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% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
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           % \rfoot{#3}
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%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
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 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
 \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} 
 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
 \newcommand{\pg}{\geqslant}
 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
 \newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
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 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
 %*** écrire e (dans un environnement mathématique)****
 
 \newcommand{\e}{\text{e}}
 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
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 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\module}[1]{\left| #1\right| ~}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
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 %**** écrire une somme (dans un environnement math)*****
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 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
 %\usepackage{fancyhdr}
 
 \newcommand{\entetecor}[4]{%
                   
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 \chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat S  #1 du #2}}
 \lfoot{Baccalauréat 2019}
 \rfoot{A. Detant}
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            % \rfoot{#3}
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}
\entetecor{Centres étrangers}{13 juin 2019}{TS}{}


\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite



\label{Exercice 1}
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.} 

%\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

%\smallskip 

%\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item~ % Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. 

%Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la ,station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,560& \textbf{b.~~} 0,25&\textbf{c.~~}1&\textbf{d.~~} 0,103
%\end{tabularx}
%\medskip 

\begin{solution}\surj{Réponse \textbf{d)}}

{\red \textbf Explication non demandée mais donnée à titre indicatif}


On répète $n=80$ fois de manière indépendante une expérience n'ayant que deux issues (la personne choisie pratique le surf ou non) dont la probabilité de succès (la personne pratique le surf) est $p=0,25$. 

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès.

On a alors $p(X=20)=\begin{pmatrix}
80\\20
\end{pmatrix}\x 0,25^{20} \x 0,75^{60}\approx 0,103$.
\end{solution}

\item~ % L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne µ = 150 cm et d'écart-type inconnu. 

%On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. Quelle est la probabilité $P ( X \geqslant 100)$ ? 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé. 
%&\textbf{b.~~} 0,025 
%&\textbf{c.~~} 0,95 
%&\textbf{d.~~}0,975 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\begin{solution}\surj{Réponse \textbf{d)}}

{\red \textbf Explication non demandée mais donnée à titre indicatif}

$p(X\pg100)=1-P(X\pp 100)$

$\mu=150$ donc $100=\mu-50$ et $200=\mu+50$.

$P(X\pp 100)=P(X\pp \mu-50)=P(X\pg \mu+50)=P(X\pg 200)$ par symétrie de la courbe de la fonction densité par rapport à la droite d'équation $x=\mu$.

Donc $p(X\pg100)=1-P(X\pg 200)=0,975$.

\end{solution}

\item~ % Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. 

%On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans.

% Ainsi E$(T) = 5$. 

%La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à :
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,5 &\textbf{b.~~}$1 - \text{e}^{-1}$&\textbf{c.~~} $\text{e}^{-1}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{- 25}$ 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\begin{solution}\surj{Réponse \textbf{c)}}

{\red \textbf Explication non demandée mais donnée à titre indicatif}

Soit $\lambda$ le paramètre de la loi exponentielle associée à $T$ alors on a $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ on a donc $\dfrac{1}{\lambda}=5$ d'où $\lambda=0,2$.

$P(T\pg5)=1-P(0\pp T\pp5)=1-\displaystyle\int_0^5 0,2\e^{-0,2t}\:\text{d}t =1- \valinteg{0}{5}{-\e^{-0,2t}}=1-\left( -\e^{-1}+1\right) =\e^{-1}$.
\end{solution}

\item~ % L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. 

%Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. 

