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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban juin 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

\medskip

%Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq 
%circuits balisés de promenades $c_{1} ,~ c_{1} ,~c_{2} ,~c_{3} ,~c_{4},~ c_{5}.$
% 
%\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment l'une de l'autre, un des cinq circuits. 

\begin{enumerate} 
\item %Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des deux  familles ?
Chaque famille pouvant choisir un des cinq circuits, il y a  $5 \times 5 = 25$ tirages possibles.
\item %Quelle est la probabilité pour qu'elles fassent le même jour, le  même circuit ? 
Sur ces 25 tirages il y a en 5 avec des termes identiques ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 0,2$.
\item %Quelle est la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ?
La probabilité de ne pas être sur le même circuit un jour donné est $1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$. Donc la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit est égale à $\left(\dfrac{4}{5}\right)^n$.
\item %Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité  de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou  égale à 0,9. 
Il faut résoudre l'inéquation :

$\left(\dfrac{4}{5}\right)^n \leqslant 0,1 \iff n \ln \left(\dfrac{4}{5}\right) \leqslant\ln 0,1 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,1}{\ln \left(\dfrac{4}{5}\right)} \approx 10,3$.

Il faut donc attendre au moins 11 jours.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque famille élimine de son tirage le circuit qu'elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour chacune des deux familles.
 
%On note :
% 
%E l'évènement \og les deux familles font le même circuit le 
%premier jour \fg.
%
%F l'évènement \og les deux familles font le même circuit le deuxième jour \fg.
%
%Calculer les probabilités suivantes :
% 
%\centerline{P(E) , P(F/E) , P(F/$\overline{\text{E}}$) puis P(F $\cap$ E) et P(F $\cap \overline{\text{E}}$).} 
%En déduire P(F).
On a vu que $P(E) = \dfrac{1}{5}$.

Le second jour chaque famille a le même choix parmi les 4 circuits non encore faits ; il y a 16 possibilités de choix et 4 cas favorables, donc $P(F/E) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.

$P\left(F/\overline{\text{E}}\right)$ : il y a toujours 16 possibilités.

Si une famille choisit l'un des trois circuits restants, la seconde n'a plus de choix : elle doit choisir le dernier : il y a $3 \times 1 = 3$ cas favorables : $P\left(F/\overline{\text{E}}\right) = \dfrac{3}{16}$.

On a $P(E \cap F) = P(E) \times P(F/E) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20}$.

$P\left(F \cap \overline{E}\right)$ : on a vu que $P\left(F/\overline{E}\right) = \dfrac{3}{16}$, donc $P\left(F \cap \overline{E}\right) = P\left(\overline{E} \right) \times P\left(F/\overline{E}\right) = \dfrac{4}{5} \times  \dfrac{3}{16} =  \dfrac{3}{20}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(F) = P(E \cap F)  + P\left(\overline{E} \cap F \right) = \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} = 0,2$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct 
%\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i. 
\begin{enumerate} 
\item %Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{1 + 2\text{i}}{3 + \text{i}} = 
\dfrac{(1 + 2\text{i})(3 - \text{i})}{(3 + \text{i})(3 - \text{i})} = \dfrac{3 + 2  + 6\text{i} - 2-\text{i}}{9 + 1} = \dfrac{5 + 5\text{i}}{10} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}$.

Donc $\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4}$, d'où $\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

On peut donc écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}$.
\item %En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right).$
De l'écriture trigonométrique de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$, on déduit que arg$\left(\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right) = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct 
%(O,~$\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}$) où $\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$.
% 
%On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et $D$(0, 0, 
%$d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre 
%ABC$D$.
\begin{enumerate}
\item %On pose $\vect{\text{N}} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de N.
		On a  $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}- 2\\1\\0\end{pmatrix}, \:\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$, d'où $\vect{\text{N}}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.
	\item %En déduire l'aire du triangle ABC.
On sait que $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac12 \left\|\vect{\text{N}}\right\|$.
	
	Or $\left\|\vect{\text{N}}\right\|^2 = 1 + 4 + 4 = 9$, d'où $\left\|\vect{\text{N}}\right\| = 3$ et  $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac32$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On sait que $\vect{\text{N}}$ normal aux deux vecteurs non colinéaires $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ est normal au plan (ABC), donc on a :

$M(x~;~y~;z) \in (\text{ABC}) \iff 1x + 2y -  2z + d = 0$, avec $d \in \R$.

Par exemple $B(1~;~2~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 1 + 4  - 0+ d = 0 \iff d = - 5$.

