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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers\footnote{y compris Pondichéry} ~\decofourright\\[5pt]13 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.} 

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

\smallskip 

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. 

%Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la ,station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,560& \textbf{b.~~} 0,2&\textbf{c.~~}5&\textbf{d.~~} 0,103
%\end{tabularx}
%\medskip 
Si on note $X$ le nombre de personnes pratiquant le surf, $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\left(80~;~\dfrac{1}{4}\right)$, car on a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{P(X=20) = \begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix} \times 0,25^{20} \times 0,75^{60} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,103}}}}$ (réponse d.)

\item L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne µ = 150 cm et d'écart-type inconnu. 

On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. %Quelle est la probabilité $P ( X \geqslant 100)$ ? 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé. 
%&\textbf{b.~~} 0,025 
%&\textbf{c.~~} 0,95 
%&\textbf{d.~~}0,975 
%\end{tabularx}
%\medskip 
Par symétrie par rapport à la droite d'équation $x=150$, on a $P(X\leqslant 100)=P(X\geqslant 200)$ donc $P(X\geqslant 100)=1-P(X\leqslant 100)=1-0,025=0,975$

Alors : $P(X\geqslant 100)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,975}}$ (réponse d.)

\item Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. 

On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans.

Ainsi E$(T) = 5$. Or E$(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ si $\lambda $ est le paramètre de cette loi. On en déduit $\lambda=\dfrac{1}{5}$

%La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à :
% 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,5 &\textbf{b.~~}$1 - \text{e}^{-1}$&\textbf{c.~~} $\text{e}^{-1}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{- 25}$ 
%\end{tabularx}
%\medskip 
Alors : $P(T\geqslant 5)=\mathrm{e}^{-\lambda \times 5}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-1}}}$ (réponse c.)

\item L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. 

Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. 

%Le nombre de clients à interroger est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 50& \textbf{b.~~}\np{2500} &
%\textbf{c.~~} 25 &\textbf{d.~~}625
%\end{tabularx}
%\medskip  
L'intervalle de confiance a pour longueur $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ si $n$ est la taille de l'échantillon.\\
On  déduit de $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,04$, que  $\sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}=\dfrac{200}{4}=50$ donc $n=50^2=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2500}}}$
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 6 points}}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: 

\[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

\smallskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  %Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$. 
Si $u_1=0$, on a $u_2=2u_1-1=-1$ puis $u_3=3u_2-1=-4$ et $u_4=4u_3-1=-16-1=-17$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_4=-17}}$.

\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. 
Complétons l'algorithme pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Pour $N$ allant de 1 à 12\\
\hspace{1cm} $U \gets (N+1)*U-1$\\ 
Fin Pour \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. 

Voici les valeurs obtenues. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,7$}&\multicolumn{1}{|c|}{Pour $u_1 = 0,8$}\\ \hline     
0,4						&       0,6 \\  
0,2						&0,8\\   
$- 0,2$					&2,2 \\  
$-2$						&       10\\    
$-13$					&       59\\   
$-92$					&       412 \\  
$-737$					&\np{3295}\\   
\np{-6634}			&   \np{29654} \\ 
\np{-66341}			&   \np{296539}\\   
\np{-729752}		&\np{3261928}\\   
\np{-8757025}		&   \np{39143135} \\  
\np{-113841326}	&   \np{508860754}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%  Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ? 
So $u_1=0,7$, il semble que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$ et si $u_1=0,8$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B} }

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : 

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(-1 - x)\text{e}^{1-x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.
Soit $F$, définie sur l'intervalle [0~;~1], par :  $F(x)=(-1 - x)\text{e}^{1-x}$.\\
$F$ est dérivable (produit et composée de fonctions dérivables) et $F'(x)=-\mathrm{e}^{1-x}+(-1-x)\times \left(-\mathrm{e}^{1-x}\right)=x\mathrm{e}^{1-x}=f(x)$ donc $F'=f$ :\\
$F$ est bien une primitive de $f$.

