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%%%Sujet aimablement fourni par J. Nader
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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% Corrigé et tapuscrit : Isabelle Faure
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2008},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright  \\[3pt]novembre 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{}	on considère les points :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\text{A}(3~;~-2~;~1) \quad$ &	$\text{B}(5~;~2~;~-3) \quad $&
$\text{C}(6~;~-2~;~-2) \quad$ &	$\text{D}(4~;~3~;~2)$\\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
$\vect{CA} \left(-3~;~0~;~3 \right)$ et $\vect{CB}\left(-1~;~4~;~-1  \right)$  

$\frac{-3}{-1} \neq \frac{0}{4}$, les vecteurs $\vect{CA}$ et $\vect{CB}$ ne sont donc pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.

De plus $\vect{CA} \bullet \vect{CB} = -3 \times (-1) + 0 \times 4 - 3 \times 1 = 0$, ces vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en C.

Enfin $AC^2 = (-3)^2 + 0^2 + 3^2 = 18$ et $BC^2 = (-1)^2 + 4^2 = (-1)^2 = 18$, ABC est donc isocèle en C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~ ;~ 1~; ~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		
$\vect{n}{}\cdot{}\vect{CA} = 2 \times (-3)+ 1 \times 0 + 2 \times 3 = 0$
		
$\vect{n}{}\cdot{}\vect{CB} = 2 \times (-1) + 1 \times 4 + 2 \times (-1) = 0$
			
$\vect n$ est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de (ABC), $\vect n$ est donc normal à ce plan.
		\item  %En déduire une équation du plan (ABC).
Une équation cartésienne de (ABC) est donc de la forme $2x + y + 2z + d = 0$.
		
De plus, le point A appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient donc l'équation précédente et $2 \times (3)+ 1 \times (-2) + 2 \times 1 + d = 0 \iff d = -6 $
		
Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc :
		
\[2x + y +2z - 6 = 0 \]

		\item  %Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.		
La distance de D au plan (ABC) est $d= \dfrac{|2x_D+y_D+2z_D-6|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \dfrac{9}{3} = 3$
	\end{enumerate}
\item %Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

\[V = \dfrac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]

On prendra pour base ABC (triangle rectangle isocèle d'aire $AB^2=\dfrac{1}{2} \times18$), la hauteur est alors $d$, et le volume de ABCD en unités de volume :

\[V = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 3 = 9 \]

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.
\begin{enumerate}
\item % On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2.

%La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$  OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K,
	\begin{enumerate}
		\item~  %Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique.	
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\newrgbcolor{ffqqcc}{1 0 0.8}
\newrgbcolor{qqzzzz}{0 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.9,-3.5)(4.9,5.28)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.2,-2.7)(4.72,5.28)
\pscircle(2,2){2}
\psplot{-4.2}{4.72}{(-0--2*x)/2}
\rput[tl](0.62,4.14){$\Gamma$}
\psplot[linecolor=ffqqcc]{-4.2}{0}{(-0--4*x)/-4}
\pscircle[linecolor=qqzzzz](0,0){0.83}
\pscircle[linecolor=qqzzzz](0,0){4.83}
\psdots[linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](1.76,2.1){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](0,2)
\rput[bl](0.12,2.08){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](2.08,0.12){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.22,-0.42){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0.59,0.59)
\rput[bl](0.48,0.84){\darkgray{$H$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.41,3.41)
\rput[bl](3.54,3.36){\darkgray{$K$}}
\psdots[linecolor=blue](0,-2)
\rput[bl](0.08,-1.88){\blue{$B'$}}
\psdots[linecolor=blue](-2,0)
\rput[bl](-1.92,0.12){\blue{$C'$}}
\psdots[linecolor=blue](-4,4)
\rput[bl](-3.92,4.12){\blue{$\mathcal{(D)}$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-3.41,3.41)
\rput[bl](-3.5,3.6){\darkgray{$H'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.59,0.59)
\rput[bl](-0.68,0.9){\darkgray{$K'$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

		\item  %Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.		
$OA = |z_A| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt 8 = 2 \sqrt 2$
		
		O, H, A et K sont alignés dans cet ordre donc $OH = OA - AH = 2 \sqrt 2 - 2$ et $OK = OA + AK = 2 \sqrt 2 + 2$
		
		\item  %Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que

%\[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad 	z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\]

Les vecteurs $\vect{OA}$, $\vect{OH}$ et $\vect{OK}$ sont colinéaires de même sens donc

$arg(z_\text{A}) = arg(z_\text{H}) = arg(z_\text{K}) = \dfrac{\pi}{4} \quad [2 \pi]$

Donc $z_\text{K} = |z_\text{K}| \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
et $z_\text{H} = |z_\text{H}| \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \left(2\sqrt{2}-2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$


	\end{enumerate}
%\textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
	%	\[z' = \dfrac{-4}{z}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer et placer les points images de B et C par $f$.
$z_{B'} = \dfrac{-4}{2 \text{i}} = 2 \text{i}$ : l'image de B est B.
		
