%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%%%%%%%%%%%% définition escalier
\newcommand{\escalier}[4]{%
\code{/x 3 neg def}
\moveto(!x 0)
%\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](!x 0)(!x x)
\multido{\i=0+1}{4}{%
\code{/y 9 6 x sub div def}
%\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=3pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(!x 0)(!x y)
\psline[linewidth=1pt,ArrowInside=->,linecolor=red](!x y)(!y y)
\code{/x y def}%
\uput[d](!x 0){$A_{\i}$}				% (on place les nom des points)
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin escalier
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie mars 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008~\decofourright\\[4pt] (spécialité)~
}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item~

%\bigskip
%		
%\psset{unit=1.3cm}
%\hspace{-0.75cm}\begin{pspicture}(-3,-1.5)(6,7.75)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt](0,0)(-3,0)(6,7)
%\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(6,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot{0}{6}{x}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-3}{4.713}{9 6 x sub div}
%\uput[d](-3,-0.4){\footnotesize $M_{0}$}\uput[d](1,-0.4){\footnotesize $M_{1}$}\uput[d](1.8,-0.4){\footnotesize $M_{2}$}
%\uput[d](2.14286,-0.02){\footnotesize $M_{3}$}\uput[d](2.333,-0.4){\footnotesize $M_{4}$}
%\psline[linecolor=red,ArrowInside=->]](-3,0)(-3,1)(1,1)(1,1.8)(1.8,1.8)(1.8,2.14286)(2.14286,2.14286)(2.14286,2.333)(2.333,2.333)
%\psline{->}(1,1)(1,0)\psline{->}(1.8,1.8)(1.8,0)\psline{->}(2.14286,2.14286)(2.14286,0)\psline{->}(2.333,2.333)(2.333,0)
%\rput(1.5,7.5){\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}}		
%\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%  essai Denis		
\psset{unit=1.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-0.75)(6,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt](0,0)(-3,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{6}{x}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{4.713}{9 6 x sub div}
\uput[d](-3,-0.4){\footnotesize $M_{0}$}\uput[d](1,-0.4){\footnotesize $M_{1}$}\uput[d](1.8,-0.4){\footnotesize $M_{2}$}
\uput[d](2.14286,-0.02){\footnotesize $M_{3}$}\uput[d](2.333,-0.4){\footnotesize $M_{4}$}
%\psline[linecolor=red,ArrowInside=->]](-3,0)(-3,1)(1,1)(1,1.8)(1.8,1.8)(1.8,2.14286)(2.14286,2.14286)(2.14286,2.333)(2.333,2.333)
%\psline{->}(1,1)(1,0)\psline{->}(1.8,1.8)(1.8,0)\psline{->}(2.14286,2.14286)(2.14286,0)\psline{->}(2.333,2.333)(2.333,0)
%\rput(1.5,7.5){\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}}
\SpecialCoor
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.275}{3}{9 6 x sub div} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{3}{ x}
\pscustom[linewidth=1.25pt]{%le tracé des pts 
\escalier{2 x div x add 0.5 mul}{-3}{4}{$A$}
}		
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%   fin essai Denis

On peut conjecturer que :

\begin{itemize}
\item la suite est croissante ;
\item la suite converge vers 3.
\end{itemize}

%On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~ 6[$ par 
%\[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\]
%On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(U_{n}\right)$ par
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%U_{0}&=&-3\\
%U_{n+1}&=&f\left(U_{n}\right)\\
%\end{array}\right.\]

%  La courbe représentative de la fonction $f$  est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(U_{0}~;~ 0\right),~
%M_{1}\left(U_{1}~;~ 0\right),~ M_{2}\left(U_{2}~;~ 0\right),~ M_{3}\left(U_{3}~;~ 0\right)$ et $M_{4}\left(U_{4}~;~ 0\right)$.\\
% Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $\left(U_{n}\right)$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  $x < 3 \iff - 3 < - x \iff 6 - 3, < 6 - x \iff 3 < 6 - x \iff \dfrac{1}{6 - x} < \dfrac{1}{3} \iff 9 \times \dfrac{1}{6 - x} < 9 \times \dfrac{1}{3} \iff \dfrac{9}{6 - x}< 3$.
		