Conclusion : $M(x~;~y~;z) \in (\text{ABC}) \iff x + 2y - 2z - 5 = 0$

\item %On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan 
%(ABC).
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $\vect{\text{DH}}$ est normal au plan (ABC) donc colinéaire au vecteur $\vect{\text{N}}$.
		
On pose $\vect{DH} = \lambda \vect{\text{N}}$.

%Calculer $\lambda$ en fonction de $d$.
Si $H(x~;~y~;~z)$ ses coordonnées vérifient l'équation du plan (ABC) ci-dessus et la colinéarité des vecteurs $\vect{\text{DH}}$ et $\vect{N}$, donc avec 

$\vect{\text{DH}}\begin{pmatrix}x-0\\y - 0\\z - d\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{N}}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\lambda\\
y&=&2\lambda\\
z - d &=&- 2\lambda.
\end{array}\right.$

En reportant ces coordonnées dans l'équation du plan :

$\lambda + 2\times 2\lambda + 4\lambda - 2d \lambda - 5 = 0 \iff 2d\lambda = 9\lambda - 5 \iff \lambda(9 + 2d) = 5 \iff \lambda = \dfrac{2d + 5}{9}$.
		\item %En déduire l'expression de la distance $DH$.
		
De la relation de colinéarité on en déduit pour les normes que :
		
$\text{DH}^2 = \lambda^2 \times \left\|\vect{\text{N}}\right\|^2 $ ou encore :

$\text{DH}^2 = 9\lambda^2$, d'où DH $= 3|\lambda| = 3\lambda$ car $d \geqslant 0$.

En prenant comme base du tétraèdre le triangle (ABC) et comme hauteur [DH], on obtient 

V$_{d} = \dfrac13 \times \dfrac32 \times 3 \dfrac{2d + 5}{9} = \dfrac12 \times \dfrac{2d + 5}{3} = \dfrac{2d + 5}{6}$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est perpendiculaire au plan (ABC).
On a $\vect{D\text{B}}\begin{pmatrix}1\\2\\-d\end{pmatrix}$.

Donc ($D$B) est perpendiculaire au plan (ABC) si le vecteur $\vect{D\text{B}}$ est colinéaire au vecteur $\vect{\text{N}}$ lui aussi normal au plan (ABC) donc si :

$\left\{\begin{array}{l c l}
1&=&\alpha\\
2&=&2\alpha\\
- d&=&\alpha\times (-2)
\end{array}\right.$

On obtient $\alpha=1$, puis $d = 2$.

Avec D(0~;~0~;~2), la droite (DB) est perpendiculaire au plan (ABC).
\item %On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au plan (OBC).
Si $d = 0$, alors $D$ = O et le tétraèdre ci-dessus est le tétraèdre ABCO, dont le volume est égal à V$_0 = \dfrac56$.

En prenant comme base le triangle (OBC), on sait que l'aire de ce triangle est égale à $\dfrac12 \left\|\vect{\text{OB}} \wedge \vect{\text{OC}}\right\|$, soit avec 

$\vect{\text{OB}}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{OC}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vect{\text{OB}} \wedge \vect{\text{OC}}\begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}$.

La norme de ce vecteur est égale à $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2}
 = \sqrt{21}$.

Si $d'$ est la distance de A au plan OBC on a donc :

$\dfrac56 = \dfrac13 \times \sqrt{21} \times d'$, d'où $d' = \dfrac{5}{2\sqrt{21}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

À suivre...

%On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(\Omega~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$ , unité graphique 3~cm.
%
%\vspace{0,25cm}
% 
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de 
%vecteurs directeurs respectifs $\vect{d_{1}} = \vect{u}$, 
%et $\vect{d_{2}}$ et $\vect{d_{3}}$ supposés unitaires et 
%tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \vect{d_{2}} \right) = 
%\dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3}} \right) 
%= - \dfrac{2\pi}{3}$.
%
%On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs 
%D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$, 
%et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois 
%réflexions.
%
%\begin{enumerate}
%\item %Tracer ces trois droites.
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psline(-4,-4)(4,4)\psline(4;-120)(4;60)\psline(-4,0)(4,0)\uput[d](3.9,0){D$_1$}
%\uput[dr](0,0){$\Omega$}\uput[dr](3.9;-115){D$_3$}\uput[dr](3.9,4){D$_2$}
%\end{pspicture}
%
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$.
%La composée des réflexions d'axes D$_1$ et D$_2$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $2\times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$, autrement dit le quart-de-tour direct de centre $\Omega$
%
%		\item Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\vect{d}$. Tracer la droite D.
%		\item En déduire la nature de $f$ et ses éléments 
%caractéristiques.
%	\end{enumerate} 
%\item Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E}} = 
%\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la 
%droite D.
%
%Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$. 
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate} 
%\item Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par 
%S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C.
%\item Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$.
%\item Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ?
%\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 5 points}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A - Lectures graphiques}

