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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole dévoilé juin  2009},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small éventé le 19 juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 \decofourright\\sujet dévoilé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\emph{Cet exercice est un  questionnaire à choix multiple (QCM).\\
% Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}
% 
%\bigskip
%  
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
% 
%On considère les points A$(1~;~ 2~;~-1)$,  B$(1~;~ 1 ~;~0)$, C$(9~;~ -1~;~ -2)$, S(1~;~ 1~;~ 1).

% On admet qu'une équation du plan (ABC) est $x + 2y + 2z - 3 = 0$.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  %Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&1 - t\\ 
%y&=& 2 - 4t\\  
%z&=& -1 +3t\\
%\end{array}\right.$ ($t$ réel)& 
%\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&1\\ 
%y&=&-1-t\\
%z&=&3+t\\
%\end{array}\right.$ ($t$ réel)&
%\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&1\\ 
%y&=&1 - 2t\\
%z&=&2t\\
%\end{array}\right.$ ($t$ réel)\\
%\end{tabularx}
Si la solution est \textbf{a.}, les abscisses de A et de B donneraient la même valeur de $t = 0$.

Si la solution est \textbf{b.}, l'ordonnée  de A  donnerait $t = -3$ et la cote serait fausse.

La solution est \textbf{c.}. $t = - \dfrac{1}{2}$ donne les coordonnées de A et $t = 0$ donne les coordonnées de B.

\grimace : cette question est piégeuse pour celui ou celle qui cherche l'équation de la droite (AB) et qui ne trouve aucun des trois systèmes ! 
\item  %Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :
La droite (SS$'$) est perpendiculaire au plan et coupe ce plan en H projeté orthogonal de S sur ce plan. Le point H appartient à la droite SS$'$ et au plan, donc ses coordonnées vérifient :
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&1 + 1t\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&1 + 2t\\
x + 2y + 2z  - 3&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&1 + 1t\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&1 + 2t\\
2 + 9t &=&0
\end{array}\right.  \]

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&\frac{7}{9}\\
y&=&\frac{5}{9}\\
z&=&\frac{5}{9}\\
t &=&- \frac{2}{9}
\end{array}\right.\]

Le point H est le milieu de SS$'$ ; on en déduit les coordonnées de S$' \left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9} \right)$.

La bonne réponse est \textbf{b.}
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.} $\left(\dfrac{10}{9}~;~\dfrac{11}{9}~;~\dfrac{10}{9}\right)$&\textbf{b.} $\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$&
%\textbf{c.} $\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\item  %Le triangle ABC est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
%\textbf{a.} isocèle &\textbf{b.} rectangle en A& \textbf{c.} rectangle en B \\
%\end{tabularx}
On a $\vect{\text{AB}}(0~;~-1~;~1) \quad \vect{\text{AC}}(8~;~-3~;~-1) \quad \vect{\text{BC}}(8~;~-2~;~2)$ ; donc $\vect{\text{AB}} \cdot\: \vect{\text{BC}} = 0 \iff $ABC est un triangle rectangle en en B.

Réponse \textbf{c.}
\medskip

\item %L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\left\|\vect{M\text{A}} -  \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9$ est : 

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%\textbf{a.} un plan passant par S&\textbf{b.} une sphère passant par S&\textbf{c.} une sphère de centre S\\
%\end{tabularx}
Soit G la barycentre du système pondéré $\left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~-1),~(\text{C},~1)\right\}$. Par définition 

$\vect{\text{GA}} - \vect{\text{GB}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0} \iff \vect{\text{OG}} = \vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$ ; on en déduit les coordonnées de G$(9~;~0~;~-3)$.

En faisant intervenir ce barycentre G dans chaque vecteur, on a :

$\left\|\vect{M\text{A}} -  \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9 \iff  \left\|\vect{M\text{G}}\right\| = 9 \iff \text{G}M = 9.$

L'ensemble des points est donc une sphère de centre G et de rayon 9.

Il reste à vérifier que S est l'un des points cherchés.

$\vect{\text{SA}}(1~;~1~;~-2),~\vect{\text{SB}}(0~;~0~;~1),~\vect{\text{SC}}(8~;~-2~;~-3)$, d'où  $\vect{\text{SA}} - \vect{\text{SB}} + \vect{\text{SC}}(8~;~-1~;~-4)$. Comme 

$\left|\vect{\text{SA}} - \vect{\text{SB}} + \vect{\text{SC}}  \right|^2  = 64 + 16 + 1 = 81 = 9^2$.

La norme de ce vecteur est bien égale à 9.