		$z_{C'} = \dfrac{-4}{2 } = -2 $ : l'image de C est C' d'affixe $-2$.
		\item  %On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
		
%Déterminer les points invariants par $f$.
M(z) est invariant par $f \iff z =  \dfrac{-4}{z} \iff z^2 = -4 \iff z= 2\text{i} \text{\quad ou \quad}z= -2\text{i} $

Les points invariants pas $f$ sont B et le point d'affixe B'$(-2\text{i}) $.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a :
%\[\text{O}M  \times \text{O}M' = 4.\]

Pour tout point $M$ distinct de O,

$z'= \dfrac{-4}{z} \iff zz' = -4 \Rightarrow |z| \times |z'| = 4 \Rightarrow OM \times OM' = 4$
		\item  Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$.
		
Pour tout point $M$ distinct de O,

$z'= \dfrac{-4}{z} \iff zz' = -4 \Rightarrow \text{arg}\left(zz'\right) = \pi \quad [2\pi]$

On a donc $\text{arg}\left(z'\right) = \pi - \text{arg}\left(z\right) \quad [2\pi]$
	\end{enumerate}

\item  %Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$.

	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer OK$'$ et OH$'$.
		
		D'après le 3a. OK$'= \dfrac{4}{\text{OK}} = \dfrac{4}{2 \sqrt{2} +2} = \dfrac{2}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{2\sqrt{2}-2 }{1} = 2\left(\sqrt{2} - 1\right) = \text{OH}$. 
		
OH$'= \dfrac{4}{\text{OH}} = \dfrac{4}{2 \sqrt{2} -2} = \dfrac{2}{ \sqrt{2} - 1} = \dfrac{2\sqrt{2}+2 }{3}$ 		
		\item %Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.
On cherche la forme exponentielle de $z_{\text{K}'}$, le module vient d'être calculé et on utilise la question 3b. pour avoir un argument :
		
$\begin{array}{lcl}
\text{arg} z_{\text{K}'} &= &\pi - \text{arg}\left(z_K\right) \quad [2\pi] \\
&=& \dfrac{3}{4}\quad [2\pi] 				
\end{array}$
		
On a donc finalement :
		
\[z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \]
		
De même : 
		
$\begin{array}{lcl}
\text{arg} z_{\text{H}'} &= &\pi - \text{arg}\left(z_H\right) \quad [2\pi] \\
&=& \dfrac{3}{4}\quad [2\pi] 		
\end{array}$
		
On a donc finalement :
		
\[z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \]
		

		\item  %Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.		
		$z_{\text{K}'}$ et $z_{\text{H}'}$ ont pour argument $\frac{3\pi}{4}$, donc K$'$ et H$'$ sont sur la demie droite $\mathcal D$ en rose sur le graphique. De plus 	$|z_{\text{K}'}| = |z_{\text{H}}| = 2 \sqrt{2} - 2$ donc K$'$ appartient aussi au cercle de centre O et rayon OH. De même H$'$ appartient au cercle de centre O et rayon OK. D'où la construction des deux points !		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psline(0,0)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2,0)
\psline(2,0)(1,-1)
\psline(1,-1)(0,0)
\psline(0,0)(0.24,1.26)
\psline(0.24,1.26)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2.25,0.75)
\psline(2.25,0.75)(2,0)
\psdots(2,0)
\uput[dr](2,0){A}
\psdots[linecolor=blue](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.12){B}
\psdots[linecolor=blue](1,-1)
\uput[dl](1,-1){P}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75)
\rput[bl](0.32,1.38){N}
\rput[bl](2.34,0.86){M}
\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$.

\medskip

\textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{À l'aide des transformations}
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$.
$\begin{array} {lll}
s_{1} : &A & \longmapsto A \\
& M& \longmapsto B
\end{array}$ donc l'angle de $s_1$ est $\left( \vect{AM}, \vect{AB} \right) = \dfrac{\pi}{4} \quad [2\pi]$ et le rapport $\dfrac{AB}{AM} = \sqrt 2$ car le triangle AMB est rectangle isocèle direct.
		
