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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small 13 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt]13 septembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Lors d'un examen professionnel, chaque candidat doit présenter un dossier de type A ou un
%dossier de type B ; 60\,\% des candidats présentent un dossier de type A, les autres présentant un
%dossier de type B.
%
%Le jury attribue à chaque dossier une note comprise entre $0$ et $20$. Un candidat est reçu si la
%note attribuée à son dossier est supérieure ou égale à 10.
%
%On choisit au hasard un dossier.
%
%On admet qu'on peut modéliser la note attribuée à un dossier de type A par une variable
%aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $11,3$ et d'écart-type $3$, et la note attribuée à un
%dossier de type B par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $12,4$ et d'écart type $4,7$.
%
%On pourra noter $A$ l'évènement : \og le dossier est un dossier de type A\fg, $B$ l'évènement: \og le
%dossier est un dossier de type B \fg, et $R$ l'évènement: \og le dossier est celui d'un candidat reçu à
%l'examen \fg.
%
%Les probabilités seront arrondies au centième.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilité que ce dossier soit celui d'uncandidat reçu à l'examen ?
On a $P(X \leqslant 10) \approx 0,332304$, donc $P(X \geqslant 10) \approx 0,667696$, soit environ $0,67$.

On admet que la probabilité que le dossier choisi, sachant qu'il est de type B, soit celui d'un
candidat reçu est égale à $0,70$.
\item  %Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que le dossier choisi soit celui d'un
%candidat reçu à l'examen est égale à $0,68$.
La probabilité qu'un candidat soit reçu est égale :

$P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) = 0,6 \times 0,67 + 0,4 \times 0,70 = 0,402 + 0,280 = 0,682$, soit $0,68$ au centième près.
\item  Le jury examine $500$ dossiers choisis aléatoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces
dossiers, 368 sont ceux de candidats reçus à l'examen.

%Un membre du jury affirme que cet échantillon n'est pas représentatif. Il justifie son
%affirmation en expliquant que dans cet échantillon, la proportion de candidats reçus est trop
%grande.

%Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
On a $n = 500$,\; $n \geqslant 30$,  et $p = 0,68$.
On a $np = 500 \times 0,68 = 340 \geqslant 5$ ; $n(1 - p) = 500 \times 0,32 = 160 \geqslant 5$.

L'intervalle de fluctuation asymptotique  au seuil de 95\,\% est :
 
\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right] = [0,639~;~0721]\]

La fréquence de reçus dans l'échantillon est égale à : $\dfrac{368}{500} = 0,736$. 
Comme $0,736 \notin  [0,639~;~0721]$,le membre du jury a raison.
\item  %Le jury décerne un \og prix du jury\fg{} aux dossiers ayant obtenu une note supérieure ou égale
%à $N$, où $N$ est un nombre entier. La probabilité qu'un dossier choisi au hasard obtienne le
%\og prix du jury \fg{} est comprise entre $0,10$ et $0,15$.

%Déterminer le nombre entier $N$.
La probabilité d'obtenir un prix du jury étant faible, partons d'une note minimale de 15.

Dans ce cas la probabilité d'avoir un prix du jury est égale à :

$p_{15} = 0,6P(X \geqslant 15) + 0,4P(Y \geqslant 15)$ ; la calculatrice donne $p_{15} \approx 0,18$.

Avec une note minimale de 16 :

$p_{16} = 0,6P(X \geqslant 16) + 0,4P(Y \geqslant 16)$ ; la calculatrice donne $p_{16} \approx 0,12$.

Conclusion : le prix du jury est accordé à tous les candidats ayant au moins 16.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthogonal d'une fonction
%$g$ définie et continue sur $\R$. La courbe $\mathcal{C}_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan $y > 0$.
%
\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
\psline(1,0)(0,0)}
\pspolygon[linecolor=red](0,0)(0,1)(0.5,1)(0.5,0.8)(1,0.8)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
%
%Pour tout $t \in \R$ on pose :
%
%\[G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u.\]
%
%\smallskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des
%considérations graphiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier.
La fonction $G$ intégrale d'une fonction positive est croissante sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

On a en, effet $G'(t) = g(t) >0$, d'après l'énoncé.
\item %Justifier graphiquement l'inégalité $G(1) \leqslant 0,9$.
$G(1)$ est égale à l'aire (en unité d'aire) de la surface hachurée. Celle-ci a une aire inférieure à celle du polygone rouge composé de 9 rectangles d'aire $0,5 \times 0,2 = 0,1$. l'aire du polygone est donc égale à 0,9 et $G(1) < 0,9$.
\item %La fonction $G$ est-elle positive sur $\R$ ? Justifier.

