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% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
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           % \rfoot{#3}
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%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
 \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} 
 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
 \newcommand{\pg}{\geqslant}
 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
 \newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
 %**** écrire un angle orienté de vecteurs *****
 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
 %*** écrire e (dans un environnement mathématique)****
 
 \newcommand{\e}{\text{e}}
 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
 \renewcommand{\exp}[1]{\text{e}^{#1}}
 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\module}[1]{\left| #1\right| ~}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
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 \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~}
 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
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 \rhead{#3}
 \chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat S  #1 du #2}}
 \lfoot{Baccalauréat 2019}
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            % \rfoot{#3}
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
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%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}
%\entetecor{Liban}{31 mai 2019}{TS}{}


\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{31 mai 2019}}
%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2019~\decofourright}}
\end{center}

\label{Exercice 1}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1] par 

%\[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$. 
		
		\begin{solution}
		
		$f$ est dérivable sur $]0~;~1]$ comme produit de fonctions dérivables sur $]0~;~1]$.
		
		$f=uv^2~\imp~f'=u'v^2+2uv'v$ avec $\begin{cases}
		u(x)=x\\v(x)=1-\ln(x)
		\end{cases}~\imp~\begin{cases}
				u'(x)=1\\v'(x)=-\dfrac{1}{x}
				\end{cases}$
				
		$\forall x \in ]0~;~1]~,~f'(x)= \left( \vphantom{\dfrac{}{}}1 - \ln (x)\right) ^2-2\left(\vphantom{\dfrac{}{}} 1-\ln(x)\right) =\left(\vphantom{\dfrac{}{}} 1-\ln(x)\right)\left(\vphantom{\dfrac{}{}} 1-\ln(x)-2\right)$
		
		On a donc bien $\forall x \in ]0~;~1]~,~f'(x)=\left( \vphantom{\dfrac{}{}}\ln (x) + 1\right) \left( \vphantom{\dfrac{}{}}\ln (x) - 1\right) $.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0~;~1] (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle). 
		
		\begin{solution}
		
		Sur $]0~;~1]~,~\ln(x)<0$ d'où $\left( \vphantom{\dfrac{}{}}\ln (x) - 1\right)<0$ 
		
		$f'(x)$ est donc du signe contraire de $\left( \vphantom{\dfrac{}{}}\ln (x) + 1\right)$
		
		$\ln (x) + 1>0~\equi~x>\e^{-1}$, on en déduit le tableau des variations de $f$
		
		\begin{center}
			\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(9,3)
			\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
			\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.35,2.4){$0$} 
			\uput[u](4.9,2.4){$\e^{-1}$}
			\uput[u](8.5,2.4){$1$} 
			\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(3.15,2.25){+}
			\rput(4.9,2.25){0}
			\rput(6.6,2.25){-}
			\uput[u](1.8,0){$0$}
			\uput[u](4.9,1.4){$4\e^{-1}$}
			\uput[u](8.4,0){$1 $}
			\rput(0.5,1){$f(x)$}
			\psline{->}(2.1,0.4)(4.3,1.6)
			\psline{->}(5.4,1.6)(8,0.4)
			
			\psline{-}(1.4,0)(1.4,2.5)
			\psline{-}(1.3,0)(1.3,2.5)
			\end{pspicture}
		\end{center}
		\end{solution}
		
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

%On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0~;~1]  par $g(x) = \ln x$. 

%Soit $a$ un réel de l'intervalle ]0~;~1]. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . 

%On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle ]0~;~1]. 

\begin{enumerate}[resume]
\item %Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 

%\begin{center}
%\scalebox{0.8}{
%\psset{xunit=10cm,yunit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-0.3,-3)(1.1,1.5)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-1,-6)(11,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-0.1,-3)(1.1,1.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.5pt]{-0.1}{0.8}{ x 5 mul 2.609 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{1}{ x ln}
%\psdots(0.2,-1.6)(0.5218,0)(1,0)(0,-2.609)(0,1)
%\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
%\uput[dr](0.6,-0.5){\blue $\Gamma$}\uput[dr](0.7,0.9){$d_{0,2}$}
%\uput[dr](0.2,-1.6){$M_{0,2}$}\uput[ul](0.5218,0){$N_{0,2}$}
%\uput[ul](0,-2.609){$P_{0,2}$}
%\end{pspicture*}
%}%%% fin du scalebox
%\end{center}    

%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire. 
		
		\begin{solution}
				O$N_{0,2}\approx 0,5$ et O$P_{0,2} \approx 2,6$
		
		On en déduit que l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ est d'environ $\dfrac{0,5\x2,6}{2}=0,65$ unités d'aire.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$. 
		
		\begin{solution} $\forall x \in ]0~;~1]  g'(x) = \dfrac{1}{x}$.
		
