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% Tapuscrit et corrigé Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 19 juin 2019}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01. 

\medskip

%Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$ de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. 
% Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$~mois. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $\lambda = 0,1$.
On sait que E$(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 10 \iff \lambda = \dfrac{1}{10} = 0,1$. 
		\item %Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
On a $P(X \leqslant 6) = 1 - \text{e }^{- 0,1 \times 6} \approx 0,451$ soit 0,45 au centième près. Donc $P(X \geqslant 6) \approx 1 - 0,45$ soit 0,55.
		\item %Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première annéeb? Justifier.
La loi est sans vieillissement donc :

$P_{X \geqslant 6}(X \geqslant 12) =  P_{X \geqslant 6}(X \geqslant 6+6 = P(X \geqslant 6) \approx 0,55$ (question précédente).
		\item %Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. 
		
%Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier.
$t$ vérifie l'équation :

$P(X >t) = 0,05 \iff \text{e}^{-0,1t} = 0,05 \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $- 0,1t = \ln 0,05 \iff t = - 10 \times \dfrac{\ln 0,05} \approx 29,95$, soit 30 mois environ.  
	\end{enumerate}
\item  %La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55~g et 65~g. 

%On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$~g et $65$~g.
		On a $P(55 \leqslant M \leqslant 65)  = P(\mu - 2\sigma \leqslant M \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ (résultat connu sur la loi normale). 
		\item %Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
		Il faut trouver $m$ tel que $P(M \geqslant m) \geqslant 0,99 \iff P(M \leqslant m) \leqslant 0,01$.
		
		La calculatrice (grâce à la fonction inverse loi normale) fournit $m \approx 54$. 
	\end{enumerate}
\item  %Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. 

%Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier. 
Le commerçant fait l'hypothèse que la proportion d'acheteurs de glace à la vanille sera $p = \dfrac{2}{3}$ et il utilise un échantillon de taille $n = 120$.

Les conditions:

$\bullet~~$$n= 120 \geqslant 5$ ;

$\bullet~~$$np = 120 \times \dfrac{2}{3} = 80 \geqslant 5$ ;

$\bullet~~$$nn(1 - p) = 120 \times \dfrac{1}{3} = 40 \geqslant 5$

permettent l'établissement d'un intervalle de fluctuation :

$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right] = \left[\frac{2}{3} - 1,96\sqrt{\dfrac{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}{120}}~;~\frac{2}{3} + 1,96\sqrt{\dfrac{\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}}{120}} \right] =$

$ \left[\frac{2}{3} - 1,96\sqrt{\dfrac{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}{120}}~;~\frac{2}{3} + 1,96\sqrt{\dfrac{\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}}{120}} \right] $.

On obtient $I \approx [0,58~;~0,76]$.

Or la fréquence observée sur l'échantillon est $f = \frac{65}{120} \approx 0,54$.

Comme $0,54 \notin I$, avec un risque d'erreur de 5\,\%, l'hypothèse du commerçant doit être remise en cause.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%L'écoulement de l'eau d'un robinet a un débit constant et modéré. 
%
%\medskip
%
%\parbox{0.25\linewidth}{
%\scalebox{0.3}{
%\psset{unit=1cm,linewidth=3pt}
%\def\xmin{-6} \def\xmax{1.6} \def\ymin{-7} \def\ymax{6.3}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
%\psarc(-2,2.2){1.2}{0}{180}
%\psarc(-2,2.2){2.8}{0}{180}
%\psplot{0.2}{1}{x x -4 exp sub 20 div}
%\psplot{-0.2}{-1}{x -1 mul x -4 exp sub 20 div}
%\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
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%\psline[linestyle=dashed](0,\ymin)(0,\ymax)
%\end{pspicture*}
%}% fin du scalebox
%%\includegraphics[width=3cm]{robinet_Polynesie}~
%}\hfill
%\parbox{0.7\linewidth}{
%On s'intéresse en particulier à une partie du profil d'écoulement représentée en \textbf{annexe 1} par la courbe $C$ dans un repère orthonormé.
%}
%
%\bigskip
%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%