%Le nombre de clients à interroger est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 50& %\textbf{b.~~}\np{2500} &
%\textbf{c.~~} 25 &\textbf{d.~~}625
%\end{tabularx}
%\medskip  

\begin{solution}\surj{Réponse \textbf{b)}}

{\red \textbf Explication non demandée mais donnée à titre indicatif}


L'intervalle de confiance sur un échantillon de taille $n$ bâti avec la fréquence $f$ de clients satisfaits et $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;f~+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$. Son amplitude est donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04~\equi~\sqrt{n}=50~\equi~n=\np{2500}$.
\end{solution}

\end{enumerate}

%\newpage

\label{Exercice 2}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: 

%\[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

%\smallskip
 
\textbf{Partie A}

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item ~ % Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$. 

\begin{solution}
$u_2=2\x u_1-1=-1$

$u_3=3u_2-1=-4$

$u_4=4u_3-1=-17$
\end{solution}

\newpage

\item ~ %Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. 




\begin{solution}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Pour $N$ allant de 1 à 12\\
\hspace{1cm} $U \gets {\red (N+1)\x U-1}$\\ 
Fin Pour \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{solution}

\item ~ %On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. 

%Voici les valeurs obtenues. 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,7$}&\multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,8$}\\ \hline     
%0,4						&       0,6 \\  
%0,2						&0,8\\   
%$- 0,2$					&2,2 \\  
%$-2$						&       10\\    
%$-13$					&       59\\   
%$-92$					&       412 %\\  
%$-737$					&\np{3295}\\   
%\np{-6634}			&   \np{29654} \\ 
%\np{-66341}			&   %\np{296539}\\   
%\np{-729752}		&\np{3261928}\\   
%\np{-8757025}		&   \np{39143135} %\\  
%\np{-113841326}	&   \np{508860754}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%  Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ? 
  
  \begin{solution}
  
  Il semblerait que si $u_1=0,7$ alors \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~$-\infty$ et si $u_1=0,8$ alors \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~$+\infty$
  
  
  \end{solution}
   
\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie B} 

%\medskip

%On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : 

%\[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

%On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item ~ %Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(-1 - x)\text{e}^{1-x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.

\begin{solution}
$F$ est dérivable sur $[0~;~1]$ comme composée et produit  de fonctions dérivables sur $[0~;~1]$.

$F=u\e^v~\imp~F'=u'\e^v+uv'\e^v=(u'+uv')\e^v$~~avec~~
	$\begin{cases}
	u(x)=-1-x\\v(x)=1-x
	\end{cases}~~\imp~~
	\begin{cases}
	u'(x)=-1\\v'(x)=-1
	\end{cases}$
	
	donc $\forall x \in [0~;~1]~,~f'(x)=(-1-(-1-x))\e^{1-x}=x\e^{1-x}=f(x)$.
	
	Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0~;~1]$.
\end{solution}

\item ~ %En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$.

\begin{solution}

$I_1= \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x =\valinteg{0}{1}{F(x)}=F(1)-F(0)=-2\e^0-\left(-\e^1 \right) =\e-2$.
\end{solution}

 
\item ~ %On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : 

%\[I_{n+1} =  (n+1)I_{n}-1.\] 

%Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.

\begin{solution}

$I_2=2I_1-1=2(\e-2)-1 = 2\e- 5$.

\end{solution}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant  x^n \text{e}$.
		
		\begin{solution}
		
		$0\pp x\pp1~\equi~-1\pp -x\pp0~\equi~0\pp 1-x\pp1$
		
		En appliquant la fonction exponentielle sur $[0~;~1]$ où elle est croissante on obtient alors 
		
		$\e^0\pp \e^{1-x}\pp\e^1$ puis en multipliant membre à membre par $x^n$ qui est positif sur $[0~;~1]$ on obtient finalement: 
		
$\forall x \in [0~;~1],~\forall n \in \N~,~0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
					
		\end{solution}
		 
		\item ~ %Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$. 
		
		\begin{solution}
		
$\displaystyle\int_0^1 x^n\e \:\text{d}x=\e \integ{0}{1}{x^n}{x}=\e \valinteg{0}{1}{\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}}=\e\left(\dfrac{1}{n+1}-0\right) =\dfrac{\e}{n+1}$. 
		\end{solution}
		
		
		\item ~ %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
		
		\begin{solution}
		
On sait que si $x \in [0~;~1]$ alors $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$ et comme l'intégrale conserve l'ordre, on obtient:
		
$0\pp \displaystyle\int_0^1 x^n\e^{1-x} \:\text{d}x\pp \displaystyle\int_0^1 x^n\e\:\text{d}x$.
		
