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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
%Relecture : François Hache et Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2019}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion 21 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\blue Exercice 1\hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\subsection*{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		 $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ car $\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ donc par somme et produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}}$.
		 
		\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Pour tout $x$, $f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)$.

Sur $]0~;~+\infty[$, $x>0$ donc $x>-x$.
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, on a $\e^{x}>\e^{-x}$ ce qui entraine que $\e^{x} - \e^{-x}>0$ et donc que $-\dfrac{1}{2}\left (\e^{x}-\e^{-x}\right )<0$.

Donc $f'(x)<0$ sur $]0~;\,+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

%
%De même $f''(x) = -\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}- \left[-\mathrm{e}^{-x}\right]\right) = -\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$.
%
%Comme $\text{e}^x + \text{e}^{-x} > 0$, quel que soit $x$, comme somme de deux termes supérieurs à zéro, il en résulte que $f''(x) < 0$ en particulier sur $[0~;~+ \infty[$.
%
%La fonction $f'$ est donc décroissante à partir de $f'(0) = 0$ et par conséquent $f'(x) < 0$ sur $]0~;~+ \infty[$.
%
%Conclusion : la dérivée $f'$ ne s'annulant que pour $x = 0$ et étant négative pour $x > 0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.
%		
%%Si $x\geqslant 0$, $-x\leqslant x$ donc $\mathrm{e}^{-x}\leqslant \mathrm{e}^{x}$ (car la fonction $\exp$ est croissante) ; on en déduit que $-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)\leqslant 0$.
%
%La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
		
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, une unique solution, que l'on note $\alpha$.
$f$ est continue : $f(0)=\dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}(1 + 1) = \dfrac{7}{2} - 1 = \dfrac{5}{2} >0$ et  $\lim_{x \to +\infty}f(x)= -\infty$. Il existe donc un réel $x > 0$ tel que $f(x) < 0$ ; par exemple $f(2) \approx - 0,26$.

Pour tout $x$ de $]2~;\, +\infty[$, on a $f(x)<f(2)<0$ donc $f$ ne s'annule pas sur $]2~;\, +\infty[$.

Sur l'intervalle [0~;~2] la fonction est continue car dérivable; comme elle est strictement décroissante sur cet intervalle (question 1.b.) d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution  unique $\alpha$ dans $[0~;~2]$ donc une solution unique $\alpha$  dans $[0~;\,+\infty[$..
	\end{enumerate}
	
\item %En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$, justifier que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $\R$ et qu'elles sont opposées.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, \:$f(-x) =  \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}\right) = \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right) = f(x)$. 

Donc  $f$ est une fonction paire. 

On a vu qu'il existe $\alpha \in[0~;~+ \infty[$ unique  tel que $f(\alpha) = 0$.

Or $f(- \alpha) = f(\alpha)  = 0$. Donc $- \alpha \in ]- \infty~;~0]$ vérifie $f(- \alpha) = 0$.

S'il y avait une autre solution $\beta \neq -\alpha$ dans $]-\infty~;\, 0[$, alors $-\beta$ serait une deuxième solution dans $]0~;\,+\infty[$, ce qui n'est pas possible.

Conclusion : l'équation dans $\R$, $f(x) = 0$ a exactement deux solutions opposées $\alpha$ et $- \alpha$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Les \textbf{serres en forme de tunnel} sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.

Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la \textbf{partie A}. Dans la suite de l'exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\alpha~;~+\alpha]$.

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-\alpha~;~+\alpha]$.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,linewidth=1.2pt}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3.9} \def\ymin{-.85} \def\ymax{3.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-3,2.5)(3,2.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(2.5,2.5)
\rput[l](2.65,1.25){\textbf{hauteur}}
\rput[l](-1.65,1.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On admettra que la courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.

\begin{enumerate}
	\item %Calculer la hauteur d'un arceau.
La hauteur d'un arceau est $f(0)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{2}}}$.
	