La bonne réponse est \textbf{b.}

\grimace : Question bien longue !

\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On désigne par A, B et J les points d'affixes respectives $- \text{i},~ 1- \text{i}$ et i.
% 
%On désigne par $\Delta$ la médiatrice du segment [AB] et par $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 1.
% 
%À tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de $1 - \text{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

%\[z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}.\] 
% 
%Le point $M'$ est appelé image du point $M$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les affixes des points A$'$ et O$'$.
On a $a' = \dfrac{\text{i}(- \text{i}+ \text{i})}{\text{i} - 1 + \text{i}} = 0$. Donc A$'$ = O.

L'affixe de l'image de O est $\dfrac{\text{i}^2}{- 1 +\text{i}} = \dfrac{1}{1 - \text{i}} = \dfrac{1 + \text{i}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$. 
\item ~%Sur la feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice (unité graphique 4~cm).
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx = 10,Dy = 10](0,0)(-2,-1)(2,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,-1){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](1,-1){B}
\pscircle(0,0){1}
\psline(0.5,-1)(0.5,1.25)\uput[r](0.5,1.25){$\Delta$}
\psdots(0.5,0.866)(0.5,-0.866)(1,-1)(0,-1)
\psline(-2,-1)(2,-1)
\uput[ur](0.5,0.866){E} \uput[dr](0.5,-0.866){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item %Montrer que l'équation $z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} = 0$ admet deux solutions que l'on précisera.

$z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} = 0 \iff z(z - 1 + \text{i}) = \text{i}(z + \text{i}) \iff z^2 - z + \text{i}z = \text{i}z - 1 \iff z^2 - z + 1$. Comme 

$\Delta = 1 - 4 = -3 = \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2$, cette équation a deux solutions complexes :

$z_{1} = z_{\text{E}} = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et 

$z_{2} = z_{\text{F}} = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

%On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions.
 
%Justifier que les points E et F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ et les placer sur la figure.

On a $\left|z_{\text{E}}\right|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \iff \left|z_{\text{E}}\right| = 1 = \left|z_{\text{F}}\right|$.

Ces deux points appartiennent donc au cercle $\mathcal{C}.$

Comme ils ont pour partie réelle $\dfrac{1}{2}$, ces deux points sont les deux points communs à $\Delta$ et à $\mathcal{C}$.
\item .Soit %$M$ un point distinct du point B et $M'$ son image. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer la distance O$M'$ en fonction des distances A$M$ et B$M$.
$z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} \Rightarrow \left|z'\right| = \left| \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} \right| = \dfrac{|\text{i}(z + \text{i})|}{|z - 1 + \text{i}|} = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M} = \text{O}M'$		 
		\item %Montrer que si le point $M$ décrit la droite $\Delta$, alors le point $M'$ décrit un cercle que l'on précisera.
		Application du résultat précédent :
		
		$M \in \Delta \iff M\text{A} = M\text{B}$ et donc $\left|z'\right| = 1 \iff M' \in \mathcal{C}.$
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Montrer que si le point $M$ décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point $M'$ appartient à une droite que l'on précisera. 
Une équation de la droite (AB) est : $M(x~;~y) \in (\text{AB}) \iff y = - 1.$

Donc un point $M$ de la droite (AB) a une affixe $z = x - \text{i}$.

D'o\`u $z' = \dfrac{\text{i}(x - \text{i} + \text{i})}{x - \text{i} - 1 + \text{i}} = \dfrac{x\text{i}}{x - 1}$. Donc $z'$ est un imaginaire pur.

Les points $M'$ appartiennent donc à l'axe des ordonnées.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = 1 + x \text{e}^{-x}.\]
 
%Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij{} et la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ sont  tracées ci-dessous.

%\medskip

%\psset{unit=2.83cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1.5)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](1.5,1){$\Delta$} \uput[u](2,1.3){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psline(0,1)(5,1)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{5}{x 2.71828 x exp div 1 add}
%\end{pspicture}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item  %La droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = x\text{e}^{-x} = 0$, on a 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

La droite $(\Delta)$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.	 
		\item  %La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$.
La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \\infty[$, elle est donc dérivable et :

$f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$ qui est du signe de $1 - x$, puisque $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x \in \R$.

La dérivée est positive, donc la fonction croissante sur [0~ ;~1] et la dérivée est négative, donc la fonction décroissante sur $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $t$ un nombre réel positif. On considère l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Interpréter graphiquement cette intégrale.
On a $f(0) = 1$ et la limite en plus l'infini est égale à 1 : donc $f(x) \geqslant 1 > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.

