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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small 16 septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion~\decofourright\\[5pt]16 septembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[ f(x) = x (1 - \ln x).\]
% 
%La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à  rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{Partie 1 : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
Comme $x$ est supérieur à  zéro, le signe de $f(x)$ est celui de $1 - \ln x$.

Or $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x \iff \text{e} >  x$ par croissance de la fonction ln.

On a donc :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $f(x) > 0 \iff 0 <  x < \text{e}$ ;
\item[ ] $f(x) = 0 \iff x = \text{e}$ ;
\item[ ] $f(x) < 0 \iff x > \text{e}$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\bullet~$ Au voisinage de zéro : $f(x) = x - x\ln x$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

$\bullet~$ Au voisinage de plus l'infini :

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \ln x = - \infty$. Par produit des limites on obtient : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

\emph{Remarque} : la lecture de l'annexe correspond bien à  ces résultats. 
\item %Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$f$ produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = 1 - \ln x + x \times \left(- \dfrac{1}{x} \right) = 1 - \ln x - 1 = - \ln x$.

Or $- \ln x  > 0 \iff \ln x < 0 \iff \ln x < \ln 1 \iff x < 1$ par croissance de la fonction ln.

De m\^eme  $- \ln x  > 0 \iff x > 1$.

Conclusion : la fonction est croissante sur $]0~;~1]$ et décroissante sur $[1~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
%\psgrid
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){0} \uput[u](4,2.5){1} \uput[u](6.4,2.5){$+ \infty$}
\psline[doubleline=true](1.1,0)(1.1,2.5)%\psline(1.125,0)(1.125,2.5)
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(4,2.25){$0$}
\psline{->}(1.4,0.4)(3.4,1.8) \psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\uput[u](1.25,0){$0$}\rput(4,1.8){1}\uput[u](6.4,0){$- \infty$}
\uput[u](5.5,2.5){e}\rput(5.5,1){$0$}\psline[linestyle=dashed](5.5,1.1)(5.5,2.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées.
On a $M(x~;~y) \in  \left(T_{a}\right) \iff y - f(a) = f'(a)(x - a) \iff y - a + a\ln a = - \ln a(x - a) \iff$

$ y = -x\ln a + a$.

Le point d'intersection de  la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, d'o\`u $y = a$, ordonnée du point A$'$.

Conclusion : A$'(0~;~a)$. 
		\item %Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à  rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
Il suffit de tracer le quart de cercle centré en O de rayon $a$ qui coupe l'axe des ordonnées au point A$'(0~;~a)$

Du point $(a~;~0)$ donné sur la figure on trace la verticale qui coupe $\mathcal{C}$ au point A$(a~;~f(a))$.

La tangente est la droite (AA$'$). Voir à  la fin la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II: Un calcul d'aire}

\medskip
 
%Soit $a$ un nombre réel strictement positif. 
%On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$.
$\bullet~$ On a vu à  la question 1. que sur $]0~;~\text{e}]$ la fonction $f$ est positive. La mesure de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$ est donc égale à  l'intégrale $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

$\bullet~$ On a vu que sur $[\text{e}~;~+ \infty[,~f(x) < 0$. Dans ce cas la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$ est donc égale à  $- \displaystyle\int_{\text{e}}^{a} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \mathcal{A}(a)$ en permutant les bornes d'intégration.
\item  %à€ l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$.
On a donc  $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} x(1 - \ln x)\:\text{d}x$.

Posons $\left\{\begin{array}{l c l}
u'(x)&=&x\\
v(x)&=&1 - \ln x
\end{array}\right.$ d'où $\left\{\begin{array}{l c l}
u(x)&=&\dfrac{x^2}{2}\\
v'(x)&=&- \dfrac{1}{x}
\end{array}\right.$.

Toutes ces fonctions étant continues et dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, on peut donc intégrer par parties : 

$\mathcal{A}(a) = \left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x)\right]_{a}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{a}^{\text{e}}  \dfrac{1}{x}\times \dfrac{x^2}{2}\:\text{d}x
 = \left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x)\right]_{a}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} \dfrac{x}{2}\:\text{d}x =$
  
$\left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x) + \dfrac{x^2}{4}\right]_{a}^{\text{e}} =
\left[\dfrac{x^2}{2}\left(\frac{3}{2} - \ln x \right) + \dfrac{x^2}{4}\right]_{a}^{\text{e}} = \dfrac{\text{e}^2}{2}\left(\frac{3}{2} - 1 \right) - \dfrac{a^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln a \right) =
\dfrac{\text{e}^2}{4} -  \dfrac{a^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln a \right)$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
 
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.