	\item \begin{enumerate}
		\item %Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe~$\mathcal{C}$ sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l'intégrale : \[I=\displaystyle\int_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx\]
%		Montrer que, pour tout réel $x$, on a : $1+(f'(x))^2=\dfrac{1}{4}(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})^2$
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $1+ \left[f'(x)\right]^2=1+\left[-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)\right]^2=1+\dfrac{\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^2}{4}=1+\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-2+\mathrm{e}^{-2x}}{4}= \frac{4 + \text{e}^{2x} - 2 + \text{e}^{-2x}}{4} = \dfrac{\mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x}}{4}= \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^2 = \left[\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{- x}}{2} \right]^2$.

		\item %En déduire la valeur de l'intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
		Alors : $I=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2} =\int_0^{\alpha}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)\text{ d}x=\dfrac{1}{2}\left(G(\alpha)-G(0)\right)$ où $G$ est une primitive de $x\mapsto \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$.
		
On a : $G(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$.
		
Alors : $I=\dfrac{1}{2}\left[G(\alpha)-G(0)\right] = \dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)$
		
%Justifier que la longueur d'un arceau, en mètre, est égale à : $\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}$.
Puisque la fonction $f$ est paire, la courbe $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe $\left(\text{O}y\right)$, $\boxed{\textcolor{red}{L = 2I = \mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}
On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.

On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5~mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur 1~mètre et de longueur 2~mètres.

\begin{center}
	\psset{unit=1.2cm,linewidth=1.2pt}
	\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-.85} \def\ymax{6}
	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psframe[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray](-.5,0)(.5,2)
	%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
	\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x  -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
	\psplot{-.92}{2.92}{3.5 2.7181828 x 1 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 1 sub exp add .5 mul sub 1 add}
	\psplot{.08}{3.92}{3.5 2.7181828 x 2 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 2 sub exp add .5 mul sub 2 add}
	\psplot{1.08}{4.92}{3.5 2.7181828 x 3 sub  -1 mul exp 2.7181828 x 3 sub exp add .5 mul sub 3 add}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-1.92,0)(1.08,3)(4.92,3)
\psline(-1.92,0)(1.92,0)(4.92,3)
\psline(-.96,2)(0.96,2)
\psline(0,2.5)(3,5.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(3.5,1)
\rput[l](3.2,.5){\textbf{1m50}}
\uput[35](.5,0){$C$}
\uput[-35](.5,2){$B$}
\uput[135](-.5,0){$D$}
\uput[-35](-.5,2){$A$}
\rput[b](-.5,-0.5){\textbf{Façade sud}}
\rput[b](3.5,3){\textbf{Façade nord}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m$^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Cette bâche est constituée de trois parties, l'une recouvrant la façade nord, l'autre la façade sud (sauf l'ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le toit de la serre.

\begin{enumerate}
	\item %Montrer que la quantité de bâche nécéssaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$, par : \[\mathcal{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\ dx-2\]
Les façades Nord et Sud ont chacune une aire égale à $\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\text{ d}x=2\int_0^{\alpha}f(x)\text{ d}x$.
	
L'aire de l'ouverture vaut 2, donc la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$, par : 
	
\[\mathcal{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\: \text{d}x -2\]

	\item %On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au m$^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
$f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)$.

Une primitive de $f$ est définie par $F(x)=\dfrac{7}{2}x-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)$.

Alors : $\mathscr{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\text{ d}x-2=4[F(\alpha)-F(0)]-2$.

$F(\alpha)=\dfrac{7}{2}\alpha-\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)$.

$F(0)=0$

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{A}=14\alpha-2\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)-2}}$.\\

\bigskip

L'aire de la bâche latérale est celle d'un rectangle, de longueur $3\times 1,50 = 4,5$ m et de largeur $L$, avec $L = 2I$ (voir la partie B).

Cette aire est donc égale à  $4,5L= 4,5\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)$.

