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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Paul Goualard
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban 29 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d'une mutuelle étudiante
enregistre un nombre record d'appels.

Les appelants sont d'abord mis en attente et entendent une musique d'ambiance et un message
préenregistré.

Lors de cette première phase, le temps d'attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable
aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,02$~s$^{-1}$.

Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions.

Le temps d'échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la
variable aléatoire $Y$, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 96$~s et d'écart-type
$\sigma = 26$~s.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique (temps d'attente et temps d'échange avec le chargé de clientèle)?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La durée moyenne d'attente est $\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,02}=\boxed{\textcolor{red}{50}}$ s.

\item La durée moyenne de temps d'échange est $\mu=\boxed{\textcolor{red}{96}}$ s.

\item La durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique est donc $50+96=146$ s, soit \fbox{\textcolor{red}{2 min 26 s}}.
\end{enumerate}

\item  Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que l'étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.
		$P(X\geqslant 120)=1-P(X\leqslant 120)=1-\int_0^{120}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\text{ d}t=1-\left[-\mathrm{e}^{-\lambda t}\right]_0^{120}=1-\left(1-\mathrm{e}^{-120\lambda}\right)=\mathrm{e}^{-120\lambda}\\
		=\mathrm{e}^{-2,4}\approx 0,09$ donc $\boxed{\textcolor{red}{P(X\geqslant 120)\approx 0,09}}$.
		
		\item %Calculer la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes.
$P(Y\leqslant 90)=P(Y\leqslant 96)- P(90\leqslant Y\leqslant 96)= 0,5 - P(90\leqslant Y\leqslant 96)\approx 0,408$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(Y\leqslant 90)\approx 0,408}}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d'une minute d'être
mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle
espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci.
	
Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$~secondes
l'attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?

On sait qu'une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement, donc \\
$P_{(X\geqslant 60)}(X\leqslant 60+30)=P(X\leqslant 30)$ donc cela ne change rienb de raccrocher et de rappeler.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\left\vert 1+\mathrm{i} \right\vert=\sqrt{2}$ ; $1-\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}}}$.

\item[$\bullet$] $1-\mathrm{i}=\overline{1+\mathrm{i}}=\overline{\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}}}$
\end{itemize}

\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose 
\[S_n = (1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
		$S_n=(1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n=\left[\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}\right]^n+\left[\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}\right]^n=\sqrt{2}^n\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\frac\pi4}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\frac\pi4}\right)=\sqrt{2}^n\times 2\cos\left(n\dfrac{\pi}{4}\right)$
		
$= 2\sqrt{2}^n\cos\left(n\dfrac{\pi}{4}\right)$.
		
%Si $n \dfrac{\pi}{4} = k \dfrac{\pi}{2} \iff n = 2 k$, avec $k \in \Z$, \: $S_n = 0$ donc n'a pas d'écriture trigonométrique.
%
%Finalement : si $n \neq 2k, \: k \in \Z, \: \boxed{\textcolor{red}{S_n =  2\sqrt{2}^n\cos\left(n\dfrac{\pi}{4}\right)}}$.
Posons $Z = (1+\text{i})^n$ alors $\overline{Z}=\overline{(1+\text{i})^n}=\left(\overline{1+\text{i}} \right)^n=\left(1-\text{i} \right)^n  $
			
			donc  $\forall n \in \N~,~S_n=Z+\overline{Z}=2\text{Re}(Z)$
				
$\forall n \in \N~,~Z=\left(\sqrt{2} \exp{\text{i} \frac{\pi}{4}} \right) ^n=\left( \sqrt{2}\right) ^n\left(\exp{\text{i} \frac{n\pi}{4}}\right) = \sqrt{2^n} \left(\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)   +\text{i} \sin\left(\dfrac{n\pi}{4} \right)  \right)$.
		
Donc pour tout $n$ naturel,~$S_n=2\sqrt{2^n} \cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$
		
Il faut alors étudier les différentes valeurs de $n$
		
%\textbf{pour tout entier naturel $k$}: 
%		
%\checkmark si $n=8k~(k \in \N)$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(2k\pi\right)=1$ 
%		
%\checkmark si $n=8k+1$ ou $n=8k+7$ alors  $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$  
%		
%		
%\checkmark pour $n=8k~\text{ou}~n=8k+1~\text{ou}~n=8k+7$ alors $S_n$ est un réel strictement positif donc $S_n=2\sqrt{2^n}\left(\cos(0)+\text{i} \sin(0) \right) $
Il faut donc étudier le signe de $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right)$ :

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(8k \frac{\pi}{4}\right) = \cos 2k\pi = 1$.