On a donc bien $0\pp I_n \pp \dfrac{\e}{n+1}$. 
		\end{solution}
		
		 
		\item ~ %Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$. 
		
		\begin{solution}
		
\Lim{n}{+\infty}{\dfrac{\e}{n+1}}=~0 donc d'après le théorème des gendarmes, \Lim{n}{+\infty}{I_n}=~0.
		\end{solution}
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip 

%Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1 

%2!$=2 \times 1$ 

%et si $n \geqslant 3$ : 
%$n$! $= n \times  (n-1) \times  \ldots  \times 1$ 

%On a ainsi par exemple 

%3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$! 

%4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$! 

%8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$! 

%Et, plus généralement : 

%\[(n+1)\text{!} = (n+1)  \times n\text{!}\]

%\smallskip 

\begin{enumerate}
\item ~ %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : 

%\[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] 

%On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a :

%\[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n}-1.\] 

\begin{solution}

\textbf{\underline{initialisation}}:
$1!=1$ donc $1!(u_1-\e+2)+I_1=u_1-\e+2+\e-2=u_1$ donc l'égalité est vérifiée au rang $n=1$

\textbf{\underline{hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel non nul tel que l'égalité $u_n=n!(u_1-\e+2)+I_n$ soit vérifiée. On a alors:


$u_{n+1}=(n+1)u_n-1$~~~d'après l'énoncé

$\hphantom{u_{n+1}}=(n+1)\left(\vphantom{\dfrac{}{}} n!(u_1-\e+2)+I_n\right) -1$~~~d'après l'hypothèse de récurrence

$\hphantom{u_{n+1}}=(n+1)!(u_1-\e+2)+(n+1)I_n-1$

$\hphantom{u_{n+1}}=(n+1)!(u_1-\e+2)+I_{n+1}$~~~d'après la question \textbf{3.} de la \textbf{partie B.}

l'égalité est donc héréditaire à partir du rang $n=1$

or l'égalité est vérifiée au rang $n=1$ donc par le principe de récurrence $\forall n \in \N^*~,~u_n=n!(u_1-\e+2)+I_n$.  
\end{solution}

\item  % On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$. 
		
		\begin{solution}
		On sait que \Lim{n}{+\infty}{I_n}=~0.
		
		
		Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\e+2\approx -0,02<0$ donc par opération sur les limites \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~$-\infty$ 
		
		\end{solution}
		
		\item ~ %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
		
		\begin{solution}
				
		Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\e+2\approx 0,08>0$ donc par opération sur les limites \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~$+\infty$ 
		\end{solution}
		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\label{Exercice 3}
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

%Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points  d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.

%Sur le graphique fourni en annexe,  le point A a pour affixe 1. 

%\bigskip

\textbf{Partie A: étude d'exemples}

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item  %Un premier exemple 

%Dans cette question, on pose  $z = \text{i}$. 

	\begin{enumerate}
		\item ~ %Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. 
		
		\begin{solution}
		$z=\text{i}$~ alors $z^2=-1$ et $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{i}}=-\text{i}$.
		
		\end{solution}
		
		\item ~ %Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. 

%On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.

\begin{solution}$N_1(-1)$ et $P_1(-\text{i})$.

Voir à la fin de l'exercice.
\end{solution}

	\end{enumerate}

\newpage	
\item ~ %\textbf{Une équation}  

%Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ : $z^2 + z + 1 = 0$.

\begin{solution}

$\Delta=b^2-4ac=-3=\left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2<0$ on en déduit que l'équation admet deux solutions complexes conjuguées

$\begin{cases} z_1=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}=-\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\z_2=\overline{z_1}=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
\end{solution}

\item  %Un deuxième exemple 

%Dans cette question, on pose :  $z = - \dfrac{1}{2}
% + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
 	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. 
		
		\begin{solution}
		$z=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
		
		$z^2=\e^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}=\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}=\overline{z}$
		
		$\dfrac{1}{z}=\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}=z^2=\overline{z}$ 
		\end{solution}
		
		\item ~ %Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.