L'aire totale de la bâche plastique nécessaire est :

$14\alpha-2\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)-2+4,5\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)=14\alpha+2,5\left(\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)-2\approx \boxed{\textcolor{red}{42}}$~m$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\blue Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type $A$ et un jeu de type $B$.

\subsection*{Partie A}

Les durées des parties de type $A$ et de type $B$, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires $X_A$ et $X_B$.

La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~25]$

La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=.4cm, yunit=30cm,linewidth=1.2pt,comma}
\def\xmin{-3} \def\xmax{29} \def\ymin{-.025} \def\ymax{0.17}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt,Dy=0.05](0,0)(0,0)(28.9,\ymax)
\psplot[plotpoints=2000]{-1}{28}{0.1329807601 2.7181828 x 17 sub 3 div 2 exp .5 neg mul exp mul}
\psline[linestyle=dashed](17,-.005)(17,.155)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la durée moyenne d'une partie de type $A$.
La durée moyenne d'une partie de type $A$ est $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=\boxed{\textcolor{red}{17}}$.

		\item %Préciser à l'aide du graphique la durée moyenne  d'une partie de type $B$.\\
		La courbe représentative de la densité correspondant à la loi normale a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=17$, donc la durée moyenne d'une partie de type $B$ est $\mu = 17$ minutes.
	\end{enumerate}
	
\item %On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donner le résultat arrondi au centième.
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Avec le jeu de type $A$, on a : $P\left(X_A\leqslant 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=\dfrac{11}{16} = \np{0,6875}$.

\item[$\bullet$] Avec le jeu de type $B$, on a : $P\left(X_B\leqslant 20\right)=P\left(X_B\leqslant \mu+\sigma\right)=P\left(X_B\leqslant \mu\right)+P\left(\mu\leqslant X_B\leqslant \mu+\sigma\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{0,68}{2}\approx 0,84$ au centième près.
\end{enumerate}
Comme on choisit de manière équiprobable le jeu, la probabilité cherchée est 

$\dfrac{P\left(X_A\leqslant 20\right)+P\left(X_B\leqslant 20\right)}{2}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,76}}$ au centième près.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

\begin{itemize}
	\item si le joueur achève une partie de type $A$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $A$ avec une probabilité de $0,8$ ;
	\item si le joueur achève une partie de type $B$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $B$ avec une probabilité de $0,7$.
\end{itemize}

Pour une entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :

$A_n$ : \og la $n$-ième partie est une partie de type $A$.\fg

$B_n$ : \og la $n$-ième partie est une partie de type $B$.\fg

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre
\begin{center}
\psset{nodesepA=0mm,nodesepB=3pt,levelsep=25mm,treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\TR{$A_n$~~}\naput{ $a_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\naput{\blue  $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}\nbput{ \blue $1-0,8=0,2$}
}
\pstree
{\TR{$B_n$~~}\nbput{ \blue $1-a_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\naput{\blue  $1-0,7=0,3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}\nbput{\blue  $0,7$}}}
\end{center}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]
D'après la formule des probabilités totales, on a : 

$P\left(A_{n+1}\right)=P_{A_n}\left(A_n \cap A_{n+1}\right)+P_{B_n}\left(B_n \cap A_{n+1}\right)=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right)=0,5a_n+0,3$ donc
 
\[\boxed{\textcolor{red}{a_{n+1}=0,5a_n+0,3}}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par : $a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n+1}=0,5a_n + 0,3$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
		Montrons par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$ :
		\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Initialisation : $a_1= a = 0,5$ donc $0\leqslant a_1\leqslant 0,6$

\item[$\bullet$] Hérédité : on suppose $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$ pour une valeur quelconque de $n \geqslant 1$.

Alors : $0\leqslant 0,5\times a_n\leqslant 0,5\times 0,6$ donc $0\leqslant 0,5a_n\leqslant 0,3$ d'où, en ajoutant 0,3 :

$0,3 \leqslant 0,3 + 0,5a_n\leqslant 0,6$ et par conséquent : $0\leqslant a_{n+1}\leqslant 0,6$.