$\begin{array} {lll}
s_{2} : &O & \longmapsto O \\
& B& \longmapsto N
\end{array}$ 	donc pour $s_2$ l'angle est  $\dfrac{\pi}{4} $ et le rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.			
		\item  %Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$.
$M \stackrel{S_1}{\longmapsto} B \stackrel{S_2}{\longmapsto} N$ donc $r(M)=N$.

$I \stackrel{S_1}{\longmapsto} P \stackrel{S_2}{\longmapsto} I$ donc $r(I)=I$.
		
		\item 	%Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre.
		
$r$ est la composée de deux similitudes directes, c'est donc une similitude directe ; son rapport est le produit des rapports, c'est donc 1 ; son angle, la somme des angles donc $\dfrac{\pi}{2}$. Enfin, le centre est l'unique point invariant, c'est donc I (question précédente).
		
En résumé, $r$ est la rotation de centre I et angle $\dfrac{\pi}{2}$.	
		\item %Quelle est l'image du point O par $r$ ?
L'image de O par $r$ est P.			
		\item 	%En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
$\left\{ \begin{array}{l c l}
O \stackrel{r}{\longmapsto} P \\
M \stackrel{r}{\longmapsto} N\\
\end{array}\right. \Longrightarrow (\stackrel{\longrightarrow}{OM}, \stackrel{\longrightarrow}{PN})=$ angle de $r$. D'où le résultat.	
		
	\end{enumerate}
\item \textbf{En utilisant les nombres complexes}
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a.
L'écriture complexe de $s_{1}$ est $z'-z_A = \sqrt 2 \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}} \left( z-z_A \right)$ soit
		
\[z'- 2 = \sqrt 2 \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}} \left( z-2 \right) \]
		
L'écriture complexe de $s_{2}$ est $z'-z_O = \dfrac{\sqrt 2}{2} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}} \left( z-z_O \right)$ soit
		
\[  z' = \dfrac{\sqrt 2}{2} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}  z \]
		
		\item 	%En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N.
M est l'antécédent de B par $s_{1}$.
		
$s_{1}(M) = B \iff \dfrac{3}{2} + \text{i}- 2 = \sqrt 2 \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}} \left( z-2 \right)$
		
donc $ z  = 2 + \dfrac{1}{\sqrt 2} \left( \text{i} - \dfrac{1}{2} \right) \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{4}} \iff  2 + \dfrac{1}{\sqrt 2} \left( \text{i} - \dfrac{1}{2} \right) \left( \dfrac{\sqrt 2}{2} - \text{i} \dfrac{\sqrt 2}{2} \right)$
		
M a pour affixe $\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} \text{i}$
		
N est l'image de B par $s_{2}$.
		
$z' = \dfrac{\sqrt 2}{2} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}  z = \dfrac{\sqrt 2}{2} \left( \dfrac{\sqrt 2}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt 2}{2} \right)\left(\dfrac{3}{2} + \text{i} \right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{4} \text{i}$
		\item 	%Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
$z_{\text{P}} = 1 - \text{i}$ 
		
$\dfrac{z_{\text{N}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{M}} - z_{\text{O}}} = \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{4} \text{i}}{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} \text{i}} = \dfrac{-1 + 3 \text{i}}{3 + \text{i}} = \dfrac{(-1 + 3 \text{i})(3-\text{i})}{10} = \text{i}$
		
Or, arg$\dfrac{z_{\text{N}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{M}} - z_{\text{O}}} = \left(\vect{OM}, \vect{PN} \right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$
		
D'où (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G.

\begin{center}\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{A}}
{
	\pstree{\TR{B (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}}
		{
\TR{D (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}
\TR{E (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}
		}
	\pstree{\TR{C (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}}
		{
\TR{F (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}
\TR{G (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}
		}
}		
		 \end{center}

\medskip

On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un n{\oe}ud. 
		 
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la loi de probabilité de X.
$X(\Omega) = \left\{ 0 ; 10 ; 20 \right\}$

$p(X=0) = p(B) \times p_B(D) = \dfrac{8}{9} \times \dfrac{8}{9}$

$p(X=20) = p(B) \times p_B(E) + p(C) \times p_C(F) = \dfrac{8}{9} \times \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} \times \dfrac{8}{9}$

$p(X=20) = p(C) \times p_C(G) = \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{9}$
		
