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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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 \thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Métropole ~\decofourright\\septembre 2002}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

%\vspace{0,25cm}

%\parbox[c]{0.5\textwidth}{Un carré de côté 20 cm est partagé selon
%les 10 zones suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item un disque D de rayon 1 cm,
%\item 8 secteurs S$_1$,~ S$_2$, ~\ldots, S$_8$ de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D$'$ de même centre et de rayon 9 cm,
%\item une zone R entre le disque D$'$ et le bord du carré.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone.}
%\hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(8,8)
%\psframe(0,0)(8,8)
%\pscircle(4,4){0,45}
%\pscircle(4,4){3,25}
%\psline(4.45,4)(7.25,4)
%\psline(4.318,4.318)(6.298,6.298)
%\psline(4,4.45)(4,7.25)
%\psline(3.682,4.318)(1.702,6.298)
%\psline(3.55,4)(0.75,4)
%\psline(3.682,3.682)(1.702,1.702)
%\psline(4,3.55)(4,0.75)
%\psline(4.318,3.682)(6.298,1.702)
%\rput(5.94,4.804){S$_1$}
%\rput(4.804,5.94){S$_2$}
%\rput(3.196,5.94){S$_3$}
%\rput(2.06,4.804){S$_4$}
%\rput(2.06,3.196){S$_5$}
%\rput(3.196,2.06){S$_6$}
%\rput(4.804,2.06){S$_7$}
%\rput(5.94,3.196){S$_8$}
%\rput(1,1){R}
%\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité $p$(D) pour que le point soit placé dans le disque D.
L'aire du disque D est égale à $\pi \times 1^2 = \pi$~cm$^2$.
L'aire du carré est égale à $20^2 = 400$~cm$^2$.

Donc $p(\text{D}) = \dfrac{\pi}{400}$.
		\item %Déterminer la probabilité $p(\text{S}_1)$ pour que le point soit  placé dans le secteur S$_1$.
		L'aire de l'un des secteurs S$_i$ est égale à $\dfrac{\pi \times 9^2 - \pi \times 1^2}{8} = 10\pi$, donc 
		
$p\left( \text{S}_i\right) = \dfrac{10\pi}{400} = \dfrac{\pi}{40}$.
	\end{enumerate}

\item %Pour cette question \textbf{2.}, on utilisera les valeurs approchées suivantes : 
 
%$p$(D) = 0,008 et  pour tout $k$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\},$
 
%$p(\text{S}_k) = \np{0,0785}$.

%À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;
%\item un point placé dans le secteur S$_k$ fait gagner $k$ euros pour tout
% $k$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\}$ ;
%\item un point placé dans la zone R fait perdre 4~euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $X$ la variable alatoire égale au gain algébrique obtenu.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité $p$(R) pour que le point soit placé dans la zone R.
La probabilité de placer le point dans le Reste est :

$p(\text{R}) = 1 - 0,008 - 8 \times \np{0,0785} = 0,364$.

%Calculer l'espérance de $X$.
$E(X) = 10 \times p(\text{D}) + p\left(\text{S}_1\right) \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 - 4 \times p(\text{R}) \approx 1,45$.
		\item %On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d'obtenir un gain total positif ou nul.
Le gain est strictement négatif dans les cas suivants :

(R, R), (S$_1$, R), (S$_2$, R), (S$_3$, R), (R, S$_1$), (R, S$_2$), (R, S$_3$).

Les évènements étant indépendants on a :

$p(\text{R}, \text{R}) = p(\text{R}) \times p(\text{R})$ ; de même $p\left(\text{R}, \text{S}_1 \right)  = p\left(\text{S}_1 \text{R}, \text{R}\right)$ et les autres probabilités sont toutes égales.

La probabilité d'avoir un gain strictement négatif est donc égale à :

$p^2(\text{R}) + 6p\left(\text{R}, \text{S}_1 \right)   \approx 0,304$.

La probabilité d'avoir un gain positif ou nul est donc égale à : $1 - 0,304 = 0,696$. 		
		\item %Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à deux.  On joue $n$ fois de suite. On a donc placé $n$ points de manière indépendante dans le carré.

%Calculer la probabilité $p_n$ d'obtenir au moins un point placé dans le disque D.

%Déterminer la plus petite valeur de $n$ tel que $p_n \geqslant 0,9$.
On a un schéma de Bernouilli et la variable comptant le nombre de points situés dans D sui la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,008$.

