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%Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès 
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\lhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole S 
~\decofourright\\[4pt]septembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Oij.

%On considère les points A et $\Omega$ d'affixes respectives : $a = 
%-1 + \sqrt{3} + \text{i}$ et $\omega = - 1 + 2\text{i}$.

%On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- \dfrac{1}{2}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer sur une figure les points A et $\Omega$, l'image B du point A par $r$, l'image C du point B par $r$ et l'image D du point A  par $h$.
Soit A$_{1}$ le point d'affixe $a_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$.

On a $\left|a_{1}\right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$,~donc $\left|a_{1}\right| = 2.$

On peut écrire $a_{1} = 2\left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$ On peut donc placer le point A$_{1}$ d'ordonnée positive en traçant le cercle centré à l'origine de rayon 2 et la droite d'équation : $x = -1.$ Le point A s'en déduit par la translation de vecteur $- \vect{u}$.

Le point $\Omega$ se place simplement.

On peut placer B en reportant dans le sens direct deux rayons $\Omega$A à partir de A, de même pour C en partant de B.

Le point D s'obtient en construisant d'abord le milieu de [A$\Omega$].

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3,-0.75)(2.2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(-3,0)(2,4)
\pscircle(0,0){2}
\psdots[dotstyle=*](1.732,1)(0.732,1)(-1,4)(-2.732,1)(-1.866,2.5)(-1,2)%A_{1}ABCDOmega
\uput[dr](1.732,1){A$_{1}$} \uput[dr](0.732,1){A} \uput[u](-1,4){B} \uput[d](-2.732,1){C} \uput[ul](-1.866,2.5){D} \uput[ur](-1,2){$\Omega$} \uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.65,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\pspolygon(0.732,1)(-1,4)(-2.732,1)
\psline(-2.732,1)(-1,2)(-1.866,2.5)
\psline(0.732,1)(-1,2)(-1,4)
\pscircle(-1,2){2}
\psarc(0.732,1){2}{80}{100}
\psarc(0.732,3){2}{140}{160}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

L'écriture complexe de la rotation est $z'-(-1 + 2\text{i}) = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\left[z-(-1 + 2\text{i}) \right] \iff z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z + (-1 + 2\text{i})\left(1 - \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right) \iff z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2} \right)$.

Avec cette formule on obtient $b = -1 + 4\text{i}$, puis $c = - 1 - \sqrt{3} + \text{i}$

Pour l'homothétie, on a $\vect{\Omega\text{D}} = - \dfrac{1}{2}\vect{\Omega\text{A}}.$ Or $\vect{\Omega\text{A}}(-1 + \sqrt{3} + \text{i} + 1 - 2\text{i}$, soit $\vect{\Omega\text{A}}(\sqrt{3}- \text{i})$, donc $\vect{\Omega\text{D}}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right)$.

D'o\`u D$\left( \right)- 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{5}{2}\text{i}.$
\item On note $b,~ c$ et $d$ les affixes respectives des points B, C et D.

\end{enumerate}

%Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

%Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

\vspace{0,3cm}

\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\textbf{1.} &|a - \omega |  & 2  & 4 & \sqrt{3} - \text{i}  \\ 
&&\text{VRAI}&\text{FAUX}&\text{FAUX}\\ \cline{2-5}
\end{array}\]

On a : $|a - \omega| = |-1 + \sqrt{3} + \text{i} + 1 - 2\text{i}| = |\sqrt{3} - \text{i} | = \sqrt{3 + 1} = 2$. Seule la première réponse est vraie.

\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\textbf{2.} & \text{arg} (a - \omega)  & - \dfrac{5\pi}{6}   & 
\dfrac{47\pi}{6} & \dfrac{\pi}{6}\\  
&&\text{FAUX}&\text{VRAI}&\text{FAUX}\\ \cline{2-5}
\end{array}\]

$a - \omega = \sqrt{3} - \text{i} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2\text{e}^{- \frac{\pi}{6}}$.