La propriété est vraie au rang $n + 1$.
\end{enumerate}

La propriété est vraie au rang 1 et, si elle est vraie à un rang $n$ quelconque elle est vraie au rang suivant $n + 1$ : d'après le principe  de récurrence, elle est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

		\item %Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
Pour tout $n\geqslant 1$, $a_{n+1}-a_n=0,5a_n+0,3-a_n=-0,5a_n+0,3$.
		
Or, d'après la question précédente, on a :

$0\leqslant a_n\leqslant 0,6\Rightarrow 0\leqslant 0,5a_n\leqslant 0,3\Rightarrow -0,3\leqslant -0,5a_n\leqslant 0\Rightarrow 0\leqslant -0,5a_n+0,3\leqslant 0,3$ donc $a_{n+1}-a_n\geqslant 0$.
		
La suite est donc croissante.
		
		\item %Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.
		La suite est croissante et majorée par 0,6, donc, d'après le théorème de la convergence monotone,  la suite est convergente vers une limite $\ell\leqslant 0,6$.
		
\smallskip

$\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\ell$~;~$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(0,5a_n+0,3\right)=0,5\ell+0,3$.

Par unicité de la limite, on a : $0,5\ell+0,3=\ell$ donc $0,3=0,5\ell$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{\ell=0,6}}$.

La suite $\left(a_n\right)$ converge vers 0,6.
	\end{enumerate}
	
\item \textit{Étude du cas général.} Dans cette question, le réel $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~1]$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ par $u_n=a_n - 0,6$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
Pour tout $n$, $u_{n+1}=a_{n+1}-0,6=0,5a_n+0,3-0,6=0,5a_n-0,3=0,5\left(a_n-0,6\right)=0,5u_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,5u_n}}$.
		
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_1=a_1-0,6=a-0,6$.
		
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $a_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$. 
Puisque $\left(u_n\right)$ est géométrique, $u_n=u_1q^{n-1}=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$ ($n \geqslant 1$).

Comme $u_n=a_n-0,6$, on a : $a_n=u_n+0,6=\boxed{\textcolor{red}{a_n =  (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6}}$.
		
		\item %Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$?
		$-1<0,5<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,5^{n-1}=0$ d'où, par produit et par somme, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0,6}}$.
		
Cette limite ne dépend pas de la valeur de $a$.
		
		\item %La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type $A$ et une autre insérée en début des parties de type $B$. Quelle devrait-être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
		Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type $A$ est 0,6 et donc celle qu'il fasse une partie de type $B$ est 0,4. Le joueur verra plus souvent la publicité insérée dans les jeux de type $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\blue Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
%
%Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\begin{enumerate}
	\item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l'équation $(E)$ : $z^2 - 2\sqrt{3}z+4 = 0$.
	
On note A et B les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$. 
	
On note O  le point d'affixe $0$.
%\textbf{Affirmation 1 :}  Le triangle O$AB$ est équilatéral.

$\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4\times 4=12-16=-4<0$ ; l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

$z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\mathrm{i}}{2}=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

On note A le point d'affixe $z_1$ et B le point d'affixe $z_2=\overline{z_1}$.

$\text{OA}=\text{OB}=\left|z_1\right|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$.

$\text{AB}=2$ (\og{}évident\fg{}) donc $\text{OA}=\text{OB}=\text{AB}=2$ ; le triangle OAB est équilatéral.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}
	
	\item On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+ \text{i}$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
	
%\textbf{Affirmation 2 :} $u^{2019}+ \overline{u}^{2019}=2^{2019}$
$u=\sqrt{3}+\mathrm{i}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)= 2\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6} \right) = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}$.

On remarque que $2019 = 6\times 336 + 3$ donc $u^{2019} = u^{6\times 336+3}=\left(u^6\right)^{336}\times u^3$.