On a donc $S_{8k} =  2\left(\sqrt{2} \right)^{8k} \cos \left(8k \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k} = 2^{4k+1} $= \fbox{\blue $2^{4k+1}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}.
\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 1,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k + 1) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

On a donc $S_{8k+1} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+1} \cos \left((8k + 1) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k}\times \sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}  = 2^{4k + 1}$ = \fbox{\blue $2^{4k+1}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}. 

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 2,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+2) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

$S_{8k + 2} = 0$ : il n'a pas d'écriture trigonométrique.

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 3,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+3) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{3\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{8k+3} =  2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+3} \cos \left((8k+3) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+1} \times \sqrt{2} \times \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2^{4k+2}$.

$S_{8k+3}$ = \fbox{\blue $2^{4k+2}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}.

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 4,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+4) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \pi\right) = \cos (\pi) = \cos \pi = - 1$.

$S_{8k+4} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+4} \cos \left((8k+4) \frac{\pi}{4}\right) = 2^{4k+3} \times - 1$.

$S_{8k+4}$ = \fbox{\blue $2^{4k+3}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}.

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 5,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+5) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{5\pi}{4}\right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{8k+5} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+5} \cos \left((8k+5) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+2}\times \sqrt{2} \times \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 2^{4k+3}$.

$S_{8k+5} = \fbox{\blue $2^{4k+3}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}$.

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 6,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+6) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{6\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{6\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

$S_{8k+6} = 0$ : il n'a pas d'écriture trigonométrique.

\item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 7,\: k \in \N$,

$\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+7) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{7\pi}{4}\right) =  \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{8k+7} =  2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+7} \cos \left((8k+7) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+3}\times \sqrt{2} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) =  2^{4k+4}$.

$S_{8k+7}$ = \fbox{\blue $2^{4k+4}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}.

\end{itemize}
		\item \emph{Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est
pas pénalisée.}
		
\smallskip
		
\textbf{Affirmation A }: Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.

\textbf{\textcolor{red}{VRAIE}} : $S_n=2\sqrt{2}\cos\left(n\dfrac{\pi}{4}\right)$ est réel.
		
\textbf{Affirmation B }: %Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.
\textbf{\textcolor{red}{VRAIE}} :  $S_n = 0 \iff \cos\left(n\dfrac{\pi}{4}\right)=0\iff n\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in\mathbb{N}$.

On en déduit : $\dfrac{n}{4}=\dfrac{1}{2}+k\iff \dfrac{n-2}{4}=k \iff n= 4k+2$.

On en déduit que $S_{4k+2}=0$ pour tout $k \in \mathbb{N}$, donc il y a bien une infinité de valeurs pour lesquelles $S_n = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.

On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.

À chaque instant $t$, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ 

et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé 
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$ dont l'unité est le mètre.

Le plan défini par \Oij{} représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la
mer, négative sous l'eau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $t \geqslant 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\
y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\
z(t) &=& -170 - 30 t
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
		Pour $t=0$, on a : $\begin{cases}x(0)=\phantom{-}140\\y(0)=\phantom{-}105\\z(0)=-170\end{cases}$ donc les coordonnées du sous-marin au début de l'observation sont $\boxed{\textcolor{red}{A(140~;~105~;~-170)}}$.
		
		\item %Quelle est la vitesse du sous-marin ?
		Le vecteur vitesse est $\overrightarrow{v(t)}\left(x'(t)=-60~;~y'(t)=-90~;~z'(t)=-30\right)$, donc la vitesse est \\
		$\left\vert \left\vert \overrightarrow{v(t)} \right\vert \right\vert=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2}=\sqrt{\numprint{12600}}=\boxed{\textcolor{red}{30\sqrt{14}\approx 112,25~\text{m.min}^{-1}}}$.
\item  On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
		
%Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.
		
%On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
Appelons B le point atteint par le sous-marin au bout d'une minute : $B(80~;~15~;~-200)$.

D'après la définition de la vitesse, celle-ci $30\sqrt{14}$ est égale à la distance AB.

%Alors : $\vect{AB}\begin{pmatrix}-60\\-90\\- 30\end{pmatrix}$.

Soit C le point tel que $\vect{\text{AB}}$ soit dans un plan perpendiculaire au plan horizontal ; $C$ a donc la même abscisse et la même ordonnée que B, mais la cote de A : C$(80~;~15~;~-170)$.

