\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[upright]{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs}%police script \mathscr{} \usepackage{enumitem} \usepackage{lscape} \usepackage{tikz} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} % Tapuscrit Denis Vergès % Corrigé Jérôme Bonifas relu par François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\intff}[2]{\left[#1 \, ; \, #2\right]} %intervalle fermé fermé \newcommand{\intfo}[2]{\left[#1 \, ; \, #2\right[} %intervalle fermé ouvert \newcommand{\intof}[2]{\left]#1 \, ; \, #2\right]} %intervalle ouvert fermé \newcommand{\intoo}[2]{\left]#1 \, ; \, #2\right[} %intervalle ouvert ouvert \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{cancel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {S Métropole - La Réunion - Corrigé}, pdftitle = {22 juin 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole - La Réunion}} \rfoot{\small 22 juin 2018} \pagestyle{fancy} \label{Metropolejuin} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\begin{Large} Corrigé du baccalauréat TS Métropole--La Réunion 22 juin 2018 \end{Large}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \smallskip \hrule \medskip \begin{enumerate} \item La largeur de l'arc de chaînette est égal à $2x$ et sa hauteur est égale à $\dfrac{1}{2}(\e^x + \e^{-x}-2)$.\smallskip Le problème étudié revient à résoudre l'équation $\dfrac{1}{2}(\e^x + \e^{-x}-2)=2x$\smallskip $\dfrac{1}{2}(\e^x + \e^{-x}-2)=2x \iff \e^x + \e^{-x}-2=4x \iff \e^x + \e^{-x}-2-4x=0$\item \begin{enumerate} \item Pour $x > 0$, $x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4 \right) = \cancel{x} \times \dfrac{e^{x}}{ \cancel{x} } - 4x= \e^x -4$ donc $f(x)$ peut bien s'écrire sous la forme proposée. \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ par croissance comparée, donc par somme puis produit, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\left( \dfrac{\e^x}{x}-4 \right) = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{-x}=0$\smallskip Par somme, on obtient $\boxed{\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=+\infty}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\boxed{f'(x) = \e^x - \e^{-x} - 4}$ \item $f'(x) = 0 \iff \e^x - \dfrac{1}{\e^x}-4=0 \iff \dfrac{(\e^x)^2-4\e^x-1}{\e^x}=0 \iff \left(\e^x\right)^2-4\e^x-1 = 0$. \item Si on pose $X =\e^x$ alors $(\e^x)^2-4\e^x-1=0 \iff X^2-4X-1 = 0$ \smallskip $\Delta = 16-4\times 1 \times (-1) = 16+4=20 > 0$ donc l'équation admet deux solutions :\smallskip $X_1 = \dfrac{4 - \sqrt{20}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5} \approx -0,24 <0$ et $X_2=2+\sqrt{5} \approx 4,24 > 0$ \smallskip $\e^x=2-\sqrt{5}$ n'a pas de solution car $\e^x >0$ et $\e^x = 2 + \sqrt{5} \iff x=\ln(2+\sqrt{5})$.\smallskip Donc $f'(x)$ s'annule pour une seule valeur égale à $\ln(2 + \sqrt{5})$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On obtient le tableau de variations suivant : \smallskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=3]{$x$/0.6, $f(x)$/2} {$0$,$\ln(2+\sqrt{5})$,$+\infty$} % \tkzTabVar{+/$0$ ,-/$f(\ln(2+\sqrt{5}))$ ,+/$+\infty$} % \end{tikzpicture} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,2.75) \psframe(5.5,2.75)\psline(0,2)(5.5,2)\psline(1.5,0)(1.5,2.75) \uput[u](0.75,1.9){$x$} \uput[u](1.6,1.9){0} \uput[u](3.5,1.9){\small $\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)$} \uput[u](5.1,1.9){$+ \infty$} \rput(0.75,1){$f(x)$} \uput[d](1.6,2){0} \uput[u](3.5,0){\small $f\left(\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)\right)$}\uput[d](5.1,2){$+ \infty$} \psline{->}(1.75,1.5)(3,0.75)\psline{->}(3.5,0.75)(5.1,1.5) \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\linewidth} avec $f(0) = 1+1-0-2 =0 $ \smallskip et $f\left( \ln \left(2+\sqrt{5}\right) \right) \approx -3,3$ \end{minipage} \item \begin{itemize} \item Sur $\intof{ 0 }{ \ln(2+\sqrt{5}) }$, $f(x) < 0$ donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.\smallskip \item Sur $\intfo{ \ln(2+\sqrt{5} }{ +\infty }$, $f$ est continue et strictement croissante.