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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole - 13 septembre 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2018}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} 
{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]13 septembre  2018
}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

%Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
%
%\smallskip
%
%Au 1\up{er} janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1\up{er} janvier 2010, 64\,\% des ménages l'étaient.
%
%\smallskip
%
%Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par:
%
%\[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\]
%
%où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$.
\renewcommand\arraystretch{1.4}
On a le système $\left\{\begin{array}{l c l}
g(0) &=& \frac{1}{8}\\
g(10) &=& \frac{64}{100}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1}{1 + k\text{e}^{- 0}} &=& \frac{1}{8}\\
\frac{1}{1 + k\text{e}^{- 10a}} &=&\frac{64}{100}
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1}{1 + k}&=&\frac{1}{8}\\
\frac{1}{1 + k\text{e}^{- 10a}} &=&\frac{64}{100}
\end{array}\right.$
\renewcommand\arraystretch{1.}

La première équation donne $k = 7$ et en reportant cette valeur dans la deuxième équation :

$\dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- 10a}} =\frac{64}{100} \iff 100 = 64\left(1 + 7\text{e}^{- 10a} \right) \iff 100 = 64 + 448\text{e}^{- 10a} \iff 36 = 448\text{e}^{- 10a} \iff 9 = 112\text{e}^{- 10a} \iff \frac{9}{112} = \text{e}^{- 10a} \iff - 10a = \ln \frac{9}{112} \iff a = - \dfrac{1}{10}\ln \frac{9}{112} 
\iff a \approx \np{0,252127}$
\item %Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par:

\[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \frac{t}{4}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$g'(t) = - 7\times \dfrac{- \frac{1}{4} \e^{-\frac{1}{4}t}}{\left(1 + 7\text{e}^{- \frac{t}{4} }\right)^2} 
= \dfrac{7 \e^{-\frac{t}{4}}}{4\left(1 + 7\text{e}^{- \frac{t}{4} }\right)^2} > 0$ car quotient de termes supérieurs à zéro.
		
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99\,\% des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
Résolvons l'inéquation : $\dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}\geqslant 0,99 \iff 1 \geqslant 0,99\left(1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}\right) \iff$
		
$ 1 \geqslant 0,99 + 6,93\text{e}^{- \frac{t}{4}} \iff 0,01 \geqslant 6,93\text{e}^{- \frac{t}{4}} \iff \dfrac{0,01}{6,93} \geqslant \text{e}^{- \frac{t}{4}}
\iff \dfrac{1}{693} \geqslant \text{e}^{- \frac{t}{4}} 
\iff$

$ \ln \dfrac{1}{693} \geqslant  - \dfrac{t}{4}\:(\text{par croissance de la fonction logarithme népérien}) 
\iff \dfrac{t}{4}\geqslant -\ln \dfrac{1}{693}\iff t \geqslant 4 \times \left( -\ln \dfrac{1}{693}\right)$. Or $4 \times \left( -\ln \dfrac{10}{693}\right) \approx 26,2$.

Donc dans 27 ans d'après ce modèle au moins 99\,\% des ménages seront équipés.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1\up{er} janvier 2018.
		On a $g(18) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{18}{4}\right)}} = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \frac{9}{2}}} \approx 0,928$ soit $0,93$ au centième près.
		\item %Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause.
		
%Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur \np{1000} foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe.

%Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ?

%(On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.)
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% :

$n = \np{1000} > 30\:; \quad np = 930 \geqslant  5$ et $n(1 - p) = 70  \geqslant 5$ : on peut donc considérer l'intervalle  $\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right] \approx [0,914~;~0,946]$.

Or le sondage donne une fréquence de foyers équipés d'une connexion fixe égale à 

$\dfrac{880}{\np{1000}}= 0,880$ et $0,880 \notin [0,914~;~0,946]$.

Ce sondage donne raison à ces statisticiens sceptiques.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra pour unité graphique le centimètre.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
$\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0\iff \left[ \begin{array}{l c l}
z^2 - 2z + 4&=&0\\
\text{ou}\\
z^2 + 4&=& 0
\end{array}\right.$.

$\bullet~~$ $z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 = - 3 \iff (z - 1)^2 = \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2$.

Cette équation a deux solutions $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$.

$\bullet~~$ $z^2  + 4 = 0 \iff z^2 = (2\text{i})^2$ : cette équation a deux solutions : $2\text{i}$ et $- 2\text{i}$.

