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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à Yves IV pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small 12 juin 2015}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Polynésie~\decofourright\\[4pt]12 juin 2015}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et 
%
%AE = 2.
%
%I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,4)
%%\psgrid
%\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
%\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
%\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
%\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
%\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
%\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
%\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} 
%\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
%\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}
%\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)  
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG).
$\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}} \iff \vect{\text{AB}} = 6\vect{\text{AI}}\iff \text{B}(6~;~0~;~0)$ ;

$\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}} \iff \vect{\text{AD}} = 4\vect{\text{AJ}} \iff \text{D}(0~;~4~;~0)$ ;

$\vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}} \iff \vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AK}} \iff\text{E}(0~;~0~;~2)$.

Comme $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{CG}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = 6\vect{\text{AI}} + 4\vect{\text{AJ}} + 2\vect{\text{AK}}$, donc G(6~;~4~;~2).
On en déduit que $\vect{\text{IJ}}(- 1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{JG}}(6~;~3~;~2)$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{\text{IJ}} = - 2 + 2 + 0 = 0$ et 

$\vect{n} \cdot \vect{\text{JG}} = 12 + 6 - 18 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ est donc normal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan (IJG) est normal à ce plan.
\item  %Déterminer une équation du plan (IJG).
On sait qu'alors une équation du plan (IJG) est :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z + d = 0$.

En particulier : $\text{I}(1~;~0~;~0) \in (\text{IJG}) \iff 2 + 0 - 0 + d = 0 \iff d = - 2$.

Une équation du plan (IJG) est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z - 2 = 0$.
\item  %Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).
On a $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AE}}$, donc F(6~;~0~;~2).

Or $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BF}) \iff $ il existe $t \in \R$ tel que $\vect{\text{B}M} = t\vect{\text{BF}} \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 6&=&t(6 - 6)\\
y - 0&=&t(0 - 0)\\
z - 0&=&t(2 - 0)
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&6\\
y &=&0\\
z &=&2t
\end{array}\right.$

Donc si $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \cap (\text{BF})$ ses coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&6\\
y &=&0\\
z &=&2t\\
2x + 2y - 9z - 2 &=& 0
\end{array}\right. \Rightarrow 2 \times 6  + 0  - 9 \times 2t  - 2 = 0 \iff 10 - 18t = 0 \iff 10 = 18t \iff t = \dfrac{5}{9}$.

En remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{9}$ dans l'équation de la droite (BF), on obtient :

L$\left(6~;~0~;~ \dfrac{10}{9}\right)$.
\item  %Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification.

La section avec (ABCD) est la droite (IJ).

La section avec (ABFE) est la droite (IL).

La section avec (BCGF) est la droite (LG).

Il reste à trouver l'intersection  P du plan (IJG) avec la droite (HD) : comme les plans (ABFE) et (DCGH) sont parallèles, les droites (IL) et (GP) sont parallèles.

On trace donc la parallèle à (IL) contenant G qui coupe (HD) en P.

La section est donc le pentagone JILGP (voir à la fin).
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$
%du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par:
%
%\[z' = z^2 + 4z + 3.\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

%Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
$M(z)$ est invariant si $M' = M \iff z' = z \iff  z^2 + 4z + 3 = z \iff z^2 + 3z + 3 = 0$.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = 9 - 12 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

Cette équation a deux solutions :

$z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

On a $\left|z_1\right|^2 = \left(- \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3  \Rightarrow \left|z_1\right| = \sqrt{3}$.

Le même calcul donne $\left|z_2\right| = \sqrt{3}$.

On a donc $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}  + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6}  + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

On trouve de la même façon que $z_2 = \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
\item  %Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe 
%$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.
On a $z_{\text{A}} = z_2$, donc $\left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA} = \left|z_2 \right| = \sqrt{3}$.

De même $z_{\text{B}} = z_1$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = \left|z_1 \right| = \sqrt{3}$.

