%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Liban juin 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand\footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban juin 2008 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

%Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
%Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
%Les boules sont indiscernables au toucher.
  
\medskip
  
\textbf{Partie A}

\medskip

%Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois :\\
% s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A,\\
%  sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
\begin{enumerate}
\item  On a l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{$\frac{1}{6}$}}
		{
\TR{R}\taput{$\frac{4}{10}$}
\TR{N}\tbput{$\frac{6}{10}$}
 		}
	\pstree{\TR{B}\tbput{$\frac{5}{6}$}}
		{
\TR{R}\taput{$\frac{1}{10}$}
\TR{N}\tbput{$\frac{9}{10}$}
 		}
}		
\end{center}
		 
		 \bigskip
		 
On a donc $p(\text{R}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{10}  +  \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{10}  = \dfrac{4}{60} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20} = \dfrac{15}{100} = 0,15$.
%Soit R l'évènement \og le joueur obtient une boule rouge \fg. \\Montrer que $p(\text{R}) = 0,15$.
\item  Il faut comparer $p_{\text{R}}(\text{A})$ et $p_{\text{R}}(\text{B})$.\\
$p_{\text{R}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{R})}{p(\text{R})} = \dfrac{\frac{1}{6} \times \frac{4}{10}}{\frac{3}{20}} = \dfrac{4}{60} \times \dfrac{20}{3} = \dfrac{4}{9}.$ \\
$p_{\text{R}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{B} \cap \text{R})}{p(\text{R})} = \dfrac{\frac{5}{6} \times \frac{1}{10}}{\frac{3}{20}} = \dfrac{\frac{5}{60}}{\frac{3}{20}} = \dfrac{5}{60} \times \dfrac{20}{3} = \dfrac{5}{9}$.\\
On a donc $p_{\text{R}}(\text{A}) < p_{\text{R}}(\text{B})$.
% Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
%Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).\\
%Soit $x$ un entier naturel non nul.\\
%Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.\\
%On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs $2x, x - 2$ et $- 4$.
\begin{enumerate}
\item La probabilité d'avoir deux boules rouges est égale à : $0,15^2 = \nombre{0,0225}$.

La probabilité d'avoir une rouge et une noire est : $2 \times 0,15 \times (1 - 0,15) = 0,255$.

La probabilité d'avoir deux noires est : $0,85^2 = \nombre{0,7225}.$\\
Le tableau de la loi de probabilité de G est donc ;\\

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
G&$2x$&$x - 2$&$-4$\\ \hline
$p(\text{G}) = g_{i}$&\nombre{0,0225}&$0,255$&$\nombre{0,7225}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Déterminer la loi de probabilité de G.
\item  E(G) = $2x \times \nombre{0,0225} + 0,255(x - 2) +  \nombre{0,7225} \times (- 4) = 0,3x - 3,4$.
%Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de $x$.
\item  E(G) $\geqslant 0 \iff 0,,x - 3,4 \geqslant 0 \iff 0,3x \geqslant 3,4 \iff x \geqslant \dfrac{3,4}{0,3} \approx 11,333$.\\
Il faut donc que le gain soit au moins de 12 \euro ( car $x \in \N$). 
%Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on E(G) $\geqslant  0$ ?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques}\\
%Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.\\