La probabilité de n'avoir aucun point dans D est égale $(1 - 0,008)^n = 0,992^n$, donc la  probabilité $p_n$ d'obtenir au moins un point placé dans le disque D est $p_n = 1 - 0,992^n$.

$\bullet~~$$p_n \geqslant 0,9 \iff 1 - 0,992^n \geqslant 0,9 \iff 0,992^n \leqslant 0,1 \iff$

$ n \ln 0,992 \leqslant \ln 0,1 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,1}{\ln 0,992} \approx 286,6$.

La plus petite valeur de $n$ telle que $p_n \geqslant 0,9$ est 287.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct 
%\Ouv{} d'unité graphique 4~cm. 
%On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i.  À tout point $M$, distinct de A et d'affixe $z$, est associé le point $M'$ d'affixe $Z$ définie par :

\[ Z = \dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'affixe du point C$'$ associé au point C d'affixe $- \text{i}$.
$Z_{\text{C}'} = \dfrac{(1 - \text{i})(- \text{i} - \text{i})}{- \text{i} - 1} = \dfrac{- 2\text{i}(1 - \text{i})}{- \text{i} - 1} = \dfrac{2\text{i}(1 - \text{i})}{\text{i} + 1} = \dfrac{2\text{i}(1 - \text{i})(1 - \text{i})}{(\text{i} + 1)(1 - \text{i})} = \dfrac{2\text{i}(1 - 1 - 2\text{i}}{1 + 1} = - \text{i}$.

Le point C est donc invariant 
		\item ~%Placer les points A, B et C.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.1)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.1)(2,2)
\psdots(1,0)(0,1)(0,-1)%ABC
\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B}\uput[dr](0,-1){C}
\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(1,1){1}
\psarc[linecolor=blue](0,0){1}{91}{359}
\psline(1;90)(1;127)(1;0)
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}

\item %Soit $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer l'égalité :

%\[Z = \dfrac{ (x-1)^2 +(y-1)^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2} - \text{i}\dfrac{x^2 + y^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2}.\]
Avec $z = x + \text{i}y$,

$Z = \dfrac{(1 - \text{i})(x + \text{i}y - \text{i})}{x + \text{i}y - 1} = \dfrac{(1 - \text{i})(x + \text{i}(y - 1))}{x - 1 + \text{i}y} = \dfrac{(1 - \text{i})(x + \text{i}(y - 1))(x - 1 - \text{i}y)}{(x - 1 + \text{i}y)(x - 1 - \text{i}y)} = \dfrac{(1 - \text{i})[x^2 - x + y^2 - y + \text{i}(xy - y - x + 1 - xy}{(x - 1)^2 + y^2} =$

$Z = \dfrac{x^2 + y^2 - x - y - x + 1 + \text{i}(- y - x + 1 - x^2 + x - y^2 + y)}{(x - 1)^2 + y^2} = $

$Z =\dfrac{x^2 - 2x  + 1 + y^2 - 2y +   \text{i}(- x^2 - y^2 + 1 }{(x - 1)^2 + y^2} =$

$Z =\dfrac{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 1  - \text{i}\left(x^2 + y^2 - 1 \right)}{(x - 1)^2 + y^2}$.
		\item %Déterminer l'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ telle que $Z$ soit réel.
La partie imaginaire est nulle soit $x^2 + y^2 - 1 = 0 $ ou $x^2 + y^2 = 1$ qui est une équation du cercle centré en O de rayon 1. C'est l'ensemble E.
		\item %Déterminer l'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ telle que Re($Z$) soit négatif ou nul.
La partie réelle est négative ou nulle si $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 1 \leqslant 0 \iff$
		
$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2  \leqslant 1$.
		
F est l'ensemble des points situés à l'intérieur ou sur le cercle centré en (1~;~1) et de rayon 1.
 	\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Écrire le nombre complexe $(1 - \text{i})$ sous forme  trigonométrique.
$\left|1 - \text{i} \right|^2 = 1^2 + 1^2 =2 \Rightarrow |1 - \text{i}| = \sqrt{2}$.

On peut donc écrire $1 - \text{i} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Soit $M$ un point d'affixe $z$, distinct de A et de B. Montrer que :
%$\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
$\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement si  arg$\left(\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1} \right) = k \pi$, avec $k \in \Z$. Or 

arg$\left(\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1} \right) = \text{arg}(1 - \text{i}) + \text{arg}\left(\dfrac{z - \text{i}}{z - 1}\right)$.