L'intégrale est donc égale à l'aire (en unités d'aire) de la surface limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = t.$ 
		\item %Montrer que $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-1} - \text{e}^{-t} +1$. 
$\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^t 1\:\text{d}t + \displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = t + \displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.

Cette dernière intégrale se calcule en intégrant par parties :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(x)&=&x\\
v'(x)&=&\text{e}^{-x}
\end{array}  \right. ~\text{et}~\left\{\begin{array}{l c l}
u'(x)&=&1\\
v(x)&=&-\text{e}^{-x} \end{array}  \right.\]

Toutes ces fonctions sont continues donc intégrables et 

$\displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[-x\text{e}^{-x}  \right]_{0}^t + \displaystyle\int_{0}^t \text{e}^{-x}\:\text{d}x =  \left[-x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}\right]_{0}^t = \left[-\text{e}^{-x}(1 + x)  \right]_{0}^t = (-1 - t)\text{e}^{-t} + 1$.

Conclusion :

\[ \displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1.\]

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On note I le point de coordonnées (1~;~ 0) et J le point de coordonnées (0~;~ 1).
 
%Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], $M_{t}$ désigne le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $t$ et $N_{t}$ le point de coordonnées $(t~;~ 0)$.
 
%On appelle $\mathcal{D}_{t}$, le domaine du plan délimité par la droite $\left(\text{I}M_{t}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit $\mathcal{A}(t)$ la mesure de son aire exprimée en unité d'aire.

%\medskip
%\begin{center}
%\psset{unit=5cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-0.5)(2,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J}  \uput[dl](0,0){O}\uput[u](0.3,1.2222){$M_{t}$}\uput[d](0.3,0){$N_{t}$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{0.3}{x 2.71828 x exp div 1 add}
%\psline(0.3,1.2222)(1,0)(0,0)}

%\psline[linestyle=dashed](0.3,1.2222)(0.3,0)
%\psline(1,1.36788)(1,0)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\bigskip 

\begin{enumerate}
\item  %Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(0)$ et donner sa valeur exacte.
$\mathcal{A}(0)$ est égale  à l'aire (en unités d'aire) du triangle OIJ. $\mathcal{A}(0) = \dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}.$
\item  %Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(1)$ et donner sa valeur exacte.
$\mathcal{A}(1)$  est égale  à l'intégrale de la fonction $f$ entre 0 et 1. 

Donc $\mathcal{A}(1) = 1 - 1\text{e}^{-1} - \text{e}^{-1} +1 = 2 - 2\text{e}^{-1} = 2\left(1 - \text{e}^{-1}\right)$.

\item  %Calculer l'aire du triangle $M_{t}N_{t}$I.
$M_{t}N_{t}$I est un triangle rectangle de base [$N_{t}$I] telle que $N_{t}\text{I} = 1 - t$ et de hauteur $[N_{t}M_{t}]$ telle que $N_{t}M_{t} = f(t) = 1 + t\text{e}^{-t}.$

$\mathcal{A}\left(M_{t}N_{t}\text{I}\right)  = \dfrac{(1 - t) (1 + t\text{e}^{-t})}{2}$.
\item  %En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~ 1],
%\[\mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2}  + \dfrac{t}{2} - \left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1\right)\text{e}^{-t}.\]
On a $\mathcal{A}(t) = \displaystyle\int_{0}^t f(t)\:\text{d}t + \mathcal{A}\left(M_{t}N_{t}\text{I}\right) = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1 + \dfrac{(1 - t) (1 + t\text{e}^{-t})}{2} = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{t}{2}\text{e}^{-t} - \dfrac{t}{2} - \dfrac{t^2}{2}\text{e}^{-t}$
\[\mathcal{A}(t) =  \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 \right).\]
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Existe-t-il un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] tel que 
Étudions la fonction $t \longmapsto \mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 \right)$

Cette fonction est une somme de produits de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ : elle est donc dérivable et sur cet intervalle :

$\mathcal{A}'(t) = \dfrac{1}{2} + \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 - t - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}+ \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$.

Cette dérivée est du signe de $1 + \text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right)$.

Or le trinôme $t^2 - t + 1$ n'a pas de racines réelles ($\Delta = 1 - 4 < 0$) ; il est donc positif.

Quel que soit $0 \leqslant t \leqslant 1,~\text{e}^{-t} > 0$, donc $\text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right) > 0$ et enfin $1 + \text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right) \geqslant 1 > 0.$

Sur $[0~;~1]$, la dérivée est positive et la fonction $\mathcal{A}(t)$ est croissante de $\mathcal{A}(0) = \dfrac{1}{2}$ à $\mathcal{A}(1) = 2\left(1 - \text{e}^{-1}\right) \approx \nombre{1,26424}$.