\medskip

\textbf{Partie A}\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère  orthonormal direct \Ouv.
\begin{enumerate}
\item  $z^{100}$ a un argument égal à $\dfrac{100\pi }{3}$ ou encore $\dfrac{96\pi }{3} + \dfrac{4\pi }{3} = 32\pi + \dfrac{4\pi }{3} = 16 \times 32\pi + \dfrac{4\pi }{3}$ soir encore un argument de $\dfrac{4\pi }{3}$. Ce nombre n'est donc pas un réel.\\
%Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$.\\
\textbf{Proposition 1} : « $z^{100}$ est un nombre réel ». Faux 
\item  Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$.\\
$\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1 \iff \dfrac{|z|}{|1 - z|} = 1 \iff $ O$M$ = A$M$ si A est le point d'affixe $1$. L'ensemble (E) est donc l'ensemble des points équidistants de O et de A : c'est la médiatrice de [OA] et comme les deux points appartiennent à l'axe des abscisses, cette médiatrice est parallèle à l'axe des ordonnées.\\
\textbf{Proposition 2} : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ». Faux
\item  
%Soit $r$ la rotation d'angle $ - \dfrac{\pi }{2}$
% et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$\\
Si O$'$ est l'image de O par $r$, on a $z_{\text{O}'} - \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right) = \text{e}^{- \frac{\pi }{2}}\left[z_{\text{O}} -   \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\right] \iff z_{\text{O}'} = 1 + \text{i}\sqrt{3} - \text{i}\left(-1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = 1 + \text{i}\sqrt{3} + \text{i} - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left( 1 +  \sqrt{3}\right)$.\\
\textbf{Proposition 3} : « l'image du point O par la rotation $r$ a pour affixe \\$\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \text{i}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$ ». Vrai
\item  $z^2  + 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0 \iff \left[z + \cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) \right]^2 - \cos ^2 \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) + 1 = 0 \iff\\ \left[z + \cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) \right]^2 + \sin ^2\left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) = 0\iff \left[z + \cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) \right]^2 = \text{i}^2 \sin ^2\left( {\dfrac{\pi }{5}} \right).$\\
Cette équation a deux solutions : $- \cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) + \text{i}\sin \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)$ et $- \cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right) - \text{i}\sin \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)$  qui ont toutes deux un module égale à $1$.\\
% On considère l'équation (E) suivante : $z^2  + 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0$.\\
\textbf{Proposition 4} : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à $1$ ». Vrai
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
En prenant comme repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DH}}\right)$, on a A(1 ; 0 , 0),\\ G(0 ; 1 ; 1), donc $\vect{\text{AG}}(-1~;~1~;~1)$ ; \\
$\vect{\text{DB}}(1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{DE}}(1~;~0~;~1)$.\\
Or $\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{DB}} =  = - 1 + 1 + 0 = 0$ et 
$\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{DE}} =  = - 1 + 0 + 1 = 0$.\\
Le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) : il est donc normal à ce plan. \\
%On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.

\textbf{Proposition 5} : « le vecteur $\vect{\text{AG}}$
 est normal au plan (BDE) ». Vrai.
 
\medskip

\textbf{Proposition 6} : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ». Faux

On peut calculer le produit scalaire $\vect{\text{EB}} \cdot \vect{\text{ED}}$ et montrer qu'il n'est pas nul (en fait égal à $1$.

Le plus simple est de dire que [EB], [ED] et [BD] sont des diagonales de carrés de même côté : le triangle EBD est équilatéral et les droites  (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psframe(3.8,3.8)
\psline(3.8,0)(5.8,1.9)(5.8,5.8)(1.9,5.8)(0,3.8)%BCDGHE
\psline(5.8,5.8)(3.8,3.8)%GF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,1.9)(1.9,5.8)
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.9)(5.8,1.9)
\uput[l](0,0){A}\uput[r](3.8,0){B}\uput[r](5.8,1.9){C}\uput[ul](1.9,1.9){D}
\uput[l](0,3.8){E}\uput[r](3.8,3.8){F}\uput[ur](5.8,5.8){G}\uput[ul](1.9,5.8){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\\
\textbf{Candidats ayant  choisi la spécialité mathématiques}\\
Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