Pour $t \geqslant 0$, \: $G(- t) = \displaystyle\int_{0}^{-t} g(u)\:\text{d}u = - \displaystyle\int_{-t}^{0} g(u)\:\text{d}u = - \displaystyle\int_{0}^{t} g(u)\:\text{d}u$, d'après la symétrie de $\mathcal{C}_g$ autour de l'axe des ordonnées.

D'après la question précédente $G$ est croissante sur $[0~;~ +\infty[$ et comme $G(0) = 0$, on a donc $G(t) > 0$ pour $t$ positif, donc $G(- t) < 0$ : la fonction $G$ n'est pas positive sur $\R$.
\end{enumerate}

\smallskip
 
\textbf{Dans la suite du problème, la fonction \boldmath $g$\unboldmath est définie sur \boldmath$\R$\unboldmath\; par \boldmath $g(u) = \text{e}^{-u^2}$.\unboldmath}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de $g$
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
		On sait que $\displaystyle\lim_{u \to - \infty} \text{e}^{-u^2} = \displaystyle\lim_{u \to + \infty} \text{e}^{-u^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{u \to - \infty} g(u) = \displaystyle\lim_{u \to + \infty} g(u) = 0$.
		\item %Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
$g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$g'(u) = - 2u \text{e}^{-u^2}$. Comme $\text{e}^{-u^2} > 0$ quel que soit le réel $u$, le signe de $g'(u)$ est donc celui de $- u$.

Sur $\R^{-},\; - u \geqslant  0$, donc $g'(u) \geqslant 0$ : la fonction $g$ est croissante sur $\R^{-}$ ;

Sur $\R^{+},\; - u \leqslant  0$, donc $g'(u) \leqslant 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur $\R^{+}$. 
		\item %Préciser le maximum de $g$ sur $\R$. En déduire que $g(1) \leqslant 1$.
La fonction $g$ étant croissante sur $\R^{-}$, puis décroissante sur $\R^{+}$, elle a pour maximum $g(0) = \text{e}^{0} = 1$.

Conclusion : $g(x) \leqslant 1$ et en particulier $g(1) \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item %On note $E$ l'ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. On appelle $I$ l'aire de cet ensemble.

