iff 4\left(a- 1\right)^2  = a^2 \iff 4\left(a- 1\right) - a^2 = 0 \iff \left[ 2(a - 1) + a\right]\left[ 2(a - 1) - a\right] = 0 \iff (3a - 2)(a - 2)  = 0 \iff a = \dfrac{2}{3}$ \: ou $ x = 2$.

Or $0 \leqslant a \leqslant 1$, donc  il existe une seule valeur de $a$  pour laquelle le quadrilatère FKLJ est un losange : $a = \dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\begin{center}

\textbf{Partie A}
\end{center}

On considère l'équation $(E)$ :

\[25z^2 - 14z + 25 = 0.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation $(E)$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
$\Delta = 14^2 - 4 \times  25 \times 25 = 196 - \np{2500} = - \np{2304} = (48\text{i})^2$

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_1 = \dfrac{14+ 48\text{i}}{50} = \dfrac{7+ 24\text{i}}{25}\quad \text{et} \quad z_2 =   \dfrac{7 - 24\text{i}}{25}.\]
%\parbox{0.45\linewidth}{
\item %Démontrer que les solutions de $(E)$ sont de module 1.
On a $\left|z_1 \right|^2 = \left(\dfrac{7}{25} \right)^2 + \left(\dfrac{48}{25} \right)^2 = \dfrac{49 + 576}{625} = \dfrac{625}{625} = 1$, donc $\left|z_1 \right| = 1$.

Même  calcul pour $z_2$ (conjugué de $z_1$).

Les solutions de $(E)$ sont de module 1.
\item %On note $\alpha$ le réel de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que

%\[\cos \alpha = \dfrac{7}{25} \quad \text{ et}\quad  \sin \alpha = \dfrac{24}{25}.\]
On a $z_1 = \cos \alpha + \text{i}\sin \alpha = \text{e}^{\text{i}\alpha}$.

On sait que $z_2 = \overline{z_1} = \overline{\text{e}^{\text{i}\alpha}} = \text{e}^{-\text{i}\alpha}$.
%à‰crire les solutions de $(E)$ sous forme exponentielle en fonction de $\alpha$.
\item %La figure ci-contre fait apparaître huit points du cercle unité. Deux de ces huit points ont une affixe solution de l'équation $(E)$. Lesquels ?} \hfill
On a $\dfrac{7}{25} = \dfrac{7\times 4}{25 \times 4} = \dfrac{28}{100} = 0,28$. La calculatrice donne aussi $\alpha \approx 74\degres$.

$\dfrac{24}{25} = \dfrac{24\times 4}{25 \times 4} = \dfrac{96}{100} = 0,96$.

Les deux points représentatifs des solutions de $(E)$ sont donc les points A et D symétriques autour de l'axe des abscisses.
%\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-1.6,-1.1)(1.1,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1;16.26)(1;-16.26)(1;73.74)(1;106.26)(1;163.74)(1;196.26)(1;-106.26)(1;-73.74)
%\uput[ur](1;16.26){B} \uput[ur](1;73.74){A} \uput[ul](1;106.26){H} \uput[ul](1;163.74){G} 
%\uput[dl](1;196.26){F} \uput[dl](1;-106.26){E} \uput[dr](1;-73.74){D} \uput[dr](1;-16.26){C} 
%\pscircle(0,0){1}
%\end{pspicture}}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

%Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
%
%\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation A} :

%\[\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{\np{2019}} = 1.\]
On sait que $\dfrac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ et que $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3}$, donc :

$\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et par conséquent :

$\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{\np{2019}} = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right)^{\np{2019}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\np{2019}\pi}{3}} = \text{e}^{\text{i}673\pi} = \text{e}^{\text{i}(672\pi + \pi)} = \text{e}^{\text{i}\pi} = - 1$. L'affirmation est fausse.
\item \textbf{Affirmation B} :
%Soit $z$ le nombre complexe $\dfrac{1}{6}(2 + 5\text{i})$.
On a $\|z|^2 = \left(\dfrac{2}{6} \right)^2 + \left(\dfrac{5}{6} \right)^2 = \dfrac{4}{36} + \dfrac{25}{36} = \dfrac{29}{36}$.

Comme $\|z|^2 < 1$, \: $\|z\| < 1$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} |z|^n = 0$. l'affirmation est vraie.