%\medskip
 
%Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 
%On donne en annexe 2 (à  rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
En partant du point $(\left(u_{0} = 5~;~0\right)$ et en allant alternativement verticalement vers la courbe $\mathcal{C}$ et horizontalement vers la droite $\Delta$, on obtient les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses, $u_{1}$\:~$u_{2}$,\:$u_{3}$ etc. Voir la figure   
		\item %Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Sur la vue des premiers termes il semble que la suite soit décroissante vers l'abscisse du point commun à  $\mathcal{C}$ et à  $\Delta$ soit vers 1.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
$\bullet~$ \emph{Initialisation} : on a $u_{0} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$ : vraie au rang $0$.

$\bullet~$ \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que  $u_{n} - 1 > 0.$

Or $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$ donc $u_{n+1} - 1  = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2} - 1 = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n} - 2}{u_{n} + 2} = \dfrac{3u_{n} - 3}{u_{n} + 2} = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$.

On sait que $u_{n} - 1 > 0$, donc $u_{n} > 1$ et $u_{n} + 2 > 3 > 0.$

Tous les termes de $u_{n + 1} - 1$ sont supérieurs à  zéro,  donc finalement 
$u_{n+1} - 1 > 0$.

L'inégalité est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ ; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout $n \in \N,\:u_{n} - 1 > 0.$
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
$\bullet~$ Décroissance de la suite : soit $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n}^2 - 2u_{n}}{u_{n} + 2} = \dfrac{-u_{n}^2 + 2u_{n} - 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{u_{n}^2 - 2u_{n} + 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{\left(u_{n} - 1 \right)^2}{u_{n} + 2}$. Les deux termes du quotients sont positifs, donc finalement 

$u_{n+1} - u_{n} < 0$ ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

Or $u_{n} - 1 > 0 \iff u_{n} > 1$
La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une limite $\ell \geqslant 1$ et par continuité de la fonction $f$, on a $\ell =  \dfrac{4\ell - 1}{\ell + 2}$ équation dont la seule solution est $\ell = 1$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $1$.		 
%Valider par une démonstration les conjectures émises à  la question 1. b.

	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
%Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$.
On a  $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{1}{u_{n+1} - 1} - \dfrac{1}{u_{n} - 1}$.

Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) que $u_{n+1} - 1 = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$, donc

 $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_{n} + 2}{3\left(u_{n} - 1 \right)} - \dfrac{1}{u_{n} - 1} = \dfrac{u_{n} + 2 - 3}{3\left(u_{n} - 1 \right)} = \dfrac{u_{n} - 1}{3\left(u_{n} - 1 \right)} = \dfrac{1}{3}$, car on a vu que $u_{n} - 1 > 0$.


Ceci montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$, de premier terme 

$v_{0} = \dfrac{1}{u_{0} - 1} = \dfrac{1}{5 - 1} = \dfrac{1}{4}$.
		\item  %Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $v_{n} = v_{0} + n \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\times n = \dfrac{1}{4} + \dfrac{n}{3} = \dfrac{3 + 4n}{12}$.

Or $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1} \iff u_{n} - 1 = \dfrac{1}{v_{n}} \iff u_{n} = \dfrac{1}{v_{n}} + 1 = \dfrac{12}{3 + 4n} + 1 = \dfrac{12 + 3 + 4n}{3 + 4n} = \dfrac{15 + 4n}{3 + 4n}$, quel que soit $n \in \N$.
 
On retrouve ici que les termes de $\left(u_{n}\right)$ sont des rationnels et comme le suggérait les constructions du 1. a. que $u_{1} = \dfrac{19}{7},~u_{2} = \dfrac{23}{11} = 2,~u_{3} = \dfrac{9}{5} = 1,8$. 
		\item  %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour $n > 0$ on peut écrire $u_{n} = \dfrac{4 + \frac{15}{n}}{4 + \frac{3}{n}}$.

On voit facilement que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 1.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%L'espace est rapporté à  un repère orthonormal \Oijk.
 
%Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x& =& - t + 1\\ 
%y& =&2t \\
%z& =& -t + 2
%\end{array}\right. 
%\text{oà¹}~ t~ \text{désigne un nombre réel.}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier.
C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{P}) \iff 3 \times 1 + 3 - 2 - 1 = 0 \iff 3 = 0$, faux. Le point C n'appartient pas au plan $(\mathcal{P})$.		 
		\item  %Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
Soit $M$ un point de $(\mathcal{D})$.

$M \in (\mathcal{P}) \iff 3 (-t + 1) + 2t - (- t + 2) - 1 = 0 \iff  -3t + 3 + 2t + t - 2 - 1 = 0$, vrai quel que soit $t$.

Tout point de $(\mathcal{D})$ est un point de $(\mathcal{P})$, donc la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à  la droite $(\mathcal{D})$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$.
Un vecteur normal au plan  $(\mathcal{Q})$ est un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ sont $(- 1~;~2~;~- 1)$.

Une équation du plan $(\mathcal{Q})$ est donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff - x + 2y - z + d = 0$.

Or C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{Q}) \iff - 1 + 2 \times 3 - 2 + d = 0 \iff 3 + d = 0 \iff d = - 3$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff -x + 2y - z - 3 = 0$.
		\item %Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$.
Soit $M(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$ un point de $(\mathcal{D})$.

$M \in   (\mathcal{Q}) \iff - (- t + 1) + 2 \times 2t - (- t + 2) - 3 = 0 \iff t - 1 + 4t + t - 2 - 3 = 0 \iff 6t  - 6 = 0 \iff t = 1$.

Donc le point commun I à  $(\mathcal{Q})$ et à  la droite $(\mathcal{D})$ a pour coordonnées $\left(- 1 + 1~;~2 \times 1~;~- 1 + 2\right) = \left(0~;~2~;~1\right)$.
		\item %Montrer que CI $= \sqrt{3}$.
On a $\vect{\text{CI}}\left(- 1~;~- 1~;~- 1\right)$.
		Donc CI$^2	 = 	\vect{\text{CI}} \cdot \vect{\text{CI}} = 1 + 1 + 1 = 3$. 

Conclusion CI $ = \sqrt{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$.
On calcule les coordonnées de $\vect{\text{C}M_{t}}(- t + 1 - 1~;~2t - 3~;~- t + 2 -2)$ soit $(- t~;~2t - 3~;~t)$.
 
On a $\text{C}M_{t}^2 = \vect{\text{C}M_{t}} \cdot \vect{\text{C}M_{t}} = (- t)^2 + (2t - 3)^2 + t^2 = t^2  + 4t^2 + 9 - 12t + t^2 = 6t^2 - 12t + 9$.
		\item %Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels.
$\text{C}M_{t}^2  = 6t^2 - 12t + 9 = 6\left(t^2 - 2t + \dfrac{9}{6}\right) = 6\left[(t^2 - 2t + 1) - 1 + \dfrac{3}{2} \right] = 6\left[(t - 1)^2 + \dfrac{1}{2} \right]$.

Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour $t = 1$ et la valeur minimale de trinôme est égale à   $\text{C}M_{t}^2 = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3  \Rightarrow \text{C}M_{t} = \sqrt{3}$. CI est bien la valeur minimale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
 
\begin{enumerate}
\item %On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
On a I(0~;~1) et A$\left(\sqrt{3}~;~2\right)$ ; donc IA$^2
 = \left(\sqrt{3}\right)^2 + (2 - 1)^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \text{IA} = 2$.
 
Le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2		 
%Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à  mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A.
Pour construire le point A, il suffit de tracer l'horizontale contenant le point (0~;~2) qui coupe le cercle $\Gamma$ de centre I, de rayon 2. A est le point d'abscisse positive. 
		\item %On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		 
%Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.
Par définition un point $M$ d'affixe $z$ a pour image $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' - z_{\text{I}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z - z_{\text{I}}\right)$ soit $z - \text{i} = \text{i}(z - \text{i}) \iff z = \text{i}z + 1 + \text{i}$.

Donc $z_{\text{B}} = \text{i}\left(\sqrt{3} + 2\text{i} \right) + 1 + \text{i} = \text{i}\sqrt{3} - 2 + 1 + \text{i} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.

%Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$.
La rotation est une isométrie, donc IA = IB = 2, d'après la question 1. a. Le point B appartient donc au cercle $\Gamma$.
		\item %Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.
		Par définition du milieu $x_{\text{I}} = \dfrac{x_{\text{A}} + x_{\text{C}}}{2}$ soit $0 = \dfrac{\sqrt{3} + x_{\text{C}}}{2} \iff x_{\text{C}} = - \sqrt{3}$.
		
De m\^eme $y_{\text{I}} = \dfrac{y_{\text{A}} + y_{\text{C}}}{2}$ soit $1 = \dfrac{2 + y_{\text{C}}}{2} \iff y_{\text{C}} = 0.$

Conclusion $z_{\text{C}} = - \sqrt{3}$.

Remarque : on aurait pu dire que C est l'image de B par la rotation $r$
		\item %Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
Par définition de la rotation (BI) est perpendiculaire à  (IA). D'autre part [AC] est un diamètre de $\Gamma$.

Dans le triangle ABC, inscrit dans le cercle $\Gamma$ dont un de ses cà´tés est un diamètre est donc rectangle en B et (BI) étant à  la fois hauteur et médiane, le triangle ABC est isocèle en B.

Le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}}  = \vect{\text{BI}}$.
 
%Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

%Valider cette conjecture à  l'aide d'une démonstration.
Il semble que (BF) et (CE) sont perpendiculaires.

\textbf{Démonstration :}

De  $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{FA}}  = \vect{\text{IB}}$, on déduit que $\vect{\text{FA}}  = \vect{\text{AE}}$, c'est-à -dire que A est le milieu de [EF].

D'autre part BI = IA = 2 = EA = AF : donc  le triangle EIF est inscrit dans le cercle de diamètre [EF] : il est donc rectangle en I.

De plus (BI) $\perp$ (AC) et $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ entra\^{\i}ne que (AE) et (IB) sont parallèles, donc (AC) est perpendiculaire à  (AE). Dans le triangle EIF la droite (IA) est à  la fois hauteur et médiane : ce triangle est donc rectangle isocèle en I.

Par la rotation $r$ :

-- B a pour image C

-- F a pour image E

Par définition de $r$ rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la droite (BF) a pour image la droite perpendiculaire (CE).
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-4,-1.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.75](0,1)(1.732,2)(-1,2.732)(2.732,0.268)(0.732,3.732)(-1.732,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](0,1){I} \uput[ur](1.732,2){A}\uput[ul](-1,2.732){B}
\uput[l](0,2){2} \uput[ur](0.732,3.732){E}\uput[ur](2.732,0.268){F}
\uput[ul](-1.732,0){C}
\psline[linestyle=dashed](0,2)(4,2) 
\pscircle(0,1){2}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psline(1.732,2)(0,1)(-1,2.732)
\psline(1.732,2)(-1,2.732)(-1.732,0)(0,1)
\psline[linecolor=blue](-1,2.732)(2.732,0.268)
\psline[linecolor=blue](-1.732,0)(0.732,3.732)
\pspolygon(2.732,0.268)(0,1)(0.732,3.732)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG oà¹ les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives 

%\[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] 

%Voir la figure donnée en annexe 3.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$.
On sait que l'écriture complexe d'une similitude directe est $z' = az + b$.

$s(\text{O}) = \text{D} \iff 1 = 0 + b \iff b = 1$ ;

$s(\text{A}) = \text{E} \iff 1 + 3\text{i} = a\times (- 2) + 1 \iff a = - \dfrac{3}{2}\text{i}$.

L'écriture complexe de $s$ est donc : $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. 
		\item %Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$.
Recherche de point invariant :

$M = s(M) \iff z = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1 \iff z\left(1 + \dfrac{3}{2}\text{i} \right) = 1 \iff z =  \dfrac{2}{2 + 3\text{i}} = \dfrac{2(2 - 3\text{i})}{4 + 9} = \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}).$

$\left\{\begin{array}{l c l}
z'&=&- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1\\
\dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i})&=&- \dfrac{3}{2}\text{i}\left[\dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right] + 1
\end{array}\right.$ entra\^{\i}ne par différence :

$z'  - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) =  - \dfrac{3}{2}\text{i}\left[z - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right] \iff z'  - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) =   \dfrac{3}{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{2}}\left[z - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right]$.