		$d_{0,2}$ est de coefficient directeur $g'(0,2)=\dfrac{1}{0,2}=5$. On a donc $d_{0,2}~:~y=5x+b$
		
		Or $d_{0,2}$ passe par $M_{0,2}\left(\vphantom{\dfrac{}{}} 0,2~;~\ln(0,2)\right) $, on en déduit $b=\ln(0,2)-1=-1-\ln(5)$
		
		Finalement $d_{0,2}~:~y=5x-\ln(5)-1$ 
		
		
		\end{solution}
		
		\item ~ %Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . 
		
		\begin{solution}
		O$P_{0,2} =\left| \ln(0,2)-1\right|=1+\ln(5)$
		
		$5x+\ln(0,2)-1=0\equi x=\dfrac{1+\ln(5)}{5}$ donc O$N_{0,2}=\dfrac{1+\ln(5)}{5}$
		
		L'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ est donc $\dfrac{\left( 1+\ln(5)\right)^2 }{10}\approx 0,681$ unités d'aire. 
		\end{solution}
		

%Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0~;~1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
	\end{enumerate}
\item  ~ %À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire 
$\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale. 

\begin{solution}

On remarque que $\mathcal{A}(a)=\dfrac{1}{2}f(a)$ donc l'aire sera maximale si $f(a)$ est maximale

On en déduit que l'aire est maximale si $a=\e^{-1}$ et on a $\mathcal{A}\left( \e^{-1}\right) =\dfrac{1}{2}f\left( \e^{-1}\right)=2\e^{-1}=\dfrac{2}{\e}\approx 0,74$ unités d'aire.
\end{solution}

\end{enumerate}

%\newpage

\label{Exercice 2}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M’$  
%d'affixe $z’$ tel que 

%\[z’ = - \dfrac{1}{z}.\] 

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$  image du point A par la fonction $f$. 
		
		\begin{solution}
		
		$z_{\text{A}'} = -\dfrac{1}{- 1 + \text{i}}=\dfrac{1}{1 - \text{i}}=\dfrac{1 + \text{i}}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$
		\end{solution}
		
		\item ~ %Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction $f$.
		
		\begin{solution}
		
		$z_{\text{B}'} = -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=-2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ qui n'est pas l'écriture exponentielle ; or $- 1 = \text{e}^{\text{i}\pi}$ ; donc $z_{\text{B}'} = 2 \times \text{e}^{\text{i}\pi}\times\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. 
		\end{solution}
		 
		\item ~ %Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct \Ouv. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents. 
	
\begin{solution}
	
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.65,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.65){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](0.25,0.433){B}
\uput[dr](0.5,.5){A$'$}
\uput[ul](-1,1){A}
\uput[ul](-1,1.732){B$'$}
\psdots(0.25,0.433)(-1,1)(0.5,0.5)(-1,1.732)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){0.5}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.25,0)(0.25,0.433)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1.732)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{7cm}
$z_\text{A}=-1+\text{i}$ donc A se place sans problème.
		
\vspace{0.8cm}
$z_\text{B}=\dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{4}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ 
		
donc B se situe sur le cercle de centre O et de rayon $\dfrac{1}{2}$ à l'intersection de la droite d'équation $x = \dfrac{1}{4}$ dans le premier cadran.
		
\vspace{0.8cm}
		$z_{\text{A}'} =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$ donc A$'$ se place sans problème.
		
