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%Tapuscrit : Denis Vergès relu et corrigé par François Hache
%Corrigé : François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\rfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\lfoot{\small{9 septembre 2015}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion ~\decofourright
\\[4pt]9 septembre 2015
}}} 

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats} 
%
%\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}
%
%\medskip

\subsubsection*{Question 1}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère l'arbre de probabilités ci-contre :}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}
\pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,levelsep=2.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{A}\ncput*{0,6}}
	  { 
		  \TR{B}\ncput*{0,2}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{\text{A}}$}}
	  {
		  \TR{B}\ncput*{0,3}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$}
	  }
}
}
\medskip

Quelle est la probabilité de l'évènement B ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,12&\textbf{b.~~} 0,2&\fbox{\textbf{c.~~} 0,24} &\textbf{d.~~} 0,5
\end{tabularx}

\medskip

$P(B)=0,6 \times 0,2 + (1 - 0,6)\times 0,3 = 0,24$

\subsubsection*{Question 2}

Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.\\[5pt]
Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,125& \fbox{\textbf{b.~~} 0,25} &\textbf{c.~~} 0,75 &\textbf{d.~~} 0,875
\end{tabularx}
\medskip

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on sait que $P(X \pg a) = \e^{-\lambda a}$.

Donc $P(T\pg 60) = \e^{-\frac{\ln 2}{30}\times 60}=0,25$

\subsubsection*{Question 3}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma = 25$.

Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.~~} 0,159}&\textbf{b.~~} 0,317 &\textbf{c.~~} 0,683 &\textbf{d.~~} 0,841
\end{tabularx}
\medskip

On peut faire le calcul à la machine ou utiliser le fait que $P(X \pg 135)= P(X\pg \mu + \sigma)$. Et comme on sait que $P(\mu-\sigma) \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,68$, on déduit aisément $P(X \pg \mu+\sigma)$.

\subsubsection*{Question 4}

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}[0,371~;~0,637] &\textbf{b.~~}[0,480~;~0,523]&\fbox{\textbf{c.~~}[0,402~;~0,598]}&\textbf{d.~~} [0,412~;~0,695]
\end{tabularx}

\medskip

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile est
$\left [
p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\,
p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}
\right ] = 
\cd{} 0,402\,;\,0,598\cg$

\emph{Des quatre intervalles proposés, c'est le seul centré sur 0,5.}

\subsubsection*{Question 5}

Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05.

Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} 800 &\fbox{\textbf{c.~~} \np{1600}}&\textbf{d.~~} \np{3200}
\end{tabularx}

\medskip

L'intervalle de confiance généralement utilisé est 
$\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$ d'amplitude $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$.

$\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} < 0,05 \iff \dfrac{2}{0,05} < \ds\sqrt{n} \iff \np{1600} < n$

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats} 
%
%\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ telle que : 
$f(x) = \dfrac{x}{\e^x - x}$

%On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, \textbf{à rendre avec la copie}.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \ds\int_0^n  f(x) \d x$.

%\smallskip
%
%On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
$I_{n} = \ds\int_0^n  f(x) \d x$ donc, pour tout $n$ de $\N$,
$I_{n+1} - I_{n} = \ds\int_0^{n+1}  f(x) \d x - \ds\int_0^n  f(x) \d x
= \ds\int_n^{n+1}  f(x) \d x$ 

On admet dans le texte que la fonction $f$ est positive sur $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$ donc sur $\cd{}n\,;\,n+1\cg$; on peut en déduire que  $\ds\int_n^{n+1}  f(x) \d x >0$ et donc que $I_{n+1}-I_n>0$ pour tout $n$.

La suite $(I_n)$ est donc croissante.

\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd{}0~;~+ \infty\cd$, $\e^x  - x \geqslant \dfrac{\e^x}{2}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant  \displaystyle\int_0^n 2x \e^{-x} \d x$.
Sur $\cd{}0~;~+ \infty\cd$, on sait que $\e^x  - x \geqslant \dfrac{\e^x}{2}$; de plus, pour tout $x$, $\e^x-x>0$. donc
$\dfrac{1}{\e^x-x} \pp \dfrac{2}{\e^x}$.