\smallskip $0\in \intfo{ f(\ln(2+\sqrt{5})) }{ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) } $ car $f(\ln(2+\sqrt{5}))\approx -3,3 <0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=+\infty$\smallskip D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution $\alpha$. \end{itemize} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\begin{array}[t]{|*{5}{c|}}\hline m & a & b & b-a & f(m) \\ \hline & 2 & 3 & 1 & \\ \hline 2,5 & 2 & 2,5 & 0,5>0,1 & \approx 0,26 >0 \\ \hline 2,25 & 2,25 & 2,5 & 0,25>0,1 & \approx -1,4 <0 \\ \hline 2,375 & 2,375 & 2,5 & 0,125>0,1 & \approx -0,66 <0 \\ \hline 2,4375 & 2,4375 & 2,5 & 0,0625<0,1 & \approx -0,22 <0 \\ \hline \end{array}$ \item Grâce à cet algorithme, on obtient un encadrement de $\alpha$ : $\boxed{ 2,4375 < \alpha < 2,5 }$ \end{enumerate} \item $\e^{ \frac{t}{39} } + \e^{- \frac{t}{39} } - 4 \dfrac{t}{39}-2 = 0 \iff \e^x + \e^{-x} -4x-2=0$ avec $x=\dfrac{t}{39}$ \smallskip Cette équation a une unique solution $\alpha$ et $\alpha = \dfrac{t}{39} \iff t = 39 \alpha$ donc la largeur de l'arche est $2t = 78 \alpha$\smallskip $2,4375 < \alpha < 2,5 \iff 190,125 < 78\alpha < 195$\smallskip donc la largeur de l'arche est comprise entre 190 et 195 mètres. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \smallskip \hrule \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $P(G)=0,2$ car 20\% de la population a contracté la grippe. \item On obtient : \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2,grow'=right] \tikzstyle{level 1}=[sibling distance=16mm,level distance=20mm] \tikzstyle{level 2}=[sibling distance=7mm,level distance=13mm] \node{} child{ node{$V$} child{ node{$G$} edge from parent node[above]{$0,08$} } child{ node{$\overline{G}$} edge from parent node[below]{$0,92$} } edge from parent node[above] {$0,4$}} child{node{$\overline{V}$} child{ node{$G$} edge from parent node[above ] {$ $} } child{ node{$\overline{G}$} edge from parent node[below ] {$ $} } edge from parent node[below ] {$0,6 \quad$} }; \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \item On calcule $P(G \cap V) = 0,4 \times 0,08 = 0,032$ soit $3,2\%$ de chances que la personne ait contractée la grippe et soit vaccinée. \item On calcule $P_{\overline{V}} (G) =\dfrac{P\left(\overline{V} \cap G\right) }{P\left(\overline{V}\right)}$\smallskip D'après la formule des probabilités totales, $P(V \cap G) + P\left(\overline{V} \cap G\right) = P\left(G\right)$.\smallskip Donc $P\left(\overline{V} \cap G\right) = P(G) - P(V \cap G) = 0,2 - 0,032 = 0,168$ puis $P_{\overline{V}} (G) = \dfrac{0,168}{0,6} =0,28$. La probabilité qu'une personne non vaccinée ait contracté la grippe est égale à 0,28. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Il s'agit de $n$ expériences aléatoires identiques et indépendantes à 2 issues (la personne est vaccinée ou non) avec une probabilité de succès de $0,4$.\smallskip La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~0,4)$. \item Avec la loi $\mathscr{B}(40~;~0,4)$ \begin{enumerate} \item $P(X=15) \approx 0,123$ \item $P(X \geqslant 20) = 1- P(X < 20) = 1- P(X \leqslant 19) \approx 0,130$ \end{enumerate} \item On calcule $P(1450 < X < 1550) = P\left( \dfrac{1450-1500}{30} < Z < \dfrac{1550-1500}{30} \right) = P\left( \dfrac{-5}{3} < Z < \dfrac{5}{3} \right) \approx 0,904$ \end{enumerate}\bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \smallskip \hrule \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(EA) \perp (ABC)$ donc $(EA)$ est la hauteur issue de E dans le tétraèdre ABCE.\smallskip $(CB) \perp (ABE)$ donc $(CB)$ est la hauteur issue de C dans le tétraèdre ABCE. \item Les droites $(EA)$ et $(BC)$ sont non coplanaires donc non sécantes.\smallskip Avec deux hauteurs non sécantes, il est impossible d'avoir 4 hauteurs concourantes ! \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $x-y+z=0$ est bien l'équation cartésienne d'un plan donc je vérifie que les points A, C et H appartiennent bien à ce plan : $A(0~;~0~;~0)$ donc $x_A-y_A+z_A=0$ $C(1~;~1~;~0)$ donc $x_C-y_C+z_C=1-1-0=0$ $H(0~;~1~;~1)$ donc $x_H-y_H+z_H=0-1+1=0$ \item $F(1~;~0~;~1)$ et $D(0~;~1~;~0)$ donc $\vect{DF}(1~;~-1~;~1)$ qui est bien un vecteur normal au plan d'après les coefficients de l'équation cartésienne donc $(FD) \perp (ACH)$ puis $(FD)$ est bien la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF. \item Par analogie, on en déduit que $(AG)$ est la hauteur issue de A, $(CE)$ est la hauteur issue de H et $(HB)$ est la hauteur issue de H. D'après l'énoncé, les 4 hauteurs correspondent aux \og grandes diagonales \fg{} du cube et sont donc concourantes. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(MK)$ est orthogonale au plan $(NPQ)$ donc d'après le théorème de la porte, $(MK)$ est orthogonale à toute droite de ce plan; en particulier, $(MK) \perp (PQ)$. \item On a montré que $(PQ)$ est orthogonale à $(NK)$ et $(MK)$ qui sont deux droites sécantes du plan $(MNK)$ donc par définition, $(PQ)$ est orthogonale au plan $(MNK)$. \end{enumerate} \item $(PQ)$ est orthogonale au plan $(MNK)$ donc d'après le théorème de la porte, $(PQ)$ est orthogonale à toute droite de ce plan; en particulier, $(PQ) \perp (MN)$. \end{enumerate}\medskip \textbf{Partie C}\smallskip $\vect{RS}(4~;~-1~;~-4)$ \quad $\vect{ST}(3~;~-5~;~7)$ \quad $\vect{TU} (0~;~8~;~-2)$ \quad $\vect{RU}(7~;~2~;~1)$ \quad $\vect{RT}(7~;~-6~;~3)$ \quad $\vect{SU} (3~;~3~;~5)$\smallskip $\vect{ST}\cdot\vect{RU}=3\times 7 + (-5) \times 2 + 7 \times 1 =21-10+7\neq 0$ donc $(ST)$ n'est pas orthogonale à $(TU)$.\smallskip Avec deux arêtes opposées non orthogonales, ce tétraèdre n'est pas orthocentrique.\bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 obligatoire}} \smallskip \hrule \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{3}{4} - \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4}$ \item $z_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}}z_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} \times 8$ donc $\boxed{ z_1=4\sqrt{3} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} }$\smallskip $z_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}}z_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} \times 4\sqrt{3} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} = 6 \e^{-\text{i} \frac{2\pi}{6}}$ donc $\boxed{ z_2=6 \e^{-\text{i} \frac{\pi}{3}} }$\smallskip $z_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}}z_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} \times 6 \e^{-\text{i} \frac{\pi}{3}} = 3\sqrt{3} \e^{-\text{i} \frac{3\pi}{6}}$ donc $\boxed{ z_3=3\sqrt{3} \e^{-\text{i} \frac{\pi}{2}} }$\medskip $\arg(z_3) = \dfrac{-\pi}{2}$ donc $z_3$ est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est négative et $\boxed{ \text{Im}\left(z_3\right) = - 3\sqrt{3} }$ \item \textsc{Figure représentation des points $A_0$, \:$A_1$, \:$A_2$, \:$A_3$} La relation $z_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}z_n$ montre en prenant les arguments que arg$\left(z_{n+1} \right) = \text{arg}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\right) + \text{arg}\left(z_n\right)$. Or $\text{arg}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}} \right) = - \dfrac{\pi}{6}$. On a donc pour tout $n \in \N$, $\left(\vect{\text{O}A_n},~\vect{\text{O}A_{n+1}} \right) = - \dfrac{\pi}{6}$. On a donc $\left(\vect{\text{O}A_0},~\vect{\text{O}A_{1}} \right) = - \dfrac{\pi}{6}$, puis $\left(\vect{\text{O}A_0},~\vect{\text{O}A_{2}} \right) = - \dfrac{\pi}{3}$ et $\left(\vect{\text{O}A_0},~\vect{\text{O}A_{3}} \right) = - \dfrac{\pi}{2}$. \smallskip $\bullet~~$$A_0$ a pour affixe 8 ; $\bullet~~$ On sait que $\sin - \frac{\pi}{6} = - \frac{1}{2}$. On trace donc l'horizontale partant du point de coordonnées $(0~;~- 4)$ qui coupe le cercle de centre O de rayon 8 en un point B d'abscisse positive. La droite verticale d'équation $x = 6$ coupe OB en $A_1$. $\bullet~~$ On sait que $\cos - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. On trace donc la verticale ale partant du point de coordonnées $(4~;~0)$ qui coupe le cercle de centre O de rayon 8 en un point C d'ordonnée négative. La droite verticale d'équation $x = 3$ coupe OC en $A_2$. $\bullet~~$ Enfin $A_3$ est le projeté orthogonal de $A_2$ sur l'axe des ordonnées puisque $\text{O}A_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{O}A_2$ ou encore $\text{O}A_3 = \cos \frac{\pi}{6}\text{O}A_2$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-8)(8.1,0.