\vspace{0.8cm}
		$z_{\text{B}'} = - 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}=2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}} =-1 + \text{i}\sqrt{3}$ 
		
donc B$'$ se situe sur le cercle de centre O et de rayon $2$ à l'intersection de la droite d'équation $x= - 1$ dans le deuxième cadran.
		\end{minipage}
\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item %Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$. 
		
		\begin{solution}
		
		$z' =-\dfrac{1}{r\text{e}^{\text{i}\theta}}$
		
		
		$\hphantom{z'}= -\dfrac{1}{r}\text{e}^{-\text{i}\theta}$
		
		$\hphantom{z'}= \dfrac{1}{r}\text{e}^{-\text{i}\theta}\text{e}^{\text{i}\pi}$
		
		$\hphantom{z'}= \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$
		\end{solution}
		
		\item ~ %Est-il vrai que si un point $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier. 
		
		\begin{solution}
		
		Si $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors O$M<1$
		
		O$M<1~\equi~\left| z\right|<1$
		
		$\hphantom{\text{O}M<1} ~\equi~\left| \dfrac{1}{ z}\right|>1  $
		
		$\hphantom{\text{O}M<1} ~\equi~\left| -\dfrac{1}{ z}\right|>1  $
		
		$\hphantom{\text{O}M<1} ~\equi~\text{O}M'>1  $
		
		On en déduit donc que l'affirmation est vraie:
		si un point $M$, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image $M'$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque.
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item %Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$  et de rayon $\dfrac{1}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$. 
		
		\begin{solution}On pose $z=x+\text{i}y$
		
		\textbf{\underline{Méthode 1}}:
				
		$M(z) \in \Gamma~\equi~MK^2=\dfrac{1}{4}$
		
		$\hphantom{M(z) \in \Gamma}~\equi~\left|z-z_K \right|^2 =\dfrac{1}{4}$
		
		$\hphantom{M(z) \in \Gamma}~\equi~\left|z+\dfrac{1}{2} \right|^2 =\dfrac{1}{4}$
		
		$\hphantom{M(z) \in \Gamma}~\equi~\left|x+\dfrac{1}{2} +\text{i}y\right|^2 =\dfrac{1}{4}$
		
		$\hphantom{M(z) \in \Gamma}~\equi~\left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^2 +y^2 =\dfrac{1}{4}$
		
		$\hphantom{M(z) \in \Gamma}~\equi~ x^2+x+\dfrac{1}{4} +y^2 =\dfrac{1}{4}$
		
		On a donc bien $\Gamma~:~x^2 + x + y^2 = 0$.
		
		\vspace{0.2cm}
		\textbf{\underline{Méthode 2}}:
		
		$\Gamma~:~\left(x-x_K \right)^2+\left(y-y_K \right)^2=\left( \dfrac{1}{2}\right)^2  $~~~or $x_K=\dfrac{1}{2}$ et $y_K=0$
		
		Donc $\Gamma~:~\left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^2 +y^2 =\dfrac{1}{4}~~~\equi~~~  \Gamma~:~x^2 + x + y^2 = 0$.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$. 
		
		\begin{solution}
		
		$z'=-\dfrac{1}{x+\text{i}y}=-\dfrac{x-\text{i}y}{x^2+y^2}$
		
		Donc $z'=-\dfrac{x}{x^2+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^2}~\text{i}$
		\end{solution}
		
		\item ~ %Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.
		
\begin{solution}
		
$M$ un point de $\Gamma$, distinct de O alors $x^2 + x + y^2 = 0~~\imp~~\x^2+y^2=-x\neq0$
		
On en déduit que $Re\left( z'\right) = -\dfrac{x}{x^2+y^2}=-\dfrac{x}{-x}=1$
		
Donc l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.
\end{solution}
		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\label{Exercice 3}
\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

%\medskip

%Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. 

%\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip 

%Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A. 

%Soit $d$ la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B. 

%\begin{center} 
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,0.5)(9,6)
%\psgrid
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50](3.5,1)(7.5,2)(5,3.5)(1,2.5)
%\uput{15pt}[-10](1,2.5){P}
%\psline(2.5,6)(2.5,2.7)\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,1.45)\psline(2.5,0.5)(2.5,1.45)% droite d
%\uput[l](2.5,2.6){B}\uput[l](2.5,4.2){D}\uput[d](5,2){A}
%\uput[r](6,2.4){C}\uput[r](2.5,5.8){$d$}
%\psline(2.5,2.6)(5,2)(6.,2.4)(2.5,4.2)%BACD
%\psline(2.5,4.2)(5,2)% DA
%\psline[linestyle=dashed](2.5,2.6)(6.,2.4)% BC
%\end{pspicture} 
 

%\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ %Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD). 

\begin{solution}

$d$ est orthogonale à P donc elle est orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier à (AC). Donc (BD) est orthogonale (AC).

(AC) est perpendiculaire à (AB) car ABC est rectangle en A. 

(AC) est donc orthogonale à deux droites sécantes (BD) et (AB) du plan (BAD), on en déduit que (AC) est orthogonale au plan (BAD).