\textbf{Partie A}

\medskip 

%On considère que la courbe $C$ donnée en \textbf{annexe 1} est la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] qui respecte les trois conditions suivantes: 

\[(H):\: f(1) = 0\qquad  f'(1) = 0,25\quad \text{et} \:\: \displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ? 
Si $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a$,\,$b$,\,$c$ réels, on a $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = c$ ce qui contredit la troisième condition : $f$ n'est donc pas un trinôme du second degré.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle  ]0~;~1] par $g(x) = k \ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
Avec $g'(x) = \dfrac{k}{x}$ sur ]0~;~1] on a 

$\left\{\begin{array}{l c l}
g(1) &=& 0\\
g'(1)&=& 0,25\\
\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} g(x) &=& - \infty
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
k \ln 1&=&0\\
\dfrac{k}{1} &=& 0,25\\
\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} \dfrac{k}{x} &=& - \infty 
\end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&0\\
k&=&0,25\\
\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} 0,25\ln x &=& - \infty
\end{array}\right.$

Les trois conditions sont remplies par la fonction $g$ définie sur [0~;~1] par $g(x) = 0,25 \ln x$.
		 
		\item %La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
On a $g(0,5) = 0,25 \ln 0,5 \approx - 0,17$ et sur $C$ le point d'abscisse 0,5 a pour ordonnée $-0,75$ environ. Donc la courbe représentative de la fonction $g$  ne coïncide pas  avec la courbe $C$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1] par $h(x) = \dfrac{a}{x^4} + bx$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

%Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $h$ respecte les trois conditions $(H)$.
Avec $h'(x) = - \dfrac{4a}{x^5} + b$, on a  

$\left\{\begin{array}{l c l}
h(1) &=& 0\\
h'(1)&=& 0,25\\
\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} h(x) &=& - \infty 
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a + b &=& 0\\
-4a + b&=& 0,25\\
\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} \dfrac{a}{x^4} + bx &=& - \infty
\end{array}\right.$

Par différence des deux premières équations on trouve $5a = -0,25 = - \dfrac{1}{4} \iff a = -\dfrac{1}{20}$ et la première équation donne $b =  \dfrac{1}{20}$.

On a bien $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} \dfrac{a}{x^4} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} bx = 0$, donc $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}  h(x) = - \infty$.

Conclusion la fonction $h$ définie sur ]0~;~1] par $h(x) = - \dfrac{1}{20x^4} + \dfrac{x}{20}$ vérifie les trois conditions.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

%On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] d'expression: 

\[f(x) = \dfrac{1}{20}\left(x - \dfrac{1}{x^4} \right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'équation $f(x) = - 5$ admet sur l'intervalle ]0~;~1] une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
La fonction $f$ différence de fonctions dérivables sur ]0~;~1] est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = \dfrac{1}{20}\left(1 + \dfrac{4}{x^5} \right)$.

Sur ]0~;~1] les deux termes de cette somme sont supérieurs à zéro, donc la dérivée est strictement positive : la fonction $f$ est donc strictement croissante de moins l'infini (car $\displaystyle\lim_{x \to 0} - \dfrac{1}{x^4} = - \infty$) à $f(1) = \dfrac{1}{20}(1 - 1) = 0$.

La fonction $f$ étant continue il existe donc un réel unique $\alpha$  de ]0~;~1] tel que $f(\alpha) = - 5$.

On a $f(0,3) = \dfrac{1}{20}\left(0,3 - \dfrac{1}{0,3^4} \right) \approx - 6,2$

et $f(0,4) = \dfrac{1}{20}\left(0,4 - \dfrac{1}{0,4^4} \right) \approx - 1,9$, 

donc $0,3 < \alpha < 0,4$. 

$f(0,32) \approx - 4,75$ et $f(0,31) \approx - 5,4$, donc 

\[0,31 < \alpha < 0,32.\] 
\item  %On admet que le volume d'eau en cm$^3$, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $V = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $u$ la fonction dérivable sur ]0~;~1] définie par $u(x) = \dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
$u$ est dérivable sur ]0~;~1] comme inverse de la fonction $v$ définie sur ]0~;~1] par $v(x) = 2x^2$.