Donc arg$(a - \omega) = - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$. Avec $k = 24$, on a bien un argument de $\dfrac{47\pi}{6}$. Seule la deuxième réponse est vraie.
\vspace{0,3cm}
\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\textbf{3.} & \left(\vect{v},~\vect{\Omega \text{C}}\right) =   & 
\text{arg}\left[(\omega - c) \text{i}\right]  & -  
\left(\vect{v},~\vect{\text{C}\Omega}\right) & \dfrac{2\pi}{3} \\ 
&&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}\\ \cline{2-5} 
\end{array}\]

On a vu que B et $\Omega$ ont la même abscisse, donc (B$\Omega$) est parallèle à l'axe des ordonnées  : l'angle cherché est donc celui de la rotation soit $\dfrac{2\pi}{3}$.

On peut calculer $\omega - c = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ qui a pour module $\dfrac{2\pi}{3}$ modulo $2\pi$ ou dire que $\text{arg}\left[(\omega - c) \text{i}\right] = \text{arg}(\omega - c)  + \text{arg}(\text{i}) = - \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{3}.$

On a aussi $\left(\vect{v},~\vect{\Omega \text{C}}\right) = \left(-\vect{v},~\vect{\text{C}\Omega}\right)$ car ils sont opposés par le sommet.

Conclusion : les trois affirmations sont vraies.

\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\textbf{4.} &\omega =   & \dfrac{1}{3}(a + b + c)  & a + b + c& b - 2\text{i}  \\ 
&&\text{VRAI}&\text{FAUX}&\text{VRAI}\\ \cline{2-5}
\end{array}\]

On peut faire le calcul et vérifier que $\dfrac{1}{3}(a + b + c) = \omega$, soit montrer que le triangle ABC est équilatéral en calculant $|a - b| = \left|\sqrt{3} - 3\text{i}\right| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, puis $|a - c| = \left|2\sqrt{3}\right|  = 2\sqrt{3}$ et enfin $|b - c| = |\sqrt{3} + 3\text{i}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

D'autre part $b - 2\text{i} = - 1 + 4\text{i} - 2\text{i} = -1 + 2\text{i} = \omega$.

Les affirmations 1 et 3 sont vraies, la 2 est fausse.
\vspace{0,3cm}

\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{5.} & \dfrac{b - d}{a - d} = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}  & - 
\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i} & \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i} \\ 
&&\text{FAUX}&\text{FAUX}&\text{VRAI}\\ \cline{2-5}
\end{array}\]

On peut calculer $\dfrac{b - d}{a - d} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}.$

Seule l'affirmation 3 est vraie.

\vspace{0,3cm}

\[\begin{array}{l | l | c | c | c |}\cline{2-5}
 &   & \text{l'image de }~ \Omega~ \text{par }& \text{l'image de }~ 
 \Omega~\text{par}   & \text{l'image de }~ \Omega~\text{par la}    \\ 
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\textbf{6.} & \text{Le point D est} &\text{la translation} &  \text{l'homothétie 
 de centre } & \text{la rotation de centre}\\
  & & \text{de vecteur}~ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{A}\Omega}& 
  \text{A et de rapport } \dfrac{3}{2} & \text{B et d'angle} - 
  \dfrac{\pi}{6}\\ 
&&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{FAUX}\\  \cline{2-5}
\end{array}\]

Par définition de l'homothétie : $\vect{\Omega\text{D}} = - \dfrac{1}{2}\vect{\Omega\text{A}} \iff \vect{\Omega\text{A}} + \vect{\text{AD}} = - \dfrac{1}{2}\vect{\Omega\text{A}} \iff$

$ \vect{\text{AD}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{A}\Omega}$.

Donc les affirmations 1 et 2 sont vraies.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

%Un commerce possède un rayon \og journaux \fg{} et un rayon \og souvenirs \fg{}. À la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon.

%On constate que la caisse du rayon \og journaux \fg{} contient 3 fois plus de pièces de 1~\euro~ que celle du rayon \og souvenirs \fg{}.

%Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique.

%Ainsi, 40\,\% des pièces de 1~\euro{} dans la caisse du rayon \og souvenirs \fg{} et 8\,\% de celle du rayon \og journaux \fg{} portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira \og face étrangère \fg{}).

\begin{enumerate}
\item %Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces  portant une face étrangère.

%Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse \og souvenirs \fg{}.

% On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face \og étrangère~\fg{}.

	\begin{enumerate}
%		\item Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
Si l'on suppose que le nombre de pièces dans les caisses est assez grand pour que l'on peut puisse considérer que les 20 épreuves se déroulent dans les mêmes conditions, X suit une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,40 = \dfrac{2}{5}.$
		\item %Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
La probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère est égale à :

$p(\text{X} = 5) = \dbinom{20}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^5\left(\dfrac{3}{5}\right)^{20-5} \approx \np{0,0746} \approx 0,075.$
		\item %Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
On a $p(X \geqslant 2) = 1 - p(\text{X} = 0) - p(\text{X} = 1) = 1 - (0,6)^{20} - \dbinom \times 0,4 \times 0,6^{19} \approx \np{0,9995}.$
	\end{enumerate}
\item %Les pièces de 1~\euro{} issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

%On prélève au hasard une pièce du sac.

%On note S l'évènement \og la pièce provient de la caisse souvenirs \fg{} et E l'évènement \og la pièce porte une face étrangère \fg{}.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer P(S), P$_{\text{S}}$(E) ; en déduire P(S $\cap$ E).
Il y a trois fois plus de pièces provenant de la caisse \og journaux \fg{} que de pièces provenant de la caisse \og souvenirs \fg{}, donc P(S) $= \dfrac{1}{4}$.

Il y a 40\,\% de pièces étrangères dans la caisse  \og journaux \fg{}, donc 

P$_{\text{S}}(\text{E}) = 0,4 = \dfrac{2}{5}$.

On a P$(\text{S} \cap \text{E})   = \text{P}(\text{S}) \times \text{P}_{\text{S}}(\text{E}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10}$.
		\item %Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.
On a $\text{P}(\text{E}) = \text{P}(\text{S} \cap \text{E}) + \text{P}\left(\overline{\text{S}} \cap \text{E}\right)$.

Or $\text{P}\left(\overline{S} \right) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

8\,\% des pièces de la caisse \og journaux \fg{} ont une face étrangère, donc 

$\text{P}_{\overline{\text{S}}}(\text{E}) = 0,08$.

On a donc $\text{P}(\text{E}) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{4} \times 0,08
 = 0,1 + 0,06 = 0,16$.
 		\item %Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse \og souvenirs \fg{}.
On cherche $\text{P}_{\text{E}}(\text{S}) = \dfrac{\text{P}(\text{S} \cap \text{E}}{\text{P}(\text{E})} = \dfrac{0,1}{0,16} = \dfrac{1}{16} = 0,625$.
	\end{enumerate}

\item %Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16.

%Le collectionneur prélève $n$ pièces ($n$ entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

%Calculer $n$ pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
On suppose encore que le nombre de pièces est assez grand pour que les évènements soient indépendants et que la probabilité de tirer une pièce étrangère est égale à 0,16.

Le nombre de pièces étrangères est une variable aléatoire de paramètres $n$ et $p = 0,16$.

La probabilité de n'avoir aucune pièce étrangère est égale à $0,84^n$, donc la probabilité d'en avoir au moins une est égale à $1 - 0,84^n$.

On cherche donc à résoudre : $1 - 0,84^n \geqslant 0,9 \iff 0,84^n \leqslant 0,1 \iff n \ln 0,84 \leqslant \ln 0,1 \text{(par croissance de la fonction ln)} \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,1}{\ln 0,86}$ soit $n \geqslant 13,2$ (environ).