On multiplie cette inégalité par $x\pg 0$ donc:
$\dfrac{x}{\e^x-x} \pp \dfrac{2x}{\e^x}$

D'après la positivité de l'intégration:
$\ds\int_0^n \dfrac{x}{\e^x-x} \d x \pp \ds\int_0^n \dfrac{2x}{\e^x} \d x$

ce qui équivaut à
$I_n \pp \ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x$


		\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\cd{}0~;~+ \infty\cd$ telle que : 
$H(x) = (- x - 1)\e^{-x}$

La fonction $H$ est dérivable sur $\cd{}0~;~+ \infty\cd$ comme produit de fonctions dérivables et

$H'(x)=-1\times \e^{-x} + (-x-1)(-1)\e^{-x}
= -\e^{-x} + x\e^{-x} +\e^{-x} = x\e^{-x}$
		
%Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$.
On déduit de la question précédente que la fonction $2H$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto 2x\e^{-x}$.

Donc $\ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x= \left [ 2(-x-1)\e^{-x}\rule{0pt}{12pt} \right ]_0^n = 2(-n-1)\e^{-n} - \left [ 2(-1)\e^{0}\right ]
= 2 - 2(n+1)\e^{-n}$

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $2(n+1)\e^{-n}>0$ donc $2 - 2(n+1)\e^{-n} \pp 2$

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
I_n \pp \ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x\\
\ds\int_0^n 2x\e^{-x} \d x \pp 2
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow I_n \pp 2$
		
	\end{enumerate}

\item%  Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
La suite $\left(I_n\right)$ est croissante et majorée par 2 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul;
%\item $A,\: x$ et $h$ des réels.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
%Entrée : 		&Saisir $K$ entier naturel non nul\\ \hline
%Initialisation	& Affecter à $A$ la valeur $0$\\
%				&Affecter à $x$ la valeur 0\\
%				&Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$\\[7pt] \hline
%Traitement		&Pour $i$ variant de 1 à $K$\\
%				&\hspace{0,4cm}\begin{tabular}{|l}
%				Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$\\
%				Affecter à $x$ la valeur $x + h$\\
%				\end{tabular}\\
%				&Fin Pour\\ \hline
%Sortie			&Afficher $A$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.
On fait fonctionner l'algorithme pour $K=4$ donc pour $h=0,25$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$	& $A$	& $x$\\ \hline
1	&	0	& 0,25\\ \hline
2	&	0,060	& 0,5\\ \hline
3	&	0,169	& 0,75\\ \hline
4	&	0,306	& 1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item%  En l'illustrant sur l'annexe \textbf{à rendre avec la copie}, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.
Pour $K=8$, l'algorithme donne la somme des aires des rectangles hachurés sur le graphique du bas de la page \pageref{metro_S_0915_annexe}.


\item%  Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?
Quand $K$ devient grand, l'algorithme donne une valeur approchée par défaut de l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ (voir page \pageref{metro_S_0915_annexe}, le graphique du haut).

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats n'ayant pas suivi la spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité} 
%
%\medskip 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}

\item les points $A\,(0~;~1~;~-1)$ et $B\,(- 2~;~2~;~- 1)$.

\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l !{=} l}
x&-2 + t\\
y& \phantom{-}1 + t\\
z&-1 - t
\end{array}\right.
, \:t \in \R$.

\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AM}$ soient colinéaires doc tels que $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ où $k\in \R$.

$\vect{AB}$ a pour coordonnées $(-2-0\,;\, 2-1 \,;\, -1-(-1) = (-2\,;\, 1 \,;\, 0)$.

$\vect{AM}$ a pour coordonnées $(x-0\,;\, y-1 \,;\, z-(-1) = (x\,;\, y-1 \,;\, z+1)$.

$\vect{AM}=k\,\vect{AB}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x & -2k\\
y-1 & k\\
z+1 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.$

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & \phantom{0} -2k\\
y & 1+ k\\
z & -1 \phantom{+k}
\end{array}
\right.
\text{ où } k\in \R$

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vect{AB}\,(-2\,;\, 1 \,;\, 0)$.

La droite $\mathcal D$ a pour vecteur directeur $\vect{v}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$.

Les deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires donc les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont pas parallèles.

		\item% Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ sont sécantes si elles admettent un point d'intersection, autrement dit s'il existe un réel $t$ et un réel $k$ tels que

$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-2+t & -2k \\
1+t  & 1+k \\
-1-t & -1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{c !{=} c}
-2 & -2k \\
0  & k \\
t & 0
\end{array}
\right.
$ Il n'y a donc pas de solution.