%On calcule alors le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons différentes :
%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet$] $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-60\\-90\\0\end{pmatrix}$ .
%
%Alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=60^2+90^2=\numprint{11700}$.
%
%\item[$\bullet$] $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB\times AC\times \cos\alpha=\sqrt{60^2+90^2+30^2}\times \sqrt{60^2+90^2}\cos\alpha=\\
%\sqrt{\numprint{12600}}\times \sqrt{\numprint{11700}}\times \cos\alpha$
%\end{enumerate}
%On en déduit : $\cos\alpha=\dfrac{\numprint{11700}}{\sqrt{\numprint{12600}}\times \sqrt{\numprint{11700}}}=\dfrac{\sqrt{\numprint{11700}}}{\sqrt{\numprint{12600}}}=\sqrt{\dfrac{117}{126}}=\sqrt{\dfrac{13}{14}}$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 15,5\text{\degre}}}$

On a donc dans le triangle rectangle ABC : $\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{30}{30\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.

La calculatrice donne au dixième près : $\alpha \approx 15,5$degres.
	\end{enumerate}
\item  Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées
$(68~;~135~;~- 68)$ et atteint au bout de trois minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(-202~;~-405~;~ - 248)$ avec une vitesse constante.

%À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?

Les coordonnées de $S_2$ sont $\begin{cases}x_2(t)=x_2(0)+at\\y_2(t)=y_2(0)+bt\\z_2(t)=z_2(0)+ct\end{cases}$ où $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ sont les coordonnées (constantes) du vecteur vitesse.

Au bout de trois minutes, on a : $\begin{cases}x_2(3)=x_2(0)+3a=68+3a=-202\\y_2(3)=y_2(0)+3b=135+3b=-405\\z_2(3)=z_2(0)+3c=-68+3c=-248\end{cases}$.

On en déduit : $\begin{cases}a=-90\\b=-180\\c=-60\end{cases}$ donc $S_2(t)\begin{cases}x_2(t)=69-90t\\y_2(t)=135-180t\\z_2(t)=68-60t\end{cases}$.

Les deux sous-marins ont à la même profondeur si $z_1(t)=z_2(t)$ donc si \\
$-170 - 30 t =- 68- 60 t\iff  30 t = 102 \iff  \boxed{\textcolor{red}{t = 3,4\text{ min}}}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle [1~;~5J par:

\[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]
.
Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.

Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à 
$\{1~;~2~;~3~;~4\}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5.2,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(5.2,0.7)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{x ln x div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{x ln x dup mul div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{5}{x ln x 3 exp  div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{5}{x ln x 4 exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :\[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
$f_n=\dfrac{u}{v_n}$ avec $\begin{cases}u(x)=\ln x\\v_n(x)=x^n\end{cases}$.

$f'=\left(\dfrac{u}{v_n}\right)'=\dfrac{u'v_n-uv_n'}{v_n^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v_n'(x)=nx^{n-1}\end{cases}$.

Alors : $f_n'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^n-nx^{n_1}\ln x}{x^{2n}}=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n\ln x\right)}{x^{2n}}=\dfrac{1-n\ln x}{x^{2n-(n-1)}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-n\ln x}{x^{n+1}}}}$.

\item  Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5].

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.

%Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation
L'abscisse $x_n$ de $A_n$ est la valeur pour laquelle $f_n'(x)$ s'annule, donc 

$1-n\ln x_n=0 \iff x_n=\mathrm{e}^{\frac1n}\in[1~;~5]$.

%\[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
L'ordonnée de $A_n$ est alors $y_n=f_n\left(x_n\right)=\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)^n}=\dfrac{\frac1n}{\mathrm{e}^{1}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)=\dfrac{1}{\text{e}}\ln\left(x_n\right)$.

Les points $A_n$ appartiennent donc à la courbe $\Gamma$ d'équation $y =\dfrac{1}{\mathrm{e}}\ln x$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :
%
%\[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
Quel que soit $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~5], $0\leqslant \ln x\leqslant \ln (5)$ car la fonction $\ln$ est croissante ; en divisant par $x^n$ positif, on trouve \[0\leqslant \dfrac{\ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
		
		\item  %Montrer que pour tout entier $n > 1$ :
		
%\[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]

$\displaystyle\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x=\left[-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\right]_1^5=\dfrac{1}{n-1}\left[-\dfrac{1}{5^{n-1}}-(-1)\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)}}$.

		\item  %Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$,
%c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$
%et la courbe $\mathcal{C}_n$.

%Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.
L'aire cherchée est $\mathcal{A}_n= \displaystyle\int_1^5f_n(x)\text{ d}x= \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x$.

On sait que $0\leqslant \dfrac{\ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln 5}{x^n}$ donc par conservation de l'ordre, 

$\displaystyle\int_1^5 0\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln 5}{x^n}=\ln 5\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x = \dfrac{\ln 5}{n - 1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)$.

$5>1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}5^{n-1}=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)=0$.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln 5}{n-1}=0$.

Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\mathcal{A}_n=0}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

\newpage


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
Illustrons la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{ $\dfrac14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_1}$}\tbput{ $\dfrac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}


\end{center}

Alors : En appliquant la formule des probabilités totales :

\noindent $p_2=p\left(G_2\right)=p_{G_1}\left(G_2\right)p\left(G_1)\right)+p_{\overline{G_1}}\left(G_2\right)p\left(G_1\right)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{16}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_2 = \dfrac{7}{16}}}$

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.

Arbre : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_n}$}\tbput{ $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}
\end{center}
\medskip

D'après la formule des probabilités totales :

$p_{n+1}=p\left(G_{n+1}\right)=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right)=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$

Donc : \[\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}}\]

\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& 0,25 &\numprint{0,4375} &\numprint{0,3906} &\numprint{0,4023} &\numprint{0,3994} &\numprint{0,4001} &\numprint{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Quelle conjecture peut -on émettre ?
On peut conjecturer que la suite converge vers $0,4$.

\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{1}{4}u_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}}$.
		
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
$u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$.
		
Comme la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n$, $u_n=u_1q^{n-1}=-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		
		On en déduit : $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
		\item %La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
		$-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ d'où $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=0,4$ donc la conjecture faite à partir du tableau est validée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_0 &= &0\\
a_1 &= &1\\
a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1.
\end{array}\right.\]

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$.

Voilà l'algorithme complété :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c X|}\hline
1&$A \gets 0$\\
2& $B \gets 1$\\
3& Pour $i$ allant de 1 à $n$ :\\
4& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $C \gets A + B$}\\
5& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $A \gets \red B$}\\
6& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $B \gets \red C$}\\
7& Fin Pour\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&0 	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 &6 	&7 		&8 	&9 &10\\ \hline
$a_n$	&0	& 1 &1	&2 	&3	&5 &8 	&13 	&21 &34 &55\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

Calculer %$A^2$, $A^3$ et $A^4$. 
$A^2=A\times A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+1&1+0\\1+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$

\bigskip

$A^3=A\times A^2=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+1&1+1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$

\bigskip

$A^4=A\times A^3=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2&2+1\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$

\bigskip

%Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
$A^5=A^4\times A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+3&5\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&5\\3&2\end{pmatrix}$
\item On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que
		
%		\[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.

$A^p \times A^q= \begin{pmatrix}a_{p+1}&a_p\\a_p&a_{p-1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_{q+1}&a_q\\a_q&a_{q-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{ p + 1}\times  a_ {q + 1} + a_ p \times  a_q&a_{p+1}-\times a_q+a_p\times a_{q-1}\\a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q&a_p\times a_q+a_{p-1}\times a_q\end{pmatrix}$.

Or : $A^p \times A^q = \begin{pmatrix}a_{p+q+1}&a_{p+q}\\\boxed{\textcolor{red}{a_{p+q}}}&a_{p+q-1}\end{pmatrix}$
		
		\item  %En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
		Si $r$ divise $a_p$ et $a_q$, $r$ divise $a_p\times a_{q+1}$ et $a_{p-1}\times a_q$ donc leurs somme qui est $a_{p+q}$, donc $r$ divise $a_{p+q}$.
		
		\item  Soit $p$ un entier naturel non nul.
		
%Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel
%$n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
Démontrons, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel
$n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Initialisation : pour $n = 1$, il est évident que $a_p$ divise $a_{1\times p}=a_p$.
\item[$\bullet$] Hérédité : on suppose que pour $n$ entier naturel  non nul, $a_n$ divise $a_{np}$.

D'après la question précédente, $a_n$ divise $a_n$ et $a_{np}$ donc $a_{n+np}$, c'est-à-dire $a_{(n+1)p}$
\end{enumerate}

La propriété est donc héréditaire.

La propriété est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang au moins égal à 1, elle l'est au tang suivant. D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. %Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.
On suppose que $n$ n'est pas premier. Il existe $p$ et $q$ supérieurs strictement à 1 tels que $n = p q$.

Comme $n \geqslant 5$, l'un au moins des deux nombres $p$ ou $q$ est supérieur à 2.

Supposons que ce soit $p$, donc $2 < p < n$.
 
	D'après la question 3. c, $a_p$ divise $a_{pq}=a_n$ avec $1 = a_2 < a_p < a_n$, la suite $\left(a_n\right)$ étant strictement croissante à partir du rang 2, donc, comme $a_p>1$, $a_n$ n'est pas premier.

		\item On peut calculer $a_{19} = \numprint{4181} = 37 \times 113$.

%Que penser de la réciproque de la propriété obtenu\mathbf{}e dans la question 4. a. ?
$a_{19}=37 \times 113$ donc n'est pas premier ; or $n=19$ est premier, donc la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4 a. est fausse.

$a_n$ non premier n'entraîne pas que $n$ soit premier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}