\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} |z|^n = 0.\]

\item %On rappelle que, pour tout nombre réel $x$,

%\[\cos(2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x).\]

\textbf{Affirmation C }:

%Pour tout nombre réel $a$ de $[-\pi~;~ 0]$ tel que $\cos (2a) = \dfrac{7}{25}$, on a $\sin (a) = - \dfrac{3}{5}$.
L'indication peut s'écrire :

$\cos(2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x) = \cos^2 (x) - \left(1 - \cos^2 (x) \right) =  2\cos^2 (x) - 1$.

On a donc $\dfrac{7}{25} = 2\cos^2 (a) - 1 \iff 2\cos^2 (a) = 1 + \dfrac{7}{25} = \dfrac{25}{25} + \dfrac{7}{25} = \dfrac{32}{25}$, d'où

$\cos^2 (a) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{32}{25} = \dfrac{32}{50}$.

Comme $- \pi \leqslant a \leqslant 0$, on a donc $\cos a = \sqrt{\frac{32}{50}}$ ou $\cos a = -\sqrt{\frac{32}{50}}$, et puisque 

$\sqrt{1 - \left(\dfrac{32}{50} \right)^2} = \sqrt{\frac{18}{50}}$, on a dans les deux cas :
$\sin a = -\sqrt{\frac{18}{50}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

L'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[a_n = \dfrac{4^{2n+1}  +1}{5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $a_2$ et $a_3$.
$\bullet~~$$a_2 = \dfrac{4^{4+1}  +1}{5} = \dfrac{4^{5}  +1}{5} = \dfrac{1025}{5} = 205$ ;

$\bullet~~$$a_3 = \dfrac{4^{6+1}  +1}{5} = \dfrac{4^{7}  +1}{5} = \dfrac{\np{16384}+1}{5} = \np{3277}$
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 16a_n - 3$.
Pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = \dfrac{4^{2(n+1)+1}  +1}{5} = \dfrac{4^{2n+3}  +1}{5} = \dfrac{4^{(2n+1)+2}  +1}{5} = \dfrac{4^{2n+1}\times 4^2   +1}{5} = \dfrac{4^{2n+1}\times 4^2 +16 - 15}{5} = \dfrac{4^{2n+1}\times 4^2 +16 - 15}{5} =  \dfrac{16 \times 4^{2n+1} +16 - 15}{5} = 16\dfrac{4^{2n+1} +1}{5} - \dfrac{15}{5} =$

$ 16a_n - 3$.
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_n$ est un nombre entier naturel.
$\bullet~~$Par récurrence :

-- $a_0 = 1$ : la propriété est vraie au rang zéro ;

-- Supposons que pour $n \in \N$, \: $a_n \in \N$ ; alors $16a_n \in \N$ et d'après le résultat précédent 

$16a_n - 3 = a_{n+1} \in \N$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie à  un rang $n \in \N$, elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence $a_n \in \N$ pour tout naturel.

$\bullet~~$ Les puissances paires de 4 se terminent par 6 et les puissances impaires par 4, donc quel que soit $n \in \N$, \:$4^{2n+1}$ se termine par 4 et donc $4^{2n+1} + 1$ se termine par 5 et est donc multiple de 5 : $a_n$ est donc un naturel pour tout $n \in \N$.
\item Dans cette question on utilise l'égalité de la question \textbf{2.} afin de démontrer plusieurs propriétés des termes de la suite $\left(a_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le plus grand diviseur commun de $a_n$ et $a_{n+1}$.
		
%Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $d_n$ est égal à  1 ou à  3.
Tout diviseur commun à  $a_n$ et à  $a_{n+1}$ et un diviseur commun à  $16a_n$ et à  $a_{n+1}$, donc est un diviseur de la différence $16a_n - a_{n+1} = 3$. Or 3 a deux diviseurs 1 et 3.

Conclusion : tout diviseur commun à  $a_n$ et à  $a_{n+1}$ et en particulier le plus grand est un diviseur de 3, donc est 1 ou 3.
		\item  %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} \equiv a_n\:\: [3]$.
Quel que soit $n \in \N$, on a $16 \equiv 1 \:[3]$ et $- 3 \equiv 0 \:[3]$, donc $16a_n \equiv a_n \: [3]$ donc finalement $16a_n - 3 = a_{n+1} \equiv a_n [3]$.
		\item  %Vérifier que $a_0 \equiv 1\:\:[3]$.
On a $a_0 = 1$ et on a bien $1 \equiv 1\:[3]$.
		
%En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $a_n$ n'est pas divisible par 3.
\emph{Initialisation} : le résultat précédent signifie que $a_0$ n'est pas divisible par 3.