%On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.


\begin{solution}$N_2$ et $P_2$ sont confondus donc A, $N_2$ et $P_2$ sont évidemment alignés.

Voir à la fin de l'exercice.

\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip

%Soit $z$ un nombre complexe non nul. 

%On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$. 

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~ % Établir que, pour tout  nombre complexe différent de $0$, on a : 

%\[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\]

\begin{solution}

$\forall z \in \C^*~,~\left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right)= z^2 + z + 1 - z - 1 - \dfrac{1}{z}$

$\hphantom{\forall z \in \C^*~,~\left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right)}=z^2 - \dfrac{1}{z}$
 

\end{solution}

\item ~ %On rappelle que si, $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et   $z_{\vect{V}}$, les vecteurs  $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un  nombre réel $k$ tel que  $z_{\vect{V}} = kz_{\vect{U}}$.

%En déduire que, pour $z \ne  0$,  les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est réel.

\begin{solution}

A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $z_{\vect{PN}} = kz_{\vect{PA}}$.

Or $z_{\vect{PN}} = z^2 - \dfrac{1}{z}$ et $z_{\vect{PA}} = 1 - \dfrac{1}{z}$.

Donc les trois points sont alignés si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $z^2 - \dfrac{1}{z}= k\left( 1 - \dfrac{1}{z}\right) $ 

On vient de prouver que $\forall z \in \C^*~,~z^2 - \dfrac{1}{z}=\left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right)$.

Finalement A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est réel.
\end{solution}



\item ~ %On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.

 %Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$. 
 
 \begin{solution}
 
 $z^2 + z + 1 = \left(x+ \text{i}y\right) ^2+x+ \text{i}y+1$
 
 $\hphantom{z^2 + z + 1} =x^2 + 2\text{i}xy - y^2 + x + \text{i}y+1$
 
 $\hphantom{z^2 + z + 1} =x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$
 \end{solution}

\newpage 
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A,  $N$ et $P$ soient alignés. 
		
		\begin{solution}
		
		A,  $N$ et $P$ soient alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est réel autrement dit si et seulement si $2xy + y=0$
		
		$2xy + y=0~\equi~y(2x+1)=0~\equi~\begin{cases}
		y=0\\\text{ou}\\x=-\dfrac{1}{2}
		\end{cases}$
		
		L'ensemble est donc la réunion de la droite d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$ et de l'axe des réels privé de O. 
		
		Cet ensemble est représenté en vert sur le graphique.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe. 
		
		\begin{solution}
		
		\psset{unit=3cm}
		\begin{pspicture*}(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
		\psgrid[gridlabels=0]
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
		\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
		\pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1}
		\uput[d](.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,.5){$\vect{v}$}
		\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){A}
		
		
				
		\psline[linecolor=green,linewidth=2pt](-1.6,0)(1.6,0)
		\psline[linecolor=green,linewidth=2pt](-.5,-1.4)(-.5,1.4)
		\psdot[dotstyle=o,linecolor=green,linewidth=4pt](0;0)
		
		\psdot[linecolor=red](1;180)\uput[ul](1;180){\red N$_1$}
		\psdot[linecolor=red](1;-90)\uput[dr](1;-90){\red P$_1$}
		
		
		\psdot[linecolor=blue](1;-120)\uput[dl](1;-120){\blue N$_2$}\uput[ur](1;-120){\blue P$_2$}
		\end{pspicture*}
		
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage

\label{Exercice 4-Obli}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip 

%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(7,7)
%\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
%\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
%\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} 
%\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
%\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
%\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
%\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7)
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. 