Il faut donc prélever au moins 14 pièces. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On rappelle que 2003 est un nombre premier.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

%\[123 u + 2003 v = 1.\]
123 et \np{2003} sont premiers entre eux ; $u$ et $v$ existent donc. Par divisions euclidiennes successives :

$\begin{array}{r c l}
\np{2003}&=&123 \times 16 + 35\\
123&=&35 \times 3 + 18\\
35&=&18 \times 1 + 17\\
18&=&17 \times 1 + 1\\
\end{array}$

En remontant les égalités :

$\begin{array}{r c l}
1&=&18 - 17\\
1&=&18 - (35 - 18) = 2 \times 18 - 35\\
1&=&2[123 - 35 \times 3] - 35 = 2\times 123 - 7 \times 35\\
1&=&2\times 123 - 7[2003 - 123 \times 16]  = 114 \times 123 - 7 \times 2003\\
\end{array}$

On a donc $u = 114$ et $v = -7$.
		\item %En déduire un entier relatif $k_0$ tel que :

%\[123k_0 \equiv 1\ \  [\np{2003}].\]
D'après la question précédente $114 \times 123 - 7 \times 2003 = 1 \iff 114 \times 123  = 7 \times 2003 + 1 \iff 114 \times 123 \equiv 1 \mod{\np{2003}}$.

Donc $k_{0} = 114$.
		\item %Montrer que, pour tout entier relatif $x$,
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Soit un entier $x$ tel que  $x \equiv 456 k_0\ \  [2003]\quad (1)$.

On vient de démontrer que $k_{0} \times 123 \equiv 1 \mod{\np{2003}} \Rightarrow$

$ k_{0} \times 123 \times 456 \equiv 1\times 456 \mod{\np{2003}}\quad (2)$

(1) et (2) entraînent par différence :

$123\left(x - 456k_{0}\right) \equiv 0 \mod{\np{2003}}$ ; or 123 et 2003 sont premiers entre eux, donc $x - 456k_{0} \equiv 0 \mod{\np{2003}} \iff x \equiv 456k_{0} \mod{\np{2003}}.$
\item[$\bullet~$] Inversement si $x \equiv 456k_{0} \mod{\np{2003}}$, d'après le \textbf{b.}, on a $123k_{0} \equiv 1 \mod{\np{2003}} \Rightarrow 456 \times 123k_{0} \equiv 456 \times1 \mod{\np{2003}}$.

Mais $x \equiv 456k_{0} \mod{\np{2003}} \Rightarrow 123x \equiv 123 \times 456k_{0 } \mod{\np{2003}}.$

Donc $123x - 466 \equiv 0 \mod{\np{2003}} \iff 123x \equiv 466   \mod{\np{2003}}$.

\[\text{Conclusion :}~123x \equiv 466   \mod{\np{2003}} \iff x \equiv 456k_{0} \mod{\np{2003}}\]
\end{itemize}

%	\[123 x \equiv 456\ \  [\np{2003}]~ \text{si et seulement si}~ x \equiv 456 k_0\ \  [2003].\]

		\item %Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que :
		
%\[123x \equiv 456\ \  [\np{2003}].\]
D'après le résultat précédent les entiers $x$ vérifient $x \equiv 456k_{0}  \mod{\np{2003}}$, soit encore $x \equiv 456 \times 14  \mod{\np{2003}}.$

Donc $x = 456 \times 114 + \np{2003}k$, avec $k \in\Z$.

Or $456 \times 114 = \np{51984} = 25 \times 2003 + \np{1909}$, on a finalement :
\[x = \np{1909} + \np{2003}k',~\text{avec}~k' \in \Z\]
		\item %Montrer qu'il existe un unique entier $n$ tel que :

%\[1 \leqslant n \leqslant 2002\ \  \text{et}\ \  123n \equiv 456\ \  [\np{2003}].\]
L'entier $n$ tel que $123n \equiv 456 \mod{\np{2003}}$ et $1 \leqslant n \leqslant 2002$ est un nombre $x$ de la question précédente. Il est donc de la forme $n = \np{1909} + \np{2003}k'$, avec $ 1 \leqslant \np{1909} + \np{2003}k' \leqslant \np{2002}$.

Les inégalités sont équivalentes à :

$- \np{1908} \leqslant \np{2003}k' \leqslant 93 \iff - \dfrac{\np{1908}}{\np{2003}} \leqslant  k' \leqslant \dfrac{93}{\np{2003}}$.