On vient donc de démontrer que si $x < 3$, alors $f(x) < 3$.

Par récurrence immédiate : de $U_{0} < 3$ et de $U_{n} < 3$ entraîne 

$U_{n+1} = f\left(U_{n} \right) < 3$, on déduit aussitôt  que  pour tout entier naturel $n$,

$U_{n} < 3$.
		\item  On a $U_{n+1} - U_{n} = f\left(U_{n} \right) - U_{n} = \dfrac{9}{6 - U_{n}} - U_{n} = \dfrac{9 - 6U_{n} + U_{n}^2}{6 - U_{n}} = \dfrac{\left(U_{n} - 3 \right)^2}{6 - U_{n}}$.
		
On vient de démontrer que $U_{n} < 3 < 6$, donc le dénominateur est positif et le numérateur (carré) aussi.

On a donc $U_{n+1} - U_{n} > 0 \iff U_{n+1} > U_{n}$ : la suite est croissante (strictement).%\'Etudier le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right)$.
		\item  La suite $\left(U_{n}\right)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers une limite inférieure ou égale à $3$.%Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?
	\end{enumerate}
\item  Soit la suite définie par  $V_{n} = \dfrac{1}{U_{n} - 3}$ 	pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons la différence $V_{n+1} - V_{n} = \dfrac{1}{U_{n+1} - 3} - \dfrac{1}{U_{n} - 3} = \dfrac{1}{\frac{9}{6 - U_{n}} - 3} - \dfrac{1}{U_{n} - 3} = \dfrac{6 - U_{n}}{9 - 18 + 3U_{n}} - \dfrac{1}{U_{n} - 3} = \dfrac{6 - U_{n}}{3U_{n} - 9}  - \dfrac{1}{U_{n} - 3}  = \dfrac{6 - U_{n}}{3\left(U_{n} - 3\right)} - \dfrac{1}{U_{n} - 3}  = \dfrac{6 - U_{n} - 3}{3\left(U_{n} - 3\right)} = \dfrac{3 - U_{n}}{3\left(U_{n} - 3\right)} = - \dfrac{1}{3}.$ On vient donc de démontrer que  la suite $\left(V_{n}\right)$  est une suite arithmétique de raison  $- \dfrac{1}{3}$.
		\item  On a $V_{0} = \dfrac{1}{-3 - 3} = - \dfrac{1}{6}$.\\
On sait que $V_{n} = V_{0} + n \times \left(- \dfrac{1}{3} \right) =  - \dfrac{1}{6} - \dfrac{2n}{6} =  - \dfrac{2n + 1}{6}$.
		
Or $U_{n} - 3 = \dfrac{1}{V_{n}} = \dfrac{-6}{2n+1}$.%Déterminer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{-6}{2n+1} = 0,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_{n} - 3 = 0$ et finalement 
		
		\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}U_{n} = 3.\]
		%Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{PARTIE A :  Question de cours}

\medskip

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
 
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. 
  
\medskip
% 
%\textbf{PARTIE B}\\
% On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$. Par exemple :

%\[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :
		
\[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\]

On a donc $N_{1} = 11 \times 12^2 + 1 \times 12^1 + 10 = \np{1606}$.
%Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.
		\item   Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 :
$N_{2} = \np{1131}$.

La plus grande puissance de 12 contenue dans \np{1131} est $12^2$  et $\np{1131} = 7 \times 144 + 123 = 7 \times 12^2 + 10 \times 12 + 3$.

