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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S Asie 
18 juin 2008~\decofourright }}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item On a la loi binomiale $X\hookrightarrow \mathcal{B}(8~;~0,1)$, de paramètres $n = 8$ et $p = 0,1$..
          \item $p(A) = p(X = 0) = \binom{8}{0}\times 0,1^0\times 0,9^8\approx 0,430 \approx 0,43$,  à $10^{-2}$ près.
          
$p(B)=p(X\geqslant 1)= 1 - p(X=0)=1-p(A)\approx 0,57$,  à $10^{-2}$ près.
          
$p(C) = p(X = 2)=\binom{8}{2}\times 0,1\times 0,9^6\approx 0,148 \approx 0,15$,  à $10^{-2}$ près.
        \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
           \item On a l'arbre de probabilités suivant :
           
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$0,1$}}
	  {
		  \TR{$E$}\taput{$0,2$}
		  \TR{$\overline{E}$}\tbput{$0,8$}	
	  }
	
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,9$}}
	  {
		  \TR{$E$}\taput{$1$}
		   %\TR{$\overline{E}$}\tbput{$0$}
	  }	
}
%\marginpar{Tous les stylos sans défaut sont acceptés}\\
\end{center}

\vspace{0,5cm}

           \item En utilisant les branches conduisant à $E$ et en utilisant  la formule des probabilités totales  :
           
$p(E)=p(D)\times p_D(E)+p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(E)= 0,1\times 0,2 + 0,8\times 1 = 0,92$.
           \item $p_E(D)=\dfrac{p(E\cap D)}{p(E)}=\dfrac{0,02}{0,92} = \dfrac{1}{46} \approx 0,0217 \approx 0,022$,  à $10^{-3}$ près.
         \end{enumerate}
  \item On a à nouveau une épreuve binomiale de paramètre $n = 8$ et $p = 1 - 0,022 = 0,978$.
  La probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos est :
  
  $\binom{8}{0}(0,978)^8 \times 0,022^1  = \approx 0,84$  à $10^{-2}$ près.
  
Conclusion : ce contrôle permet de presque doubler les chances d'avoir un lot de huit stylos sans défaut.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Le tableau de variations permet d'énoncer que
  la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$, croissante sur $\left] 0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right]$,  décroissante sur $\left[\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty \right[$ avec un extremum (maximum) en $\text{e}^{\frac{1}{2}}$ égal à $\dfrac{1}{2\text{e}}$.
  
Les démonstrations :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Variations.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty [$ comme fonction de fonctions dérivables le dénominateur  ne s'annulant pas. Sur cet intervalle on a  :

$f'(x) =\dfrac{\frac{1}{x}\times x^2 - 2 x \ln (x)}{x^4}= \dfrac{x - 2x\ln (x)}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$.

Comme $x^3 > 0$, le signe de cette dérivée est celui de $1 - 2\ln (x)$. On a \\
$1 - 2\ln (x) > 0 = \iff \ln (x) < \frac{1}{2} \iff x < \text{e}^{\frac{1}{2}}.$ De même :

$1 - 2\ln (x) < 0 = \iff \ln (x) > \frac{1}{2} \iff x > \text{e}^{\frac{1}{2}}.$

Donc la fonction $f$ est  croissante sur $\left] 0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right]$ et décroissante sur $\left[\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty \right[$.

$f$ a donc un maximum en $\text{e}^{\frac{1}{2}}$ et $f\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} \right) = \dfrac{\frac{1}{2}}{\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right)^2} = \dfrac{1}{2\text{e}}$.

\item Limites.

Limite en 0 : $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)= -\infty$.

Limite en $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}= 0$ (par croissance comparée).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty [$, donc son graphe a une tangente   en chacun de ses points $M(X~;~Y)$.

On a $M(X~;~Y) \in (T) \iff Y - f(x) = f'(x)(X - x) \iff Y - \dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} (X - x) \iff Y = \dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} (X - x)$.

Donc $X = 0$ entra\^{\i}ne $Y = \dfrac{-1 + 2\ln x}{x^2} + \dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{-1 + 3\ln x}{x^2}$.