%Les points P, Q et R sont définis par : 

%\[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}} \: \text{et}\: \vect{\text{HR}} =  \dfrac{1}{3}\vect{\text{HE}}.\] 

%Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\imath},\vect{k}\right)$ avec : 

%\[\vect{\imath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AB}},\: \vect{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vect{k} =\dfrac{1}{6}\vect{\text{AE}}.\] 

%Dans ce repère, on a par exemple: 


%\[\text{B}(6~;~0~;~0), \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\:\: \text{R}(0~;~4~;~6).\] }

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et $\Omega$. 
		
		\begin{solution}
		P(2~;~0~;~0)~~,~~Q(0~;~0~;~2)~~et~~$\Omega$(3~;~3~;~3)	
		\end{solution}
	
		\item ~ %Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vect{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan (PQR) . 
	
		\begin{solution}
		R(0~;~4~;~6) donc $\vect{PR}\begin{pmatrix}
		-2\\4\\6
		\end{pmatrix}$ et  $\vect{QR}\begin{pmatrix}
		0\\4\\4
		\end{pmatrix}$
		 
		$\vect{n}\begin{pmatrix}
				1\\b\\c
				\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (PQR)	si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
		
		$\begin{cases}
		\vect{n}\cdot \vect{PR}=0\\\vect{n}\cdot \vect{QR}=0
		\end{cases}~\equi~\begin{cases}
		-2+4b+6c=0\\4b+4c=0
		\end{cases}~\equi~\begin{cases}
		2b=-2\\c=-b
		\end{cases}~\equi~\begin{cases}
		b=-1\\c=1
		\end{cases}$
		
		Finalement $\vect{n}\begin{pmatrix}
		1\\-1\\1
		\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (PQR)
		\end{solution}
	
		\item ~ %En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : $x - y+ z - 2 = 0$. 
		
		\begin{solution}
		
		$\vect{n}\begin{pmatrix}
			1\\-1\\1
		\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (PQR) donc (PQR): $x-y+z+d=0$.
		
		Or P(2~;~0~;~0) $\in$ (PQR) donc $x_{\text{P}}-y_{\text{P}}+z_{\text{P}}+d=0$.
		
		Finalement (PQR) : $x - y+ z - 2 = 0$.	
		\end{solution}
	
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  ~ %On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point $\Omega$, centre du cube. 

%Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 

\begin{solution}
$\Delta$ est perpendiculaire au plan (PQR) donc $\vect{n}$ est directeur de $\Delta$, de plus $\Omega$(3~;~3~;~3) $\in \Delta$. 

On en déduit :
$\Delta~:~\begin{cases}
x=3+t\\y=3-t\\z=3+t
\end{cases}	~~(t\in \R)$.

\end{solution}

		\item ~ % En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
		
		\begin{solution}
		Si on pose $t=-\dfrac{1}{3}$ dans la représentation précédente on obtient les coordonnées de I donc I~$\in~\Delta$.
		
		De plus $x_{\text{I}}-y_{\text{I}}+z_{\text{I}}-2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{8}{3}-2=0$ donc I~$\in~$ (PQR).
		
		Finalement	$\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
		\end{solution}
	\item ~ %Calculer la distance $\Omega$I.
	
	\begin{solution}
	
	$\Omega$I=$\sqrt{\left(x_{\text{I}}-x_{\Omega} \right) ^2+\left(y_{\text{I}}-y_{\Omega} \right) ^2+\left(z_{\text{I}}-z_{\Omega} \right) ^2}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
	
	\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item  %On considère les points J(6~;~4~;~0) et K(6~;~6~;~2). 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Justifier que le point J appartient au plan (PQR). 
		
		\begin{solution}
		$x_{\text{J}}-y_{\text{J}}+z_{\text{J}}-2=6-4-2=0$ donc J~$\in~$ (PQR).	
		\end{solution}
		
		\item ~ %Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles. 
		
		\begin{solution}
		
		$\vect{\text{JK}}(0~;~2~;~2)$~~or~~$\vect{\text{QR}}(0~;~4~;~4)$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.
		