Mais $\text{arg}\left(\dfrac{z - \text{i}}{z - 1}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right)$, donc 

$\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement si $- \dfrac{\pi}{4} + \left(\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right) =   k\pi \iff \left(M\vect{\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
		\item %En déduire l'ensemble des points $M$ vérifiant	$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
D'après la question précédente l'ensemble des points $M$ vérifiant 

$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ est l'ensemble des points $M$ distincts de A et de B tel que $Z$ soit un réel non nul. D'après la question 2. b. cet ensemble est le cercle de centre O de rayon 1 privé de A et de B.
		\item %Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant	$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
	En reprenant le résultat précédent, l'ensemble des points $M$ est l'ensemble des points tels que arg$Z = 2k\pi$ c'est-à-dire tels que $Z$ est un réel supérieur à zéro. Il faut donc que la partie réelle de $Z$ soit strictement positive :
	
$\left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2&=&1\\
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 &>& 1
\end{array}\right.$

L'ensemble cherché est donc l'arc de cercle du cercle unitaire intersection avec le cercle centré en (1~;~1) de rayon 1, les points A et B étant exclus. Voir la figure.

On reconnaît le théorème de l'angle inscrit dont la mesure est égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui est ici droit.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.45cm}
%\begin{pspicture}(26.2,10.2)
%%\psgrid
%\psframe(0,0)(5,10) 
%%\psframe(5,0)(10,5) \psframe(10,0)(15,10)  \psframe(15,0)(25,5) 
%\uput[ul](0,10){C} \uput[ur](5,10){B} \uput[d](0,0){D}
%\uput[d](5,0){A} \uput[d](6.55,0){E$_1$} \uput[d](13.1,0){E$_2$}
%\uput[d](19.65,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](26.2,0){E$_4$}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6.55,0)(13.1,0)(19.65,0)(26.2,0)
%\psline(20,0)(26.2,0)\psline(20,0)
%\uput[d](15,0){M}\uput[l](5,5){P}
%\rput{-90}(5,0){\psline(0,0)(-5,10)}
%\uput[ur](15,5){N}
%\psframe(5,0)(15,5)
%\rput{90}(10,2.5){\psline(-5,-2.5)(5,2.5)}
%\psline(2.5,7.5)(10,7.5)
%\uput[ur](7.5,7.5){$\Omega$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{0,4cm}
%
%%On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10~cm et AD
%%= 5~cm.
%
%\begin{enumerate}
%\item  %Faire une figure : construire ABCD, puis les images
%% respectives M, N et P de B, C et D par la rotation $r$  de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  %Construire le centre $\Omega$ de la rotation $r'$ qui vérifie $r'$(A) = N et $r'$(B) = P. Déterminer l'angle de $r'$.
%		Le point $\Omega$ est le point commun aux médiatrices des segments [AN] et [BP].
%		\item %Montrer que l'image de ABCD par $r'$ est AMNP.
%		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
%transformation $r^{- 1} \circ r'$.
%	\end{enumerate}
%\item On considère les images successives des rectangles ABCD
% et AMNP par la translation de vecteur $\vect{\text{DM}}$.  Sur la
% demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points $\left(A_k\right)_{k
% \geqslant 1}$ vérifiant, en cm,~ D$A_k = 5 + 15k$.  Sur la même demi-droite, on considère la suite de points $\left(E_n\right)_{n \geqslant 1}$ vérifiant, en cm, D$E_n = 6,55 n$.
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer l'entier $k$ tel que $E_{120}$ appartienne à $[A_k,~A_{k+1}]$. Que vaut la longueur $A_kE_{120}$ en cm ?
%		\item On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale $n_0$ le point $E_{n_0}$ est confondu avec un point $A_k$.
%
%Montrer que si un point $E_n$ est confondu avec un point $A_k$ alors 
%
%$131 n - 300k = 100$.
%
%Vérifier que les nombres $n = \np{7100}$ et $k = \np{3100}$ forment une  solution de cette équation.
%
%Déterminer la valeur minimale $n_0$ recherchée.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que pour tout $x > 0$, on a : e$^{2x}  - 1 > 0$.
On a $x > 0 \Rightarrow 2x > 0 \Rightarrow  \text{e}^{2x} > \text{e}^{0} \iff \text{e}^{2x} > 1 \iff \text{e}^{2x} - 1 > 0$. 
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~\infty[$  par : 

$g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} - 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item ~%Déterminer les limites de $g$ en 0 et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement  les résultats.
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to 0 }\text{e}^{2x} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0 }\text{e}^{2x} - 1 = 0$ ; enfin $\displaystyle\lim_{x \to 0 }g(x)  = + \infty$ 

(car $\text{e}^{2x} - 1 > 0$).