On a donc $N_{2} = \overline{7\alpha 3}^{12}$.
%Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$.
	\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Dans toute la suite}, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 :

\[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  On a pour $1 \leqslant i \leqslant n, a_{i} \times 12^i \equiv 12\quad [0]$, donc $a_{i} \times 12^i \equiv 3\quad (0)$. Donc  $N \equiv a_{0}\quad  (3)$.\\
		% En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.
		Pn en déduit que si $a_{0}$ est un multiple de 3, $N$ l'est aussi. (ou encore $N$ est multiple de 3 s'il se termine par 0, 3, 6 ou 9.		
		\item Comme $N_{2} = \overline{7\alpha 3}^{12}$, il est donc multiple de $3$. De son écriture décimale (\np{1131}) et de $1 + 1 + 3 + 1 = 6$ est multiple de $3$, donc \np{1131} l'est aussi.%À l'aide de son écriture en base $12$, déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On a $N = \displaystyle\sum_{i= 0}^n a_{i} \times 12 ^{i}$. Quel que soit $i$ tel que $1 \leqslant i \leqslant n,~12^i = (11 + 1)^i$. En développant cette puissance avec la formule du binôme, tous les termes de la somme sont congrus  à 11 sauf le dernier : autrement dit $a_{i} \times 12^i \equiv a_{0} \quad (11)$ et finalement  $N \equiv  a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$.
		
Conclusion : un nombre écrit en base 12 est un multiple de 11 si la somme des nombres représentant ses chiffres est elle-m\^eme un multiple de 11. %En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12.
		\item Ainsi pour $N_{1}$, comme $\beta + 1 + \alpha$ soit $11 + 1 + 10 = 22 = 2 \times 11, ~N_{1}$ est un multiple de 11.
		
En écriture décimale $\np{1606} = 146 \times 11$, montre bien que $N_{1}$ est un multiple de 11.%À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son écriture en base $10$.
	\end{enumerate}
\item Des questions \textbf{2.} et  \textbf{3.} on déduit que $N = \overline{x4y}^{12}$ est un multiple de 3 et de 11 et donc de $3 \times 11$, puisque ces deux nombres sont premiers entre eux, si :
$\left\{\begin{array}{l cl}
y&=&0 \quad (3)\\
x + 4 + y&=&11k\\
\end{array}\right.$\\

\begin{itemize}
\item $y = 0 \Rightarrow x = 7$
\item $y = 3 \Rightarrow x = 4$
\item $y = 6 \Rightarrow x = 1$
\item $y = 9 \Rightarrow x = 9$
\end{itemize}
Les solutions sont donc les nombres $\overline{740}^{12},~\overline{443}^{12},~\overline{146}^{12},~\overline{949}^{12}$.
%Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$.	Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\:\%
% n'ont pas survécu, 75\:\%
%  deviennent rouges et les 15\:\% restant deviennent gris.
%\item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\:\% n'ont
%pas survécu, 65\:\% deviennent rouges et les 30\:\% restant deviennent gris.
%\end{itemize}
%Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\:\% au premier éleveur, 40\:\% au second.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  La probabilité qu'un alevin de premier élevage soit vivant au bout de trois mois est $0,9$ et celle d'un alevin du deuxième élevage $0,95$.\\
		La probabilité pour l'enfant d'avoir un alevin vivant est donc $0,6 \times 0,9 + 0,4 \times 0,95 = 0,54 + 0,38 = 0,92$.%
%Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de
%deux mois. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$.
		\item  De m\^eme la probabilité pour l'enfant d'avoir un poisson rouge est égale à $0,6 \times 0,75 + 0,4 \times 0,65 = 0,45 + 0,26 = 0,71$.% Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
		\item   Les poissons vivants sont rouge ou gris. La probabilité d'avoir un alevin gris est donc égale à $0,92 - 0,71 = 0,21.$
		
La probabilité qu'il soit gris et provienne du premier élevage est égale à $0,6 \times 0,15 = 0,09$.
		
On a donc : $p_{\text{gris}}(\text{élevage 1}) = \dfrac{\text{gris} \cap \text{élevage 1}}{p(\text{gris})} = \dfrac{0,09}{0,21} = \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}$. %Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?
 	\end{enumerate}
\item On suppose qu'il y a assez d'alevins pour que la probabilité d'avoir un alevin en vie au bout de trois mois est toujours égale à $0,92$.