Donc $Y = 0  \iff -1 + 3\ln x = 0 \iff \ln x = \dfrac{1}{3} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{3}}$.

Il existe donc une tangente à $\mathcal{C}$ contenant O : c'est la tangente au point d'abscisse $x = \text{e}^{\frac{1}{3}}$ et l'équation de cette tangente est :
\[Y = \dfrac{1}{3\text{e}}X.\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
 	          \item $g$ est définie par $g(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)\:\text{d}t$, alors c'est la primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ qui s'annule en $1 : f$ est donc  la dérivée de $g$ sur $]0~;~+\infty [$.
 	          \item Il en résulte que le signe de $g'(x)$ est celui de $f(x)$ ou encore celui de $\ln (x)$ puisque $x^2 > 0$.
	          
La fonction  $g$ est  décroissante sur $]0~;~1]$ et  sur $[1~;~+\infty [$.

 $g(1) = 0$ est donc le  minimum de $g$ sur $]0~;~+\infty [$.
         \end{enumerate}
\item La fonction $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[1~;~3]$, alors $g(3)=\displaystyle\int_1^3f(t)\mathrm{d}t$ est donc égale à l'aire, en unités d'aire, de la surface limitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

De même       $g\left(\frac{1}{2}\right) =\displaystyle\int_1^{\frac{1}{2}}f(t)\:\text{d}t = - \int_{\frac{1}{2}}^1 f(t)\:\text{d}t =\int_{\frac12}^1(-f(t))\:\text{d}t$.
On a vu que sur l'intervalle d'intégration la fonction $f$ est négative donc $- f$ est positive et  $g\left(\frac{1}{2}\right)$ est égale à l'aire, en unités d'aire, de la surface  limitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses,  et les droites d'équations $x=\frac{1}{2}$ et $x = 1$.
  \item \begin{enumerate}
          \item On pose :
          
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
u(t) & = & \ln (t)\\
v'(t) & = & \dfrac{1}{t^2}
\end{array}\right.  \quad \left\lbrace\begin{array}{lcl}
u'(t) & = & \dfrac{1}{t}\\
v(t) & = & -\dfrac{1}{t}
\end{array}\right. $

Toutes ces fonctions sont dérivables, donc continues : on peut donc intégrer par parties et

$g(x)=\left[ -\dfrac{\ln (t)}{t}\right]_1^x + \displaystyle\int_1^x\left(\dfrac{1}{t^2}\right)\text{d}t=\left[- \dfrac{\ln t + 1}{t}\right]_1^x = - \dfrac{\ln x + 1}{x} + \dfrac{\ln 1 + 1}{1} = 1 - \dfrac{\ln x + 1}{x}.$
          \item On a $ g(x) = 1 - \dfrac{\ln x}{x}  - \dfrac{1}{x}.$ La limite des deux derniers termes est clairement nulle, donc :
          \[\lim_{x \to + \infty} g(x) = 1.\]
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	     \item $u_1=\left(1+\dfrac{2}{1}\right)u_0+\dfrac{6}{1}=3\times 5 + 6 = 21.$
	     \item On obtient : $d_{1} = u_{1} - u_{0} = 16, {}d_{2} = u_{2} - u_{1} = 24$, puis $d_{3} = 32,{} d_{4} = 40, {} d_{5} = 48$.
	     
On peut donc conjecturer que la suite $\left( d_n\right) _{n\in\N}$ est arithmétique de raison 8 et de premier terme $16$.
    \end{enumerate}
\item Soit $\left( v_n\right) _{n\in\N}$  la suite  arithmétique de raison 8 et de premier terme $v_0 = 16$.

On sait que, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = 16 + 8n =8(n+2)$.

La somme $S_{n}$ des  $n$ premiers termes est :$S_{n} = v_0+v_1+\cdots +v_{n-1}= n\times v_0 + 8 + 2 \times 8 + \cdots + (n - 1) \times 8 = 16 n + 8 \times \dfrac{n(n-1)}{2} = 16n + 4n(n - 1)  = 4n^2 + 12n$.
\item Démonstration par récurrence :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation} : $u_{0} = 5$ : la relation est vraie au rang $0$.
\item \emph{Hérédité} :  soit  $n \in \N$ et supposons que $u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

Alors $u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)u_{n} + \dfrac{6}{n+1}  =  \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left(4n^2 + 12n + 5\right) + \dfrac{6}{n+1}$.
 