		On en déduit que (JK) et (QR) sont parallèles.	
		\end{solution}
		
		\item ~ %Sur la figure donnée en annexe,  tracer la section du cube par le plan (PQR). 

%On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche. 

\begin{solution}
J et K sont respectivement sur les arêtes [BC] et [CG] du cube

On place J et K aisément en remarquant que $\vect{BJ}=\dfrac{2}{3}\vect{BC}$ et $\vect{CK}=\dfrac{1}{3}\vect{CG}$

J $\in$ (PQR) et (JK) est parallèle à (QR) donc (JK) $\subset$ (PQR).

(PQR) coupe la plan (ABE) suivant la droite (QP) 

donc (PQR) coupe le plan (CDG) suivant une parallèle à (QP) passant par K. 

Soit L le point d'intersection entre cette droite et l'arête [GH].

La section du cube par le plan (PQR) est l'hexagone JKLRQP


\begin{center}
\psset{unit=1.3cm,linewidth=1.3pt}
\begin{pspicture}(7,7)

\pspolygon[linecolor=pink,fillstyle=solid,fillcolor=pink](6.1,1.3)(6.5,3.3)(3.3,6.5)(1.3,6.1)(0.5,2.1)(2.1,0.5)

\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H}

\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7)

\psdots[linecolor=red](6.1,1.3)(6.5,3.3)(3.3,6.5)
\uput[r](6.1,1.3){\red J}
\uput[r](6.5,3.3){\red K}
\uput[u](3.3,6.5){\red L}



\end{pspicture}
\end{center}
	
\end{solution}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\label{Exercice 4-Spé}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip 

%Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40. 

%\bigskip

\textbf{Partie A} :

%\medskip
 
%\emph{Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes} 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ %Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$. 

\begin{solution}
$(x~;~y)=(17~;~23)$ est un couple d'entiers premiers solution de $40 = x + y$.	
\end{solution}

\item ~ %On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. 

%Résoudre cette équation.

\begin{solution}
Le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)=(40~;~-40)$ est une solution évidente de $(E): 20x + 19 y = 40$. 

Soit $(x~;~y)$ un couple de solution de $(E)$ alors on a : $20x + 19 y = 40$.
		
		Or on a $20\x40 + 19\x(-40) = 40$.
		
		Par soustraction membre à membre de ces équations on obtient $20(x-40)+19(y+40)=0$ 
		
		$20(x-40)+19(y+40)=0 \equi 20(40-x)=19(y+40)$ 
		
		On en déduit que 20 divise $19(y+40)$ or 20 et 19 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 20 divise $(y+40)$.
		
		Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $y+40=20k$.
		
		Alors $19(y+40)=19\x20k$ donc $20(40-x)=19\x20k$ soit $40-x=19k$.
		
		Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $\begin{cases}
		40-x=19k\\y+40=20k
		\end{cases}$
		
		Finalement les couples solutions de $(E)$ sont de la forme $(40-19k~;~-40+20k)$ avec $k\in \Z$.
			
\end{solution}

\item %Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ 
%désignent deux entiers naturels.
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers.
		
		\begin{solution}
		$40=2^3\x5$	
		\end{solution}
		 
		\item ~ %Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité.

\begin{solution}

Supposons que $x- y$ est pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $x- y=2k$.

$x-y=2k~\equi~x=y+2k~\equi~x+y=2y+2k=2(y+k)$ or $(y+k)\in \Z$

Donc si $x- y$ est pair alors $x+y$ est pair aussi.

\vspace{0.3cm}
Supposons que $x- y$ est impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $x- y=2k+1$.

$x-y=2k+1~\equi~x=y+2k+1~\equi~x+y=2y+2k+1=2(y+k)+1$ or $(y+k)\in \Z$

Donc si $x- y$ est impair alors $x+y$ est impair aussi.