$u^6=2^6\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-2^6$.

$u^{2019}=\left(-2^6\right)^{336}\times u^3$ ; or $u^3=2^3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}=8\mathrm{i}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u^{2019}=2^{\np{2019}}\mathrm{i}}}$.

$\overline{u}^{2019}=\overline{u^{2019}}=\overline{2^{\np{2019}}\mathrm{i}}=- 2^{\np{2019}}\mathrm{i}$.

Alors : $u^{2019}+\overline{u}^{2019}= \boxed{\textcolor{red}{0}}$.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.

	\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
	
\[f_n(x)=x\e^{- nx+1}.\]
	
%\textbf{Affirmation 3 :}  Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
$f_n$ est dérivable :

Pour tout $x\in[0~;~+\infty[$, $f_n'(x)=1\times \mathrm{e}^{-nx+1}+x\times (-n)\mathrm{e}^{-nx+1}=(1-nx)\mathrm{e}^{-nx+1}$ qui est du signe de $1-nx$ car $\mathrm{e}^{-nx+1}>0$.

$1-nx=0\iff x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0\iff 0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{n}$ car la fonction $x\mapsto -nx+1$ est affine décroissante.

$f_n'(x)$ est donc positive sur $\left[0~;~\dfrac{1}{n}\right]$ puis négative pour $x\geqslant \dfrac{1}{n}$.

$f_n$ est donc croissante sur $\left(0~;~\dfrac{1}{n}\right)$ puis décroissante ; elle a donc un maximum, atteint en $x=\dfrac{1}{n}$.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}

	\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\cos(x)\mathrm{e}^{-x}$.
	
%\textbf{Affirmation 4 :}  La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $-1\leqslant \cos x\leqslant 1\Rightarrow -\mathrm{e}^{x}\leqslant f(x)\leqslant \mathrm{e}^{-x}$.

Or $\lim_{x\rightarrow +\infty}(-x)=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}=\lim_{X\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.

D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$. L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}
		\item Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
	
On considère l'algorithme ci-contre.
	
On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d'exécution de cet algorithme.
	
%\textbf{Affirmation 5 :}   $15\ln(2)\leqslant \ln(A)\leqslant 16\ln(2)$

\begin{center}
	\fbox{\begin{minipage}{.35\linewidth}
	$I \leftarrow 0$
	
Tant que $2^I\leqslant A$
	
\hspace{5mm} $I\leftarrow I+1$
	
Fin Tant que
\end{minipage}}
\end{center}
Si la variable I contient la valeur 15 en fin d'algorithme, on a $\begin{cases}2^{14}\leqslant A\\2^{15}>A\end{cases}$ d'où

$14 \ln(2) \leqslant \ln(A) \leqslant  15\ln(2)$.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\blue Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On note $\Z$ l'ensemble des entiers relatifs.

Dans cet exercice, on étudie l'ensemble $S$ des matrices qui s'écrivent sous la forme 
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ et vérifient : $ad-bc=1$.

On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} $

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item 
Soit $A = 	\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix}$.
	%Vérifier que la matrice $A=\left( 
%	\begin{array}{rr}
%	6&5\\-5&-4
%	\end{array}
%	\right) $ appartient à l'ensemble $S$.
Or $6\times (-4)-(-5)\times 5=-24+25=1$ donc $A\in S$.

	\item %Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme $A=\left( 
%	\begin{array}{rr}
%	a&2\\3&d
%	\end{array}
%	\right) $ appartenant à l'ensemble $S$; les expliciter.
Soit $A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix}$ une matrice. $A\in S\iff ad-6=1\iff ad=7$.

Le nombre 7 se décompose ainsi: $7=7\times 1 = 1\times 7 = (-7)\times (-1) = (-1)\times (-7)$. 

Les quatre matrices sont donc
$\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-7&2\\3&-1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1&2\\3&-7\end{pmatrix}$. 