Enfin $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} - \left(\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2} \right) \right| = \left|\text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$. 
%Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

On a donc $\text{OA} = \text{OB} = \text{AB} = \sqrt{3}$ : le triangle  OAB est un triangle équilatéral.
\item  %Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
Soit $M(x~;~y)$ et $M'(x'~;~y')$ son point associé.

$M'$ est sur l'axe des réels si $y' = 0$.

Or on sait que l'affixe du point $M$ est :

$z^2 + 4z + 3 =  (x + \text{i}y)^2 + 4(x + \text{i}y) + 3 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy + 4x + 4\text{i}y + 3 = x^2 - y^2 + 3 + \text{i}(2xy + 4y)$.

On a donc $y' = 0 \iff 2xy + 4y = 0 \iff 2y(x + 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&0\\
\text{ou}&&\\
x + 2&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&0\\
\text{ou}&&\\
x &=&- 2
\end{array}\right.$

Conclusion : l'ensemble $\mathcal{E}$ est constitué des points d'ordonnée nulle donc de l'axe des abscisses et des points de la droite verticale dont une équation est $x = - 2$ (droites en bleu). 
\item  ~%Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.8)(2,1.8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-1.8)(2,1.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pscircle(0,0){1.73205}
\psline[linestyle=dashed](0.866;90)(1.73205;150)
\psline[linestyle=dashed](0.866;-90)(1.73205;-150)
\uput[ur](0,0){O} \uput[ul](1.73205;150){A}\uput[dl](1.73205;-150){B}
\pspolygon(1.73205;150)(1.73205;-150)(0;0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-3,0)(2,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,-1.73205)(-2,1.73205)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une
%variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale
%d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. 
%
%Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre
%1,53~mètre et 1,77~mètre ?
On sait que $P\left(\mu_1 - 2 \sigma_1 \leqslant X_1 \leqslant \mu_1 + 2 \sigma_1\right) \approx 0,95$, soit $P\left(1,53 \leqslant X_1 \leqslant 1,77\right) \approx 0,95$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure
%plus de 1,70~mètre.
On sait que $P\left(X_2 \geqslant 170\right) = 0,5 + P\left(170 \leqslant X_2 \leqslant 175\right) \approx 0,5 + 0,18 \approx 0,68$.
		\item  %De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population
%des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard
%une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la
%probabilité que cette personne soit une femme ?
Soit $F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg{} et $S$ l'évènement  \og la personne choisie mesure plus de $1,70$~m  \fg{}. On a $P(F) = 0,52$ et donc $P\left(\overline{F}\right) = 0,48$. La probabilité cherchée est $P_S(F)$.

De même qu'à la question \textbf{2. a.} la probabilité qu'une femme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre est 

$P\left(X_1 \geqslant 170\right) = 0,5 - P\left(165 \leqslant X_2 \leqslant 170\right) \approx  0,2$. Soit $P_F(S) \approx 0,2$.

D'après la formule des probabilités totales :

$P(S) = P(S \cap F) + P\left(S \cap \overline{F} \right) = P(F) \times P_F(S) + P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(S) \approx 0,52 \times0,2 + 0,48 \times 0,68 \approx \np{0,4304}$.

Donc $P_S(F) = \dfrac{P(S \cap F)}{P(S)} = \dfrac{P_F(S) \times P(F)}{P(S)} \approx \dfrac{0,2 \times 0,52}{\np{0,4304}} \approx \dfrac{\np{0,104}}{\np{0,4304}} \approx 0,24$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le
%schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.
%
%Voici ce schéma :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8.5,5.5)
%\psline(1,3.679)(1,0)(8,0)
%\psline(1,3.679)(1.5,4.879)
%\psline(8,0)(8.5,1.2)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
%\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}}
%\rput(0.5,1.2){\courbe}
%\pscustom[fillstyle=hlines]{
%\courbe
%\psline(8,0)(1,0)
%}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip

\textbf{Partie A Modélisation}

\medskip

%Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par 
%
%\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad  \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\]
%
%La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(8.5,5.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5)
%\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale.