On a donc une épreuve de Bernoulli avec $n = 5,~p = 0,92$.

La probabilité d'avoir 3 alevins en vie sur 5 au bout de trois mois est donc égale à :

\[\binom{5}{3}0,92^3 \times (1 - 0,92)^2 = 10 \times 0,92^3 \times 0,08^2 \approx \np{0,049} \approx 0,05~\text{à}~10^{-2}~\text{près}.\]

%Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item  On a le tableau de loi de probabilité suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{0,8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
couleur & rouge & gris & mort\\ \hline
probabilité & 0,71&0,21&0,08\\ \hline
gain({\euro}) &$+1$&$+0,25$&$-0,10$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
On a donc E$(X) = 0,71 \times 1 + 0,21 \times 0,25 - 0,08 \times 0,10 = \np{0,7545}\approx 0,75$~\euro.
%L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas.\\
%Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique, arrondie au centime.
 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $t$ un nombre réel.
%On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$	et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques :
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&9 + 4t\\
%y&=&6 + t\\
%z&=&2 + 2t\\
%\end{array}\right.\]
%Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On sait que le vecteur $\vect{n}(4~;~1~;~2)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ et donc qu'une équation d'un plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ est $4x + 1y + 2z + d = 0$. A appartient à  ce plan si $4 \times (-1) + 1 \times 2 + 2 \times 3 + d = 0 \iff 4 + d = 0 \iff d = - 4.$
		
Une équation du plan $\mathcal{P}$  est donc : $4x + 1y + 2z - 4 = 0$.
		%Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A.
		\item  On voit que la valeur $t = -3$ donne les coordonnées du point B.%Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
		\item On sait que la distance $d_{\text{B}}$ du point B au plan $\mathcal{P}$ est égale à $d(\text{B},~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|4x_{\text{B}} + y_{\text{B}} +2 z_{\text{B}} - 4  \right|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{\left|4 \times (-3) + 3 +2 \times (-4) - 4  \right|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{21}{\sqrt{21}} = \sqrt{21}$. %Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et 
%le plan $\mathcal{P}$.
		\item La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$, donc orthogonale à toute droite de $\mathcal{P}$. On a donc un triangle rectangle de côtés $d_{\text{B}}$ et $d$ et d'hypoténuse [AB]. Le théorème de Pythagore permet d'écrire $d^2 = \text{AB}^2 - d_{\text{B}}^2$.
		
AB$^2 = (-2)^2 + 1^2 + (-7)^2 = 54$.

Donc $d^2 = 54 - 21 = 33$. Finalement $d = \sqrt{33}$.%  Exprimer la  distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\item On a A$M^2 = (10 + 4t)^2 + (4 + t)^2 + (-1 + 2t)^2 =$

$100 + 16t^2 +  80t + 16 + t^2 + 8t + 1 + 4t^2 - 4t = 21t^2 + 84t +117$.

La distance de A à la droite $\mathcal{D}$ est la plus petite distance A$M$, donc le carré de la distance correspond au minimum du trinôme $21t^2 + 84t + 117$.

$21t^2 + 84t +117 = 21 \left(t^2 + 4t + \dfrac{117}{21}\right) = 21\left[ (t + 2)^2 - 4 + \dfrac{117}{21}\right] = 21\left[ (t + 2)^2 + \dfrac{33}{21}\right].$

Le minimum est obtenu pour $t = -2$ ; pour cette valeur le trinôme vaut

$21 \times \dfrac{33}{21} = 33 = d^2$. Et finalement $d = \sqrt{33}$.
%Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de  $d$.
\end{enumerate}
		
%		\newpage
%		
%		\begin{center}
%		\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
%		
%		\bigskip
%		
%		\psset{unit=1.3cm}
%		\begin{pspicture}(-3,-1)(6,7)
%		\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-1)(6,7)
%		\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt](0,0)(-3,-1)(6,7)
%		\psplot{-1}{6}{x}
%		\psplot[linecolor=blue]{-3}{4.713}{9 6 x sub div}
%		\end{pspicture}
%		\end{center}
\end{document}