	\item \begin{enumerate}
		\item On résout dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)$ : $5x-2y=1$. %On pourra remarquer que le couple $(1;2)$ est une solution particulière de cette équation.
		
		Puisque le couple $(1~;~2)$ est une solution de cette équation, on a:\\
		$\begin{array}{lcccccl}
		& 5x & - & 2y & = & 1\\
		& 5\times 1 & - & 2\times 2 & = & 1\\
		   \cline{2-6}
		\text{par soustraction} &  5(x-1) & - & 2(y-2) & = & 0 & \text{et donc } 5(x-1)=2(y-2)  
		\end{array}$ .
		
5 divise $2(y-2)$ et est premier avec 2 donc, d'après le théorème de Gauss, 5 divise $y-2$ : $y-2=5k$, $k\in\mathbb{Z}$ d'où $y=2+5k$.
		
On remplace $y$ par $5+2k$ dans l'équation ; on obtient :$5(x-1)=2\times 5k$ d'où $x-1=2k$ qui donne $x=1+2k$.

Réciproquement, les couples $(1+2k~;\, 2+5k)$ sont solutions car 
$5(1+2k)-2(2+5k)=5+10k-4-10k=1$.
	
L'ensemble des solutions est donc : 
\fbox{$\red\mathcal{S} =\left \lbrace \left (1+2k~;~2+5k\strut\right )_{k\in\Z}\rule[-5pt]{0pt}{20pt}\right \rbrace$}

		\item %En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\left( 
%		\begin{array}{rr}
%		a&b\\2&5
%		\end{array}
%	\right) $ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.
Une matrice de la forme $A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}$ appartient à $S$ si, et seulement si, $5a-2b=1$, donc si, et seulement si, $a=1+2k$ et $b=2+5k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Ces matrices sont de la forme $\begin{pmatrix}1+2k&2+5k\\2&5\end{pmatrix}$,~$k\in\mathbb{Z}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Dans cette partie, on note 
$A= \begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}$
une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad-bc=1$.
\begin{enumerate}
	\item %Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Puisque $A\in S$, $ad-bc=1\iff ad+b\times (-c) = 1$ ; alors, d'après le théorème de Bézout, $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
	 
	\item Soit $B$ la matrice : 
$B= \begin{pmatrix}
d&-b\\-c&a
\end{pmatrix}$	

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit $AB$. On admet que $AB=BA$.
		$AB=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB=I}}$.\\
		On admet que $BA=AB$ donc $\boxed{\textcolor{red}{BA=I}}$.
		
		\item %En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
		$AB=BA = I$ donc $A$ est inversible et $\boxed{\textcolor{red}{A^{-1}=B}}$.	
		\item %Montrer que $A^{-1}$ appartient à l'ensemble $S$.
		$A^{-1}=B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ : $da-(-c)\times (-b)=ad-bc=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A^{-1}\in S}}$.
		
	\end{enumerate}\item Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $x=dx'-by'$ On admet de même que $y=ay'-cx'$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

On en déduit, en multipliant à gauche par $B$ : 
$B\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=BA\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ puisque $BA=I$.

Alors : $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=dx'-by'\\y=-cx'+ay'\end{cases}}}$.

		\item On note $D$ le PGCD de $x$ et $y$ et on note $D'$ le PGCD de $x'$ et $y'$. %Montrer que $D=D'$.
		
$D'$ divise donc $x'$ et $y'$ donc divise $x=dx'-by'$ et $y=-cx'+ay'$ ; $D'$ divise donc $D$.

De même : $\begin{cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{cases}$ donc $D$ qui divise $x$ et $y$ divise aussi $x'$ et $y'$ et divise alors aussi leur PGCD $D'$.
		