%On rappelle que :
%
%\[I = G(1) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}u.\]
%
%On souhaite estimer l'aire $I$ par la méthode dite \og de Monte-Carlo \fg{} décrite ci-dessous.
%
%\begin{itemize}
%\item On choisit un point $M(x~;~y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses
%coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~ 1]$. On admet que la
%probabilité que le point $M$ appartienne à l'ensemble $E$ est égale à $I$.
%\item On répète $n$ fois l'expérience du choix d'un point $M$ au hasard. On compte le nombre
%$c$ de points appartenant à l'ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
%\item La fréquence $f = \dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.
%\end{itemize}
%
	\begin{enumerate}
		\item %La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur
%de $f$ correspondant à ce graphique.
On lit $f = \dfrac{77}{100} = 0,77$.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=11.5cm,yunit=9cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.05,1.05)
%\psframe(1,1)
%\psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psdots(0.1,0.98)(0.05,0.02)(0.12,0.9)(0.22,0.83)(0.32,0.82)(0.37,0.815)(0.09,0.76)(0.22,0.69)(0.35,0.67)(0.11,0.7)(0.18,0.53)(0.24,0.63)(0.57,0.61)(0.64,0.61)(0.65,0.6)(0.21,0.58)
%(0.48,0.55)(0.64,0.55)(0.66,0.53)(0.7,0.5)(0.57,0.44)(0.72,0.44)(0.77,0.44)(0.85,0.47)
%(0.13,0.46)(0.75,0.39)(0.54,0.41)(0.09,0.28)(0.27,0.29)(0.69,0.36)(0.7,0.37)(0.08,0.35)
%(0.28,0.28)(0.46,0.25)(0.47,0.23)(0.57,0.28)(0.7,0.28)(0.96,0.25)(0.3,0.23)(0.46,0.23)
%(0.54,0.21)(0.93,0.2)(0.96,0.23)(0.025,0.16)(0.035,0.16)(0.18,0.18)(0.28,0.16)(0.41,0.12)
%(0.63,0.16)(0.95,0.1)(0.45,0.13)(0.74,0.17)(0.94,0.12)(0.96,0.15)(0.08,0.04)(0.29,0.04)
%(0.01,0.02)(0.12,0.02)(0.51,0.01)(0.58,0)(0.92,0)(0.28,0.4)(0.3,0.42)(0.32,0.45)
%(0.35,0.5)(0.37,0.55)(0.39,0.57)(0.41,0.5)(0.48,0.41)(0.79,0.2)(0.76,0.15)(0.8,0.1)
%(0.85,0.26)(0.9,0.4)(0.44,0.65)(0.44,0.48)(0.57,0.63)
%\psdots[dotstyle=o](0.29,0.95)(0.57,0.98)(0.59,0.95)(0.79,0.92)(0.9,0.99)(0.49,0.8)(0.68,0.9)(0.79,0.91)(0.81,0.92)(0.43,0.85)(0.77,0.79)(0.94,0.77)(0.84,0.68)(0.87,0.64)(0.85,0.61)(0.83,0.59)
%(0.74,0.77)(0.97,0.69)(0.975,0.495)(0.92,0.47)(0.93,0.44)(0.6,0.8)(0.68,0.78)
%\end{pspicture}
%\end{center}
		\item  %L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite
%précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$.
		
%Recopier et compléter cet algorithme.

\medskip

$f$, $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.

ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
$c \gets 0$\\
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :\\
\hspace{2.cm}$x \gets$ ALEA\\
\hspace{2.cm}$y \gets$ ALEA\\
\hspace{1cm}Si $y \leqslant \text{e}^{-x^2}$ alors\\
\hspace{2.cm}$c \gets c + 1$\\
\hspace{1cm}fin Si\\
fin Pour\\
\hspace{2.5cm}$f \gets \dfrac{c}{n}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Une exécution de l'algorithme pour $n = \np{1000}$ donne $f = 0,757$.
		
%En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la valeur
%exacte de $I$.
L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la valeur exacte de $I$ est $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = [0,725~;~0,789]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = \text{e}^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par :
%
%\[G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u.\]

On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Un résultat préliminaire}.

On admet que, pour tout réel $u \geqslant 1$, on a $g(u) \leqslant \dfrac{1}{u^2}$.

%En déduire que, pour tout réel $t \geqslant 1$, on a :

%\[\displaystyle\int_1^t g(u)\:\text{d}u \leqslant 1 - \dfrac{1}{t}.\]
Si pour $u \geqslant 1$, on a $g(u) \leqslant \dfrac{1}{u^2}$, alors en intégrant ces fonctions de $1$ à $t$ : $\displaystyle\int_1^t g(u) \:\text{d}u \leqslant \displaystyle\int_1^t\dfrac{1}{u^2} \:\text{d}u$, soit :

$\displaystyle\int_1^t g(u) \:\text{d}u \leqslant \left[- \dfrac{1}{u} \right]_1^t$ ou 
$\displaystyle\int_1^t g(u) \:\text{d}u \leqslant - \dfrac{1}{t}  + 1$
\item %Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 1$,

%\[G(t) \leqslant 2 - \dfrac{1}{t}.\]
On a $G(t) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}u + \displaystyle\int_1^t g(u)\:\text{d}u$.

On a vu à la question 1. c. que sur [0~;~1], \: $g(t) \leqslant 1$ et donc en intégrant qur l'intervalle [0~;~1], $G(t) \leqslant 1$.

Dans la question précédente on a démontré que :

$\displaystyle\int_1^t g(u)\:\text{d}u \leqslant 1 - \dfrac{1}{t}$, d'où par somme :

$G(t) \leqslant 2 - \dfrac{1}{t}.$
%Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{t} = 0$, la limite de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est majorée par 2.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $m$ un nombre réel et soit l'équation $(E) :\quad  2z^2 + (m - 5)z + m = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1} :

%\og Pour $m = 4$, l'équation $(E)$ admet deux solutions réelles. \fg
On a $(E) : 2z^2 + (4 - 5)z + 4 = 0 \iff 2z^2 - z + 4 = 0$.