Conclusion : l'équation a quatre solutions :

$1 + \text{i}\sqrt{3};\quad \:1 - \text{i}\sqrt{3};\quad2\text{i};\quad - 2\text{i}$.
\item %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
		
$\bullet~~$ $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.

On peut écrire $z_{\text{A}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$ soit en écriture exponentielle 

$z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

$\bullet~~$ $z_{\text{B}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.

On a donc avec les modules OA = OB = 2 : A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
		\item ~%Faire une figure et placer les points A et B.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,4)
\psdots(2;90)(2;60)\uput[ul](2;90){B}\uput[ur](2;60){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,3.732){F}
\pscircle(0,0){2}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1pt]{->}(0,0)(2;60)
\psline[linecolor=red,linewidth=1pt]{->}(2;60)(1,3.732)
\psline[linecolor=red,linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}	
\end{center}
		\item %Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$.
		On a $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}}{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}}{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		
Or $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \text{arg} \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{\pi}{6}.$
	\end{enumerate}
\item %On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
F se construit par la méthode du parallélogramme ; or on a vu que OA = OB : le parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange de côtés de mesure 2.	
		\item %En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OF}}\right)$.
OAFB est un parallélogramme et OA = OB = 1, donc deux de ses côtés consécutifs ont même longueur : OAFB est donc un losange et par conséquent la droite (OF) est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$ ; donc une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OF}}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$.

 $\left(\vect{u},~\vect{\text{OF}}\right) =  \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right) + \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OF}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}$ qui est un argument de $z_{\text{F}}$.
		\item %Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
On a $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} + 2\text{i} = 1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 2\right)$.

Donc $\left|z_{\text{F}} \right|^2 = 1^2 + \left(\sqrt{3} + 2\right)^2 = 1 + 3 + 4 + 4\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3} = 4\left(2 + \sqrt{3} \right)$.

Donc $\left|z_{\text{F}} \right| = 2\sqrt{2 + \sqrt{3} }$.

On a vu qu'un argument de $z_{\text{F}}$ est $\dfrac{5\pi}{12}$, donc l'écriture trigonométrique de $z_{\text{F}}$ est :

$z_{\text{F}} = 2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\left(\cos \dfrac{5\pi}{12} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{12} \right)$.
		\item %En déduire la valeur exacte de :
On a vu que la partie réelle de $z_{\text{F}}$ est égale à 1 et d'après la question précédente elle est aussi égale à $2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\cos \dfrac{5\pi}{12}$.

Donc en égalant : 

$1 = 2\sqrt{\left(2 + \sqrt{3} \right)}\cos \dfrac{5\pi}{12} \iff \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \times (4 - 3)} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.	
	\end{enumerate}
\item %Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une:

%\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]

%et pour l'autre :

%\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]

%Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
Ces deux nombres sont positifs $\left(\sqrt{6} > \sqrt{2}\right)$ ; comparons leurs carrés :

$\bullet~~$ $\left[\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\right]^2 = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$ ;

$\bullet~~$ $\left[\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right]^2 = \dfrac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{16} = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \dfrac{4\left(2 - \sqrt{3} \right)}{16} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$.

Ces deux nombres positifs ont le même carré  : ils sont égaux ; les deux calculatrices donnent le résultat correct.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.\\
%\textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Il est attribué $1,5$ point par réponse correcte.\\
%Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte.}
%
%\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip


Tout point $M$ de $(D)$ a des coordonnées qui vérifient $x + y + z-3 = 2 + t + 1 - 3t + 2t - 3=0$, donc appartient à $(P)$ : la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$ : réponse B.

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

%Dans le rayon informatique d'une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux.
%
%On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d'attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
%
%Le temps d'attente moyen est de $20$ minutes.
%
%Sachant qu'un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A:~~} $\text{e}^{-\frac{1}{2}}$& \textbf{Réponse B :~~} $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$\\
%\textbf{Réponse C:~~} $1- \text{e}^{-\frac{1}{2}}$ &\textbf{Réponse D :~~} $1 - \text{e}^{-10\lambda}$
%\end{tabularx}
On sait que $E = \dfrac{1}{\lambda} = 20$ donc $\lambda = \dfrac{1}{20} = 0,05$.

La probabilité que son attente dépasse les 10 minutes  est égale à 

$P_{T\geqslant 20}(T \geqslant 30) = P(T \geqslant 10) = \text{e}^{- 0,05 \times 30} = \text{e}^{- 1,5} = \text{e}^{- \frac{3}{2}}$ : réponse B.