$D$ divise $D'$ et $D'$ divise $D$ donc $\boxed{\textcolor{red}{D=D'}}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $(y_n)$ définies par : $x_0=2019$, $y_0=673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\left\{\begin{array}{l}
	x_{n+1}=2x_n+3y_n\\
	y_{n+1}=x_n+2y_n
	\end{array}\right.$
	
%	En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le PGCD des entiers $x_n$ et $y_n$.
On a $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$ avec $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\in S$ car $2\times 2-1\times 3=1$.

Nous sommes donc dans la situation précédente.

On en déduit que $\text{PGCD}\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right)=\text{PGCD}\left(x_n~;~y_n\right)$.

En cascade, on en déduit que ce PGCD est celui de $x_0=2019$ et de $y_0=673$. 

Or $\numprint{2019}=3\times 673$ donc leur PGCD est 673.

On en déduirait (par récurrence) que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{\text{PGCD}\left(x_n~;~y_n\right)=673}}$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\section*{\blue Exercice 4 \hfill  5 points}

\label{geo}
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\begin{center}
%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
%\end{center}

\medskip 

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée en annexe.

On note $I$ le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel que $\vectt{AK}=\dfrac{1}{4}\vectt{AD}$.

On note $\mathcal{P}$ le  plan passant par I et parallèle au plan (FHK)..

\subsection*{Partie A}
%Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

\begin{enumerate}
	\item %Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu'on note $M$. Construire le point $M$.
M est à l'intersection des droites (AE) et (HK) car ces deux droites non parallèles appartiennent au plan (ADH).
	
	\item %Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
	 \begin{enumerate}
		\item[$\bullet$] I et J sont les milieux des segments [EF] et [EH] donc d’après le théorème des milieux, les droites (IJ) et (FH) sont parallèles.
		\item[$\bullet$] La droite (FM) est l’intersection des plans (AEF) et (FHK).
		\item[$\bullet$] L’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la face ABFE est donc la droite parallèle à la droite (FM) passant par le point I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Dans cette partie, on munit l'espace du repère orthonormé $(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\vect{\text{AD}},\vect{\text{AE}})$.

On a donc les coordonnées suivantes:
A\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$;
B\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$;
D\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$;
E\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$;
C\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$;
F\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$;
H\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$;
G\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$

On calcule aisément
I\,$\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$;
J\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ 1\end{pmatrix}$ et
K\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1/4 \\ 0\end{pmatrix}$

On rappelle que  $\mathcal{P}$ est le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Soit le vecteur $\vect{n}\;\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}$.
		
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $\overrightarrow{\text{FH}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{FH}}=4\times (-1)+4\times 1+(-3)\times 0=0$ donc $\overrightarrow{\text{FH}}\cdot \overrightarrow{n}=0$ ; $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{FH}}$.

\item[$\bullet$] $\overrightarrow{\text{FK}}\begin{pmatrix}-1\\\dfrac{1}{4}\\-1\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{FH}}=4\times (-1)+4\times \dfrac{1}{4}+(-3)\times (-1)= 0$, donc $\overrightarrow{\text{FK}}\cdot\overrightarrow{n}=0$ ; $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{FK}}$.

\end{enumerate}
$\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FHK) donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à ce plan.

		\item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
Une équation cartésienne de ce plan est donc :
		
$4\left(x-x_{\text{H}}\right)+4\left(y-y_{\text{H}}\right)+(-3)\left(z-z_{\text{H}}\right)=0\iff 4\left(x-0\right)+4\left(y-1\right)+(-3)\left(z-1\right)=0\iff 4x+4(y-1)-3(z-1)=0\iff \boxed{\textcolor{red}{4x+4y-3z-1=0}}$.
		
		\item %Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$.
		$\mathcal{P}$ et (FHK) sont parallèles donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal commun.
		
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est :\\
		$4\left(x-x_{\text{I}}\right)+4\left(y-y_{\text{I}}\right)+(-3)\left(z-z_{\text{I}}\right)=0\iff 4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+4\left(y\right)+(-3)\left(z-1\right)=0\iff$
		
$ \boxed{\textcolor{red}{4x + 4y - 3z + 1 = 0}}$
		
		\item %Calculer les coordonnées du point $M'$, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
Calculons les coordonnées du point M$'$, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (AE).
		