On a $\Delta = 1 - 32 < 0$ : les solutions sont donc complexes. \textbf{Affirmation 1} : fausse.
		\item 

%\og Il n'existe qu'une seule valeur de $m$ telle que $(E)$ admette deux solutions complexes
%qui soient des imaginaires purs. \fg
Si $a\text{i}$ est une solution imaginaire pure, alors :

$-2a^2 + 2a\text{i}(m - 5) + m = 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
- 2a^2 + m&=&0\\
m - 5&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
m&=&2a^2\\
m  &=&5
\end{array}\right.\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
\sqrt{\frac{5}{2}}&=&a\\
m  &=&5
\end{array}\right.$

Pour $m = 5$ il existe deux solutions imaginaires pures : $\sqrt{\frac{5}{2}}\text{i}$ et $- \sqrt{\frac{5}{2}}\text{i}$. \textbf{Affirmation 2 }: vraie.
	\end{enumerate}
\item  %Dans le plan complexe, on considère l'ensemble $S$ des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant:
	
%\[|z - 6| = |z + 5\text{i}|.\]

%\textbf{Affirmation 3 } :

%\og L'ensemble $S$ est un cercle. \fg
Soit A et B les points d'affixes respectives 6 et $ 5\text{i}$. Alors $|z - 6| = |z + 5\text{i}|$ signifie $M\text{A} = M\text{B}$, $M$ étant un point d'affixe $z$. Donc $S$ est la droite médiatrice du segment [AB]. \textbf{Affirmation 3 } : fausse.
\item  %On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk. On note $d$ la droite dont une
%représentation paramétrique est : 

\[ 
d :\;\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -1 + t\\
y &=& \phantom{-}2 - t\\
z &=&\phantom{-}3+t
\end{array}\right.\; t \in \R.\]

On note $d'$ la droite passant par le point B$(4~;~4~;- 6)$ et de vecteur directeur $\vect{v}(5~;~2~;~ -9)$.
Une équation paramétrique de $d'$ est : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}4 + 5t'\\
y &=& \phantom{-}4 + 2t'\\
z &=&- 6 - 9t'
\end{array}\right.\; t \in \R.$

Ces droites ne sont pas parallèles car leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. lles sont sécantes si :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-1 + t	&=&4 + 5t'\\
2 - t	&=&4 + 2t'\\
3+t		&=&- 6 - 9t'
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t	&=&5 + 5t'\\
t	&=&- 2 - 2t'\\
t	&=&- 9 - 9t'
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t	&=&5 + 5t'\\
5 + 5t'	&=&- 2 - 2t'\\
5 + 5t'	&=&- 9 - 9t'
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
t	&=&5 + 5t'\\
7t'	&=&- 7\\
14t'	&=&- 14 
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
t	&=&5 + 5t'\\
t'	&=&- 1\\
t'	&=&- 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t	&=&5 - 5\\
t'	&=&- 1\\
t'	&=&- 1
\end{array}\right.$.

Il existe donc un point commun à $d$ et à $d'$ le point de coordonnées $(-1~;~2~3)$. les droites sont donc coplanaires. 

\textbf{Affirmation 4} : vraie.

%\og Les droites $d$ et $d'$ sont coplanaires. \fg
\item %On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%\textbf{Affirmation 5} : 
%
%\og Le vecteur $\vect{\text{DE}}$ est un vecteur normal au plan (ABG). \fg
%\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.38\linewidth}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(5.5,6)
%%\psgrid
%\psframe(0.5,0.5)(4,4)%BCGF
%\psline(4,0.5)(5.5,2)(5.5,5.5)(4,4)%CDHG
%\psline(5.5,5.5)(2,5.5)(0.5,4)%HEF
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2,2)(2,5.5)%BAE
%\psline[linestyle=dashed](2,2)(5.5,2)%AD
%\uput[dl](0.5,0.5){B}\uput[d](4,0.5){C}\uput[r](4,4){G}\uput[l](0.5,4){F}
%\uput[l](2,2){A}\uput[r](5.5,2){D}\uput[r](5.5,5.5){H}\uput[ul](2,5.5){E}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
En prenant comme repère $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}} \right)$, on a A(0~;~0~;~0), B(1~;~0~;~0), D(0~;1~;~0), E(0~;~0~;~1), G(1~;~1~;~1).