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-8)(8.1,0.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-8)(8.1,0.5) \psarc(0,0){8}{-90}{5} \uput[dr](8,0){$A_0$} \psline[linestyle=dotted](0,-4)(7.1,-4) \psline[linestyle=dotted](8;-30) \psline[linestyle=dotted](6,0)(6,-3.464)\uput[r](6,-3.464){$A_1$} \psline[linestyle=dotted](4,0)(4,-7.1) \psline[linestyle=dotted](8;-60) \psline[linestyle=dotted](3,0)(3,-5.196)\uput[ur](3,-5.196){$A_2$} \psline(8;0)(6.928;-30)(6;-60)(0,-5.196)\uput[dl](0,-5.196){$A_3$} \psdots(8,0)(6,-3.464)(3,-5.196)(0,-5.196)(8;-30)(8;-60) \psarc(0,0){0.4}{-30}{0}\psarc(0,0){0.5}{-60}{-30}\psarc(0,0){0.6}{-90}{-60} \rput(0.7,-0.2){$\frac{\pi}{6}$} \rput(0.6,-0.6){$\frac{\pi}{6}$} \rput(0.3,-1){$\frac{\pi}{6}$} \uput[dr](8;-30){B}\uput[dr](8;-60){C} \psarc[linecolor=red](4,0){4}{-180}{0} \rput{-30}(0,0){\psarc[linecolor=red](3.4641,0){3.4641}{-180}{0}} \rput{-60}(0,0){\psarc[linecolor=red](3,0){3}{-180}{0}} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \emph{Remarque} : Puisque que pour tout naturel $n$, \: O$A_{n+1} = \cos \frac{\pi}{6} \text{O}A_n$, le point $A_{n+}$ est la projeté orthogonal de $A_n$ sur la droite O$A_{n+1}$. $A_1$ est donc le point d'intersection de la droite (OB) avec le demi-cercle de diamètre $\left[\text{O}A_0\right]$ contenant les points d'ordonnée négative. $A_2$ est le point d'intersection de la droite (OC) avec le demi-cercle de diamètre $\left[\text{O}A_1\right]$. (voir les demi-cercles tracés en rouge) $A_3$ est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec le demi-cercle de diamètre $\left[\text{O}A_2\right]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \emph{Initialisation} $z_0 = 8 \times 1 \times 1 = 8$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.\smallskip \emph{Hérédité} : On suppose que pour $n \geqslant 0$, $z_n=8 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n \e^{-\text{i} \frac{n\pi}{6}}$ et on va montrer que $z_{n+1} = 8 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n+1} \e^{-\text{i} \frac{(n+1)\pi}{6}}$\medskip On a $z_{n+1}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} z_n= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\text{i} \frac{\pi}{6}} \times 8\times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n \e^{-\text{i} \frac{n\pi}{6}}$ \textit{(par hypothèse de récurrence)}.\smallskip Donc $z_{n+1}=8 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n+1} \e^{-\text{i} \frac{(n+1)\pi}{6}}$ \textit{ (en utilisant la propriété $a^n \times a = a^{n+1}$ pour tout nombre réel $a$) }.\smallskip Donc la propriété est héréditaire.\smallskip La propriété est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n \geqslant 0$, elle l'est aussi au rang $n + 1$ Conclusion : d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$. \item On a donc $u_n=\left|z_n\right| =8 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n$\smallskip Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $u_0=8$ et de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \medskip $0 < \dfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$ donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n = 0$ puis $\boxed{ \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 8 \times 0 = 0 }$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\dfrac{z_{k+1} - z_k}{z_{k+1} } = \dfrac{ \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4}z_k - z_k}{ \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4}z_k } = \dfrac{ \cancel{z_k} \left( \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4} - 1 \right)}{ \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4}\cancel{z_k} } =\dfrac{ \dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4} - 1 }{\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{4}} = \dfrac{ -1-\text{i}\sqrt{3} }{4} \times \dfrac{4}{3-\text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{ -1-\text{i}\sqrt{3} }{3-\text{i}\sqrt{3}}$\medskip On multiplie par le conjugué du dénominateur :\smallskip $\dfrac{z_{k+1} - z_k}{z_{k+1}} =\dfrac{ (-1-\text{i}\sqrt{3})(3+\text{i}\sqrt{3}) }{ (3-\text{i}\sqrt{3})(3+\text{i}\sqrt{3})} = \dfrac{-3-\text{i}\sqrt{3}-3\text{i}\sqrt{3}+3 }{9+3} = \dfrac{-4\text{i}\sqrt{3}\times \sqrt{3} }{12 \times \sqrt{3} } = \dfrac{-12\text{i}}{12\sqrt{3}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{i}$\medskip On a donc $\left|\dfrac{z_{k+1} - z_k}{z_{k+1} }\right| = \left|- \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{i}\right| \iff \dfrac{\left|z_{k+1} - z_k \right|}{\left|z_{k+1} \right|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \iff \dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \iff $ $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} OA_{k+1}$. \medskip \item D'après la question précédente, pour tout entier naturel $k$,\smallskip $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} OA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \left|z_{k+1} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times 8 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{k+1} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{k+1}$ \medskip Donc $\ell_n=\dfrac{8}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^1 + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \cdots + \dfrac{8}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^n = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^1 + \cdots + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} \right)$\medskip Puis $\ell_n=4 \times \dfrac{1 - \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n} }{1-\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)} =4 \times \dfrac{1 - \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n} }{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{8}{2-\sqrt{3}} \times \left( 1 - \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n} \right)$\medskip Pour finir, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ell_n=\dfrac{8}{2-\sqrt{3}}(1-0) =\dfrac{8}{2-\sqrt{3}} \approx 29,86$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 spécialité}} \smallskip \hrule \medskip \bigskip \textbf{Partie A} %\medskip %On considère l'équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : \[x^2 - 8y^2 = 1. \quad(E)\] \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer un couple solution $(x~;~y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels. Le couple (1~;~0) est solution ; avec $y = 1$, on trouve aussitôt $x = 3$. Le couple (3~;~1) est aussi solution. \item %On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$. %On définit les suites d'entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par : \[x_0 = 1,\: y_0 = 0,\: \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple % $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de l'équation $(E)$. \emph{Initialisation} On a vu que le couple $\left(x_0 = 1~;~y_0 = 0 \right)$ est un couple solution. Donc la proposition est vraie au rang $0$. \emph{Hérédité} Soit $n \in \N$ et supposons que le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de l'équation $(E)$, c'est-à-dire que $x_n^2 - 8y_n^2 = 1$. Alors $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x_{n} + 8y_n\\x_n + 3y_{n}\end{pmatrix}$ Donc $x_{n+1} = 3x_n + 8y_n$ et $y_{n+1} = x_n + 3y_n$. Calculons la différence : $x_{n+1}^2 - 8y_{n+1}^2 = \left(3x_n + 8y_n\right)^2 - 8\left(x_n + 3y_n \right)^2 = 9x_n^2 64y_n^2 + 48x_ny_n - 8\left(x_n^2 + 9y_n^2 + 6x_ny_n \right) = 9x_n^2 + 64y_n^2 + 48x_ny_n - 8x_n^2 - 72y_n^2 - 48x_ny_n = x_n - 8y_n^2 = 1$, d'après l'hypothèse de récurrence. Le couple $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1} \right)$ est aussi un couple solution. On a montré que la proposition est vraie au rang $0$ et que si elle est vraie à un rang $n \in \N$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence on a montré que pour tout naturel $n$, \: le couple $\left(x_n~;~y_n \right)$ est une solution de $(E)$. \item %En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1} > x_n$. On calcule la différence : $x_{n+1} - x_n = 3x_n + 8y_n - x_n = 2x_n + 8y_n$ ; cette somme est positive car on suppose que $x_n > 0$ et $y_n \in \N,\: y_n \geqslant 0$. On a donc $x_{n+1} - x_n > 0 \iff x_{n+1} > x_n$ : la suite $\left(x_n\right)$ est donc strictement