On a $u'(x) = - \dfrac{v'}{v^2} = - \dfrac{4x}{4x^4} = -\dfrac{1}{x^3}$.
		\item %Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.
$V = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 \times \dfrac{1}{20}\left(1 + \dfrac{4}{x^5} \right)\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{\alpha}^1\dfrac{\pi}{20} \left(x^2 + \dfrac{4}{x^3}\right)\:\text{d}x = \dfrac{\pi}{20} \left(\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{4}{2x^2}\right)_{\alpha}^1 = \dfrac{\pi}{20} \left(\dfrac{1^3}{3} - \dfrac{4}{2}\right) - \dfrac{\pi}{20} \left(\dfrac{\alpha^3}{3} - \dfrac{4}{\alpha}\right) = \dfrac{\pi}{20} \left(- \dfrac{5}{3} - \dfrac{\alpha^3}{3} + \dfrac{4}{2\alpha^2}\right) = \dfrac{\pi}{20} \left(- \dfrac{5}{3} - \dfrac{\alpha^3}{3} + \dfrac{2}{\alpha^2}\right)$.

Avec $\alpha \approx 0,31$ on obtient 3,006 et avec $\alpha \approx 0,32$ on obtient 2,804.

Donc $2,804 < V < 3,006$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d}x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul 

 \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $I_0 = \ln (2)$. 
$I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d}x$.

Sur l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$, la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{1 - x}$ est la dérivée de la fonction $x \longmapsto - \ln (1 - x)$, donc 

$I_0 = [- \ln (1 - x)]_0^{\frac{1}{2}} : - \ln \frac{1}{2} + \ln 1 = - (- \ln 2) + 0 = \ln 2$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $I_0 - I_1$.
$I_0 - I_1 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x}{1 - x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1 - x}{1 - x}\:\text{d}x$ (par linéarité de l'intégrale), donc 

$I_0 - I_1 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}1\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$.
		\item  %En déduire $I_1$. 
		
$I_0 - I_1 = \dfrac{1}{2} \iff I_1 = I_0 - \dfrac{1}{2} = \ln 2 - \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
Quel que soit le naturel $n$ :
		
$I_n - I_{n+1}  = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d}x - I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{n+1}}{1 - x}\:\text{d}x$ et par linéarité de l'intégrale :

$I_n - I_{n+1} =\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{x^n}{1 - x} - \dfrac{x^{n+1}}{1 - x}\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{x^n - x^{n+1}}{1 - x}\:\text{d}x =  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}x^n\dfrac{1 - x}{1 - x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}x^n\:\text{d}x \left[\dfrac{x^{n+1}}{n + 1} \right]_n^{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
		\item ~%Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$I \gets \ln 2$\\
$k \gets 0$\\
Tant que $k < n$ faire\\
\hspace{0.9cm} $k \gets k+1$\\
\hspace{0.9cm} $I \gets I - \dfrac{0,5^k}{k}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $I$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}	 
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant  I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
On sait que les intégrales de ces trois fonctions positives sont rangées dans le même ordre que ces fonctions, donc 

$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} 0\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\:\text{d}x$ soit :

$0 \leqslant I_n \leqslant \left[\dfrac{x}{2^{n-1}} \right]_0^{\frac{1}{2}}$ et enfin $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
		
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On sait que $0 < \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n= 0$, donc d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = 0$.
	\end{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

%\[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = I_0 - I_n$.
Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$\emph{Initialisation} : $S_1 = \dfrac{1}{2} = I_0 - I_1$ (démontré à la question \textbf{2. a.} : la relation est vraie au rang $n = 1$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} Supposons que pour un naturel $n \geqslant 1$, on ait :

$S_n = I_0 - I_n$, alors $S_{n+1} = S_n + \dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} = I_0 - I_n + \dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} = I_0 - I_n + \left(I_n - I_{n+1} \right)$ (résultat \textbf{3. a.}). Donc :

$S_n = I_0 - I_n + I-n - I_{n+1} = I_0 - I_{n+1}$ : l'égalité est vraie au rang $n + 1$.