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
		$\rule[-4mm]{0mm}{8mm} x_i$ & 0 & 10 & 20& $\sum$ \\ \hline
		$\rule[-4mm]{0mm}{11mm} p(X=x_i)$ & $ \dfrac{64}{81} $ & $\dfrac{16}{81}$ & $\dfrac{1}{81}$ &1\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item  %Calculer l'espérance de X.
On complète le tableau précédent :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
		$\rule[-4mm]{0mm}{8mm} x_i$ & 0 & 10 & 20& $\sum$ \\ \hline
		$\rule[-4mm]{0mm}{11mm} p_i$ & $ \dfrac{64}{81} $ & $\dfrac{16}{81}$ & $\dfrac{1}{81}$ & 1 \\ \hline		
		$\rule[-4mm]{0mm}{11mm} x_ip_i$ & $ 0 $ & $\dfrac{16 \times 10}{81}$ & $\dfrac{20}{81}$ &  E(X) \\ \hline	
\end{tabular}
\end{center}

\[E(X) = \dfrac{180}{81} = \frac{20}{9}\]
		\item  Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.
	\end{enumerate}
	
	On adapte l'arbre précédent puis on l'inverse :
	
\begin{center}
\begin{tabular}{lcl}
\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{AB }^{$\dfrac{8}{9}$}}
		{
\TR{ (X=0)}^{$\dfrac{8}{9}$}
\TR{(X=10)}_{$\dfrac{1}{9}$}
		}
	\pstree{\TR{AC }_{$\dfrac{1}{9}$}}
		{
\TR{ (X=10)}^{$\dfrac{8}{9}$}
\TR{ (X=20)}_{$\dfrac{1}{9}$}
		}
}		
		 
		 & et& 
		 
\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{(X=10) }^{$\dfrac{16}{81}$}}
		{
\TR{ AC}^{?}
\TR{AB}_{}
		}
\pstree{\TR{$(X \neq 10)$  }_{$\dfrac{65}{81}$}}
		{
\TR{ AC}^{}
\TR{ AB}_{}
		}
}		
				 
\end{tabular}
\end{center}
		 
On veut $p_{(X=10)}(AC)$
		 
Or, $p(AC \cap (X=10)) = p(AC) \times p_{AC}(X=10) = \dfrac{1}{9} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{8}{81}$
		 
$p_{(X=10)}(AC) = \dfrac{p(AC \cap (X=10))}{p(X=10)} = \dfrac{\dfrac{8}{81}}{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{1}{2}$
\item	%Le joueur effectue 8~parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20~points à cette partie.
	\begin{enumerate}
		\item % Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2~parties. On donnera le résultat arrondi au millième		
		On répète 8 fois de façons indépendantes, l'expérience à deux issues \og le joueur obtient 20 points \fg{} considérée comme succès, de probabilité $\dfrac{1}{81}$ ou pas. On a donc un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire Y prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres 8 et $\dfrac{1}{81}$. On veut $p(Y=2)$.
		
$p(Y=2) = \left( \begin{array}{c} 8 \\
2 
\end{array} \right) \left(\dfrac{1}{81} \right)^2 \left(\dfrac{80}{81} \right)^6 = \dfrac{28 \times 80^6}{81^8} \approx 0,004$

		\item  %Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
On veut ici $p(Y \geqslant 1)$ :
		
$p(Y \geqslant 1) = 1 - p(Y=0) = 1 - \left(\dfrac{80}{81} \right)^8 \approx 0,095$	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln x - 2 + x.\]

  %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0} -2 +x = -2$, par somme $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ 

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} -2 +x = +\infty$, par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ 
%Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
\item  $f$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$ car c'est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur $]0~;~+ \infty[$ : $x\longmapsto \ln x$ et $x \longmapsto - 2 + x$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)  \psline(1,0)(1,2.5) \psline(0,0) (0,2.5) \psline(0,0) (6,0) \psline(6,0)(6,2.5) \psline (1.1,0) (1.1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$0$}\uput[u](5.5,2){$+\infty$} \uput[u](5.5,1.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,0.8){$f(x)$} \uput[r](1,0.3){$- \infty$}
\psline{->}(1.8,0.5)(5.3,1.4) 
\end{pspicture}
\end{center}
%Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

$f$ est continue sur $]0~;~+ \infty[$ car c'est la somme de deux fonctions continues sur $]0~;~+ \infty[$ : $x\longmapsto \ln x$ et $x \longmapsto - 2 + x$.

$f$ est donc continue, strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$, de plus, 0 est compris entre $\displaystyle\lim_0 f$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} f$, d'après le \og théorème de la bijection \fg, l'équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~+ \infty[$.

%Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Avec la calculatrice, on trouve $f(1,55) \approx - 0,011$ et $f(1,56) \approx 0,004$.