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

%Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d'une balle doit être compris entre $63,5$~mm et $66,7$~mm.
%
%On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres.
%
%On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d'écart type $\sigma$.
%
%On appelle $P$ la probabilité qu'une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme.
%
%L'usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième,
%permettant d'atteindre cet objectif est:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
%\textbf{Réponse A:~~} 0,69 &\textbf{Réponse B:~~} 2,58 &\textbf{Réponse C:~~} 0,62 &\textbf{Réponse D:~~} 0,80
%\end{tabularx}
La variable $D' = \dfrac{D - 65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

On a $P\left(\dfrac{63,5 - 65,1 }{\sigma} \leqslant D'\leqslant \dfrac{66,7 - 65,1 }{\sigma}\right) = 0,99$ soit $P\left(\dfrac{ - 1,6}{\sigma} \leqslant D' \leqslant \dfrac{1,6}{\sigma}\right) = 0,99$.

Il en résulte que $P\left(D' \leqslant \dfrac{ - 1,6}{\sigma}\right) = \frac{1 - 0,99}{2} = 0,005$.

De $P\left(D' \leqslant \dfrac{- 1,6}{\sigma} \right) = \np{0,005}$, la calculatrice donne $\dfrac{- 1,6}{\sigma} \approx - 2,576$, d'où finalement  $\sigma \approx 0,62$ : réponse C. 

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

%La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie par :
%
%\[f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}.\]
%
%\begin{center}
%\psset{unit=3cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.15)(2.8,2.2)
%\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.8,2.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psline(1.2,0)(1.2,2.2)\uput[d](1.2,0){$a$}
%\pscustom[fillstyle=hlines]
%{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{4 x mul x dup mul 1 add div}
%\psline(2,0)(0,0)
%}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.8}{4 x mul x dup mul 1 add div}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%La valeur exacte du réel positif a tel que la droite d'équation $x = a$ partage le domaine hachuré en deux domaines d'aires égales est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
%\textbf{Réponse A :~~} $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$ &\textbf{Réponse B :~~} $\sqrt{\sqrt{5} - 1}$ &\textbf{Réponse C :~~} $\ln 5 - 0,5$ &\textbf{Réponse D :~~s} $\dfrac{10}{9}$
%\end{tabularx}
%\medskip
$f(x) = 2 \times \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; on reconnait une primitive $F$ de $f$ :
$F(x) = 2\ln \left(x^2 + 1\right)$.

L'aire de la surface hachurée est donc égale (en unité d'aire) à :

$\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = [F(x) - F(0)]_0^2 = 2\ln \left(2^2 + 1\right) - 2\ln \left(0^2 + 1\right) = 2\ln 5$.

La droite d'équation $x = a$ partage la surface en deux surfaces ; les deux surfaces obtenues ont la même aire si :

$\displaystyle\int_{0}^a f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^2 f(x)\:\text{d}x \iff F(a) - F(0) = F(2) - F(a) \iff 2F(a) = F(0) + F(2) \iff 2\ln \left(a^2 + 1\right) = 2\ln 1 + 2\ln 5 \iff 2\ln \left(a^2 + 1\right) = \ln 5 \iff \ln \left[\left(a^2 + 1\right) \right]^2 = \ln 5 \iff \left(a^2 + 1\right)^2 = 5 \iff a^2 + 1 = \sqrt{5} \iff a^2 = \sqrt{5} - 1 \iff $ (puisque $a > 0$)\: $a = \sqrt{\sqrt{5} - 1}$. Réponse B.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
%
%\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\]
%
%Soit $a$ un réel positif.
%
%On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
%
%Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$.
Avec $a = 2,9$ il semble que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et convergente vers 1.

Avec $a = 3,1$ il semble que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante et tende vers $+\infty$.
\item %Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
	\begin{enumerate}
		\item %En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$.
Les termes $u_n$ et $u_{n+1}$ ayant pour limite $\ell$, on a donc $\ell = \dfrac{1}{2}\ell - \ell + \dfrac{3}{2}$.
		\item %Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3.
$\ell = \dfrac{1}{2}\ell - \ell + \dfrac{3}{2} \iff 2\ell = \ell^2 - 2\ell + 3 \iff \ell^2 - 4\ell + 3 = 0$

$1$ est solution évidente de cette équation que l'on peut écrire $(\ell - 1)(\ell - 3) = 0$.

L'autre solution est donc $\ell = 3$.