Les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ ne sont pas sécantes. 

 	\end{enumerate}

\emph{Les deux droites n'étant ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.}

\end{enumerate}
 	
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.

On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	
\item%  Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
Soit  $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z - 3u = 0$.

$x_M + y_M - z_M - 3u = -2+u + 1+u -(-1-u) -3u = -2+u + 1+u +1+u -3u=0$ donc $M\in \mathcal P$

Le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vect{n}\,(1\,;\, 1 \,;\, -1)$, qui est un vecteur directeur de la droite $\mathcal D$; donc le plan $\mathcal P$ est orthogonal à la droite $\mathcal D$. 

\item%  Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
Pour déterminer si le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants, on résout le système

$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
x+y-z-3u=0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2k \\
y = 1+k\\
z = -1\\
-2k +1+k+1-3u=0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -2(2-3u) \\
y = 1+2-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x = -4+6u \\
y = 3-3u\\
z = -1\\
2-3u=k
\end{array}
\right.$

Donc le plan $\mathcal P$ et la droite $(AB)$ sont sécants au point $N\,(-4+6u\,;\,3-3u\,;\,-1)$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale en $M$ au plan $\mathcal P$; donc la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à toute droite du plan  $\mathcal P$ passant par $M$, donc elle est perpendiculaire à la droite $(MN)$ contenue dans $\mathcal P$ puisque $N\in \mathcal P$.

		\item% Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ?
La droite $(MN)$ a pour vecteur directeur $\vect{MN}$ de coordonnées
 
$(-4+6u - (-2+u)\,;\, 3-3u - (1+u)_,;\, -1-(-1-u))=
(-2+5u\,;\, 2-4u\,;\, u)$.

La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vect{AB}$ de coordonnées
$(-2\,;\,1\,;\,0)$.

Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire de $\vect{MN}$ et de $\vect{AB}$ est nul.

$\vect{MN}.\vect{AB}= (-2+5u)\times (-2) + (2-4u)\times 1 + u \times 0 = 4-10u+2-4u=6-14u$

$\vect{MN}.\vect{AB}=0 \iff 6-14u=0 \iff \dfrac{3}{7}=u$

De plus, les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont sécantes en $M$; elles sont donc perpendiculaires si et seulement si $u=\dfrac{3}{7}$.

			\end{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
$MN^2= \parallel MN \parallel^2 = (-2+5u)^2+(2-4u)^2 + u^2
= 4 - 20u + 25u^2 +4 - 16u + 16u^2 + u^2 
= 42u^2 - 36u +8$

		\item% En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
$MN^2$ est un trinôme du second degré en $u$ de la forme $au^2+bu+c$, et le coefficient de $u^2$ est $a=42>0$; ce polynôme admet donc un minimum pour $u=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$.

La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal, c'est-à-dire pour $u=\dfrac{3}{7}$.

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill Candidats ayant suivi la spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 
%
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$.
%Trouver un tel couple.
$15=3\times 5$ et $26=2\times 13$; les deux nombres 15 et 26 sont donc premiers entre eux. D'après le théorème de Bézout, on peut déduire qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u\,;\,v)$ tel que $15u-26v=1$.

On cherche un tel couple en utilisant l'algorithme d'Euclide et en écrivant les restes successifs comme combinaisons linéaires de 15 et de 26:

\begin{center}
$\begin{array}{r !{=} l @{\hspace*{1cm}} r !{=} r}
26 & 1\times 15 + 11 & \red -1\times 15 + 1 \times 26 & \red 11\\
15 & 1\times 11 + 4  & 15 - 1\times 11 & 4\\
\multicolumn{2}{c}{}  & 15 - (-1\times 15+1\times 26) & 4\\
\multicolumn{2}{c}{}  & \red 2 \times 15 - 1 \times 26 & \red 4\\
11 & 2\times 4 +3    & 11 - 2\times 4 & 3\\
\multicolumn{2}{c}{} & (-1\times 15 + 1\times 26)-2(2\times 15 - 1 \times 26) & 3\\
\multicolumn{2}{c}{} & \red -5\times 15 + 3\times 26 & \red 3\\
4 & 1\times 3 +1     & 4 - 1\times 3 & 1\\
\multicolumn{2}{c}{} & (2\times 15 -1\times 26)-1(-5\times 15 + 3\times 26) & 1\\
\multicolumn{2}{c}{} & \red 7\times 15 - 4\times 26 & \red 1
\end{array}$
\end{center}

Donc le couple $(7\,;\,4)$ est solution de l'équation $15u-26v=1$.