\vspace{0.3cm}
Finalement, $x-y$ et $x+y$ ont la même parité. 	
\end{solution}

		\item ~ %Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels. 
		
		\begin{solution}
		$x^2 - y^2 = 40~\equi~(x-y)(x+y)=40$
		
		D'après ce qui précède on sait que $(x-y)$ et $(x+y)$ ont la même parité. 
		
		40 ne peut pas être le produit de deux nombres impairs, on cherche donc à écrire 40 comme produit de deux entiers pairs.
		
		D'après la question \textbf{3. a.} on en déduit qu'il n'y a que deux solutions: $40=2\x 20 = 4\x 10$.
		
		$x$ et $y$ étant des entiers naturels, on a $x+y\pg x-y\pg0$.
		
		On a donc deux solutions possibles:
		
		$\begin{cases}
		x+y=20\\x-y=2
		\end{cases}~\equi~
		\begin{cases}
		x=11\\y=9
		\end{cases}$\hspace{1cm}et\hspace{1cm}
		$\begin{cases}
		x+y=10\\x-y=4
		\end{cases}~\equi~
		\begin{cases}
		x=7\\y=3
		\end{cases}$
		
		Finalement les couples d'entiers naturels $(x~;~y)$ solutions de $x^2 - y^2 = 40$ sont $(7~;~3) $ et $(11~;~9) $.	
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie B} : \og sommes\fg{} de cubes

%\emph{Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.} 

%\medskip

%Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. 

%Par exemple : 

%\[13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3\]
 
%\[13 = - 1^3 -  1^3  - 1^3 + 2^3 + 2^3\]

%\[13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3\]

%Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier \og sommes\fg{} de cubes à la place de \og sommes ou différence de cubes d'entiers naturels \fg. 

%Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 4 cubes.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en \og somme \fg{} de 5 cubes. 
		
		\begin{solution}
		$40=13+27$ or $27=3^3$ on en déduit une décomposition de 40 en \og somme \fg{} de 5 cubes:
		
		$40 = 1^3 + 3^3+ 7^3 + 10^3 - 11^3$	
		\end{solution}
		
		\item ~ %On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : 

%\[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] 

%En déduire une décomposition de 48 en \og somme\fg{} de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en \og somme\fg{} de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.) 

\begin{solution}
En posant $n=8$ dans l'égalité on obtient:

$48=9^3+7^3-8^3-8^3$

Or $40=48-8=48-2^3$

On en déduit une décomposition de 40 en \og somme \fg{} de 5 cubes:
		
$40 = -2^3+7^3-8^3-8^3+9^3$		
\end{solution}

	\end{enumerate}
\item %Le nombre 40 est une \og somme\fg{} de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. 

%On veut savoir si 40 peut être décomposé en \og somme\fg{} de 3 cubes. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Recopier et compléter sans justifier: 


\begin{solution}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Reste de la division euclidienne de $n$ par 9 &  0&   1&   2&   3&   4&   5&   6&   7&   8\\ \hline   
Reste de la division euclidienne de $n^3$ par 9&0&1&8&0&1&8&0&1&8\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
	
\end{solution}

		\item  ~ %On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. 

%Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en \og somme\fg{} de 3 cubes. 

\begin{solution}

Supposons que 40 peut être décomposé en \og somme\fg de 3 cubes. Donc, supposons qu'il existe trois entiers relatifs $a, b \text{et}~c$ tels que $40=a^3+b^3+c^3$

On sait que chacun de ces cubes est 
congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$.
 
Alors $\left( a^3+b^3+c^3\right) \equiv d~[9]$ avec $d\in \left\{ -3~;~-2~;~-1~;~0~;~1~;~2~;~3\right\} $  	

Or on sait que $40\equiv 4~[9]$ ce qui rend absurde la supposition.

Finalement, 40 ne peut pas être décomposé en \og somme\fg{} de 3 cubes.
\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}