Si elle converge cela ne peut être que vers 1 ou 3.
 	\end{enumerate}
\item  %Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$.
On prend $a = 2,9$. $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = x - 1$ ; donc $f'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 1$ : la fonction $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.
		\item %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$.
		\emph{Initialisation} : $u_0 = 2,9$ et $u_1 : \dfrac{1}{2} \times 2,9^2 - 2,9 + \dfrac{3}{2} = 2,805$.
		
On a bien $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$, on ait :
$1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$ :

 puisque la fonction $f$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$, les images par $f$ des trois termes de cet encadrement sont rangées dans le même ordre :

$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1} \right) \leqslant f\left(u_n \right)$.

Soit avec $f(1) = \dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{3}{2} = 1$ :
$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

On a montré que l'encadrement est vrai au rang $0$ et que s'il est vrai au rang $n$, il l'est aussi au rang $n + 1$.

D'après le principe de récurrence on a donc démontré que :

pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$.
		\item  %Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
		D'après le résultat précédent la suite $\left(u_n\right)$ décroit et est minorée par 1 : elle est donc, d'après le théorème de la convergence monotone, convergente vers un nombre $\ell \geqslant 1$.
		
De plus $a=2,9$ est le premier terme de la suite qui est décroissante, donc $\ell<2,9$.

Les deux seules valeurs possibles pour la limite sont 1 et 3 (question 2.b.); ça ne peut pas être 3 donc $\ell=1$.		
		
 	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée.
Si la suite est majorée, comme elle est croissante, elle est convergente (théorème de la convergence monotone).		
		
		On a vu que si la suite converge ce ne peut être que vers 1 ou 3, ce qui n'est pas possible puisque le premier terme est $u_0 = 3,1>3$ et que la suite est croissante : cette suite n'est donc pas majorée.
		\item  %En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
		Par conséquent on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$.
		\item ~ %L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$.
		
%Recopier et compléter cet algorithme. 
%
%$P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$P \gets 0$\\
$U {\blue \gets 3,1}$\\
~\\
Tant que {\blue $U \leqslant 10^6$}\\
\hspace{0.6cm} {\blue $P \gets P+1$}\\
\hspace{0.6cm} {\blue $U \gets \dfrac{1}{2}U^2 - U + \dfrac{3}{2}$}\\
Fin Tant que\\
~\\ \hline
\end{tabularx}

\emph{Rem.} L'algorithme s'arrête à $u_9$. 
\end{center}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\smallskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_2$ et $u_3$ .
$\bullet~~$ $u_{2} = 6u_{1} - 8u_0 =  36 - 8 = 28$ ;

$\bullet~~$ $u_{3} = 6u_{2} - 8u_1 =  6\times 28 -8\times 6 = 168 - 48 = 120$.

\item %On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.
Pour tout $n \in \N$, \: $AU_n = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\ - 8u_n  + 6 u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{pmatrix} = U_{n+1}$.

%Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$.
\item %On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item On montre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$.
		
		\emph{Initialisation} : 
		Pour $n = 0$,\: $A^0 = I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $2^0B + 4^0C = B + C = \begin{pmatrix}2-1&-0,5 + 0,5\\4 - 4 &- 1 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$ : la relation est vraie au rang $0$.
		
\emph{Hérédité} : Supposons que pour $n \in \N$, \: $A^n = 2^nB + 4^nC$. On a 

$A^{n+1} = A^n \times A = \left(2^nB + 4^nC \right) \times A = 2^n BA + 4^nCA$. Or 

$BA = \begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}$ et $CA = \begin{pmatrix}-4&2\\-16&8\end{pmatrix}$, d'où

$A^{n+1}  = 2^{n}\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix} + 4^n\begin{pmatrix}-4&2\\-16&8\end{pmatrix}$ soit en factorisant 2 dans la première matrice et 4 dans la seconde :

$A^{n+1}  = 2^{n+1}\begin{pmatrix}2&- 0,5\\4&- 1\end{pmatrix} + 4^{n+1}\begin{pmatrix}-1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$ et enfin 

$A^{n+1} = 2^{n+1}B + 4^{n+1}C$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

On a montré que la relation est vraie au rang $0$ et que si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ ; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $A^n = 2^nB + 4^nC$.
		\item %On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$.
		
%Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$.
On a $U_0 = \begin{pmatrix}u_0\\u_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$, donc 

$U_n = A^nU_0 = \left(2^nB + 4^nC\right)\times \begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$  ; 

or $2^nB + 4^nC = \begin{pmatrix}2^{n+1}&- 2^{n-1}\\2^{n+2}&- 2^n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 4^n&2\times 4^{n-1}\\- 4^{n+1}&2\times 4^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2^{n+1}- 4^n&- 2^{n-1} +2\times 4^{n-1}\\2^{n+2}- 4^{n+1}&- 2^n + 2\times 4^n\end{pmatrix}$. 