\begin{enumerate}
\item On vérifie que le point $\Omega$ d'affixe $-2 - 2\text{i}$ est invariant par cette transformation. On a donc :\\
$\left\{\begin{array}{l c l}
z' &= &  \dfrac{3}{2}( {1 - \text{i}} )z + 4 - 2\text{i}\\
-2 - 2\text{i}&=&\dfrac{3}{2} ({1 - \text{i}} )(-2 - 2\text{i}) + 4 - 2\text{i}\\
\end{array}\right.$
d'où par différence $z' - (-2 - 2\text{i}) = \dfrac{3}{2}( {1 - \text{i}} )[z - (-2 - 2\text{i})]$.\\
Or $1 - \text{i} = \sqrt{2}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) =  \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}.$\\
Donc $z' - (-2 - 2\text{i}) = \dfrac{3}{2}\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}[z - (-2 - 2\text{i})].$\\
On voit que l'image est obtenue en composant (dans n'importe quel ordre) l'homothétie de rapport $3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
 et de centre le point $\Omega$ d'affixe $ - 2 - 2\text{i}$ avec la rotation de centre $\Omega $
 et d'angle $ - \dfrac{\pi }{4}$.\\
%Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}, on considère la similitude directe $f$ d'écriture complexe \[z \mapsto \dfrac{3}{2}\left( {1 - \text{i}} \right)z + 4 - 2\text{i}.\]
\textbf{Proposition 1} : « $f = r \circ h$
 où $h$ est l'homothétie de rapport $3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
 et de centre le point $\Omega$ d'affixe $ - 2 - 2\text{i}$
 et où $r$ est la rotation de centre $\Omega $
 et d'angle $ - \dfrac{\pi }{4}$ ». Vrai
\item  Pour $n = 1,~5^7 + 2^4 = \nombre{78141}$ qui n'est pas multiple de $5$.\\
%Pour tout entier naturel $n$ non nul : \\
\textbf{Proposition 2} : « $5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1}$
 est divisible par $5$ ». Fausse \\
 On a  $5^6 =  \nombre{15625} \equiv 1\quad [7]$, donc $5^{6n
} \equiv 1 \quad [7]$ et $5^{6n} \times 5 \equiv 5 \quad [7]$.
$2^3 \equiv 1 \quad [7]$, donc $2^{3n} \equiv 1 \quad [7]$ et $2^{3n}\times 2 \equiv 2 \quad [7]$. D'où en ajoutant : \\
$5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1} \equiv 5 + 2 \quad [7]$ ou encore $5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1} \equiv 0\quad [7]$.\\
\textbf{Proposition 3} : « $5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1}$ 
 est divisible par $7$ ». Vrai
\item  On a $11 \times 14 - 5 \times 28 = 14$, donc le point de coordonnées (14 ; 28) est un point solution. Par différence avec l'équation à résoudre, on obtient : 

$11(x - 14) - 5(y - 28) = 0 \iff 11(x - 14) = 5(y - 28)$. Comme $5$ divise $11(x - 14)$ et est premier avec $11$, il divise $(x - 14)$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x - 14 = 5k \iff x = 5k + 14$ et en remplaçant dans l'équation initiale $y = 11k + 28$.%
% (Dans le plan muni d'un repère, (D) est la droite d'équation $11x - 5y = 14$.\\
%\textbf{Proposition 4} : « les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées $\left( {5k + 14\;;\;11k + 28} \right)$
%où $k \in \Z$.
\item  
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.\\
%\parbox[b]{0.6\textwidth}{La surface $\Sigma $  ci-contre a pour équation \\$z = x^2  + y^2$.\vspace{2cm}} \hfill
%\parbox{0.35\textwidth}{}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,4)
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3.5) \psline{->}(0,0)(2,0)\psline{->}(0,0)(-2,-1)\psline{->}(0,3.5)(0,4)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(-0.8,-0.4)
%\psplot{-1.15}{1.15}{x 2 exp 2.7 mul}
%\psellipse(0,3.5)(1.15,0.35)
%\uput[d](0,0){O} \uput[u](-0.8,-0.4){$\vect{\imath}$}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
%\end{pspicture}
%\\
La section a pour équation $x = \lambda$ et $z = y^2 + \lambda$ qui est l'équation d'une parabole.\\
\textbf{Proposition 5} : « la section de la surface $\Sigma $
 et du plan d'équation $x = \lambda $, où $\lambda $
 est un réel, est une hyperbole ». Faux \\
\textbf{Proposition 6} : « le plan d'équation $z = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}$  partage le solide délimité par $\Sigma $
 et le plan d'équation $z = 9$ en deux solides de même volume ». Vrai\\
On a $S(k) = \pi r^2 = \pi\left(\sqrt{k} \right)^2 = \pi k$.\\
$V_{1} = \displaystyle\int_{0}^{9\frac{\sqrt{2}}{2}} \pi k\:\text{dk} = \left[ \dfrac{\pi k^2}{2} \right]_{0}^{9\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{81\pi}{4}$.\\
De même $V_{2} = \displaystyle\int_{9\frac{\sqrt{2}}{2}}^{9} \pi k\:\text{dk} = \left[ \dfrac{\pi k^2}{2} \right]_{9\frac{\sqrt{2}}{2}}^{9} = \dfrac{81\pi}{2} - \dfrac{81\pi}{4} = \dfrac{81\pi}{4}.$
%\medskip