\medskip
 
\begin{center} 
\psset{xunit=2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-4)(10,2.2)
\psline{->}(-1.5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-6)(0,2)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5}{ x 1 add dup mul 2.71828 0 x sub exp mul} 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5}{1 x dup mul sub 2.71828 0 x sub exp mul} 
\psaxes(0,0)(-1,0)(4,2)
\rput(4.5,-0.5){\red $C$} \rput(4.5,0.6){\blue $F$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On donne dans un repère orthogonal les courbes $C$ et $F$ représentatives 
de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. On sait que l'une de 
ces fonctions est la fonction dérivée de l'autre, on peut donc les 
noter $g$ et $g'$.

\begin{enumerate} 
\item %Associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation 
%graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur 
%l'intervalle $\left[-~\dfrac{3}{2}~ ;~ 5\right]$ le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$.
Sue la partie gauche on remarque que $F$ est la représentation graphique d'une fonction décroissante sur $\left[-~\dfrac{3}{2}~ ;~ 5\right]$ et que sur le même intervalle $C$ est la représentation d'une fonction négative ; il en est de même sur les intervalles $[-1~;~1]$, et $[1~;~+ \infty[$

Donc il semble que $C$ est la représentation graphique de $g$ et $C$ celle de sa dérivée $g'$.
\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point 
d'abscisse 0 ?

On peut donc dresser le tableau avec ses trois variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)
\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$-\frac32$} \uput[u](4,2.4){$-1$} \uput[u](7,2.4){1} 
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$+$}\uput[u](7,1.9){$0$}\uput[u](8.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$g$}\uput[u](4,0){0}\uput[u](9.9,0){0}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)

\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y' + y = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$. 

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par 
$f_{0}(x) = (x^2 + 2 x)\text{e}^{-x}$ %est une solution de l'équation $(E)$.

$f_0$ est un produit de sommes de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'_0(x) = (2x + 2)\e^{- x} - \left(x^2 + 2x\right)\e^{- x} = \e^{- x}\left(2x + 2 - x^2 - 2x\right) = \left(2 - x^2\right)\e^{- x}$.

Donc $f_0(x) + f'_0(x) = \left(x^2 + 2 x\right)\text{e}^{-x} + \left(2 - x^2\right)\e^{- x} = (2x + 2)\e^{- x} = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$.

Donc $f_{0}(x) = (x^2 + 2 x)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation $(E)$.
\item %Résoudre l'équation différentielle $(E')$ : $y'+ y = 0$.
On sait que les solutions de l'équation sont les fonctions $x \longmapsto f(x) = C\e^{-x}$, avec $C \in \R$.
\item %Soit $u$ une solution de $(E')$. Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de $(E)$.
On a donc $u'(x) + u(x) = 0$ et calculons :

$\left(f_{0}(x) + u(x)\right)' + f_{0}(x) + u(x) =  f'_0(x) + u'(x) + f_{0}(x) + u(x) = f'_0(x) + f_{0}(x) = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$.

Donc la fonction définie par $\left(x^2 + 2 x\right)\text{e}^{-x} + C\e^{-x} = \left(x^2 + 2 x + C\right)\text{e}^{-x}$, avec $C \in \R$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
On admettra que, réciproquement, toute solution $f$ de $(E)$ est de la 
forme 

$f = f_{0} + u$ où $u$ est une solution de $(E')$.

%En déduire, pour $x \in \R$ , l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de $(E)$. 
$f$ est solution de $(E) \iff f(x) = \left(x^2 + 2 x + C\right)\text{e}^{-x}$.
\item %Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de $(E)$, 
%déterminer $g(x)$ pour $x \in \R$.
On a donc $g(x) = \left(x^2 + 2 x + C\right)\text{e}^{-x}$ et par conséquent $g'(x) = 2(x + 1)\e^{-x} - \left(x^2 + 2 x + C\right)\text{e}^{-x} = \e^{-x}\left(2x + 2 - x^2 - 2x - C \right) = \e^{-x}\left(2 - x^2 - C \right)$.

