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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrrrigé du baccalauréat S  }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\  novembre 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec $z = x + \text{i}y$,~ $2z + \overline{z} = 9 + \text{i} \iff 2x + 2\text{i}y + x - \text{i}y = 9 + \text{i} \iff 3x + \text{i}y = 9 + \text{i}$ et par identification $x = 3,~y = 1$.
 
Réponse c.
\item Par les différentes solutions possibles $|z + \text{i}| = |\overline{z} - \text{i}|$   (deux complexes conjugués ont le même module ; $\left|\overline{z} - \text{i}\right| =  |\text{i}| \times \left|\overline{z} - \text{i}\right| = \left|\text{i}(\overline{z} - \text{i})\right| = \left|\text{i}\overline{z} - \text{i}^2\right| = \left|\text{i}\overline{z} + \text{i}\right|.$

Réponse c.
\item On pose $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$ ; $-1 + \text{i}\sqrt{3} = 2\left(-\dfrac{1}{2}+ \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$

Donc $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}} = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{r\text{e}^{\text{i}\theta}} = \dfrac{2}{r} \text{e}^{\text{i}\left(\frac{2\pi}{3} + \theta\right)}$.

 Réponse b.
\item  $\sqrt{3} +\text{i} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. Donc   $\left(\sqrt{3} + \text{i}  \right)^n = 2^n\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{6}}$ est un imaginaire pur si et seulement si un de ses arguments est égal à $(2k+1)\frac{\pi}{2}$.

Donc $\frac{n\pi}{6} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \iff n = 6k + 3$.

Or puisque $n$ est un naturel, il faut que $k$ le soit aussi...

Avec l'énoncé $n$ est un entier la bonne réponse est  b.

\item $|z - \text{i}| = |z + 1| \iff \text{A}M = \text{B}M$ donc $M$ appartient à la médiatrice de [AB] qui est bien la perpendiculaire à [AB] contenant O.

Réponse c. 

\item $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|\iff \Omega M = 5$. Les points appartiennent donc au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $5$. Pour tout point $M$ de ce cercle on a $\vect{\text{O}M} = \vect{\text{O}\Omega} + \vect{\Omega M}$ qui se traduit en termes d'affixes par $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel.

Réponse c.

\item C est l'image de B dans la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. D'où \\$c - a = \text{i}(b - a) \iff c = a + \text{i}(b - a) \iff c  = 4 + \text{i}(3\text{i} - 4) = 1 - 4\text{i}$

Réponse a.
\item $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z \iff z - 2 = z^2 - z$ (avec $z \neq 1$) soit $z^2 - 2z + 2 = 0$ On trouve les deux solutions $1 - \text{i}~;~1 + \text{i}$.

Réponse c.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Arbre pondéré.

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$F_{1}$}\taput{$0,25$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,97$}
 		}
	\pstree{\TR{$F_{2}$}\tbput{$0,75$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{$0,02$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{$0,98$}
 		}
}

\end{center}
		\item Calculer $p_{D}\left(F_{1}\right) = \dfrac{p\left(D \cap F_{1}\right)}{p(D)}  = \dfrac{\np{0,0075}}{\np{0,225}} = \dfrac{1}{3}$.		
	\end{enumerate}
\item La probabilité d'avoir $k$ composants défectueux sur 20 est :

$p(X = k) = \binom{20}{k}\np{0,0225}^k \times (1 - \np{0,0225})^{20 - k}.$ (épreuve de Bernoulli avec $n = 20$ et $p = \np{0,0225}$.)

La probabilité d'avoir au moins deux composants défectueux est égale à :

$p(X \geqslant 2) = 1 - p(X<2) = 1 - p(X = 0) - p(X = 1) =$

$ 1 - \np{0,9775}^{20} - 20 \times \np{0,0225} \times \np{0,9775}^{19}.$

Donc $p(X \geqslant 2) \approx \np{0,0736} \approx 0,074$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $p(X > 5) = 1- p(X \leqslant 5) = 1- \displaystyle\int_{0}^{5} \lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t = 1- \left[-\text{e}^{-\lambda t}\right]_{0}^{5} = \text{e}^{-5\lambda } =  0,325$.
		
		
Or $\text{e}^{-5\lambda } = 0,325 \iff -5\lambda = \ln 0,325 \iff \lambda = \dfrac{-\ln 0,325}{5} \approx \np{0,2247} \approx 0,225.$

		\item $p(X < 8) = \displaystyle\int_{0}^{8} \lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t = 1 - \text{e}^{0,225 \times 8}\approx 0,835$.
		