\item %En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$. 
$I_1=\int_0^1x\mathrm{e}^{1-x}\text{ d}x=F(1)-F(0)=-2+\mathrm{e}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}-2}}$.

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : 

\[I_{n+1} =  (n+1)I_{n} - 1.\] 

%Utiliser cette formule pour calculer $I_2$. 
On en déduit $I_2=2I_1-1=2\left(\mathrm{e}-2\right)-1=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}-5}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant  x^n \text{e}$. 
		Sur $[0~;~1]$, $1-x\leqslant 1$ donc, comme la fonction exponentielle est croissante, $\mathrm{e}^{1-x}\leqslant \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$ donc $0< \mathrm{e}^{1-x}\leqslant \mathrm{e}$. (puisque la fonction exponentielle est positive)\\
		En multipliant par $x^n$ supérieur ou égal à 0 sur $[0~;~1]$, on en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant x^n\mathrm{e}^{1-x}\leqslant x^n\mathrm{e}}}$.
		
		\item %Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$. 
		$\int_0^1 x^n\text{e}\text{ d}x=\mathrm{e}\int_0^1x^n$ (linéarité) $=\mathrm{e}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}}}$.
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$. 
		Par conservation de l'ordre :\\
		Pour tout $x\in[0~;~1],~0\leqslant x^n\mathrm{e}^{1-x}\leqslant x^n\mathrm{e}$, donc $\int_0^1 0\text{ d}x\leqslant \int_0^1x^n\mathrm{e}^{1-x}\text{ d}x\leqslant \int_0^1x^n\mathrm{e}\text{ d}x=\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant I_n\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}}}$.
		
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$. 
		$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\right)=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}

\medskip 

%Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1 
%
%2!$=2 \times 1$ 
%
%et si $n \geqslant 3$ : 
%$n$! $= n \times  (n-1) \times  \ldots  \times 1$ 
%
%On a ainsi par exemple 
%
%3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$! 
%
%4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$! 
%
%8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$! 
%
%Et, plus généralement : 
%
%\[(n+1)\text{!} = (n+1)  \times n\text{!}\]
%
%\smallskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : 

\[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} :\\
Pour $n=1$, $1\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_1=\left(u_1-\mathrm{e}+2\right)+I_1=u_1-\mathrm{e}+2+\mathrm{e}-2=u_1$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que, pour un rang $n$ quelconque, on a : $u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n$.\\
Alors : $u_{n+1}=(n+1)u_n-1=(n+1)[n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n]-1\\
=(n+1)\text{!}\left(u_1-\text{e}+2\right)+(n+1)I_n-1=(n+1)\text{!}\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_{n+1}$.\\
La propriété est donc \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}. 
\end{enumerate}

La propriété est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$ : 
d’après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a :

\[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] 

\item  On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$. 
		Si $u_1=0,7$, alors $u_1-\text{e}+2<0$ car $\text{e}\approx 2,718$.\\
		$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[(n+1)\text{!}\left(u_1-\text{e}+2\right)\right]=-\infty$ car $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n+1)!=-\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n+1}=0$ donc, par somme, \\
		$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty}}$.
		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$. 
		Cette fois, $u_1=0,8$ donc $u_1-\text{e}+2>0$ ; on en déduit cette fois que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[(n+1)\text{!}\left(u_1-\text{e}+2\right)\right]=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. 

Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points  d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.

Sur le graphique ci-dessous,  le point A a pour affixe 1. 

\bigskip

\textbf{Partie A: étude d'exemples}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Un premier exemple 

Dans cette question, on pose  $z = \text{i}$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. 
		$z=\mathrm{i}$ donc $z^2=\mathrm{i}^2=-1$ et $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$.
		
		\item %Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. 
On place $N_1$ et $P_1$.


On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Une équation}  

Résolvons dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ : $z^2 + z + 1 = 0$ :\\
$\Delta=-3<0$ donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :\\
$z_1=\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

\item Un deuxième exemple 

Dans cette question, on pose :  $z = - \dfrac{1}{2}
+ \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$. 
On remarque que $z = - \dfrac{1}{2}
+ \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{2\pi}{3} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}3}$.