Conclusion : l'angle de la similitude est égal à  $- \dfrac{\pi}{2}$ et le rapport est égal à  $\dfrac{3}{2}$. 
		\item %Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ?
On sait déjà  que O a pour image D et A a pour image E.

Comme OG = 3 et OC = 1, il est aisé de voit que l'image de C est G.

Enfin OABC étant un rectangle son image par $s$ est aussi un rectangle : c'est donc le rectangle DEFG.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{i}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$.
En utilisant l'écriture complexe de $s'$ :

$s(1) =  -\dfrac{2}{3}\text{i}\times 1 + \dfrac{5}{3}\text{i} = \text{i}$ ;

$s(1 + 3\text{i}) =  -\dfrac{2}{3}\text{i}(1 - 3\text{i}) + \dfrac{5}{3}\text{i} = - 2 + \text{i}$ ;

$s\left(\dfrac{5}{2} + 3\text{i}\right) =  -\dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{5}{2} - 3\text{i} \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = - 2$ ;

$s\left(\dfrac{5}{2}\right) =  -\dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{5}{2} \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = 0$.

Donc l'image du rectangle  DEFG est le rectangle CBAO.
		\item %On considère la similitude $g = s' \circ s$.
		 
%Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$.
On a $g(\text{O}) = s'[s(\text{O})] = s'(\text{D}) = \text{C}$ ;

$g(\text{A}) = s'[s(\text{A})] = s'(\text{E}) = \text{B}$ ;

$g(\text{B}) = s'[s(\text{B})] = s'(\text{F}) = \text{A}$ ; 

$g(\text{C}) = s'[s(\text{C})] = s'(\text{G}) = \text{O}$ ;

L'image du rectangle OABC par la similitude $g$ est donc le rectangle CBAO.
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ?
Cherchons l'écriture complexe de $g$ :

$g(z) = s'\circ s(z) = s'[s(z)] = s'[- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1] = \dfrac{2}{3}\text{i}\left(\overline{- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1}\right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = \dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z} + 1 \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = \overline{z} - \dfrac{2}{3}\text{i} + \dfrac{5}{3}\text{i} = \overline{z} + \text{i}$.

Un point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ est invariant par $g$ si, et seulement si :

$z = \overline{z} + \text{i} \iff x + \text{i}y =  x - \text{i}y +  \text{i} \iff 2y = 1 \iff y = \dfrac{1}{2}$, $x$ étant quelconque.

L'ensemble des points invariants par $g$ est la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. Or $g$ composée de deux similitudes est une similitude ayant une droite de points invariants : c'est la symétrie axiale autour de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.

On a d'ailleurs vu au dessus que A et B d'une part O et C d'autre part s'échangent dans la similitude $g$ : l'axe de la symétrie est donc l'un des axes de symétrie du rectangle OABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à  rendre avec la copie)}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul}
\uput[d](1.7,0){$a$}\uput[l](0,0.7979){$f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} 
\psarc(0,0){1.7}{0}{90}\uput[l](0,1.7){B}
\psline[linecolor=red,arrowsize=3pt 5]{<->}(0,1.7)(3.4,-.1042)
\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979)
\rput(0.5,1.3){\color{red}$\left(T_{a}\right)$}
\uput[u](4.5,-2.25){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)}

(à  rendre avec la copie) 

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=red}
\psline(5,0)(5,2.714)(2.714,2.714)(2.714,2.09)(2.09,2.09)(2.09,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.632)
\psset{linestyle=dashed}
\uput[d](5,-0.3){$u_{0}$}
\psline(2.714,2)(2.714,0)\uput[d](2.714,-0.3){$u_{1}$}
\psline(2.09,1.75)(2.09,0)\uput[d](2.09,-0.3){$u_{2}$}
\psline(1.8,1.6)(1.8,0)\uput[d](1.8,-0.3){$u_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 3 (Exercice 4)\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.5)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(-2,1)
\psframe(1,0)(2.5,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](-2,0){A} \uput[ul](-2,1){B} \uput[ur](0,1){C} 
\uput[d](1,0){D} \uput[ul](1,3){E} \uput[ur](2.5,3){F} \uput[d](2.5,0){G}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0.5)(3.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}