\end{solution}

\end{enumerate}

%On appelle \emph{bicoin} un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles. 

\begin{enumerate}[resume]
\item ~ %Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.

\begin{solution}

$d$ est perpendiculaire à P donc ABD et CBD sont rectangle en B.

ABC est rectangle en A d'après l'énoncé et on a montré dans la question précédente que (AC) est orthogonale au plan (BAD) donc à tout droite de ce plan, donc en particulier (AC) est perpendiculaire à (AD) en A. Le triangle ACD est rectangle comme le triangle ABC.

Finalement, toutes ses faces étant des triangles rectangles, ABCD est bien un bicoin.
\end{solution}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD. 
		
		\begin{solution}
				
[CD] est l'hypoténuse de BCD, donc le côté le plus grand : CD > CB et CD > BD ;

[CD] est l'hypoténuse de de ACD, donc CD > CA, CD > AD.
		
Or [AD] est l'hypoténuse de ABD donc AD > AB et d'après le résultat précédent CD > AD > AB.
		
Finalement [CD] est la plus longue arête du bicoin car elle est plus longue que les cinq autres.
		\end{solution}
		
		\item ~ %On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD. 
		
		\begin{solution}
		
I  milieu de l'hypoténuse de BCD rectangle en D  est le centre du cercle circonscrit à BCD on a alors 

IB = IC = ID.
		
De même dans ACD rectangle en A, I  milieu de l'hypoténuse [CD] est le centre du cercle circonscrit à ACD et  on a ID = IC = IA.
		
Finalement IA = IB = IC = ID, donc I est équidistant des quatre  sommets du bicoin ABCD.
		\end{solution}	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

%Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(3~;~1~;~ -5)$ et la droite $d$ de 

% représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 2t + 1\\
%y &= &- 2 t + 9\\ 
% z&=&t - 3
% \end{array}\right.$ où $t \in \R$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ %Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point A. 

\begin{solution}

$\vect{u}\begin{pmatrix}
\phantom{-}2\\-2\\\phantom{-}1
\end{pmatrix}$ est directeur de $d$ donc normal à $P$.

$M(x~;~y~;~z) \in P~\equi~\vect{AM}\cdot \vect{u}=0$

$\hphantom{M(x~;~y~;~z) \in P}~\equi~\begin{pmatrix}
x-3\\y-1\\z+5
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
\phantom{-}2\\-2\\\phantom{-}1
\end{pmatrix}=0$

$\hphantom{M(x~;~y~;~z) \in P}~\equi~2(x-3)-2(y-1)+z+5=0$

Finalement on a $P~:~2x-2y+z+1=0$


\end{solution}

\item ~ %Montrer que le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point B$(5~;~5~;~-1)$. 

\begin{solution}

En posant $t=2$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient les coordonnées de ${\text{B}}$ donc ${\text{B}}\in d$.

$2x_{\text{B}}-2y_{\text{B}}+z_{\text{B}}+1=10-10-1+1=0$ donc $\text{B}\in P$.

Finalement $d$ perce bien $P$ en ${\text{B}}$

\end{solution}

\item ~ %Justifier que le point C$(7~;~3~;~-9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A. 

\begin{solution}

$2x_{\text{C}}-2y_{\text{C}}+z_{\text{C}}+1=14-6-9+1=0$ donc $C\in P$.

$\text{AC}^2=4^2+2^2+(-4)^2=36$$~~,~~\text{AB}^2=2^2+4^2+4^2=36~~\text{et}~~\text{BC}^2=2^2+(-2)^2+(-8)^2=72$

On a alors $\text{AC}^2+\text{AB}^2=\text{BC}^2$ donc ABC est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.


\end{solution}

\item %Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Justifier que le triangle AB$M$ est rectangle. 
		
		\begin{solution}
		
		$M\in d$ et $\text{B} \in d$ donc $d=(M\text{B})$.
		
		De plus B et A sont deux points distincts de $P$ donc (AB)$\subset P$ et on sait que $d$ est perpendiculaire à $P$ donc orthogonale à toute droite de $P$. On en déduit que $(M\text{B})$ est perpendiculaire à (AB).
		