Alors $z^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}3}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}3}$ et $\dfrac{1}{z}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}3}$.
		
		\item %Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
Plaçons les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.

On remarque que $N_2 = P_2$.
On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés. (en effet, $N_2= P_2$)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

Soit $z$ un nombre complexe non nul. 

On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Établir que, pour tout  nombre complexe différent de $0$, on a : 

%\[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\]
Pour tout $z\neq 0$, $z^2-\dfrac{1}{z}=z^2+z+1- z - 1 -\dfrac{1}{z} = z^2+z+1 - \left(z + 1 + \dfrac{1}{z} \right)= z^2+z+1- \dfrac{1}{z}\left(z^2 + z + 1\right) =\boxed{\textcolor{red}{\left(z^2+z+1\right)\left(1 - \dfrac{1}{z}\right)}}$.

\item 
%On rappelle que si, $\overrightarrow{U}$ est un vecteur non nul et $\overrightarrow{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\overrightarrow{U}}$ et   $z_{\overrightarrow{V}}$, les vecteurs  $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un  nombre réel $k$ tel que $z_{\overrightarrow{V}} = kz_{\overrightarrow{U}}$.
%
%En déduire que, pour $z \ne  0$,  les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel.
Pour $z\neq 0$, on a : $\overrightarrow{PN}$ a pour affixe $\left(z^2-\dfrac{1}{z}\right)$ et $\overrightarrow{PA}$ a pour affixe $\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.

$\overrightarrow{PN}$ est colinéaire à $\overrightarrow{PA}\iff \exists k\in\mathbb{R},~z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$ soit d’après le résultat précédent :

$\iff \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$

$\iff \left(z^2+z+1-k\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)=0$

$\iff z^2+z+1-k=0\text{ ou }1-\dfrac{1}{z}=0$

$\iff z^2+z+1=k\text{ ou } z = 1$.

Or, si $z=1$, $z^2+z+1=3\in\mathbb{R}$. Donc dans les deux cas $z^2+z+1 \in\mathbb{R}$.

On a donc montré que $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel.

\item On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.

% Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$. 
$z^2 + z + 1=(x+\mathrm{i}y)^2+x=\mathrm{i}y+1=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy+x+\mathrm{i}y+1=\boxed{\textcolor{red}{x^2+y^2+x+1+\mathrm{i}(2xy+y)}}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A,  $N$ et $P$ soient alignés. 
		A,  $N$ et $P$ soient alignés si, et seulement si, $z^2+z+1\in\mathbb{R}$.\\
		Or : $z^2+z+1\in\mathbb{R}\Leftrightarrow 2xy+y=0\Leftrightarrow y(2x+1)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=0\text{ ou }x=-\dfrac{1}{2}}}$.
		
		Les solutions appartiennent donc aux droites d’équations $\boxed{\textcolor{red}{y=0}}$
	 et $\boxed{\textcolor{red}{x=-\dfrac{1}{2}}}$.
		
		\item %Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe. 
		$z$ doit être non nul, donc l'ensemble cherché est l'axe des réels privé de l'origine et la droite d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} 
\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. 

Les points P, Q et R sont définis par : 

\[\overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}},\: \overrightarrow{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AE}} \: \text{et}\: \overrightarrow{\text{HR}} =  \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{HE}}.\] 

Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{k}\right)$ avec : 

\[\overrightarrow{\imath} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AB}},\: \overrightarrow{\jmath} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \overrightarrow{k} =\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AE}}.\] 

Dans ce repère, on a par exemple: 


\[\text{B}(6~;~0~;~0), \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\:\: \text{R}(0~;~4~;~6).\] }

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et $\Omega$. 
		On a $P(2~;~0~;~0)$~;~$Q(0~;~0~;~2)$ et $\Omega\left(3~;~3~;~3\right)$.
		
		\item %Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\overrightarrow{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan (PQR) . 
		$\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{PR}\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}$.
		