\emph{Hérédité} : supposons que $a_n$ n'est pas divisible par 3 pour $n \in \N$ ; alors $16a_n$ n'est pas divisible par 3 (puisque 16 ne l'est pas) et comme 3 est divisible 3, $16a_n - 3 = a_{n+1}$ n'est pas divisible par 3.

La propriété est vraie au rang zéro, et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle l'est aussi au rang $n + 1$.
D'après le principe de récurrence $a_n$ n'est pas un multiple de 3 pour $n \in \N$.
		\item  %Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$,\: $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
On a vu à  la question \textbf{4. a.} que le plus grand commun diviseur $d_n$ à  $a_n$ et à  $a_{n+1}$ était 1 ou 3. Comme on vient de voir que ce n'est pas 3, c'est donc 1 : les naturels $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item %L'objectif de cette question est de démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à  $2$, le nombre $a_n$ n'est pas premier.

%On pose, pour tout entier naturel $n$,

%\[b_n = 2^{n+1}\left(2^n - 1\right) + 1\quad  \text{et}\quad  c_n = 2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1.\]
%
%On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à  $2$,
%
%\[5a_n = b_nc_n.\]
\emph{Remarque} : cette égalité n'est pas difficile à  démontrer puisqu'elle relève de l'identité 

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

$b_nc_n = \left(2^{n+1}\left(2^n - 1\right) + 1\right)\left(2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1 \right) = \left(2^{2n+1} - 2^{n+1} + 1 \right)\left(2^{2n+1} + 2^{n+1} + 1  \right) =$

$ \left(2^{2n+1} + 1 - 2^{n+1} \right)\left(2^{2n+1} + 1 + 2^{n+1} \right) = \left(2^{2n+1} + 1 \right)^2 - \left(2^{n+1} \right)^2 = 2^{4n+2} + 2\times 2^{2n+1} + 1 - 2^{2n+2} = \left(2^2\right)^{2n+1} + 2^{2n+2} - 2^{2n+2} + 1 = 4^{2n+1} + 1 = 5a_n.$
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à  2, 
		
%		\[5 \:\text{divise} \:b_n \quad \text{ou} \quad 5 \:\text{divise}\:c_n.\]
On a donc pour $n \geqslant 2,\quad 5a_n = b_nc_n$. De deux choses l'une :

$\bullet~~$ou 5 ne divise pas $b_n$ ; comme 5 est premier et donc premier avec $b_n$, \:$5$ divise le produit $b_nc_n$ et est premiers avec $b_n$ : d'après le théorème de Gausse $5$ divise $c_n$ ;

$\bullet~~$ou 5  divise  $b_n$ et alors le résultat est acquis.		
		\item %Soit $n$ un entier supérieur ou égal à  2. Démontrer que $b_n > 5$ et $c_n > 5$.
$b_n = 2^{n+1}\left(2^n - 1\right) + 1$, donc $n \geqslant 2 \Rightarrow 2^n \geqslant 2^2 \Rightarrow 2^n - 1 \geqslant 3$ ; d'autre part $n \geqslant 2 \Rightarrow n + 1 \geqslant 3 \Rightarrow 2^{n+1} \geqslant 2^3$, d'où par produit 

$2^{n+1}\left(2^n - 1\right) \geqslant 3 \times 8$ et enfin $b_n \geqslant 25 > 5$.

De màªme $c_n = 2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1$

$n \geqslant 2 \Rightarrow 2^n \geqslant 2^2 \Rightarrow 2^n + 1 \geqslant 5$ ; d'autre part $n \geqslant 2 \Rightarrow n + 1 \geqslant 3 \Rightarrow 2^{n+1} \geqslant 2^3$, d'où par produit 

$2^{n+1}\left(2^n - 1\right) \geqslant 5 \times 8$ et enfin $c_n \geqslant 40 > 5$.
		\item %En déduire que $a_n$ n'est pas un nombre premier.
On a  $a_n = \dfrac{b_nc_n}{5}$.

Donc $a_n = \dfrac{b_n}{5} \times c_n$ ou $a_n = \dfrac{c_n}{5} \times b_n$.

D'après les questions précédentes $\dfrac{b_n}{5}$ ou $\dfrac{c_n}{5}$ est un naturel au moins égal à  2 puisque   $b_n$ et $c_n$ sont supérieurs à  5 et que l'un au moins est un multiple de 5.

$a_n$ est donc le produit de deux naturels différents de 1 : il n'est donc pas premier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}