%Déterminer la valeur de l'entier $b$.
On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que $f'(1) = 0$.

Or $f$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle :

$f'(x) = a\text{e}^{- x} + (ax + b) \times (- 1)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(a - ax - b)$.

Donc $f'(1) = 0 \iff \text{e}^{- 1}(a - a - b) = 0 \iff - b \text{e}^{- 1} = 0 \iff b = 0$, car $\text{e}^{- 1} \ne 0$.
\item  %On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. 

%Déterminer la valeur de l'entier $a$.
Le haut de la courbe est obtenu pour $x = 1$. Or :

$3,5 < f(1) < 4 \iff 3,5 < a\text{e}^{- 1} < 4 \iff 3,5\text{e} < a < 4\text{e}$.

Or $3,5\text{e} \approx 9,5$ et $4\text{e} \approx 10,9$ : le seul entier compris entre ces deux valeurs est $a = 10$.

On a donc sur [1~;~8], \:$f(x) = 10x\text{e}^{- x}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs}
 
\medskip

%On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel
%$x \in  [1~;~8]$ par
% 
%\[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\]
%
%Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée
%sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de
%300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par 

%\[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\]
%
%Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
En dérivant $g$ comme un produit, on a pour tout réel de [1~;~8] :

$g'(x) = 10\times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(- x - 1)\times (- 1)\text{e}^{-x} = - 10\text{e}^{-x}(1 - x - 1) = 10x\text{e}^{-x} = f(x)$.

$g$ est donc une primitive de $f$ sur [1~;~8].

\item  %Quel est le montant du devis de l'artiste ?
Comme $x > 0$ et $\text{e}^{- x} > 0$, on a $f(x)  > 0$ sur [1~;~8]. Donc l'aire de la surface hachurée est égale en unités d'aire $\left(\text{soit}\: 1 \times 1 = 1~\text{m}^2\right)$ à l'intégrale :

$\displaystyle\int_1^8 f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_1^8 = g(8) - g(1) = 10(- 8 - 1)\text{e}^{-8} - 10(- 1 - 1)\text{e}^{-1} = 20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8}$.

D'après les conditions du peintre son devis sera donc d'un montant de :

$D = 300 + 50\left(20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8} \right) \approx 666,37$~\euro. 
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{Partie C Une contrainte à vérifier}
 
 \medskip

%Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
%
%On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.
%
%La figure suivante illustre la situation.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
%%\psgrid
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(8.5,5.5)
%\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div}
%\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub}
%%\psplot[plotpoints=5]{0.5}{2}{5.412 1.353 x mul sub}
%%\psplot[plotpoints=3]{4}{5}{5.412 1.353 x mul sub}
%\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7)
%\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1)
%\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$}
%\psline(2,0)(2,2.7)
%\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679)
%\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9)
%\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$}
%\end{pspicture}

%\end{center}
%
%Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$.
La fonction $f'$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle [1~;~8] :

$f''(x) = 10 \times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(1- x) \times (- 1)10\text{e}^{-x} = 10\text{e}^{-x}(- 1 - 1 + x  = 10(x - 2)\text{e}^{-x}$.

Comme  $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x - 2$.

$\bullet~~$Si $1 \leqslant x < 2$, \: $x - 2 < 0$ : la fonction $f'$ est donc décroissante sur [1~;~2[ ;

$\bullet~~$Si $2 < x \leqslant 8$, \: $x - 2 > 0$ : la fonction $f'$ est donc croissante sur ]2~;~8[ ;

$\bullet~~$Si $x = 2$,\: $f'(2) = - 10\text{e}^{-2} \approx - 1,35$ est donc le minimum de la fonction $f'$ sur [1~;~8]. 
%Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8].
\item  %Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
Une équation de la tangente $\left(T_M\right)$ au point $M(x~;~y)$ est :

$P(X~;~Y) \in \left(T_M\right) \iff Y - f(x) = f'(x) (X - x)$.