\item%  En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E).
$15\times 7-26\times 4=1$ donc $15\times (7m)-26\times (4m)=m$

Le couple $(7m\,;\,4m)$ est une solution particulière de l'équation (E) : $15x-26k=m$. 


\item%  Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On suppose que $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$ avec $x_0=7m$ et $k_0=4m$, donc $15\left(x - 7m\right) - 26\left(k - 4m\right) = 0$

Alors $15 x - 15\times 7m - 26k + 26\times 4m = 0$,
ce qui implique $15x -26k = 15\times 7m - 26\times 4m$
ou encore $15x-26k=m$

Donc le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E).

\item
\begin{tabular}[t]{@{} l l c l c l}
On suppose que $(x\,;\,k)$ est solution de (E): & $15x$ & $-$ & $26k$ & $=$ & $m$\\
On sait que $(x_0\,;\,k_0)$ est une solution de (E): & $15x_0$ & $-$ & $26k_0$ & $=$ & $m$\\
\cline{2-6}
On soustrait membre à membre: & $15(x-x_0)$ & $-$ & $26(k-k_0)$ & $=$ & 0 
\end{tabular}

Donc $15(x-x_0)-26(k-k_0)=0$ 

\end{list}

On peut  dire que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.

\item%  Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si le couple $(x\,;\,k)$ vérifie le système 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& 26q + 7m \\
k& 15q +4m 
\end{array}\right.$
où $q\in \Z$, alors: 

$15x -26k = 15(26q+7m)-26(15q+4m) = 15\times 26q +105m -26\times 15q - 104m = m$.

Donc le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E).

\item Si le couple $(x\,;\,k)$ est solution de (E), on sait que 
$15\left(x - 7m\right) - 26\left(k - 4m\right) = 0
\iff
15\left(x - 7m\right) = 26\left(k - 4m\right)$

Donc 15 divise $26\left(k - 4m\right)$.
Or 15 et 26 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gausse, 15 divise $k - 4m$; donc il existe un entier relatif $q$ tel que $k - 4m=15q$ et donc $k=15q+4m$.

$\left. 
\begin{array}{l}
15\left(x - 7m\right) = 26\left(k - 4m\right)\\
k - 4m=15q
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
15\left(x - 7m\right) = 26\times 15q
\iff
x-7m = 26q$ donc $x=26q+7m$

Donc, si $(x\,;\,k)$ est solution de l'équation (E), on a:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& 26q + 7m \\
k& 15q +4m 
\end{array}\right.$

\end{list}

Les solutions de l'équation (E) sont donc exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& 26q + 7m \\
k& 15q +4m 
\end{array}\right.\text{ où } q \in \Z$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A &B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I 	&J 	&K 	&L 	&M \\ \hline
%0 &1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12 \\ \hline\hline
%N &O	&P 	&Q 	&R 	&S 	&T 	&U 	&V 	&W 	&X 	&Y 	&Z\\ \hline
%13&14	&15	&16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%On définit un système de codage :
%
%\setlength\parindent{0.5cm}
%\begin{itemize}
%\item à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant,
%\item on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$,
%\item on associe à $y$ la lettre correspondante.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On code le mot \textbf{MATHS}:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
lettre & $x$ & $15x+7$ & reste & lettre\\
\hline 
M & 12 & 187 & 5 & F\\
\hline 
A & 0 & 7 & 7 & H\\
\hline 
T & 19 & 292 & 6 & G\\
\hline 
H & 7 & 112 & 8 & I\\
\hline 
S & 18 & 277 & 17 & R\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Donc le mot \textbf{MATHS} se code en \textbf{FHGIR}.