Le même théorème appliqué à $[1,55~;~1,56]$ prouve que $1,55 \leqslant \alpha \leqslant 1,56$ (encadrement à $10^{-2}$ près.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

%On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$, ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2 - x$.  On note E le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2)(7,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-3,-2)(7,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(7,5)
%\psplot{-2.5}{4}{2 x sub}
%\psplot[linecolor=blue]{0.15}{6.5}{x ln}
%\uput[u](1.55,0.46){E} \uput[d](6.5,0){$x$} \uput[l](0,4.5){$y$} 
%\pstextpath[l](3pt,3pt){\psplot[linecolor=blue]{5}{6.5}{x ln}}{$y = \ln x$}
%\pstextpath[l](3pt,3pt){\psplot[linecolor=blue]{3.25}{4}{2 x sub}}{$y = 2 - x$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%On considère l'aire en unités d'aire, notée $\mathcal{A}$, de la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item L'abscisse de E est solution de $\ln x = 2 - x \iff f(x) = 0$.

D'après la question A3., l'abscisse de E est donc $\alpha$.

  %Déterminer les coordonnées du point E.

\begin{center}
E a pour coordonnées $(\alpha~;~2-\alpha)$.
\end{center}
\item   
%Soit $I = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x$.

  %Donner une interprétation géométrique de $I$.
	\begin{enumerate}
		\item Comme $\alpha > 1$, sur l'intervalle $[1 ; \alpha]$, la fonction $\ln$ est continue et positive, donc $I$ mesure l'aire (en unités d'aire) du domaine limité par les droites d'équations $x = 1$, $x=\alpha$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.
		\item   %Calculer $I$, en fonction de $\alpha$, à l'aide d'une intégration par parties.
On pose $u(x)= \ln x \quad u'(x) = \dfrac{1}{x}$
		
$\quad \quad \quad \quad  v'(x) = 1 \quad v(x) = x$
		
Les quatre fonctions $u$, $u'$, $v$ et $v'$ sont continues sur $[1 ; \alpha]$, on peut intégrer par parties :
		
$\begin{array}{lcl}
		 I &= &\displaystyle\int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x \\
		 &=& \left[ x \ln x \right]_1^{\alpha} - \displaystyle\int_{1}^{\alpha} x \times \dfrac{1}{x} \:\text{d}x \\
		 &=& \alpha \ln \alpha - \left[ x \right]_1^{\alpha} \\
		 &=& \alpha \ln \alpha - \alpha + 1
\end{array}$		

   %Montrer que $I$ peut aussi s'écrire $I = -  \alpha^2 + \alpha + 1$ sachant que $f(\alpha) = 0$.
	Mais $f(\alpha) = 0 \iff \ln \alpha = 2 - \alpha$, on remplace :
		
$\begin{array}{lcl}
		I&=& \alpha (2-\alpha) - \alpha + 1 \\
		 &=& - \alpha^2 + \alpha +1
\end{array}$
	\end{enumerate}
	
%Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$.

\item ~

$\begin{array}{lcl}
\mathcal{A} &= &\displaystyle\int_{1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_{\alpha}^{2} (2 - x)\:\text{d}x \\
&=& - \alpha^2 + \alpha +1 + \left[2x - \dfrac{x^2}{2} \right]_{\alpha}^2 \\
&=& - \dfrac{1}{2}\alpha^2 - \alpha + 3

\end{array}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

%\[ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\]
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}
%La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
%\[\left\{\begin{array}{l c l }
%g'(x)&=& g(x)\quad  \text{pour tout}~ x \in \R.\\
%g(0)& =& 1
%\end{array}\right.\]

%Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.
Pour tout $h \neq 0$,
$\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et h, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
\[\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$
\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par :

\[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\]

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}$  puis en déduire que 
On reconnait la somme des premiers termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme 1 et raison $\text{e}^{\frac{1}{n}}$

$\begin{array}{lcl}
1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}&=& \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^0 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^1 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^2 + \cdots + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^{n-1} \\
&=& \dfrac{1 - \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^n}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} \\
&=& \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}
\end{array}$

$(\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right) = (\text{e} - 1) \dfrac{\frac{1}{n}}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1} = \dfrac{1}{n} \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} = u_n$.

\item  %En déduire, en utilisant aussi la \textbf{PARTIE A}, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$.

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et (question A2.) $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=1$, d'après le théorème donnant la limite de la composée d'une suite et d'une fonction, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f\left(\dfrac{1}{n}\right) = 1$

Enfin la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers  $\text{e} - 1$.
\end{enumerate}
\end{document}