% \emph{Rappel : Soit $V$ le volume du solide délimité par $\Sigma $  et les plans d'équations $z = a$ et $z = b$ où $0 \leqslant  a \leqslant  b \leqslant  9$.}\\
%\emph{$V$ est donné par la formule} $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(k )\: \text{d}k$
% \emph{où $S(k)$ est l'aire de la section du solide par le plan d'équation $z=k$ où $k \in \left[ {a,\;b} \right]$.}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}\\

\medskip

%\textbf{Partie A. Démonstration de cours}\\
%Prérequis : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.\\
%«  \emph{une suite tend vers $ + \infty $
% si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A} ».\\
%Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.\\

%\medskip

\textbf{Partie B}\\
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[ {0\;;\; + \infty } \right[$
% par 
% \[f\left( x \right) = \ln (x + 1) + \dfrac{1}{2}x^2.\]
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
\begin{enumerate}
\item  
%Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ {0\;;\; + \infty } \right[$.
La fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions composées de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ et $f'(x) = \dfrac{1}{1+x} + x \geqslant 1 > 0$.\\
La fonction $f$ est donc croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item
%  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.
On a $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$, donc l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y - 0 = 1(x - 0) \iff y = x$.

\item  %Tracer la droite (T) sur le graphique.
Cf. dessin
%Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle $\left] {0\;;\; + \infty } \right[$
%, la courbe $(\mathcal{C})$ est située au dessus de la droite (T).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}\\
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $u_{0} = 1$, et pour tout entier naturel $n,{} u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).$

\begin{enumerate}
\item 
%Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).
En se servant de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite d'équation $y = x$, on obtient à partir de $u_{0} = 1$ :\\

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,plotpoints=200,
       dash=4pt 4pt,linewidth=1.5pt,dotsep=4pt}

\begin{pspicture}(5,5)
\multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.00000+0.16666}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000]{0}{2.6}{x 1 add ln 0.5 x dup mul mul add} 
\SpecialCoor
\psplot[linecolor=blue]{0.001}{2.4}{x 1 add ln  x 2 exp 2 div add} 
\psline(0,0)(4,4)\uput[r](2.5,4.4){$(\mathcal{C})$} \rput{45}(3.65,3.8){$y = x$} 
\def\x{1} 
  \psline[linestyle=dashed](\x,0)(\x,\x) 
  \pscustom[linewidth=1.2pt,arrowscale=1.5]{%
   \code{/x 1 def
         /y  x 1 add ln  x 2 exp 2 div add def 
            }
   \multido{\i=1+1}{4}
	{
      \moveto(!x y)
      \psline{->}(!x x)(!x y)\closepath
      \psline{->}(!x y)(!y y)\closepath\stroke
%% Here I want draw (with style dashed) vertical \psline
      \code{/x y def
            /y x 1 add ln  x 2 exp 2 div add def 
               }
      \code{[ 4 4 ] 0 setdash x 0 moveto}
      \psline(!x 0)(!x x)\closepath
      \code{ stroke  [ 1 0 ] 0 setdash}
    	}
}
 \uput[d](1,0.05){$u_{0}$}
 \uput[d](1.19315,0.05){$u_{1}$}
\uput[d](1.49714,0.05){$u_{2}$}
\uput[d](2.0386,0.05){$u_{3}$}
\uput[d](3.18286,0.05){$u_{4}$}
\end{pspicture} 