Une représentation paramétrique de (AE) est $\begin{cases}x=0\\y=0\\z=t\end{cases},~t\in\mathbb{R}$.
		
On injecte les coordonnées de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$:

$4\times 0+4\times 0-3t+1=0\iff t=\dfrac{1}{3}$.

Les coordonnées de M$'$ sont donc $\boxed{\red \text{M}'\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right)}$
	\end{enumerate}
	
	\item On note $\Delta$ la droite passant par le point E et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		$\overrightarrow{n}$, vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
		
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc :

$\Delta\begin{cases}x=4t'\\y=4t'\\z=1-3t'\end{cases},~t'\in\mathbb{R}$.
		
		\item %Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
Une équation du plan (ABC) est $z=0$.
		
En remplaçant  les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t'$ dans cette équation, on trouve $1-3t'=0\iff t'=\dfrac{1}{3}$.

Les coordonnées de L sont donc $\boxed{\red \text{L}\left(\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{4}{3}~;~0\right)}$.
		
		\item On trace la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe.
		
		\item %Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
		\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Le point L de $\Delta$ n'appartient pas au plan (ABF) mais E appartient à ce plan; 
les droites $\Delta$ et (BF) ne sont donc pas sécantes.

\item[$\bullet$] $\Delta\left\{\begin{array}{l c r}x&=&4t'\\y&=&4t'\\z&=&1-3t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$
et (CG)$\left\{\begin{array}{l c r}x&=&1\\y&=&1\\z&=&t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$

Pour $t'=\dfrac{1}{4}$ et $t=\dfrac{1}{4}$, on obtient le point de coordonnées $\left(1~;~1~;~\dfrac{1}{4}\right)$ qui est un point de la droite (CG), donc $\Delta$ et (CG) sont \textbf{\red sécantes} en ce point.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\newpage

\begin{center}
\textcolor{blue}{\textbf{Annexe à  l'exercice 4 (non spé) à rendre avec la copie}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(5.1,6.1)
%\psgrid 
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red!20,linewidth=0pt](2,4)(0.5,4.75)(0,1.33)% IJM'
\psframe(4,4)%ABFE
\psline(4,0)(5,1.5)(5,5.5)(4,4)%BCGF
\psline(5,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
%\psline(5,5.5)(0,4)(4,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(5,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(5,1.5)%BDC
\psline[linestyle=dashed](4,4)(.25,.45)%FK
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[r](5,1.5){C} 
\uput[l](1,1.5){D} \uput[90](2,4){I}\rput(2,3.98){$\bullet$}
\uput[l](0,4){E} \uput[r](4,4){F} \uput[r](5,5.5){G} 
\uput[l](1,5.5){H} \uput[90](.5,4.75){J}\rput(.5,4.75){$\bullet$}
\uput[0](.25,.45){K}\rput(.25,.35){$\bullet$}
\uput[l](0,-1.33){M}
\psdots(0,-1.33)(6.666,2)%M
\uput[r](6.666,2){L}
\uput[l](0,1.33){M$'$}%M'
\psline[linecolor=red](.5,4.75)(2,4)%section cherchée
\psline[linecolor=red](0,1.33)(2,4)%section cherchée
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](.5,4.75)(0,1.33)%section cherchée
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](4,4)(0,-1.33)%FM
\psplot[linestyle=dashed]{1}{-0.1}{(5.13*x-1)/0.75}
\psline(0,4)(0,-1.75)%demi-droite [EA)
\psline(1,5.5)(4,4)
%\uput[u](3.33,1){L}%L
\psdot[dotstyle=x](3.33,1)
\psline[linestyle=dashed](0,4)(6.666,2)%[EL]
\uput[ur](2.6,3.2){$\Delta$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\label{fin}
\end{document}