D'où $p(X \geqslant 8) = 1 - p(X < 8) \approx 1 - 0,835 \approx 0,
165$
		\item La loi étant sans vieillissement la probabilité est $p(X> 5) = 0,325$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
% 
%\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
%et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
\begin{enumerate}
\item   Pour $M \neq \text{A},~M(X~;~Y) \in (T) \iff \dfrac{Y - f(a)}{X - a} = f'(a) \iff \dfrac{Y - \text{e}^a + a + 1}{X - a} = \text{e}^a - 1 \iff Y - \text{e}^a + a + 1 = (X - a)\left(\text{e}^a - 1  \right) \iff Y = \text{e}^a - a - 1 - a\text{e}^a+ a + X\left(\text{e}^a - 1  \right) \iff Y = X\left(\text{e}^a - 1  \right) + \text{e}^a(1 - a) - 1.$ 
\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N(X~;~Y) \iff Y=  - X - 1 = X\left(\text{e}^a - 1  \right) + \text{e}^a(1 - a) - 1 \iff X\text{e}^a = \text{e}^a(a - 1) \iff X = b = a - 1 \iff b - a = - 1.$
\item Pour construire la  tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$, il suffit de construire le point de (D) d'abscisse $a - 1$ et la tangente est obtenue en joignant ce point à $M$. Exemple ci-dessous avec $a = 1,5$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline(-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](2,4){\blue $(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$}
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.98169)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,-1.5)
\psline(0.5,-1.5)(1.5,1.98169)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item Graphiquement on lit $f(x) \geqslant 0$ ($f(0) = 0$).
\item On a donc quel que soit $x \in \R,~\text{e}^x \geqslant x + 1$.

En appliquant cette inégalité à $x = \dfrac{1}{n},~$ on obtient $(1) 
\quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}$ et en l'appliquant à $x = - \dfrac{1}{n+1}$ on obtient $\qquad (2) \quad 
\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}$.
\item La fonction $x \longmapsto x^n,~n \in \N$ étant croissante $(1) \Rightarrow \left(\text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^n \geqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \iff\\ \text{e} \geqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \iff \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}$.

\item De même $(2) \Rightarrow \left(\text{e}^{\frac{-1}{n+1}}\right)^{n+1} \geqslant \left(1 - \dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} \iff \text{e}^{-1} \geqslant \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n+1}\\ \iff \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n+1} \geqslant \text{e} \iff \text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}$. 
\item 3. montre que e majore  $\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$.

4. s'écrit $\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \times \left(1 + \dfrac{1}{n} \right) \iff \text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \times \left(\dfrac{n+1}{n} \right) \iff$

$ \dfrac{n}{n+1}\text{e} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}$.

On obtient donc l'encadrement :
\[\dfrac{n}{n+1}\text{e}  \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \leqslant \text{e}.\]
Par application du théorème des \og gendarmes \fg{}, car $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$,
\[\lim_{n \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = \text{e}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item La droite (OH) étant  orthogonale au plan (ABC) est orthogonale à toute droite de ce plan, donc à la droite (BC).
		
La droite (OA) perpendiculaire à (OB) et à (OC) est orthogonale au plan (OBC) ; elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier à (BC).
		\item Soit $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{BC}} = \left(\vect{\text{AO}} + \vect{\text{OH}}\right) \cdot \vect{\text{BC}} = \vect{\text{AO}} \cdot \vect{\text{BC}} + \vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BC}} = 0 + 0 = 0$. 
		
Conclusion :  les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. 
\item D'après la question précédente (AH) est hauteur du triangle (ABC), de même que  (BH) et (CH), donc H est l'orthocentre du triangle (ABC).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $ax + by + cz = d$ une équation du plan (ABC).
		
En écrivant que A, B et C ont des coordonnées qui vérifient cette équation, on obtient $a = d,~2b = d$ et $3c= d$. En prenant $d = 6$, on obtient une équation : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 6x + 3y + 2z = 6$
\item La question précédente montre qu'un vecteur normal à  (ABC) est 

$\vect{n}(6~;~3~;~2)$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{D}) \iff \vect{\text{O}M} = t\vect{n},~t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&6t\\
y&=&3t\\
z&=&2t\\
\end{array}\right.$
\item H$(x~;~y~;~z) \in (\text{D}) \cap (\text{ABC}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&6t\\
y&=&3t\\
z&=&2t\\
6x + 3y + 2z &= &6
\end{array}\right. \Rightarrow\\ 36t + 9t + 4t = 6 \iff t = \dfrac{6}{49}.$ \\
Donc  H a pour  coordonnées $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item La distance du point O au plan (ABC) est la plus courte distance de O au plan (ABC) : c'est donc OH.
		
On a OH$^2 = \left(\dfrac{36}{49} \right)^2 + \left(\dfrac{18}{49} \right)^2 +\left(\dfrac{12}{49} \right)^2 = \dfrac{1\:764}{49^2} =  \dfrac{42^2}{49^2}$. 

Conclusion OH $ = \dfrac{42}{49} = \dfrac{6}{7}$.
		\item On a $(1) \quad \mathcal{V}(\text{OABC}) = \dfrac{\mathcal{A}(\text{ABC}) \times \text{OH}}{3} = \dfrac{\mathcal{A}(\text{OAB}) \times \text{OC}}{3}$.
		