On a $\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix},\; \vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\; \vect{\text{BG}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

Or $\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{AB}} = 0 + 0 + 0 = 0$ et $\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{BG}} = 0 - 1 + 1 = 0$.

$\vect{\text{DE}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ABG, il est donc normal à ce plan. \textbf{Affirmation 5} : vraie.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par

\[f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
%
%\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\;  u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]
%
%On admet que cette suite est bien définie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$.
$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.
\item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~4].
La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$

Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0~;~4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~4].  
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$,

%\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.\]
Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation}

On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

\emph{Hérédité}

Supposons que pour $n \in \N$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~4], on 

$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$, 

$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout naturel $n$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante,  minorée par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$.
		\item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité:

\[\ell  = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}\]
		.
		\item %Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction $f$ (puisque $f$ est dérivable) :

\[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\]

On en dédit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell + \ell - 2 = 0$.

Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions :

$\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et  $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$.

Comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

\[v_0 = 0,1 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; v_{n+1} = f\left(v_n\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %On donne en \textbf{Annexe, à rendre avec la copie}, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$,  de la fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$.
Voir à la fin l'annexe.
%Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur
l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.

%Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite
%$\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
%\[1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right).\]
$1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$.
		\item %Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
		
%\[0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]
	
\emph{Initialisation} pour $n = 0$, \; $1 - v_0 = 0,9$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$.
	
On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.	

\emph{Hérédité} Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$, donc d'après l'hypothèse de récurrence :

$1 - v_{n+1}  \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$.

Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$, donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$.

On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$, soit finalement :

$0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang $n$quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :

quel que soit le naturel $n$, \; $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 
 	\end{enumerate}
\item  %La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de $1 - v_n = 0$, donc :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  v_n = 1.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
%
%\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire étudie l'évolution d'une population d'insectes parasites de plantes.

Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au
cours duquel les insectes peuvent se reproduire.

L'observation de l'évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.

Chaque semaine :

\smallskip

\begin{itemize}
\item Chaque adulte donne naissance à 2 larves puis 75\,\% des adultes meurent.
\item 25\,\% des larves meurent et 50\,\% des larves deviennent adultes.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d'adultes au bout de $n$ semaines.

Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n = \begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\; $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice:
%\[A =  \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}.\]
\begin{list}{\textbullet}{Chaque semaine,}
\item chaque adulte donne naissance à 2 larves, donc la part de larves la semaine $n+1$ provenant des adultes de la semaine $n$ est $2\times a_n$;

\item 25\,\% des larves meurent et 50\,\% des larves deviennent adultes, donc il reste 25\,\% de larves quand on passe de la semaine $n$ à la semaine $n+1$. La part de larves la semaine $n+1$ provenant des larves de la semaine $n$ est $0,25 \ell_n$.
\end{list}

On a donc $\ell_{n+1} = 0,25 \ell_n + 2 a_n$.

\begin{list}{\textbullet}{Chaque semaine,}
\item 75\,\% des adultes meurent donc il en reste 25\,\%:  la part des adultes la semaine $n+1$ provenant des adultes de la semaine $n$ est $0,25 a_n$;
\item  50\,\% des larves deviennent adultes donc la part des adultes la semaine $n+1$ provenant des larves de la semaine $n$ est $0,5 \ell_n$.
\end{list}

On a donc $a_{n+1} = 0,5\ell_n + 0,25 a_n$.

\smallskip

Le système
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{+} l}
\ell_{n+1} & 0,25 \ell_n & \phantom{0,2}2 a_n\\
a_{n+1}    & 0,5\ell_n & 0,25 a_n
\end{array}
\right .$
s'écrit sous forme matricielle\\
$\begin{pmatrix}
\ell_{n+1} \\ a_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,25 & 2 \\ 0,5 & 0,25 
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
\ell_{n} \\ a_{n}
\end{pmatrix}$
ou encore
$X_{n+1} = AX_n$
où
$A =  \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}$.