$\overrightarrow{n}$ est normal au plan (PQR) si, et seulement si, il est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$.\\
On doit avoir $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}=0$ et $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}=0$ donc :

$\begin{cases}-2+2c=0\\-2+4b+6c=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c=1\\b=-1\end{cases}$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$ sont $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}}}$

		\item %En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : $x - y+ z - 2 = 0$. 
Une équation du plan (PQR) est : $1\left(x-x_P\right)-1\left(y-y_P\right)+1\left(z-z_P\right)=0\Leftrightarrow x-2-y=z=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x-y+z-2=0}}$.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point $\Omega$, centre du cube.

%Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
Un vecteur directeur de $\Delta$ est donc $\overrightarrow{n}$.
		
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$.
		
		\item  %En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
Les coordonnées du point d'intersection I de $\Delta$ et du plan $(PQR)$ vérifient la représentation paramétrique et l'équation cartésienne du plan.

On doit donc avoir :
		
$\begin{cases}x=3+t\\y=3-t\\z=3+t\\x-y+z-2=0\end{cases}$.

On en déduit : $(3+t)-(3-t)+(3+t)-2=0\Leftrightarrow 3t+1=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}$.
		
On calcule alors les valeurs de $x$, $y$ et $z$.

Les coordonnées de I sont I$\left(3-\dfrac{1}{3}~;~3+\dfrac{1}{3}3-\dfrac{1}{3}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{I}\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)}}$.
		\item Avec $\Omega(3~;~3~;~3)$, on a 
		
$\Omega\text{I}^2 = \left(3 - \dfrac{8}{3} \right)^2 + \left(3 - \dfrac{10}{3} \right)^2 + \left(3 - \dfrac{8}{3} \right)^2 = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9}$, d'où $\Omega\text{I} = \sqrt{\dfrac{3}{9}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
	\end{enumerate}
	
\item  On considère les points J(6~;~4~;~0) et K(6~;~6~;~2). 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le point J appartient au plan (PQR). 
		$x_J-y_J+z_J-2=6-4+0-2=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{J\in(PQR)}}$.
		
		\item %Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles. 
		$\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{QR}\begin{pmatrix}O\\4\\4\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{QR}=2\overrightarrow{JK}$ ; ces deux vecteurs sont colinéaires donc les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
		
		\item Sur la figure donnée en annexe,  tracer la section du cube par le plan (PQR). 

On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40. 

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}} :

\medskip

\emph{Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$. 
On a $40=17+23$, somme de deux nombres premiers. (On a aussi $40 = 3 + 37 =  11 + 29$.)

\item On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. 

%Résoudre cette équation.
On a : $20\times (-17) + 19\times 20 = 40$.

L'équation s'écrit : $20x+19y=20\times (-17) + 19\times 20\Leftrightarrow 20(17+x)=19(20-y)$.

20 divise $20(17-x)$ ; 19 et 20 sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss,  20 divise $20 - y$ donc $20 - y = 20n$, $n\in\mathbb{Z}$, donc $y=20-20n$.

Alors $20(17+x)=19\times 20n$, d'où $17+x=19n$ donc $x=19n-17$, $n\in\mathbb{Z}$.

Réciproquement avec $k$ entier relatif  on a 

$20(19k - 17) + 19(20 - 20k) = 380k - 340 + 380 - 380k = 40$. 

Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(19n-17~;~20-20n), n\in\mathbb{Z}\}}}$.
\item Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ 
désignent deux entiers naturels.

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers. 
		$\boxed{\textcolor{red}{40=2^3\times 5}}$. (décomposition en produit de facteurs premiers)
		
		\item %Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la  même parité.
		$x+y=(x-y)+2y$ donc si $x-y$ est pair, $x+y$ aussi et si $x-y$ est impair, $2y$ est pair donc $x+y$ est impair.
		
Dans tous les cas $x + y$ et $x - y$ ont la même parité.
		
		\item %Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels. 
$x^2-y^2=40\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=2^3\times 5$.
		