croissante. \end{enumerate} \item %En déduire que l'équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions. On a vu qu'il existe au moins un couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ solution de $(E)$ et on a démontré que pour chaque couple solution $\left(x_n~;~y_n\right)$ le couple $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right)$ est aussi solution ; comme on a montré que $x_{n+1} > x_n$ le couple $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right)$ est une solution différente. Conclusion : l'équation $(E)$ a une infinité de solutions, les premiers termes étant de plus en plus grands. Les premiers couples sont (1~;0), \: (3~;~1), \: (17~;~6), \ldots \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$,\: $p^2$ divise $n$. \medskip \begin{enumerate} \item ~%Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants. $\bullet~~$ On a $8 = 2^3$ ; 8 est divisible par 2 qui est premier et aussi par $2^2$: il est puissant ; $\bullet~~$ On a $9 = 3^2$ ; 9 est divisible par 3 qui est premier et aussi par $3^2$: il est puissant ; 8 et 9 sont deux naturels consécutifs inférieurs à 10 puissants. \end{enumerate} \medskip %L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item %Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. %Montrer que l'entier naturel $n = a^2 b^3$ est un nombre puissant. On suppose que $ab\neq 0$, que $a \neq b$ et $a \geqslant 1$. Tout diviseur premier de $n$ est un diviseur de $a$ ou de $b$. $\bullet~~$Si $p$ est un diviseur premier de $a$, alors il existe $a' \in \N$ tel que $a = p \times a'$, donc $n$ s'écrit $n = p^2a'^2b^3$, donc $p^2$ divise $n$ ; $\bullet~~$Si $p$ est un diviseur premier de $b$, alors il existe $b' \in \N$ tel que $b = p \times b'$, donc $n$ s'écrit $n = a^2p^3\left(b'\right)^3 = p^2pa^2\left(b'\right)^3$, donc $p^2$ divise $n$. Conclusion $n$ est puissant. \item %Montrer que si $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2 - 1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants. $\bullet~~$Il est évident que $x^2 - 1$ précède $x^2$ ; les deux nombres sont consécutifs ; $\bullet~~$Puisque $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$, on a donc $x^2 - 8y^2 = 1 \iff$ $ x^2 - 1 = 8y^2$ qui est un nombre puissant puisque divisible par 2 premier et son carré 4. D'autre part $x$ supérieur à 1 a au moins un diviseur premier $p$ ; il existe $q \in \N$ tel que $x = pq$ et par conséquent $x^2 = p^2q^2$ qui est puissant puisque divisible par le premier $p$ et le carré de ce premier. Conclusion : si $(x~;~y)$ est un couple solution de l'équation $(E)$, $x^2 - 1$ et $x^2$ sont deux naturels consécutifs puissants. On a vu que 8 et 9 sont consécutifs et puissants. \item %Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants. %Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$. On a vu l'équation $(E)$ a une infinité de couples solutions. On a démontré que pour chaque couple $(x~;~y)$ solution de $(E)$, les nombres $x^2 - 1$ et $x^2$ sont consécutifs et puissants et que la suite des premiers termes est strictement croissante. Il existe donc une infinité de naturels consécutifs et puissants. La calculatrice donne $\left(x_3~;~y_3\right) = (99~;~35)$. D'après la question précédente $99^2$ et $99^2 - 1$ sont deux nombres consécutifs puissants On a $99^2 = (100 - 1)^2 = \np{10000} - 200 + 1 = \np{9801}$ et $99^2 - 1 = \np{9800}$. $\np{9801} = (9 \times 11)^2 = \left(3^2 \times 11\right)^2 = 3^4 \times 11^2$. $\np{9801}$ est effectivement divisible par 3 et par $3^2$, par 11 et $11^2$ ; $\np{9801} - 1 = \np{9800} = 98 \times 100 = 2 \times 49 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 5^2 \times 7^2$ est divisible par 2 et par $2^2$, par 5 et $5^2$ par 7 et $7^2$. \np{9800} et \np{9801} sont des naturels consécutifs et puissants supérieurs à 2018. \end{enumerate} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%% La question 1. permettait de faire la question 2 en trois lignes. x2 et x2−1 sont des entiers consécutifs. x2 est puissant d'après la question 1 en prenant a=x et b=1. x2−1=8y2=y2.23 est puissant d'après la question 1 en prenant a=y et b=2. %%%%%%%%%%%%%%%