Or $4n^2 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 - 8n - 4 + 12n + 5 = 4(n+1)^2 + 4n + 1 =$

$ 4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3$. En reportant dans $u_{n+1}$ au dessus, on obtient :

$u_{n+1} = \left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)\left[4(n+1)^2 + 4(n + 1) - 3  \right] +  \dfrac{6}{n+1} =$

$4(n+1)^2 + 4(n+1) - 3 + 8(n+1) + 8 -  \dfrac{6}{n+1}+  \dfrac{6}{n+1} = 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5.$

La relation est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : on vient de démontrer par récurrence que, quel que soit $n \in \N,$ 
 $u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

\item Soit $n\in\N$,\quad d'après les questions précédentes, on déduit que : $d_n = u_{n+1}- u_n= 4(n+1)^2 + 12(n+1) + 5 - \left(4n^2 + 12n + 5 \right) = 4n^2 + 8n + 4 +  12n + 12 - 4n^2 - 12n - 5 = 8n + 16 = v_{n}$.

Conclusion : la suite  $\left( d_n\right) _{n\in\N}$ est arithmétique de raison 8 et de premier terme $d_0=16$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par définition de l'expression complexe de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$  : $z'=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z$.\\
Donc, en particulier  :\quad $z_{\text{B}} =\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z_{\text{A}}=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\pi}= -1$

De même : $z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\times \text{e}^{\text{i}\pi}= \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{3}}=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}=\overline{z_{\text{A}}}$

Donc  A et C sont symétriques autour de l'axe des réels.
  \item \begin{enumerate}
          \item $\left|z_{\text{A}}\right| =\left|z_{\text{B}}\right| =\left|z_{\text{C}}\right| = 1$, donc  : OA = OB = OC = 1.  Les trois points A, B et C sont à la distance $1$ du point O : ils appartiennent au cercle de centre O  $(\mathcal{C})$  circonscrit au triangle ABC.
          
Construction : on dessine le cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ et le cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1 ; ces deux cercles sont sécants en A et C, le point A étant celui qui a une ordonnée positive. B est le point d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec le demi-axe contenant les points d'affixes   négatives.

          \item On a $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = 0$, autrement dit O est l'isobarycentre des points A, B et C, donc le centre de gravité du triangle (ABC). Ce triangle est isocèle en B. De plus $\dfrac{z_{\text{C}}- z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}- z_{\text{A}}} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{3}}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}{- 1- \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\times\left(\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}- 1 \right) }{\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}-1}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$
          
Le  module de ce complexe est égal à 1, donc AB = AC et en conclusion le triangle (ABC) est équilatéral.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Cf. figure.
          \item Le  triangle PQR homothétique de ABC est semblable à ce triangle, donc lui aussi équilatéral.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item L'écriture complexe de $h$ est : 
\[z' = -2z.\]
          \item $z_{\text{A}}+ z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = 0$  est l'affixe du vecteur $\vect{\text{OA}}+\vect{\text{OB}}+\vect{\text{OC}}$.
          
O est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC, il en est aussi le centre de gravité (isobarycentre des points A, B et C), alors $\vect{\text{OA}}+\vect{\text{OB}}+\vect{\text{OC}}=\vec{0}$.

Par conséquent : $z_{\text{A}}+ z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = 0 \iff z_{\text{A}} = - z_{\text{B}} - z_{\text{C}} \iff z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}\left(- 2z_{\text{B}} - 2z_{\text{C}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(z_{\text{Q}} + z_{\text{R}} \right)$.

Cette égalité signifie que   A est le  milieu du segment [QR].
          \item Par définition de l'homothétie P, O et A sont alignés. La droite (PA) médiane du triangle équilatéral (PQR) est aussi hauteur  ; donc (OA) est perpendiculaire à la droite (QR).
          