Géométriquement : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la représentation graphique de $g$ au voisinage de zéro.

$\bullet~~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty }\text{e}^{2x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty }g(x) = 0$.

Géométriquement : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la représentation graphique de $g$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Calculer $g'(x)$. Étudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variations.
$g$ est dérivable et sur l'intervalle $]0~;~\infty[$ :

$g'(x) = \dfrac{- 2\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} - 1\right)^2} < 0$  car quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{2x} > 0$ et $\left(\text{e}^{2x} - 1\right)^2 > 0$ : la fonction est donc strictement décroissante de plus l'infini à zéro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~\infty[$ dont la courbe représentative $\cal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d'abscisse e.

%On admet l'égalité suivante : $f(x) = 2x\left[a(\ln x)^2 + b  \ln x + c\right]$ où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a,~b$ et $c$.
$f'(x) = 2\left[a(\ln x)^2 + b\ln x + c \right] + 2x\left[\dfrac{2a\ln x}{x} + \dfrac{b}{x} \right] =$

$ 2a(\ln x)^2 + (4a + 2b)\ln x + 2b + 2c$.
\item %À l'aide des informations données sur le graphique, déterminerles valeurs de  $f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~f'\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f'(\text{e})$.
On lit sur le graphique : $f'\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right) = 0$, \:$f'\left(\sqrt{\text{e}} \right) = 0$ et $f'(\text{e}) = 4$.
\item %En déduire l'égalité : $f(x) = 2x\left[2(\ln x)^2 - 3 \ln x + 2\right]$ pour tout $x  \in\: ]0~;~+ \infty[$.
D'après le résultat de la question a. : 

$f'\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right) = - 2a + 2c$, \: $f'\left(\sqrt{\text{e}} \right) = \dfrac{5}{2}a + 3b + 2c$ et $f'(\text{e}) = 6a + 4b + 2c$, donc $a, b$ et c vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
- 2a \phantom{3b} + 2c&=&0\\
\frac{5}{2}a + 3b + 2c&=&0\\
6a + 4b + 2c&=&4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- 2a \phantom{3b} + 2c&=&0\\
\frac{9}{2}a + 3b &=&0\\
8a + 4b &=&4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a  &=&c\\
9a + 6b  &=&0\\
2a + b &=&1
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a  &=&c\\
9a + 6b  &=&0\\
12a + 6b &=&6
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a  &=&c\\
9a + 6b  &=&0\\
3a  &=&6
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a  &=&c\\
18 + 6b  &=&0\\
a  &=&2
\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a  &=&2\\
b  &=& - 3\\
c  &=&2
\end{array}\right.$.

D'où $f(x) = 2x\left[2(\ln x)^2 - 3 \ln x + 2\right]$ pour tout $x  \in\: ]0~;~+ \infty[$.
\item   %Déterminer la limite de $f$ en $0$.  On pourra poser $t =- \ln x$ et vérifier pour tout $x  \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité :

%\[f(x) = 2\text{e}^{-t}\left[2t^2 + 3t + 2\right].\]
On pose pour $x > 0$, \: $t =- \ln x \iff \ln x = - t \iff x = \text{e}^{- t}$ ; donc 

$f(t) = 2\text{e}^{- t}\left[2(- t)^2 - 3 \times (- t) + 2\right] = 4t^2\text{e}^{- t} + 6t\text{e}^{- t} + 4\text{e}^{- t}$.