\item Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.

	\begin{enumerate}
	
		\item% Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$.
Si $y$ est le reste de la division de $15x+7$ par 26, cela signifie que $(15x+7)-y$ est un multiple de 26, donc qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $(15x+7)-y=26k$, ce qui équivaut à 

\hfill{}$15x-26k=y-7$\hfill{}

		\item% En déduire que $x = 7y + 3$\:\: (mod $26$).
$15x-26k=y-7 \iff 7\times 15 x - 7\times 26k = 7\times y -7\times 7
\iff 105x -7\times 26k = 7y-49$

$\left. 
\begin{array}{@{} r}
105=4\times 26+1 \Rightarrow 105 \equiv 1 \pmod{26} \Rightarrow 105x \equiv x \pmod{26}\\
7\times 26\equiv 0\pmod{26} \Rightarrow 7\times 26 k \equiv 0 \pmod{26}\\
-49=-2\times 26 +3 \equiv 3\pmod{26}
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow x \equiv 7y+3 \pmod{26}$


		\item% En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
Voici donc un système de décodage d'une lettre:

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item à cette lettre, on associe l'entier $y$ correspondant,
\item on associe ensuite à $y$ l'entier $x$ qui est le reste de la division euclidienne de $7y+3$ par le nombre $26$,
\item on associe à $x$ la lettre correspondante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

	\end{enumerate}

\item%  Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. 

On décode les trois lettres W, H et L:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
lettre & $y$ & $7y+3$ & reste & lettre\\
\hline 
W & 22 & 157 & 1 & B \\
\hline
H & 7 & 52 & 0 & A \\
\hline
L & 11 & 80 & 2 & C \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Donc le mot \textbf{WHL} se décode en \textbf{BAC}.

\item%  Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
\`A chaque lettre de l'alphabet, on fait correspondre une seule lettre de l'alphabet par le système de codage décrit dans le texte, celui qui fait passer de la lettre correspondant au nombre entier $x$ à la lettre correspondant au nombre entier $y$.

Réciproquement, chaque lettre de l'alphabet est l'image d'une unique lettre de l'alphabet que l'on obtient par le système de décodage expliqué à la question \textbf{2.c.}

Le système de codage réalise donc une bijection sur l'ensemble des lettres de l'alphabet.

Donc deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats} 
%
%\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 
$f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)$


\begin{enumerate}
\item% Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.

Comme $F$ est une primitive de $f$, alors $f$ est la dérivée de $F$ donc les variations de $F$ sont données par le signe de $f$:
$F$ est croissante si et seulement $f$ est positive

C'est donc dans la situation 2 que la courbe $C_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}

%\bigskip
%
%\hspace*{2cm} Situation 1 \hspace*{6cm} Situation 2
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1.6cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(3.5,2)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln x dup mul div neg}
%\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\uput[d](2.75,-0.2){$\mathcal{C}_F$}
%\end{pspicture*}
%\hfill
%\psset{unit=1.6cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.5,2)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub}
%\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$}
%\end{pspicture*}
%%\end{tabularx}
%
%\bigskip
%
%\hspace*{6cm} Situation 3
%
%\begin{center}
%
%\psset{unit=1.6cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.5,2)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{3.5}{x 2 mul x dup mul sub 0.75 sub 2 mul}
%\uput[u](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\uput[ur](1.5,0){$\mathcal{C}_F$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\item Dans la situation 2, on appelle :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item $K$ le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par $K$ et parallèle à l'axe des ordonnées.

Ce point $K$ a pour abscisse la solution de l'équation $f(x)=0$ ce qui équivaut à 

$\dfrac{1}{x}(1+\ln x)=0 \iff \ln x = -1 \iff x=\e^{-1}$.

\item $L$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par $L$ et parallèle à l'axe des ordonnées.

\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

L'abscisse du point $L$ est l'abscisse du point en lequel la fonction $f$ atteint son maximum (\emph{voir remarque}), nombre pour lequel la dérivée de $f$ s'annule et passe du positif au négatif.

$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x - (1 + \ln x)\times 1}{x^2} = -\dfrac{\ln x}{x^2}$ s'annule pour $x=1$.

Pour $0 < x < 1$, $\ln x<0$ donc $f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}>0$, donc $f$ est croissante.

Pour $1 < x$, $\ln x>0$ donc $f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}<0$, donc $f$ est décroissante.

La fonction $f$ est donc croissante sur $\cg 0\,;\,1\cg$ puis décroissante sur $\cd 1\,;\,+\infty\cd$; sa dérivée s'annule pour $x=1$ donc la fonction $f$ admet un maximum pour $x = 1$ et le point $L$ a pour abscisse 1.