Donc : $U_n = A^nU_0 = \begin{pmatrix}2^{n+1}- 4^n&- 2^{n-1} +2\times 4^{n-1}\\2^{n+2}- 4^{n+1}&- 2^n + 2\times 4^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.

D'où en prenant le premier terme :

$u_n = 2^{n+1}- 4^n + 6\left(- 2^{n-1} +2\times 4^{n-1}\right) = 2^{n+1}- 4^n - 3 \times 2^n + 3 \times 4^n = 2 \times 2^n - 3 \times 2^n - 4^n + 3 \times 4^n\\
\phantom{u_n} = 2\times 4^n - 2^n$. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\smallskip

%On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$.
%
%Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$.
%
%Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$.
Calculons $2^n \left (2^{n+1} - 1\right) = 2^{2n+1} - 2^n = 2\times 2^{2n} - 2^n = 2\times 4^n - 2^n = u_n$ (d'après la question précédente).
\item %On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
%$S \gets 0$\\
%~\\
%Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\
%$P \gets 2^{N+1} - 1$\\
%$U \gets 2^N P$\\
%~\\
%Pour $K$ variant de $1$ à $U$\\
%\hspace{0.6cm}Si $\frac{U}{K}$ est un nombre entier\\
%\hspace{1.1cm}$S \gets S + K$\\
%\hspace{0.6cm}Fin Si\\
%Fin Pour\\
%~\\
%Si $S = 2U$\\
%\hspace{0.6cm}Afficher \og oui \fg\\
%Sinon\\
%\hspace{0.6cm}Afficher \og non \fg\\
%Fin Si\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %À quelle question permet de répondre cet algorithme ?
		L'algorithme permet pour une valeur naturelle de $N$ de dire si le nombre $u_N$ est parfait ou non.
		
%Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$N$	&$P$	&$U$		&$S$		&Affichage final\\ \hline
0 	&1 		&1 			&1 			&non\\ \hline
1 	&3 		&6 			&12 		&oui\\ \hline
2 	&7 		&\textcolor{blue}{28}			& \textcolor{blue}{56}			& \textcolor{blue}{oui}\\ \hline
3 	&15 	&\textcolor{blue}{120}		&360		& \textcolor{blue}{non}\\ \hline
4 	&31		&\textcolor{blue}{496}		&992		& oui\\ \hline
5 	&63 	&\textcolor{blue}{\np{2016}}	&\np{6552}	& non\\ \hline
6 	&127	&\np{8128}	&\np{16256}	& \textcolor{blue}{oui} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche \og oui \fg.
		Il semble que $u_P$ soit parfait lorsque $P$ est un naturel premier; dans ce cas l'algorithme affiche \og oui \fg{}.
 	\end{enumerate}
\item  %Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$.
On sait que $u_n = 2^np_n$ et que  $p_n$ est un nombre premier.

Les diviseurs de $u_n$ sont donc les diviseurs de $2^n$, de $p_n$, ou leurs produits:

ce sont donc $2^0$, $2^1$, \dots , $2^n$, $2^0\times p_n$, $2^1\times p_n$, \dots , $2^n\times p_n$. 

Leur somme est 

$S_n= \left (2^0 + 2^1+ \cdots +2^n \right ) + \left ( 2^0\times p_n + 2^1\times p_n + \cdots +2^n\times p_n\right )\\[5pt]
\phantom{S_n}
= \left ( 2^0 + 2^1+ \cdots +2^n\right ) + \left ( 2^0 + 2^1+ \cdots +2^n \right ) p^n
= \left ( 1+p_n\right )\left ( 2^0 + 2^1+ \cdots +2^n\right )\\[5pt]
\phantom{S_n}
= (1+p_n) \times 2^0 \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} 
= \left (1+p_n\right ) \left ( 2^{n+1}-1\right ) 
= \left (1+p_n\right )p_n$

		\item %En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
On a $p_n = 2^{n+1} - 1 \iff p_n + 1 = 2^{n+1}$, donc :

$S_n = \left(1 + p_n\right)p_n = 2^{n+1} \times p_n = 2\times 2^{n}p_n = 2u_n$.

Donc $u_n$ est parfait si $p_n$ est un naturel premier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}