Le point L est le point de cette droite d'ordonnée nulle donc son abscisse$X$ vérifie :

$- f(x) = f'(x) (X - x) \iff X - x  = \dfrac{- f(x)}{f'(x)} \iff X = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$.
 
Dans le triangle $MLP$, on $\tan \alpha = \dfrac{PM}{PL} = \dfrac{f(x)}{\left|x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} - x \right|} = \dfrac{f(x)}{\left|- \dfrac{f(x)}{f'(x)}\right|} =$

$|- f'(x)| = |f'(x)|$.
\item  %Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

On a vu dans l'étude de la fonction $f'$ que celle-ci décroit de 

$f'(1) = 10(1 - 1)\text{e}^{-1} = 0$ à $- 1,35$ puis croissante  de $f'(2)$ à $f'(8) = 10(1 - 8)\text{e}^{-8} = - 70\text{e}^{-8} \approx - 0,023$.

Le maximum de la fonction $|f'(x)|$ est donc $1,35 \approx \tan 53,47$~\degres

Cette valeur est bien inférieure à la valeur 55~\degres. Le toboggan est conforme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par 
%
%\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]
%
%On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.
%
%On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par :
%
%\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]
%
%Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour
%une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline
Variables :		&$n$, $k$ entiers\\
				&$S$, \:$v$ réels\\
Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\
				&$v$ prend la valeur $\ln (2)$\\
				&$S$ prend la valeur $v$\\
Traitement :	& Pour $k$ variant de 2 à $n$ faire\\
				&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
				$v$ prend la valeur $\ln \left(2 - \text{e}^{v}\right)$\\
				$S$ prend la valeur $S + v$
				\end{tabular}\\
				&Fin Pour\\
Sortie :		& Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item %À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au
%dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$n$		&10	&100 	&\np{1000} 	& \np{10000} & \np{100000} 	& \np{1000000}\\ \hline
%$S_n$	&2,4&4,6	&6,9		&9,2		&11,5			&13,8\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la
%suite $\left(S_n\right)$.
D'après les valeurs affichées il semble que la suite $\left(S_n\right)$ soit croissante.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$.
On a $u_1 = \text{e}^{v_1} = \text{e}^{\ln (2)} = 2$.

Pour tout entier naturel $n$, \:$ u_{n+1} = \text{e}^{v_{n+1}}  =
\text{e}^{\ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right)}  = \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right) =$

$ 2 - \dfrac{1}{\text{e}^{v_n}} = 2 - \dfrac{1}{u_n} = u_{n+1}$.
\item  %Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
D'après le résultat précédent : 

$u_2 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ; 

$u_3 = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ ;

$u_4 = 2 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}$.
\item  %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.

Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation :} la relation est vraie pour $n = 4$ ;

\emph{Hérédité :} Soit un naturel $n > 4$ tel que $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.

On a $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n} = 2 - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2n + 2 - n}{n+1} = \dfrac{n+2}{n+1}$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $4$ et si elle est vraie à un rang au moins égal à $5$, elle est vraie au rang suivant ; d'après le principe de récurrence,
 pour tout entier naturel $n > 4$ , $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \text{e}^{v_n} \Rightarrow v_n = \ln u_n$.

De la question précédente on peut écrire :

$v_n = \ln \dfrac{n+1}{n} = \ln (n + 1) - \ln n$.
\item  %Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
$S_3 = v_1 + v_2 + v_3 = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$.
\item  %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
$S_n =  v_1 + v_2 + \cdots + v_n = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 + \cdots  + \ln n - \ln (n + 1) + \ln (n + 1) - \ln n  = \ln (n + 1)$.

On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$. La suite $\left(S_n\right)$ est divergente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2.

%Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
$A^2 = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 -18&-24+30\\12-15&-18+25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix}$.