		Finalement on a donc bien ABM rectangle en B
		\end{solution}
		
		\item ~ %Montrer que le triangle AB$M$ est isocèle en B si et seulement si le réel $t$ vérifie l'équation $t^2 - 4t = 0$.
		
		\begin{solution}
		
		AB$M$ est isocèle en B si et seulement si B$M=$AB
		
		$\text{B}M=\text{AB}~\equi~\text{B}M^2=\text{AB}^2$
		
		$\hphantom{\text{B}M=\text{AB}}~\equi~(2t-4)^2+(-2t+4)^2+(t-2)^2=36$
		
		$\hphantom{\text{B}M=\text{AB}}~\equi~4t^2-16t+16+4t^2-16t+16+t^2-4t+4=36$
		
		$\hphantom{\text{B}M=\text{AB}}~\equi~9t^2-36t=0$
		
		$\hphantom{\text{B}M=\text{AB}}~\equi~t^2-4t=0$
		\end{solution}
		 
		\item ~ %En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B. 
		
		\begin{solution}
		
		$t^2-4t=0~\equi~t(t-4)=0~\equi~\begin{cases}
		t=0\\\text{ou}\\t=4
		\end{cases}$
		
		Donc $M_1(1~;~9~;~-3)$ et $M_2(9~;~1~;~1)$ sont les points de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B.
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip 

%On donne le point D(9~;~1~;~1) qui est un des deux points solutions de la question \textbf{4. c.} de la partie B. Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère. 

%En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon. 


\begin{solution}
ABCD est un bicoin car ABC est rectangle en B (voir question \textbf{3.}) et D est un point de la perpendiculaire au plan (ABC) passant par B.
 
D'après la question \textbf{3.b.} de la \textbf{Partie A}, on sait alors que le milieu I de [CD] est équidistant des quatre sommets du bicoin.

Le centre de la sphère circonscrite à ABCD est donc I$(8~;~2~;~-4)$ milieu de [CD].

Le rayon de la sphère est IC$=\sqrt{\left(x_\text{C}-x_\text{I} \right)^2+\left(y_\text{C}-y_\text{I} \right)^2+\left(z_\text{C}-z_\text{I} \right)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
\end{solution}

\newpage

\label{Exercice 4-Obli}
\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

%\medskip

% Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes. 

%\medskip

%Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. 

%On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. 

%Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants : 

%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9${}; 
%\item si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95${} ; 
%\item si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement \og le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine \fg. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements $R_1$ et $R_2$. 
		
		\begin{solution}
		L'énoncé donne $p\left( R_1\right) =0,9~~~,~~~p_{_{R_1}}\left( R_2\right) =0,95~~~\text{et}~~~p_{_{\overline{R_1}}}\left( R_2\right) =0,2$. 
		
		\begin{center}
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
		{\pstree{\TR{$R_1$~~}\naput{$0,9$}}
			{\TR{$R_{2}$}\naput{$0,95$}
			\TR{$\overline{R_{2}}$}\nbput{$0,05$}
			}
		\pstree{\TR{$\overline{R_1}$~~}\nbput{$0,1$}}
			{\TR{$R_{2}$}\naput{$0,2$}
			\TR{$\overline{R_{2}}$}\nbput{$0,8$}
			}
		}
		\end{center}
		\vspace{0.3cm}
		
		\end{solution}
		
		\item ~ %Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
		
		\begin{solution}
		On cherche $p\left( R_1\cap R_2\right) $
		
		$p\left( R_1\cap R_2\right)=p\left( R_1\right)\x p_{_{R_1}}\left( R_2\right)=0,9\x 0,95=0,855  $
		
		\end{solution}
		 
		\item ~ %Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$. 
		
		\begin{solution}
		On cherche $p\left( R_2\right) $
		
		$R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l'univers donc, d'après les probabilités totales on a:
		
		$p\left( R_2\right)=p\left( R_1\cap R_2\right) +p\left( \overline{R_1}\cap R_2\right)  $
		
		$\hphantom{p\left( R_2\right)}=0,855 +p\left( \overline{R_1}\right)\x p_{_{\overline{R_1}}}\left( R_2\right)  $
		
		$\hphantom{p\left( R_2\right)}=0,855 +0,1\x 0,2 $ 
		
		$\hphantom{p\left( R_2\right)} =0,875 $ 
		\end{solution}
		
		\item ~ %Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? 
		