Conclusion : cette droite (QR) est la tangente en A au cercle $\mathcal{C}$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.25,-2.25)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-2.25)(2.75,2.25)
\uput[u](0.5,0.866){A} \uput[dl](-1,0){B} \uput[u](-0.71,0.71){\blue $\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,-0.866){C}\uput[dr](2,0){Q}\uput[u](-1,1.732){ R}\uput[d](-1,-1.732){P}
\pscircle[linecolor=blue](0,0){1}
\pscircle[linestyle=dotted,dotsep=3pt,linecolor=blue](1,0){1} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](-1,1.732)(2,0)(-1,-1.732)(-1,1.732)
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](-1,0)(0.5,0.866)(0.5,-0.866)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](-1,1.732)(0.5,-0.866)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](-1,-1.732)(0.5,0.866)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  L'écriture complexe  de $s_{1}$ est $z' = a\overline{z} + b$ avec $a \in \R,~a \neq 0,~b \in \R.$
		
Les deux points A et B sont invariants par $s_{1}$ ce qui se traduit par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2 + \text{i} &=& a(2 - \text{i}) + b\\
5 + 2\text{i}&=&a(5 - 2\text{i}) + b\\
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence})\quad  3 + \text{i} = a(3 - \text{i}) \iff a = \dfrac{3 + \text{i}}{3 - \text{i}} \iff a = \dfrac{(3 + \text{i})^2}{(3 + \text{i})(3 - \text{i})} = \dfrac{8 + 6\text{i}}{10} = \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}$.
		
En reportant dans la première équation : $b = 2 + \text{i} - (2 - \text{i})\left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}  \right)  = $

$2 +  \text{i} - \dfrac{8}{5} - \dfrac{3}{5} - \dfrac{6}{5}\text{i} + \dfrac{4}{5}\text{i} = - \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}$. 

		\item   On a $z_{\text{C}'} = \left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}  \right)\times (- \text{i}) + - \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}\text{i}.$
		\item   Soit $M(x~;~y)$ un point du plan avec $x \in \R,~y \in \R$. On a $z = x + \text{i}y$ et \\$z' = \left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}  \right)(x - \text{i}y) - \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}$.
		
Ce nombre est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle soit
		
$\dfrac{4}{5}x - \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}y = 0 \iff 4x - 1 + 3y = 0 \iff 4x + 3y = 1$.

L'ensemble des points $M$ tels que $z'$ est imaginaire pur est donc la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $4x + 3y = 1$.
		\item C$'\left( \dfrac{2}{5} ~;~ -\dfrac{1}{5} \right)\in \mathcal{D} \iff 4 \times \left(\dfrac{2}{5} \right) + 3 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) = 1 \iff \dfrac{8 - 3}{5} = 1$ qui est vraie.
		
Le point C$'$ appartient donc à la droite $(\mathcal{D})$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Équation cartésienne de la droite (AB) : $M (x~;~ y) \in (\text{AB}) \iff y = \alpha x + \beta$  ; en particulier :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
		1&=&2\alpha + \beta\\
		2&=&5\alpha + \beta\\
		\end{array}\right. \Rightarrow 1 = 3\alpha \iff \alpha = \dfrac{1}{3}$ ; d'où $\beta = 1 - 2\alpha = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.
		
$M (x~;~y) \in (\text{AB}) \iff y = \dfrac{1}{3} x + \dfrac{1}{3}$.$M (x~;~ y) \in (\mathcal{D}) \iff 4x + 3y = 1$.

Donc un point $\Omega$ est commun aux deux droites si et seulement si $4x + 3\left( \dfrac{1}{3} x + \dfrac{1}{3} \right) = 1	\iff 4x + x + 1 = 1 \iff 5x = 0 \iff x = 0$, d'où $y = \dfrac{1}{3}.$
L'affixe de $\Omega$ est donc $\omega = \dfrac{1}{3}\text{i}$.	

		\item Les symétries axiales $s_{1}$ et $s_{2}$ sont des similitudes indirectes de rapport $1$. Leur composée est une similitude directe dont le rapport est le produit des rapports des deux similitudes, donc égal à $1$. 