La seule valeur possible de $k'$ est 0 et par conséquent il existe un unique $n = \np{1909}$. 
  \end{enumerate}

\item %Soit $a$ un entier tel que : $1 \leqslant  a \leqslant \np{2002}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer :

%\[ \text{PGCD}(a,~ \np{2003}).\]
\np{2003} premier est premier avec tous les naturels qui lui sont inférieurs, donc ici avec $a$ ; donc $\text{PGCD}(a,~ \np{2003}) = 1$.

%En déduire qu'il existe un entier $m$ tel que :

\[am \equiv 1\ \  [\np{2003}].\]
$a$ et \np{2003} étant premiers entre eux, il existe deux entiers $m$ et $n$ tels que :

$am + \np{2003}n = 1 \equiv am = 1 - \np{2003}n \iff am \equiv 1 \mod{\np{2003}}.$
		\item %Montrer que, pour tout entier $b$, il existe un unique entier $x$ tel que :

%\[ 0 \leqslant x \leqslant \np{2002}\ \ \text{et}\ \ ax \equiv b\ \ [\np{2003}].\]
On vient de voir que $am \equiv 1 \mod{\np{2003}}$ d'o\`u par produit par $b,~ bam \equiv b \mod{\np{2003}}.$

Si $ax \equiv b \mod{\np{2003}}$ avec $0 \leqslant x \leqslant 2002$ on obtient par différence :

$ax - abm \equiv 0 \mod{\np{2003}}$ ou encore $a(x - bm) \equiv 0 \mod{\np{2003}}$, avec $0 \leqslant x \leqslant 2002$.

On en déduit que $a(x - bm)$ est divisible par \np{2003}, mais comme $a$ ne divise pas \np{2003}, c'est $x - bm$ qui le divise, donc finalement :

$x - bm \equiv 0 \mod{\np{2003}} \iff x \equiv bm \mod{\np{2003}}.$

Par division euclidienne $bm = \np{2003}q + r$, avec $r < \np{2003}$, donc $x \equiv r \mod{\np{2003}}$.

L'entier $r$ est un des nombres cherchés. Est-ce le seul ?

Supposons qu'il existe un autre entier $r'$ tel que $ar' \equiv b \mod{\np{2003}}$ et $0 \leqslant r' \leqslant 2002$. Comme $ar \equiv b \mod{\np{2003}}$, on obtient par différence :

$a(r - r') \equiv 0 \mod{\np{2003}}$ et donc toujours d'après le théorème de Gauss, $r - r'$ divise \np{2003}.

Or $0 \leqslant r' \leqslant \np{2002} \iff -\np{2002} \leqslant -r' \leqslant 0$ et en ajoutant membres à membres avec $0 \leqslant r \leqslant 2002$ on obtient $-\np{2002} \leqslant r - r' \leqslant \np{2002}$. Le seul nombre multiple de \np{2003} dans cet intervalle est 0 ; on en déduit que $r - r' = 0 \iff r = r'$.

Conclusion,  l'entier $r$ est bien unique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Une équation différentielle}

\medskip

%On considère l'équation différentielle :

%\[ \text{(E)}\quad y'-3y = \dfrac{- 3\text{e}}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^2}.\]

%On donne une fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-3x}\varphi (x)$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, exprimer $\varphi'(x) - 3 \varphi(x)$ en fonction de $f'(x)$.

$f(x) = \text{e}^{-3x}\varphi (x) \iff \varphi (x) = f(x)\text{e}^{3x}$.

La fonction $\varphi$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ ; elle est donc dérivable sur $\R$ et 

$\varphi'(x) = f'(x)\text{e}^{3x} +  3f(x)\text{e}^{3x}$.