Or quand $x$ temps vers zéro $t$ tend vers plus l'infini. On sait que :

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t^2\text{e}^{- t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} t\text{e}^{- t}= \displaystyle\lim_{t \to + \infty} 4\text{e}^{- t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On peut factoriser :

$f(x) = 2x \ln x\left[2\ln x - 3 + \dfrac{3}{2\ln x} \right]$ et comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\ln x = + \infty$, \:

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}2\ln x - 3 + \dfrac{3}{2\ln x} = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Montrer pour tout $x  \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité : 
%$f'(x) = 2(\ln x+ 1)(2\ln x - 1)$.
D'après la question 1. a. : $f'(x) = 4(\ln x)^2 + 2\ln x - 2 = (2\ln x + 2)(2\ln x - 1) = 2(\ln x + 1)(\2\ln x - 1)$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Le signe de $f'(x)$  dépend du signe des deux facteurs $\ln x + 1$ et $2\ln x - 1$.

$\ln x + 1 = 0 \iff \ln x = - 1 \iff x = \text{e}^{- 1} = \dfrac{1}{\text{e}}$  ;

$2\ln x - 1 = 0 \iff 2\ln x = 1 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}}$. 

On calcule $f\left(\frac{1}{\text{e}}\right) = 2\times \frac{1}{\text{e}}\left[2 \times (- 1)^2 - 3\times (- 1) + 2 \right] = \frac{2}{\text{e}} \times 7 = \frac{14}{\text{e}}$ ; 

$f\left( \sqrt{\text{e}}\right)= 2\times \sqrt{\text{e}}\left[2 \times \frac{1}{4} - 3 \times \frac{1}{2} + 2 \right] = 2\sqrt{\text{e}}$.


On en déduit le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4)\psline(0,2)(8,2)
\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(0,3)(8,3)\psline(0,3.5)(8,3.5)
\psline(2,0)(2,4)\psline(2.1,0)(2.1,4)
\uput[u](1,3.4){$x$} \uput[u](2.2,3.4){$0$} \uput[u](4,3.4){$\frac{1}{\text{e}}$} \uput[u](6,3.4){$\sqrt{\text{e}}$} \uput[u](7.5,3.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.9){$\ln x + 1$} \uput[u](3,2.9){$-$} \uput[u](4,2.9){$0$} \uput[u](5,2.9){$+$} \uput[u](7,2.9){$+$} 
\uput[u](1,2.4){$2\ln x - 1$}\uput[u](3,2.4){$-$}\uput[u](5,2.4){$-$}\uput[u](6,2.4){$0$}\uput[u](7,2.4){$+$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5,1.9){$-$}\uput[u](6,1.9){$0$}\uput[u](7,1.9){$+$}
\uput[u](1,0.9){$f(x)$}\uput[u](2.2,0){0} \uput[d](4,2){$\frac{14}{\text{e}}$}\uput[u](6,0){$2\sqrt{\text{e}}$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(5.5,0.5)\psline{->}(6.5,0.5)(7.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Tracer, dans le repère \Oij{} de la feuille annexe, la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$ étudiée en \textbf{partie A}.
Voir l'annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x > 0$ , on a $g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1} - 1$.
$g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} - 1} =  \dfrac{1 - \text{e}^{2x} + \text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1} = \dfrac{- \left(\text{e}^{2x} - 1 \right)}{\text{e}^{2x} - 1} + \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1}$.
		\item %Calculer, et exprimer en unités d'aire, l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites  d'équation $x = \dfrac{1}{4}$ et $x = 2$.
Sur $\left[\frac{1}{4}~;~2\right]$, \: $g(x) > 0$, donc l'aire demandée est égale (en unité d'aire à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^2 g(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^2 \left[\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1} - 1  \right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^2 \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1}\:\text{d}x -  \displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^2  1\:\text{d}x =$

$ \left[\frac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{2x} - 1 \right) \right]_{\frac{1}{4}}^2 - [x]_{\frac{1}{4}}^2  = \frac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{4} - 1\right) -  \frac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{\frac{1}{2}} - 1\right) - 4 + \frac{1}{4} =$

$ \dfrac{\ln \left(\text{e}^{4} - 1\right) - \ln \left(\sqrt{\text{e}} - 1\right) - 7}{4}$
	\end{enumerate}
\item %Soit $\varphi$ la fonction définie sur [0,1~;~0,3] par : $\varphi(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout $x$ appartenant  [0,1 ; 0,3], on a : $\varphi'(x) > 0$.
$\varphi(x) = f(x) - g(x) \Rightarrow \varphi'(x) = f'(x) - g'(x)$.

Or suer [0,1~;~0,3], $f'(x) > $ et $g'(x) < 0$, donc $f'(x) - g'(x) > 0$.