Plus précisement si $z' = a\overline{z} + b,~|a| = 1$ est l'écriture complexe de $s_{1}$ et si $z' = c\overline{z} + d,~|c| = 1$ est l'écriture complexe de $s_{2}$, alors si $M(z)$ a pour image $M'(z')$ par $s_{1}$ et $M''(z'')$ est l'image de $M'$ par $s_{2}$, on a : 

$\begin{array}{l c l}
z''	&=&c\overline{z'} + d \\
	&=&c\overline{\left(a\overline{z} + b\right)} + d\\
	&=&c\left(\overline{a}z + \overline{b} \right) + d\\
	&=&\overline{a}cz + \overline{b}c + d
\end{array}$

qui est l'écriture complexe d'une similitude directe, car $\left|\overline{a}c\right| = \left|\overline{a}\right| \times |c| =$

$|a| \times |c| = 1$, d'après les hypothèses.
		\item L'image de C par $s_{1}$ est C$'$ et comme on vient de démontrer que  C$'$ appartient donc à la droite $(\mathcal{D})$ il est invariant par $s_{2}$.\\
		Conclusion : $f(\text{C}) = \text{C}'$.
		
		$\Omega$ appartient à (AB), donc $s_{1}(\Omega) = \Omega$, mais $\Omega$ appartient aussi à $\mathcal{D}$, donc 
		
$s_{2}(\Omega) = \Omega$.
		
Conclusion $f(\Omega) = \Omega$.

		\item $f$ est une similitude directe de rapport 1. Ce n'est ni l'identité, ni une translation c'est donc  une rotation de centre $\Omega$ puisque ce point est invariant par $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le couple $(1~;~-1)$ est solution évidente de l'équation ($4 \times 1 + 3 \times (-1) = 1 \quad (1)$).
		
Si $(x~;~y)$ est une solution de l'équation on a $4x + 3y = 1 \quad (2)$ ;  on a donc par différence (2) - (1) $4(x - 1) + 3(y + 1) = 0 \iff 4(x - 1)   = - 3(y + 1) \quad (3)$.

$4$ divise donc $- 3(y + 1)$, mais comme il est premier avec $-3$ il divise $y + 1$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $y + 1 = 4k \iff y = -1 + 4k$.

En remplaçant dans (3), $4(x - 1) = - 3 \times 4k \iff x - 1 = -3k \iff x = 1 - 3k.$

Les solutions de l'équation $4x + 3y = 1$ sont tous les couples de la forme $(1- 3k~;~-1 + 4k )$ avec $k \in \Z$. 
Inversement $4(1 - 3k) + 3(-1 - 4k) = 4 - 12k - 3 - 12k = 1$ montre qu'un couple de la forme $(1- 3k~;~-1 + 4k )$ est solution de l'équation proposée.
		\item  Les points de $(\mathcal{D})$ à coordonnées entières sont donc les points de coordonnées \\$(1- 3k~;~-1 + 4k ),{} k \in \Z$.
Les points $M$ situé à moins de $9$ de O sont tels que \\O$M < 9 \iff \text{O}M^2 < 81 \iff x^2 + y^2 < 81 \iff (1 - 3k)^2 + (-1 + 4k)^2 < 81 \iff 1 + 9k^2 - 6k + 1 + 16k^2 - 8k < 81 \iff 25k^2 - 14k - 79 < 0 \iff k^2 - \dfrac{14}{25}k - \dfrac{79}{25} < 0 \iff$

$  \left(k - \dfrac{7}{25}\right)^2 - \dfrac{49}{625} - \dfrac{79}{25} < 0 \iff \left(k - \dfrac{7}{25}\right)^2 - \dfrac{2024}{625} < 0 \iff$

$ \left(k - \dfrac{7}{25} + \dfrac{\sqrt{2024}}{25}\right)\left(k - \dfrac{7}{25} - \dfrac{\sqrt{2024}}{25}\right) < 0.$

Le trinôme est positif sauf entre les racines $\dfrac{7}{25} - \dfrac{\sqrt{2024}}{25}\approx -1,51$ et 

$\dfrac{7}{25} + \dfrac{\sqrt{2024}}{25} \approx 2,07$.

Les entiers $k$ solutions sont donc : $-1~;~0~;~1~;~2$.
Les  quatre points de $(\mathcal{D})$ à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9 sont E$(4~;~-5)$, F$(1~;~-1)$, G$(-2~;~3)$, 
H$(-5~;~7)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}