Or $40 = 1 \times 40 = 2 \times 20 = 4 \times 10 = 5 \times 8$.

Le premier cas et le dernier sont impossibles pour des raisons de parité. On ne peut donc avoir pour la somme et la différence que 2 et 20 (ou inversement) et 4 et 10 (ou inversement).

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=&2\\
x - y&=&20
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 22 \iff x = 11$ puis $y = - 9$ ;

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=&20\\
x - y&=&2
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 22 \iff x = 11$ puis $y = 9$ ;

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=&4\\
x - y&=&10
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 14 \iff x = 7$ puis $y = - 3$ ;

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=&10\\
x - y&=&4
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 14 \iff x = 7$ puis $y = 3$.

Les couples solutions sont donc : $(11~;~-9) ; (11~;~9) ; (7~;~- 3) ; (7~;~3)$.

Mais les deux termes du couple doivent être des naturels donc les seuls couples solutions sont (11~;~9) et (7~;~3). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B} : \og sommes\fg{} de cubes}

\emph{Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.} 

\medskip

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. 

Par exemple : 

\[13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3\]

\[13 = - 1^3 -  1^3  - 1^3 + 2^3 + 2^3\]

\[13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3\]

Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier \og sommes\fg{} de cubes à la place de \og sommes ou différence de cubes d'entiers naturels \fg. 

Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en \og somme\fg{} de 4 cubes.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en \og somme \fg{} de 5 cubes. 
		$40=13+27$ donc $\boxed{\textcolor{red}{40=1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3+3^3}}$.
		
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : 

\[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] 

%En déduire une décomposition de $48$ en \og somme\fg{} de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en \og somme\fg{} de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.) 
On a $48=6\times 8=6n$ avec $n=8$, donc $\boxed{\textcolor{red}{48=9^3+7^3-8^3-8^3}}$
	\end{enumerate}
\item Le nombre 40 est une \og somme\fg{} de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. 

On veut savoir si 40 peut être décomposé en \og somme\fg de 3 cubes. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter sans justifier: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Reste de la division euclidienne de $n$ par 9 &  0&   1&   2&   3&   4&   5&   6&   7&   8\\ \hline   
Reste de la division euclidienne de $n^3$ par 9&0&1&8&0&1&8&0&1&8\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item  On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. 

%Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en \og somme\fg de 3 cubes. 
$40\equiv 4~[9]$ ; 4 ne peut pas être obtenu comme somme de trois nombres égaux soit à 1, à 0 ou $- 1$, donc 40 ne peut être la somme de trois cubes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}\end{flushleft}

\medskip
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
\psgrid[gridlabels=0]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.6,-1.4)(1.6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1}
\uput[d](.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){A}
\psdots(-1,0)(0,-1)
\uput[ul](-1,0){$N_1$}
\uput[dr](0,-1){$P_1$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-0.5,-2)(-0.5,2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-2,0)(2,0)
\psdots(-0.5,-0.866)
\uput[d](-0.5,-0.866){$N_2$}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4}\end{flushleft}

\medskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On place le point J(6~;~4~;~0).

\item On trace la parallèle à la droite (QR) passant par J. Elle coupe la droite (GC) en K.

\item On trace la parallèle à la droite (PJ) passant par R. Elle coupe la droite (HG) en S.

\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\psset{unit=1.3cm,linewidth=1.3pt}
\begin{pspicture}(7,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} 
\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
\psline[linecolor=red](2.1,0.5)(0.5,2.1)
\psline[linecolor=red](0.5,2.1)(1.3,6.1)
\psline[linecolor=red](6.1,1.3)(6.5,3.7)%JK?
\psline[linecolor=red](2.1,0.5)(6.1,1.3)
\uput[r](6.1,1.3){J}%J
\uput[r](6.5,3.7){K}%K
\uput[u](3.7,6.5){S}
\psline[linecolor=red](1.3,6.1)(3.7,6.5)
\psline[linecolor=red](3.7,6.5)(6.5,3.7)
\end{pspicture}
\end{center}


\label{fin}
\end{document} 