La dérivée de $\varphi$ est supérieure à zéro sur [0,1~;~0,3].
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = g(x)$ possède une solution unique $\alpha$ sur [0,1~;~0,3] et déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude  $10^{-2}$.
La fonction $\varphi$ est donc strictement croissante, continue car dérivable sur [0,1~;~0,3].

Comme $\varphi(0,1) = 2\times 0,1\left[2(\ln 0,1)^2 - 3 \ln 0,1 + 2\right] - \dfrac{1}{\text{e}^{2\times 0,1} - 1} \approx - 0,61 < 0$ et $\varphi(0,3) = 2\times 0,3\left[2(\ln 0,3)^2 - 3 \ln 0,3 + 2\right] - \dfrac{1}{\text{e}^{2\times 0,3} - 1} \approx + 0,49 > 0$.

Il existe donc un réel unique $\alpha \in ]0,1~;0,3[$ tel que 

$\varphi(\alpha) = 0 \iff f(\alpha) = g(\alpha)$.

Avec la calculatrice on trouve que $0,11 < \alpha < 0,12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Partie D} \end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x > 0,\: f(x) > 0$.
On a vu que $f(0) = 0$ et que $f$ est strictement croissante sur $\left[0~;~\frac{1}{\text{e}}\right]$ ; $f$ est donc positive sur cet intervalle.

Sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~+ \infty[$, la fonction $f$admet un minimum $2\sqrt{\text{e}} > 0$ ; sur cet intervalle on a aussi $f(x) > 0$.
\item %On définit la fonction $h$ sur $]0~;~+ \infty[$ par l'expression suivante : $h = g \circ f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites en 0 et en $+ \infty$ de $h$.
Par composition des limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) =  \displaystyle\lim_{X \to 0} g(X) = +\infty$.

De même $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) =  \displaystyle\lim_{X \to + \infty} g(X) = 0$
		\item %Déterminer le sens de variation de $h$ sur $]0~;~+ \infty[$.
Par composition des sens de vraiations :

$\bullet~~$sur $\left[0~;~\frac{1}{\text{e}}\right]$ $g \circ f$ composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante ;

$\bullet~~$sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~\sqrt{\text{e}}\right]$ $g \circ f$ composée d'une fonction décroissante et et d'une fonction décroissante est croissante ;

$\bullet~~$sur $\left[\sqrt{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ $g \circ f$ composée d'une fonction croissante  et et d'une fonction décroissante est décroissante ;
		\item %Montrer que $h(\alpha) = g \circ g (\alpha)$. Déterminer une valeur  approchée de $h(\alpha)$ à $10^{-4}$ près.
Sur $\left[0~;~\frac{1}{\text{e}}\right]$, \:$f$ est croissante, donc :

0,11 < \alpha < 0,12 \Rightarrow f(0,11) < f(\alpha) < f(0,12)$.

Or $f(0,11) \approx 4,0$ et $f(0,12) \approx 4,16$ et $g$ est décroissante sur $\left[\sqrt{\text{e}}~;~+ \infty\right[$; d'où :

$ f(0,11) < f(\alpha) < f(0,12) \Rightarrow g[f(0,12)] < g[f(\alpha)] < g[f(0,11)]$.

Comme $g[f(0,11)] \approx 3,09 \times 10^{-4}$ et que $g[f(0,12)] \approx 2,415\times 10^{-4}$, on en déduit un encadrement de $h(\alpha) =$

$2,415\times 10^{-4} < g[f(\alpha)] < 3,09 \times 10^{-4}$.

Donc $h(\alpha) \approx 2,8\times 10^{-4}$ au dix-millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,7)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(4,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.05,5.15)(0.65,5.15)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1.30,3.3)(1.95,3.3) 
\psline(1.359,0)(3.109,7) % tangente en e 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.649,0)(1.649,3.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.3679,0)(0.3679,5.15)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,5.437)(2.718,5.437)(2.718,0)
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[d](0.3679,0){$\dfrac{1}{\text{e}}$}   
\uput[d](1.359,0){$\dfrac{\text{e}}{2}$}\uput[d](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\uput[d](2.718,0){e} \uput[l](-0.1,5.437){2e}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{3}{x  ln dup mul 2 mul x ln 3
mul sub 2 add 2 mul x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.0667}{3}{1 2.71828 x 2 mul exp 1 sub div}
\uput[r](0.1,6.9){\red$\Gamma$}
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document}
 