$A + 2I = \begin{pmatrix}-4 + 2&6\\- 3& 5 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix} = A^2$.
\item  %En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme 

%$\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
En partant de l'égalité $A^2 = A + 2I$, on obtient en multipliant chaque membre par $A$ :

$A^3 = A(A + 2I) = A^2 + 2A = A + 2I + 2A = 3A + 2I$ et on recommence :

$A^4 = A\times A^3 = A(3A + 2I) = 3A^2 + 2A = 3(A + 2I) + 2A = 5A + 6I$.
\item  %On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul,

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\
%s_{n+1}&=&2r_n
%\end{array}\right.\]
%
%Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$.
Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation :} Pour $n = 0$, \: $A^0 = I  = 0A  + 1I = r_0A + s_0I$. la relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $p$ non nul, tel que $A^p = r_pA + s_pI$.

En multipliant chaque membre par $A$, on obtient :

$A \times A^p = A\left(r_pA + s_pI \right) \iff A^{p+1} = r_pA^2 + s_pA = r_p(A + 2I) + s_pA = $

$\left(r_p + s_p \right)A + 2r_pI = r_{p+1}A + s_{p+1}I$ : la relation est donc vraie au rang $p + 1$.

On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\:

$ A^n = r_nA + s_nI$.
\item  %Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
%$k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. 
On a pour tout entier naturel $n$  :

$k_{n+1} = r_{n + 1} - s_{n + 1} = r_n + s_n - 2r_n = s_n - r_n = -\left(r_n - s_n\right) = - k_n$.

L'égalité $k_{n+1}  = - k_n$ montre que la suite $\left(k_n\right)$ est géométrique de raison $- 1$.
%En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.

On sait qu'alors $k_n = k_0(- 1)^n = - (- 1)^n = (- 1)^{n+1}$.
\item  %On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

%$t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. 

On a donc $t_1 = r_1 + \dfrac{(- 1)^1}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

On sait qu'alors $t_n = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1}$
%En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
\item  %Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression
%explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
On a donc $r_n = t_n - \dfrac{(- 1)^n}{3} = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3}$.

Or  $s_n = r_n - k_n$, donc 

$s_n = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3} - (- 1)^{n+1} = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3} + (- 1)^{n} =$

$s_n =  \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} + \dfrac{2}{3}\times (- 1)^n$.
\item  %En déduire alors, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression des coefficients
%de la matrice $A^n$.

Finalement de $A^n = r_nA + s_nI = \begin{pmatrix}- 4r_n&6r_n\\- 3r_n&5r_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}s_n&0\\0&s_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 4 r_n + s_n&6r_n\\- 3r_n&5r_n + s_n\end{pmatrix}$, on en déduit les quatre coefficients de $A^n$.



$\bullet~~$$- 4r_n + s_n = - \dfrac{8}{3}2^{n-1} + \dfrac{4}{3} \times (- 1)^n  + \dfrac{2}{3}2^{n-1} + \dfrac{2}{3} \times (- 1)^n = - 2^n + 2\times (- 1)^n$ ;

$\bullet~~$$6r_n  = 2^{n+1} - 2 \times (- 1)^n$ ;

$\bullet~~$$- 3r_n = - 2^{n}  +  (- 1)^n$ ;

$\bullet~~$$5r_n + s_n = \dfrac{10}{3}2^{n-1} - \dfrac{5}{3}\times (- 1)^n +  \dfrac{2}{3}2^{n-1} + \dfrac{2}{3} \times (- 1)^n = 2^{n+1} - (- 1)^n$.

Conclusion : $A^n = \begin{pmatrix}- 2^n + 2\times (- 1)^n&2^{n+1} - 2 \times (- 1)^n\\- 2^{n}  +  (- 1)^n&2^{n+1} - (- 1)^n \end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe}

\vspace{0.75cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{center}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.275)(1.583,0)(7,1.111)(8.6,3.3)(2.1,2)%JILGP
\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE
\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF
\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH
\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} 
\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} 
\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} 
\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}\uput[r](7,1.111){L}\uput[l](2.1,2){P}
\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1)
\uput[u](7,2.2){F}
\end{pspicture}  
\end{center}



\end{document}