\bigskip

\item  Ce cheminement suggère que la suite est croissante et qu'elle n'est pas bornée.
%À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$
% et son comportement lorsque n tend vers $ + \infty $
% ?
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Soit la proposition $P_{n}{}: {} u_n  \geqslant 1$.\\
		Initialisation : on a $u_{0} = 1 \geqslant 1$ : vraie.\\
		Hérédité : soit un naturel $p$ tel que $u_{p} \geqslant 1$ ; la fonction $f$ est croissante donc $f\left(u_{p} \right) \geqslant f(1) \iff u_{p+1} \geqslant 1$, car $f(1) = \ln (1 + 1) + \dfrac{1}{2}\approx 0,69 + 0,5 > 1$.\\
		Conclusion : quel que soit $n \in \N,{}u_{n} \geqslant 1$.
		%  Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel $n,{}u_n  \geqslant 1$.
		\item On démontre de même par récurrence que la suite $\left( {u_n } \right)$
 est croissante, car $u_{p} \leqslant u_{p+1} \Rightarrow f\left( u_{p}\right) \leqslant f\left(u_{p+1} \right) \iff u_{p+1} \leqslant u_{p+2}$ par croissance de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$, car d'après la question précédente tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle. 
 % Montrer que la suite $\left( {u_n } \right)$
% est croissante.
		\item  Supposons que $\left( {u_n } \right)$ soit majorée ; majorée, croissante elle a pour limite un réel $\ell$.
		
		De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$, on en déduit par limite à l'infini et par continuité de la fonction $f$ :
		
		\[\ell = f(\ell)\]
		avec $\ell \geqslant 1$, puisque $u_{n}\geqslant 1$. Or il est admis que, pour tout $x > 0,~f(x) > x$ ce qui contredit l'égalité $f(\ell) = \ell$.
		
Conclusion : l'hypothèse de départ est fausse : la suite n'est pas majorée.
%		Montrer que la suite $\left(u_n\right)$
% n'est pas majorée.
		\item  La suite est croissante et non majorée : elle diverge en $+ \infty$.
%		En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\\
%On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$.\\
%On donne le tableau de ses variations :
% 
% \begin{center}
% \begin{pspicture}(8,3)
%\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
%\psline(2,0)(2,3)\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.3,2.5){$- \infty$}\uput[u](4,2.5){$0$}
%\uput[u](6,2.5){$2$}\uput[u](7.65,2.5){$+ \infty$}\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,2){$+$}\uput[u](5,2){$+$}\uput[u](6,2){$0$}\uput[u](7,2){$-$}
%\rput(1,1){$f(x)$}\rput(2.3,0.2){$- \infty$}\rput(4,1){$0$}\rput(6,1.75){$1 + \text{e}^{-2}$}\rput(7.85,0.2){$1$}
%\psline{->}(2.6,0.2)(3.8,0.95) \psline{->}(4.2,1.05)(5.5,1.75)
%\psline{->}(6.5,1.7)(7.7,0.25)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%Soit $g$ la fonction définie sur $\left] { - \infty \;;\; + \infty } \right[$
% par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$.
 