\emph{Remarque -- Il aurait été préférable que le texte précise, par exemple, que l'abscisse du point $L$ était un nombre entier, car rien ne dit dans le texte --~hormis le graphique~--  que le point $L$ a pour abscisse l'abscisse du point en lequel la fonction $f$ atteint son maximum.}

	\begin{enumerate}

		\item L'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses a une valeur approchée de 0,5 (aire du rectangle coloré  en gris sur le graphique).

		\item % Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
La fonction $f$ est positive sur $\left[\e^{-1}\,;\,1\right]$, donc l'aire du domaine hachuré est 
$\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x$, c'est-à-dire $F(1)- F\left(\e^{-1}\right)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Graphiquement on peut lire que $F(1)=0$ et que $F\left(\e^{-1}\right)\approx - 0,5$ ; donc l'aire est approximativement égale à 0,5.

\item Pour avoir la valeur exacte de l'aire, il faut déterminer une primitive de $f$.

$f(x)= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x}\times \ln x$

\begin{list}{$\circ$}{}
\item La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a pour primitive sur $\cg{}0\,;\,\infty\cd$ la fonction $x \mapsto \ln x$.

\item La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}\times \ln x$ est de la forme $u'u$, où $u(x)=\ln x$, donc a pour primitive $\dfrac{u^2}{2}$ soit la fonction $x \mapsto \dfrac{(\ln x)^2}{2}$.

\item Donc la fonction $f$ a pour primitive $x \mapsto \ln x + \dfrac{(\ln x)^2}{2}$. 

\end{list}

$\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x = \left [ \ln x + \dfrac{(\ln x)^2}{2} \right ]_{\e^{-1}}^1 
= \left ( \ln 1 + \dfrac{(\ln 1)^2}{2}\right ) - \left ( \ln \e^{-1} + \dfrac{(\ln \e^{-1})^2}{2} \right )$

$\ln 1=0$ et $\ln \e^{-1}=-1$ donc 
$\ds\int_{\e^{-1}}^1 f(x) \d x = 0 - \left (-1 + \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}$ 
 
\end{list}

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.6)(3.5,2)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\def\f{x ln 1 add x div}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0.368}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0.368,0)
\closepath % indispensable !
}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub}
\uput[ul](2.75,0.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$}
\uput[ul](0.368,0){$K$}
\psline[linecolor=red](0.368,-0.6)(0.368,2) \uput[l](0.368,1.25){$\red \mathcal D$}
\uput[ul](1,0){$L$}
\psline[linecolor=red](1,-0.6)(1,2) \uput[r](1,1.25){\red $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\subsection*{\centering ANNEXE Exercice 2}
\label{metro_S_0915_annexe}
\begin{center}


\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur \cd{}0~;~6\cg

\medskip

\psset{xunit=2.2cm,yunit=9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(6,0.7)
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.3)(\n,0.7)}
\multido{\n=-0.3+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,-0.3)(6,0.7)
\multido{\i=0+1}{7}{\uput[d](\i,0){\i}}
\uput[l](0,0.2){$0,2$} 
\uput[l](0,0.7){$0,7$} 
\uput[l](0,-0.3){$-0,3$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](2.75,0.22){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}

\vfill

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur \cd{}0~;~1\cg

\medskip

\psset{xunit=10.8cm,yunit=14.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.05)(1.1,0.62)
\multido{\n=0.00+0.125}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.6)}
\multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.1,0.62)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](0.55,0.465){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{fillstyle=vlines,hatchcolor=red}
\psframe[hatchangle=45](0.125,0.124)(0.25,0)
\psframe[hatchangle=-45](0.25,0.242)(0.375,0)
\psframe[hatchangle=45](0.375,0.347)(0.5,0)
\psframe[hatchangle=-45](0.5,0.435)(0.625,0)
\psframe[hatchangle=45](0.625,0.503)(0.75,0)
\psframe[hatchangle=-45](0.75,0.549)(0.875,0)
\psframe[hatchangle=45](0.875,0.574)(1,0)
%\psframe[hatchangle=-45](0.125,0.124)(0.25,0)

\end{pspicture}

\end{center}

\end{document}