Donc  $\varphi'(x) - 3 \varphi(x) = f'(x)\text{e}^{3x} +  3f(x)\text{e}^{3x} - 3(f(x)\text{e}^{3x}) = f'(x)\text{e}^{3x}.$
\item %Déterminer $f$ de sorte que $\varphi$ soit solution de (E) sur $\R$ et vérifie $\varphi (0) = \dfrac{\text{e}}{2}$.
$\varphi$ est solution de (E) sur $\R$ si et seulement si $\varphi'(x) - 3 \varphi(x) = \dfrac{- 3\text{e}}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^2}$ et d'après la question précédente si et seulement si $f'(x)\text{e}^{3x} = \dfrac{- 3\text{e}}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^2} \iff f'(x) = \dfrac{- 3\text{e}\text{e}^{-3x}}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^2}.$

En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{-3x}$, qui est dérivable sur $\R$, on a $u'(x) = -3\text{e}^{-3x}$.

Donc $f'(x) = \text{e}\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}$ qui est la fonction dérivée de la fonction $f(x) = -\text{e} \dfrac{1}{u(x)}+ K= -\text{e} \dfrac{1}{ 1 + \text{e}^{-3x}} + K$ avec $K \in \R$.

Si on a $\varphi (0) = \dfrac{\text{e}}{2}$, alors $f(0) = \text{e}^{-3\times 0}\varphi(0) = -\text{e} \dfrac{1}{ 1 + \text{e}^{-3\times 0}} + K \iff \dfrac{\text{e}}{2} = -\dfrac{\text{e}}{2} + K \iff K = \text{e}$.

Donc sur $\R,~f(x) = -\text{e} \dfrac{1}{ 1 + \text{e}^{-3x}} + \text{e} = \dfrac{- \text{e} + \text{e}\left(1 + \text{e}^{-3x}\right)}{1 + \text{e}^{-3x}} = \dfrac{\text{e}^{1-3x}}{ 1 + \text{e}^{-3x}}.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

%\[f(x)= \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}.\]

%On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$, puis étudier les variations de $f$.
$\bullet~$ Au voisinage de moins l'infini : on peut écrire 

$f(x) = \text{e}\dfrac{\text{e}^{-3x}}{ 1 +\text{e}^{-3x}} = \text{e} \dfrac{\text{e}^{-3x} \times 1}{\text{e}^{-3x}\left(\text{e}^{3x} + 1\right)} =  \dfrac{\text{e}}{\text{e}^{3x} + 1}$.

Donc comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{3x} = 0,~ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \text{e}$.

$\bullet~$ Au voisinage de plus l'infini : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-3x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}\text{e}^{-3x} = 0$ et

 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{-3x} = 1$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0.$

$\bullet~$ Variations de $f$ : $f$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ ; comme le dénominateur est supérieur ou égal à 1, il ne s'annule pas et la fonction $f$ est dérivable.

$f'(x) = \dfrac{-3\text{e}^{1 - 3x}\left(1 + \text{e}^{-3x} \right) - (-3)\text{e}^{1 - 3x}\text{e}^{-3x}}{\left(1 + \text{e}^{-3x}\right)^2} =  \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}\left(- 3 - 3\text{e}^{-3x} +  3\text{e}^{-3x} \right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x}\right)^2} =  \dfrac{-3\text{e}^{1 - 3x}}{\left(1 + \text{e}^{-3x}\right)^2}.$

Comme le dénominateur est positif, que $\text{e}^{1 - 3x} > 0$, quel que soit $x \in\R$, on a $f'(x) < 0$ sur $\R.$

La fonction $f$ est donc décroissante de e à 0.
\item ~%Tracer $\mathcal{C}$.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue]{-4}{4}{2.71828 1 3 x mul sub exp 2.71828 x 3 mul  neg exp 1 add div}
\psline(-4,2.71828)(4,2.71828)\uput[ur](0,2.71828){e}\uput[r](0,1.35914){$\frac{\text{e}}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Pour $\alpha$ réel non nul, on pose 
%$I_{\alpha} = \displaystyle\int^{\alpha}_{0} f(x) \: \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le signe et une interprétation graphique de$I_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$.
Comme $f(x) > 0$ sur $\R$, $I_{\alpha}$ est égale à l'aire en unités d'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = \alpha$. C'est donc un nombre positif.
		\item %Exprimer $I_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$. 
$I_{\alpha} = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}} \:\text{d}x = \text{e}\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \dfrac{\text{e}^{-3x}}{ 1 + \text{e}^{-3x}} \:\text{d}x =$