Donc $\dfrac{1}{2}\mathcal{A}(1) =  1 - \text{e}^{-1} \approx \nombre{0,632121} >\mathcal{A}(0)$.

La fonction $\mathcal{A}(t)$ étant continue sur [0~;~1], il existe bien un réel unique $\alpha$ tel que 

$\mathcal{A}(\alpha)  = \dfrac{1}{2} \times \mathcal{A}(1)$.

La calculatrice permet de trouver $\alpha \approx \nombre{0,13993}$.
 
%Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
 
\begin{enumerate}
\item  %Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
%\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
$u_{2} = \dfrac{3}{2}\times 3 - \dfrac{1}{2} \times 0 = \dfrac{9}{2}$ ;

$u_{3} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} \times 3 = \dfrac{27}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{4}$ ; 

$u_{4} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{21}{4} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{8} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{8}$.		
		\item  %Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$.
Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation} : $u_{1} = 3 = \dfrac{1}{2} \times u_{0} + 3 = \dfrac{1}{2} \times 0 + 3$ est bien vraie ; la relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N	$ on ait  	$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3.$

Or $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3 \iff u_{n+1} - 3 = \dfrac{1}{2}u_{n} \iff u_{n} = 2\left(u_{n+1} - 3 \right) \quad (*)$

On a par définition : $u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} =  \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}u_{n} + 3 \right) -  \dfrac{1}{2}u_{n} = \dfrac{1}{4}u_{n} + \dfrac{9}{2}$ ;

En utilisant la relation (*), on obtient :

$u_{n+2} = \dfrac{1}{4}\times 2\left(u_{n+1} - 3 \right)  + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}u_{n+1}$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout nombre entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$.
		 
		\item %Sur l'annexe à rendre avec la copie, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation  respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. 

%À partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
Cf. figure ci dessous 
%Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
La suite semble être croissante, convergente vers l'ordonnée du point commun aux deux droites c'est-à-dire 6. 
	\end{enumerate} 
\item %Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}u_{n}  - 3 = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} - 6\right) = \dfrac{1}{2}v_{n}$.

Cette égalité signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 6 = -6$. 
		\item %Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que pour $v_{n} = v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = - \dfrac{6}{2^n}$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
		Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$. De $u_{n} = v_{n} + 6$ on en déduit par limite en plus l'infini que 
		\[\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 6.\]
	\end{enumerate} 
\item %Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$.

%On suppose que $w_{0}$ est strictement supérieur à 6.
  
%Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier.

Considérons la suite $\left(w_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}$.

On a $w_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3 - \dfrac{1}{2}u_{n} - 3 = \dfrac{1}{2}\left(w_{n} - u_{n} \right)$.

Donc la suite $\left(w_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

Il en résulte que $w_{n} - u_{n} = \left(w_{0} - u_{0} \right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n. \quad (1)$

On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(w_{n} - u_{n} \right) = 0$.

On a vu que $v_{n} = u_{n} - 6 =  - \dfrac{6}{2^n} \iff u_{n} = 6 - \dfrac{6}{2^n} = 6\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$.

Enfin en reprenant l'égalité (1) :

$w_{n} = u_{n} + w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right) + w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(w_{0} - 6 \right)$.

Comme par hypothèse $w_{0}> 6,~w_{0} - 6 > 0$, donc la suite $\dfrac{w_{0} - 6}{2^n}$ est décroissante et donc la suite $\left(w_{n} \right)$ est décroissante.

Les deux suites $\left(u_{n} \right)$ et $\left(w_{n} \right)$ sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item l'une croissante,
\item l'autre décroissante
\item et leur différence tend vers zéro au voisinage de plus l'infini
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les deux suites $\left(u_{n} \right)$ et $\left(w_{n} \right)$ sont adjacentes (et ont donc même limite).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE  Exercice 4 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.666cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,12)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(12,12)
\psline(-6,-6)(12,12)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{12}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){\blue $y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}\uput[ul](0,0){O}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{19}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{19}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](3,3)(3,4.5)(4.5,4.5)(4.5,0)\uput[d](4.5,0){\color{blue}$u_{2}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](4.5,4.5)(4.5,5.25)(5.25,5.25)(5.25,0)\uput[d](5.25,0){\color{green}$u_{3}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](5.25,5.25)(5.25,5.625)(5.625,5.625)(5.625,0)\uput[d](5.625,-0.5){\color{red}$u_{4}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