%On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 

\begin{solution}
On cherche $p_{_{R_2}}\left( \overline{R_1}\right)$

$p_{_{R_2}}\left( \overline{R_1}\right)=\dfrac{p\left( \overline{R_1} \cap R_2 \right) }{p\left( R_2 \right) }$

$p_{_{R_2}}\left( \overline{R_1}\right)=\dfrac{0,02 }{0,875 }=\dfrac{4}{175}\approx 0,023$

\end{solution}

	\end{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
		
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$R_n$~~}\naput{$r_n$}}
%	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{\ldots}
%	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{\ldots}
%	}
%\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~~}\nbput{\ldots}}
%	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{\ldots}
%	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{\ldots}
%	}
%}
%\end{center}

\begin{solution}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~~}\naput{$r_n$}}
	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{0,95}
	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{0,05}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~~}\nbput{$1-r_n$}}
	{\TR{$R_{n+1}$}\naput{0,2}
	\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\nbput{0,8}
	}
}
\end{center}
\end{solution}


		\item ~ %Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75  r_n + 0,2$. 
		
		\begin{solution}
		
		$R_n$ et $\overline{R_n}$ forment une partition de l'univers donc, d'après les probabilités totales on a:
				
				$r_{n+1}=p\left( R_{n+1}\right) $
				
				$\hphantom{r_{n+1}}=p\left( R_n\cap R_{n+1}\right) +p\left( \overline{R_n}\cap R_{n+1}\right)  $
				
				$\hphantom{r_{n+1}}=p_{_{R_n}}\left( R_{n+1}\right)\x p\left( R_n\right)   + p_{_{\overline{R_n}}}\left( R_{n+1}\right)\x p\left( \overline{R_n}\right)  $
				
				$\hphantom{r_{n+1}}=0,95r_n  +0,2\left( 1-r_n\right)   $
				
				$\hphantom{r_{n+1}}=0,75r_n  +0,2  $ 
		\end{solution}

%\newpage		
		\item ~ %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8$. 
		
		\begin{solution}
		On procède par récurrence
		
		\textbf{\underline{Initialisation}}: $r_1=p\left( R_1\right) =0,9$ et $0,1 \times  0,75^{0} + 0,8=0,9$
					
		\vspace{0.2cm}
		\textbf{\underline{Hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8$
					
		$r_{n+1}=0,75r_n  +0,2$ d'après la question précédente
		
		$\hphantom{r_{n+1}}=0,75\left( 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8\right)   +0,2$ d'après l'hypothèse de récurrence
		
		$\hphantom{r_{n+1}}=0,1 \times  0,75^{n} + 0,6   +0,2$
		
		$\hphantom{r_{n+1}}=0,1 \times  0,75^{n} + 0,8$  
					
		On en déduit que la propriété est héréditaire à partir du rang 1 or elle est vérifiée à ce même rang. 
					
		Par le principe de récurrence on peut donc conclure que $\forall n\in \N^*~,~r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8$
		
		\end{solution}
		
		\item ~ %Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
		
		\begin{solution}
		
		$\left| 0,75\right| <1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,75^{n-1}}=~0 et par opération sur les limites on a \Lim{n}{+\infty}{r_n}=~0,8
		
		On en déduit qu'avec le temps, la probabilité pour un client de rendre la bouteille se stabilise à 0,8
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\label{Exercice 4_Spé}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

%\medskip

%Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. 

%Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. 

%Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants: 

%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ; 
%\item ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ; 
%\item enfin, on rajoute $200$ litres d'eau dans le bassin A et $300$~litres d'eau dans le bassin B. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\smallskip

%Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement. 

%\medskip

%On modélise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement. 

%\medskip

%Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. Ainsi $U_0 = \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ % Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\, $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. 

\begin{solution}

D'après l'énoncé, on a

$\begin{cases}
a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{3}{4}b_n+2\\
b_{n+1}=\dfrac{1}{4}b_n+3
\end{cases}~\equi~\begin{cases}
a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2\\
b_{n+1}=0,25b_n+3
\end{cases}$

Ce système se traduit par $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. 
\end{solution}

\item %On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse. 
		
		\begin{solution}
		
		$P^2 = \begin{pmatrix}1 &0\\0& 1\end{pmatrix}=I_2$ avec $I_2$ la matrice identité d'ordre 2.
		