 \medskip
 
\textbf{Partie A}\\

\begin{enumerate}
\item {}~\\

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-3)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-3)(6,1.5)
\psplot[linecolor=blue]{-0.8}{6}{x 1 sub 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(-2,1)(6,1) \psline(2,1.13534)(0,1.13534)
\uput[l](0,1.13534){$1 + \text{e}^{-2}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{
\psplot[linecolor=blue]{0}{2}{x 1 sub 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(2,0)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=green]{
\psplot[linecolor=blue]{2}{4.5}{x 1 sub 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(4.5,0)(2,0)
}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}
%En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe $(\mathcal{C})$ susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $g(2)$ représente en unités d'aire la mesure de la surface colorée en bleu.
%		  Interpréter graphiquement $g(2)$.
		\item  L'aire (positive par définition) est manifestement inférieure à celle du rectangle de côtés 2 et $1 + \text{e}^{-2}$ soit $2\left(1 + \text{e}^{-2}  \right) \approx 2,271 < 2,5$.
%Montrer que $0 \leqslant g( 2) \leqslant 2,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On sait d'après le tableau des variations de $f$  que pour $x \geqslant 2, f(x) >  1$. En intégrant sur l'intervalle $[2~ ;~x]$, on obtient $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t}  \geqslant \displaystyle\int_{2}^{x} 1\:\text{d}t$, soit $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t}  \geqslant x - 2$.\\
D'après la relation de Chasles $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t} = \displaystyle\int_{0}^{x} {f(t)\:\text{d}t} - \displaystyle\int_{0}^{2} {f(t)\:\text{d}t} =\\ \displaystyle\int_{0}^{x} {f(t)\:\text{d}t} - g(2)$.\\
Donc $\displaystyle\int_{0}^{x} {f(t)\:\text{d}t} = g(x) = \displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t} + g(2) \geqslant x - 2 + g(2) \geqslant x - 2$.
%		Soit $x$ un réel supérieur à 2.\\
%Montrer que $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t}  \geqslant x - 2$. En déduire que $g(x) \geqslant x - 2$. 
		\item  Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (x - 2) = + \infty$, par comparaison : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} g(x) = + \infty$
%		Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ + \infty $.
\end{enumerate}
\item On sait que par définition $g'(x) = f(x)$.\\
La fonction $g$ est donc décroissante sur $]- \infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
%Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left] { - \infty \;;\; + \infty } \right[$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
%On admet que pour tout réel $t,{}f(t) = (t - 1)\text{e}^{- t}  + 1$.
\begin{enumerate}
\item  On pose :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(t) = t - 1&\quad &v'(t) =  \text{e}^{- t}\\
u'(t) = 1& \quad &v(t) = - \text{e}^{- t}\\
\end{array} \right. \]
Toutes ces fonctions étant dérivables donc continues, on peut intégrer par parties et\\ 
$\displaystyle\int_{0}^x \left[( t - 1) \text{e}^{-t}\right]\:\text{d}t =
 \left[-(t - 1) \text{e}^{- t}  \right]_{0}^x + \displaystyle\int_{0}^x  \text{e}^{- t}\:\text{d}t 
= \left[(- t)\text{e}^{- t}\right]_{0}^x = - x\text{e}^{- x}.$
%À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{x} {\left( {t - 1} \right)\text{e}^{ - t}\:\text{d}t}.$

\item  On a $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x}\left[(t - 1) \text{e}^{-t}\right]\:\text{d}t + \displaystyle\int_{0}^{x}\: 1\text{d}t = -x\text{e}^{- x} + x = x\left(1 -  \text{e}^{-x}\right)$. 
%En déduire que pour tout réel $x,{} g\left( x \right) = x\left(1 - \text{e}^{ - x}\right)$.

\item  Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, alors  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 1 - \text{e}^{-x} = - \infty$\\
De plus,  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$, on obtient par produit :
\[ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty.\]
%Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ - \infty $.
\end{enumerate}

%\newpage

%\begin{center}
%\textbf{Annexe}

%\vspace{1cm}

%\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.}

%\end{center}
%\bigskip

%\textbf{EXERCICE 3}

%\medskip

%\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath obtenue à l'aide d'un tableur}

%\begin{center}
%\psset{xunit=1.8cm,yunit=2cm}

%\begin{pspicture}(6.5,6.1666)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(6.5,6.1666)
%\multido{\n=0.00+0.25}{27}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,6.1666)}
%\multido{\n=0.00000+0.16666}{38}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(6.5,\n)}
%\psplot{0}{3.08}{x 1 add ln 0.5 x dup mul mul add}
%\end{pspicture}

%\end{center}

\end{document}