\item  On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item $AU = 
		 \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}
		 \times  \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
		 = \begin{pmatrix}
		 0,25\times 2 + 2 \times 1 \\ 0,5\times 2 + 0,25 \times 1
		 \end{pmatrix}
		 = \begin{pmatrix} 2,5 \\ 1,25 \end{pmatrix}		
		 = 1,25\times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}			  
		 = 1,25U$.
		\item 
$AV = - 0,75V
\iff \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}
=-0,75  \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix}0,25a + 2\\0,5a +  0,25\end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} -0,75a \\ -0,75\end{pmatrix} \\
\phantom{AV = - 0,75V}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,25a +2 & -0,75a\\
0,5a+0,25 & -0,75
\end{array}
\right .
\iff a=-2$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

Dans la suite, le réel $a$ est fixé de sorte qu'il est  la solution de  $AV = -0,75V$ donc
$V=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]	
\item  On admet qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: $X_0 = \alpha U + \beta V$ et $\alpha > 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal{P}_n$ l'égalité $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$.
		
		On va démontrer par récurrence sur $n$ que $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

On sait que $X_0 = \alpha U + \beta V$ donc $X_0 = \alpha(1,25)^0 U + \beta(-0,75)^0 V$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité} 

On suppose la propriété vraie pour un $n$ quelconque, et on va démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.

 $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$
 donc \\
  $X_{n+1} = AX_n
 = A\left (\alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV \right )
=\alpha(1,25)^n AU + \beta(- 0,75)^n AV$

Or $AU=1,25U$ et $AV = -0,75 V$ donc \\
$X_{n+1}
=\alpha(1,25)^n (1,25)U + \beta(- 0,75)^n (-0,75)V
=  \alpha(1,25)^{n+1} U + \beta(- 0,75)^{n+1} V$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item\textbf{Conclusion} 

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $n$, donc elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

Pour tout $n$, on a  $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$.

		\item 
%		En déduire que pour tout entier naturel $n$ :\; $\left\{\begin{array}{l c l}
%		\ell_n &=& 2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)\\
%		a_n &=&\phantom{2} (1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right).
%		\end{array}\right.$
$X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$ donc
$\begin{pmatrix} \ell_n \\ a_n \end{pmatrix}
=
\alpha(1,25)^n
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
 + \beta(- 0,75)^n
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
ce qui équivaut à
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
		\ell_n & 2\alpha (1,25)^n - 2\beta(- 0,75)^n\\
		a_n    &  \alpha (1,25)^n + \beta(- 0,75)^n
		\end{array}\right.$
ou encore
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
		\ell_n & \rule[-13pt]{0pt}{0pt}2(1,25)^n \left (\alpha - \beta\left (\dfrac{-0,75}{1,25}\right )^n\right )\\
		a_n    &  (1,25)^n\left ( \alpha + \beta \left (\dfrac{-0,75}{1,25}\right )^n\right )
		\end{array}\right.$		
		
c'est-à-dire		
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
		\ell_n & 2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)\\
		a_n    &  (1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)
		\end{array}\right.$

 	\end{enumerate}
 	
\item%  Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ell_n}{a_n} = 2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$ \dfrac{\ell_n}{a_n} = \dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)}
=\dfrac{2\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)}{\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)}
$

Or $-1<0,6<1$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (0,6)^n =0$; 

il s'ensuit que
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  2\left (\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)= 2 \alpha$
et
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left (\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)=\alpha$.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}
= \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{2\alpha}{\alpha} = 2$.

\smallskip

On en déduit, qu'à long terme, le nombre de larves sera le double du nombre d'adultes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) :\; 19x - 6y = 1$.% Déterminer le nombre de couples d'entiers $(x~;~y)$ solutions de l'équation $(E)$ et vérifiant $\np{2000}  \leqslant x \leqslant \np{2100}$.

Les nombres 19 et 6 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation $19x - 6y = 1$ admet une infinité de couples d'entiers relatifs $(a~;~b)$ solutions.

$19\times 1 - 6 \times 3 = 1$ donc le couple $(1~;~3)$ est solution de $(E)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Soit $(a~;~b)$ un couple d'entier solutions de $(E)$; on a donc $19\times a - 6 \times b = 1$.