		On en déduit que $P$ est inversible et $P^{-1}=P$ 
		\end{solution}
		
		\item ~ %Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. 
		
		\begin{solution}
		
		$PMP=\begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}\x \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix} \x \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&1,5\\0&-0,25\end{pmatrix} \x \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$
		
		Donc $PMP=D$ avec $D$ la matrice diagonale$\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$ 
		\end{solution}
		
		\item ~ %Calculer $PDP$. 
		
		\begin{solution}
		
		$PDP=\begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}\x \begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix} \x \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&-0,25\end{pmatrix} \x \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}=M$
		\end{solution}
		
		\item ~ %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = PD^nP$.
		
		\begin{solution}
		
		\textbf{\underline{Initialisation}}: $M^0=I_2$ et $PD^0P=PI_2P=P^2=P$ d'après la question \textbf{2.a.}
							
		\vspace{0.2cm}
		\textbf{\underline{Hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel tel que $M^n = PD^nP$
							
		$M^{n+1}=PD^nP\x M$ d'après l'hypothèse de récurrence
				
		$\hphantom{M^{n+1}}=PD^nP\x PDP$ d'après la question précédente
				
		$\hphantom{M^{n+1}}=PD^nI_2DP$ d'après la question \textbf{2.a.}
				
		$\hphantom{M^{n+1}}=PD^{n+1}P$  
							
		On en déduit que la propriété est héréditaire à partir du rang 0 or elle est vérifiée à ce même rang. 
							
		Par le principe de récurrence on peut donc conclure que $\forall n\in \N~,~M^n = PD^nP$
				
		\end{solution}
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = \begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume] 
\item  ~ %Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X = MX + C$. 

\begin{solution}

$MX + C=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\x\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} $

$\hphantom{MX + C}=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} $

On a donc bien $X = MX + C$
\end{solution}

%\newpage
\item  %Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n - X$. 
	\begin{enumerate}
		\item~ % Montrer que tout entier naturel $n$,\, $V_{n+1} = MV_n$. 
		
		\begin{solution}
		
		$\forall n \in \N~,~V_{n+1}=U_{n+1}-X$
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~V_{n+1}}=MU_{n}+C-X$ d'après la question \textbf{1.}
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~V_{n+1}}=MU_{n}-MX$ d'après la question \textbf{3.}
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~V_{n+1}}=M\left( U_{n}-X\right) $
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~V_{n+1}}=MV_n $
		\end{solution}
		
		\item ~ %On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$,\, $V_n = M^n V_0$. 

%Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,\, $U_n = \begin{pmatrix}-18 \times  0,5^n  + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times  0,25^n + 4\end{pmatrix}$. 

\begin{solution}

$\forall n \in \N~,~V_{n}=U_{n}-X~\equi~U_n=V_n+X$

$U_n=V_n+X$

$\hphantom{U_n}=M^nV_0+X$ ~~~avec $V_0=U_0-X=\begin{pmatrix}-9\\-3\end{pmatrix}$

$\hphantom{U_n}=\begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}\x \begin{pmatrix}-9\\-3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$

$\hphantom{U_n}=\begin{pmatrix}-18 \times  0,5^n  + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times  0,25^n + 4\end{pmatrix}$
\end{solution}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite. 
		
		\begin{solution}
		
$\forall n \in \N~,~b_n=-3\x0,25^n + 4$ donc $b_{n+1}-b_n=-3\x0,25^{n+1}+ 3\x  0,25^n=3\x0,25^n\left(1-0,25\right) =9\x0,25^{n+1}>0$
		
On en déduit que $\left( b_n\right) $ est croissante.
		
De plus, $\forall n \in \N~,~4-3\x 0,25^n < 4$ donc $\left(b_n\right)$ est majorée par 4.
		
$\left| 0,25\right| < 1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,25^{n}}=~0 et par opération sur les limites on a \Lim{n}{+\infty}{b_n}=~4.
		\end{solution}
		
		\item ~ %Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. 
		
		\begin{solution}
		
$\left| 0,25\right| <1$ et $\left| 0,5\right| <1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,25^{n}}=~\Lim{n}{+\infty}{0,5^{n}}=~0 et par opération sur les limites on a \Lim{n}{+\infty}{a_n}=~10
		\end{solution}
		
		\item ~ %On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement. 
		
		\begin{solution}
		
\Lim{n}{+\infty}{a_n}=~10 et $\left(a_n\right)$ est croissante donc elle est majorée par 10. On sait d'autre part que $\left( b_n\right)$ est majorée par 4.
		
Finalement il suffit de prévoir une contenance de \np{1000} litres pour le bassin A et 400 litres pour le bassin B.	
		\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}