$ - \dfrac{\text{e}}{3}\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \dfrac{-3\text{e}^{-3x}}{ 1 + \text{e}^{-3x}} = - \dfrac{\text{e}}{3}\left[\ln \left|1 +  \text{e}^{-3x} \right| \right]_{0}^{\alpha} $

$= - \dfrac{\text{e}}{3}\left[\ln \left|1 +  \text{e}^{-3\alpha} \right| - \ln |1  + 1| \right] = - \dfrac{\text{e}}{3} \ln \left(\dfrac{1 +  \text{e}^{-3\alpha}}{2}\right).$
		\item %Déterminer la limite de $I_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \text{e}^{-3\alpha} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} I_{\alpha} = \dfrac{\text{e}\ln 2}{3} \approx 0,628$ (u. a.)
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{ Partie C : étude d'une suite}

\medskip

%On définit sur $\N^*$ la suite $\left(u_{n}\right)$ par :

%\[u_{n} = \displaystyle\int ^1_{0}  f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\: \text{d}x,~ \text{où}\: f \: \text{est la fonction définie dans la \textbf{partie B}}.\]

%On ne cherchera pas à calculer $u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, pour tout $n$ de $\N$, le signe de $u_{n}$.
$u_{n}$ est l'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle [0~;~1] : c'est donc un nombre positif pour tout $n$ de $\N$.
		\item %Donner le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Quel que soit $n,~u_{n+1} - u_{n} =  \displaystyle\int ^1_{0}  f(x)\text{e}^{\frac{x}{n+1}}\: \text{d}x - \displaystyle\int ^1_{0}  f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\: \text{d}x = \displaystyle\int ^1_{0}  f(x)\left[\text{e}^{\frac{x}{n+1}} - \text{e}^{\frac{x}{n}}\right]\: \text{d}x$ (par linéarité de l'intégration).

Or $n < n+ 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\Rightarrow \frac{x}{n+1} < \frac{x}{n}$ (car $x \geqslant 0) \Rightarrow \text{e}^{\frac{x}{n+1}} <  \text{e}^{\frac{x}{n}}$ (par croissance de la fonction exponentielle).

Finalement $\text{e}^{\frac{x}{n+1}} - \text{e}^{\frac{x}{n}} < 0$, donc $u_{n+1} - u_{n} < 0 \iff u_{n+1} < u_{n}$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc décroissante.
		\item %La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ?
La suite est décroissante et minorée par $0$ : elle est donc convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $n$ de $\N$

%\[\text{I}_{1} \leqslant u_{n} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}\text{I}_{1}\]

%où I$_{1}$ est l'intégrale de la \textbf{partie B} obtenue pour $\alpha$ égal à 1.
On a $I_{1} = \displaystyle\int^{1}_{0} f(x) \: \text{d}x$.

$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow \dfrac{0}{n} \leqslant \dfrac{x}{n} \leqslant \dfrac{1}{n} \Rightarrow \text{ê}^0 \leqslant \text{e}^{\frac{x}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\Rightarrow f(x) \leqslant f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}} \leqslant f(x) \text{e}^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\text{e}^{\frac{1}{n}}\:\text{d}x \iff  \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\:\text{d}x \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}\displaystyle\int ^1_{0} f(x)\:\text{d}x \iff$

$ I_{1} \leqslant u_{n} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}\text{I}_{1}$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{n}} = 1.$

Par application du théorème des \og gendarmes \fg{}, on en déduit que

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = I_{1}$.
 
%Donner sa valeur exacte.
 $I_{1} = \displaystyle\int^{1}_{0} f(x) \: \text{d}x = \displaystyle\int^{1}_{0} \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}$.
 
On a vu que $I_{\alpha} = - \dfrac{\text{e}}{3} \ln \left(\dfrac{1 +  \text{e}^{-3\alpha}}{2}\right)$, alors $I_{1} = - \dfrac{\text{e}}{3} \ln \left(\dfrac{1 +  \text{e}^{-3}}{2}\right) \approx \np{0,5840}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}