$\left .
\begin{array}{@{} l !{=} l}
19\times 1 - 6 \times 3 & 1\\
19\times a - 6 \times b & 1
\end{array}
\right \rbrace
\stackrel{\text{par soustraction}}{\implies}
19\left (1-a\right ) - 6 \left (3-b\right ) = 0
\text{ donc } 19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$

$19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$ donc 19 divise $6 \left (3-b\right )$; or 19 et 6 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 19 divise $3-b$. Donc $3-b$ peut s'écrire $19k$ où $k$ est un entier relatif, ce qui entraîne $b=3-19k$.

$19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$ et $3-b=19k$ donc $19\left (1-a\right ) = 6 \times 19k$ donc $1-a=6k$, ce qui entraîne $a=1-6k$.

On peut donc dire que si $(a~;~b)$ est une solution de $(E)$, alors $(a~;~b)$ s'écrit sous la forme $(1-6k~;~3-19k)$ où $k\in \Z$.

\item Réciproquement, pour tout $k$ de $\Z$, 
$19\left ( 1-6k\right )-6\left (3-19k\right ) = 19 - 114k - 18 + 114k=1$
donc tout couple $(1-6k~;~3-19k)$ où $k\in \Z$  est solution de $(E)$.
\end{list}  

L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc
$\left \lbrace (1-6k~;~3-19k) \strut \right \rbrace_{k\in\Z}$.

\smallskip

On cherche les couples d'entiers $(x~;~y)$ solutions de l'équation $(E)$ et vérifiant $\np{2000}  \leqslant x \leqslant \np{2100}$, ce qui revient à chercher $k$ de $\Z$ tel que 
$\np{2000}  \leqslant 1-6k \leqslant \np{2100}$
autrement dit
$\np{1999}  \leqslant -6k \leqslant \np{2099}$
ou encore
$-\dfrac{\np{2099}}{6} \leqslant k \leqslant -\dfrac{\np{1999}}{6}$.

$-\dfrac{\np{2099}}{6} \approx -349,8$ et $-\dfrac{\np{1999}}{6}\approx -332,2$ et comme $k$ est entier, on a $-349 \leqslant k \leqslant -334$ ce qui fait 16 valeurs de $k$ donc 16 couples solutions de $(E)$ vérifiant la condition imposée.

\item  Soit $n$ un entier naturel. %Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n'est pas un multiple de 3.

Un nombre $d$ qui divise deux nombres $a$ et $b$ divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres.

Soit $d$ un diviseur commun à $(n+3)$ et $(2n+3)$, alors $d$ divise $\left (2\left (n+3\right ) - \left (2n+3\right )\right )$ donc $d$ divise 3.
Les seuls diviseurs communs possibles de $(n+3)$ et $(2n+3)$ sont donc les diviseurs de 3, c'est-à-dire  1 et 3.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $n$ est multiple de 3, alors $2n+3$ et $n+3$ sont aussi multiples de 3 donc les deux nombres $(n+3)$ et $(2n+3)$ ne sont pas premiers entre eux.
\item Si $n$ n'est pas multiple de 3, alors $n$ s'écrit $3q+r$ avec $r=1$ ou $r=2$.

\begin{list}{$\circ$}{}
\item $2n+3 = 2(3q+r)+3 = 3(2q+1)+2r$ n'est pas multiple de 3.
\item $n+3= 3q+r+3 = 3(q+1)+r$ n'est pas multiple de 3.
\end{list}

3 n'est pas un diviseur commun à $(n+3)$ et $(2n+3)$ donc le seul autre diviseur commun possible est 1 ce qui prouve que $(n+3)$ et $(2n+3)$ sont premiers entre eux.
\end{list}

On a donc démontré que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n'est pas un multiple de 3.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{2cm}

\textbf{À rendre avec la copie}   

\bigskip

\psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1)
\psline(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div}
\uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92)
\psline(0.561,0)(0.561,0.561)
\psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0)
\psline(0.92,0)(0.92,0.92)
\uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$}
\psset{algebraic}
\psFixpoint[linecolor=red]{0.1}{(3*x+2)/(x+4)}{3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}