Or on a vu que $g(-1) = g(1) = 0$, donc $g'(x) = 0 \iff 2 - x^2 - C = 0$ et comme 1 annule ce trinôme on a donc $2 - 1 - C = 0 \iff C = 1$ et finalement :

$g(x) = \e^{-x}\left(1 - x^2 \right)$.
\item %Déterminer la solution $h$ de l'équation $(E)$ dont la représentation 
%graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.
On a donc $h(x) = \e^{-x}\left(2 - x^2 - C \right)$ et par conséquent :

$h'(x) = \e^{-x}\left(2 - x^2 - C \right)$.

Or on veut que $h'(0) = 0 \iff \e^{-0}\left(2 - 0^2 - C \right) = 0 \iff 2 - C = 0 \iff C = 2$.

Donc $h$ est définie sur $\R$ par :

$h(x) = - x^2 \e^{-x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : $f(x) = (x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
$\bullet~$Limite en plus l'infini : on a $f(x) = x^2\e^{-x} + 2x\e^{-x} + 2\e^{-x}$.

Or on sait que $\displaystyle\lim{x \to + \infty} x^n\e^{-x} : 0$ quel que soit $n \in \N$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

$\bullet~$Limite en moins l'infini 

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 + 2x + 2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item %On sait que $f$ est dérivable sur $\R$ : déterminer sa fonction 
%dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de $f$.
$f$ est l'une des fonctions solution de l'équation différentielle ci-dessus ; elle vérifie donc :

$f'(x) = 2(x + 1)\e^{-x} - (x^2 + 2x + 2)\e^{-x} = \e^{-x}\left(2x + 2 - x^2  - 2x - 2 \right)\e^{-x} = - x^2\e^{-x}$.

Cette dérivée est clairement négative quel que soit le réel $x$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R$ de plus l'infini à zéro..
\item Dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm, 
on note $C'$ la représentation graphique de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ à $C'$ au point $\Omega$ d'abscisse $- 1$.
		
On a : $M(x~;~y) \in T \iff y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1))$.

On a $f(-1) = (1 - 2 + 2)\e^{1}= \e$ ;

et $f'(-1) = - (-1)^2\e^{-(-1)}= -\e$.

$M(x~;~y) \in T \iff y - \e = -\e(x + 1)) \iff y = -\e x  - \e + \e \iff y = -\e x$.
		\item %Tracer avec soin la courbe C$'$ et la tangente T dans le repère \Oij.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt }
\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx = 2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx = 1,Dy=2]{->}(0,0)(-1,0)(0,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x dup mul x 2 mul add 2 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-5}{5}{2.71828 x mul neg}
\psline(-1,0)(-1,2.71828)(0,2.71828)
\uput[ur](4,0.5){\blue $C'$}\uput[l](-1.8,4.5){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie par 

$F(x) = (ax^2 + bx + c)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$.

$F$ est une primitive de $f$ si sur $\R$, \: $F'(x) = f(x) \iff (2ax + b)\e^{-x} - \left(ax^2 + bx + 1\right)\e^{-x} = \left(x^2 + 2x + 2\right)\e^{-x} \iff \left(2ax + b - ax^2 - bx - c\right)\e^{-x} = \left(x^2 + 2x + 2\right)\e^{-x}$ et en simplifiant par $\e^{-x}$,

$2ax + b - ax^2 - bx - c = x^2 + 2x + 2 \iff -ax^2 + (2a - b)x + b - c = x^2 + 2x + 2$.

En identifiant terme à terme les coefficients de ces trinômes on obtient :

$a = - 1$, puis $-2 - b = 2 \iff b = - 4$ et $b - c = 2 \iff -4 - c =  2 \iff c = - 6$.

Conclusion : $F(x) = \left(- x^2 -4x - 6\right)\e^{-x}$.
		\item %Soit $\alpha$ un réel positif. Calculer en cm$^2$ l'aire notée $\mathcal{A}(\alpha)$ de la zone du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \alpha$.
On a vu que sur $\R$ et en particulier sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$, $f(x) \geqslant 0$, donc l'aire notée $\mathcal{A}(\alpha)$ de la zone du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \alpha$ est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\:\text{d}x$, soit :
		
		$\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^{\alpha} = F(\alpha) - F(0) = \left(-\alpha^2 - 4\alpha - 6\right)\e^{-\alpha} - (- 6)\e^{0} = 6 - \left(\alpha^2 + 4\alpha + 2\right)\e^{-\alpha}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}