Or (OAB) est un triangle rectangle dont l'aire est égale à 1 et OC = 3.

On a donc (1) $\iff \dfrac{\mathcal{A}(\text{ABC}) \times \frac{6}{7}}{3} = 1 \iff \mathcal{A}(\text{ABC}) =  \dfrac{7}{2}.$ 
		\item $\mathcal{A}(\text{OAB})^2 + \mathcal{A}(OAC)^2 + \mathcal{A}(OBC)^2 = 1^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 3^2 = 1 + \dfrac{9}{4} + 9 = \dfrac{49}{4} = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2$.
		
Donc  le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item On a $6^2 = 36 \equiv 3 \quad \mod 11$, donc $\left(6^2 \right)^5 \equiv 3^5 \quad \mod 11$ ou encore $6^{10} \equiv 1 \quad \mod 11$ car $3^5 = 243 = 11 \times 22 + 1$.
		
Le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ est donc $1$.
		\item $6^2 \equiv 1 \mod 5$, donc $6^4  \equiv 1  \mod 5$.
		
Le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ est $1$.
		\item On a vu que  $6^{10} \equiv 1\quad [11]$, donc $\left(6^{10}\right)^4 \equiv 1^4 = 1 \quad [11]$.
De même $6^4  \equiv 1  \mod 5$, donc $\left(6^4\right)^{10} = 6^{40}   \equiv 1^{10} = 1  \mod 5$ ;  donc  $6^{40} \equiv 1\quad [5]$.
		\item Les questions précédentes montrent que $6^{40} - 1$ est un multiple de 11 et de 5, donc de $511 \times 5 = 55$ qui sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item $65$ et $40$ sont multiples de $5$, donc $65x - 40y$ l'est aussi, alors que $1$ ne l'est pas.
		
Conclusion : l'équation $65x - 40y = 1$ n'a pas de solution dans $\Z \times \Z$.

\item $17$ et $40$ sont premiers entre eux. Il existe donc au moins un couple $(u~;~v)$ tel que $17u - 40v = 1$.
\item On a
\begin{align}
 40 	&= 17 \times 2 + 6\\
17 	&=6 \times 2 + 5\\
6	&=5 \times 1 + 1.
\end{align}
D'où
\begin{align}
1 	&= 6 - 5\\
1	&= 6 - (17 - 2\times 6) = -17 + 3\times 6\\
1	&=-17 + 3(40 - 2\times 17) = 3 \times 40 - 7 \times 17.
\end{align}
La dernière égalité peut s'écrire $17 \times (- 7) - 3 \times (-40) = 1$, qui montre que le couple $(-7~;~-3)$ est solution de l'équation $(E')$.
\item On a le système $\left\{\begin{array}{l c l}
17x - 40y&=&1\\
17\times (-7) - 40 \times (-3)&=&1\\
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence})$

$17(x + 7) - 40(y + 4) = 0 \iff 17(x + 7) = 40(y + 4) \quad (7).$

Or on a vu que 17 et 40 sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss $40$ divise $17(x + 7)$ et est premier avec $17$, il divise donc $x + 7$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x + 7 = 40k \iff x = - 7 + 40k$.

En reportant dans (7) et en simplifiant par $40$, on obtient $17k = y + 4 \iff y = -3 + 17k$.

Inversement : si $x = - 7 + 40k$ et $y = - 3 + 17k, k \in \Z$, alors 

$17x - 40y = 17(- 7 + 40k) - 40(- 3 + 17k) = - 119 + 680k  + 120 - 680k = 1$.

Les solutions de   $(E')$ sont donc tous les couples $(-7 + 40k~;~-3 + 17k)$ avec $k \in \Z$.
 
Soit un couple $(x~;~y)$ solution de $(E')$. Si $x \in \N
$ et $x < 40$, alors $0< -7 + 40k < 40 \iff 7< 40k < 47 \Rightarrow 0< k < 2$.

Il y a une seule solution $k = 1$ qui donne $x_{0} = 33$.

Effectivement : $17 \times 33 = 561 = 40 \times 14 +1$.
	\end{enumerate}
\item  $a^{17} \equiv b \quad [55] \Rightarrow \left(a^{17} \right)^{33} \equiv b^{33}\quad [55] \iff a^{17 \times 33}\equiv b^{33}\quad [55] $.

D'après la question précédente $17 \times 33 - 1 = 40 \times 14$,~donc

$a^{17 \times 33}  = a^{40 \times 14 +1}\quad [55]  \iff a^{40 \times 14} \times a \equiv b^{33}\quad [55]$.\\
Or $a^{40} \equiv 1 \quad [55] \Rightarrow a^{40 \times 14} \equiv 1\quad [55]
$.

Conclusion : $a \equiv b ^{33}\quad [55]$   
\end{enumerate}
\end{document}