On a démontré que la relation est vraie au rang 1 et que si elle est vraie à un rang supérieur ou égal à 1, elle est vraie au rang suivant : d'après l'axiome de récurrence, pour $n \geqslant 1$, $S_n = I_0 - I_n$. 
		\item %Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a vu à la question \textbf{4. b.} que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = I_0 = ÷ln 2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité }

\medskip

%Sur la figure donnée en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} : 
%
%$\bullet~~$ ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 12$, AD $= 18$ et AE $= 6$
%
%$\bullet~~$ EBDG est un tétraèdre. 
%
%\medskip. 
%
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12~;~0~;~0), 
%D(0~;~18~;~0) et E(0~;~0~;~6). 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 36 = 0$. 
Les trois points E, B et D appartenant aux trois axes de coordonnées et n'étant pas confondues avec O, le plan (EBD) existe et a une équation de la forme :

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{EBD}) \iff ax + by + cz = d, \:\text{avec }\: a, b, c\: \text{et}\: d\: \text{réels}.\]

Donc : 

E$(0~;~0~;~6) \in (\text{EBD}) \iff  6c = d \iff c = \dfrac{d}{6}$ ;

B$(12~;~0~;~0) \in (\text{EBD}) \iff 12a = d \iff a = \dfrac{d}{12}$ ;

D$(0~;~18~;~0) \in (\text{EBD}) \iff  18b = d \iff b = \dfrac{d}{18}$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{EBD}) \iff \dfrac{d}{12}x + \dfrac{d}{18}y +  \dfrac{d}{6}z = d \iff \dfrac{1}{12}x + \dfrac{1}{18}y +  \dfrac{1}{6}z = 1 \iff \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}y +  z = 6 \iff 3x + 2y + 6z = 36$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
G a même abscisse que B, même ordonnée que D et même cote que E, donc G(18~;~6~;~12). On a donc $\vect{\text{AG}}\begin{pmatrix} 12\\18\\6\end{pmatrix}$.
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AG}) \iff $ il existe $t \in \R, \: \vect{\text{A}M} = t \vect{\text{AG}}$ c'est-à-dire si, avec $\vect{\text{A}M} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$:

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&12t\\
y&=&18t\\
z&=&6t
\end{array}\right.$
		\item %En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4~;~6~;~2).
Le point K$(x~;~y~;~z)$ existe si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite (AG) et l'équation du plan (EBD) soit si le système suivant a au moins une solution :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&12t\\
y&=&18t\\
z&=&6t\\
3x + 2y + 6z &=& 36
\end{array}\right. \Rightarrow$ (en remplaçant dans la dernière équation)

$3\times 12t + 2\times 18t + 6\times 6t = 36 \iff 36t + 36t + 36t = 36 \iff 108t = 36 \iff 6\times 18t = 6\times 6 \iff 18t = 6 \iff t = \dfrac{1}{3}$.

En reportant on obtient $x = 12 \times \dfrac{1}{3} = 4,\:y = 18 \times \dfrac{}{3} = 6,\:z = 6\times \dfrac{1}{3} = 2$.

Donc K(4~;~6~;~2)
	\end{enumerate}
\item %La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier. 
Un vecteur $\vect{n}$ normal au plan (EBD) a pour coordonnées $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$.

La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) si $\vect{n}$ et $\vect{\text{AG}}$ sont colinéaires ce qui est manifestement faux puisque $12 = 3 \times 4$, \: $18 = 2 \times 9$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.
E(0~;~0~;~6) et D(0~;~18~;0), donc M(0~;~9~;~3).

On a donc $\vect{\text{BK}}\begin{pmatrix}- 8\\6\\2 \end{pmatrix}$ et $\vect{\text{BM}}\begin{pmatrix}- 12\\9\\3 \end{pmatrix}$.

On a  $\vect{\text{BM}} = 1,5\vect{\text{BK}}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les points B, K et M sont alignés.
		\item %Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie.
On trace [AH] qui coupe [DE] en son milieu M car ADHE est un rectangle.

Le point K appartient à la droite (AG)  et d'après la question précédente à la droite (BM) : il est à l'intersection de ces deux droites. (voir la figure à la fin)
	\end{enumerate}
\item  %On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED). 
Les deux plans (ADE) et P sont parallèles : ils sont coupés par un troisième plan (EBD) selon deux droites parallèles ; le plan P coupe donc le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).		
		\item %Construire alors sur l'\textbf{annexe 2} à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
La parallèle à la droite (ED) passant par K est tracée en tireté (voir la figure à la fin). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: 


$u_0 = 1,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$,\: $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 

\medskip

\textbf{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|}\hline
$n$		&0	&1	&2	&3	&4&5&6	&7	&8			&9&10		&11		   &12\\ \hline 
$v_n$	&0	&1	&4	&15	&56	&209&780&\np{2911}	&\np{10864}	&\np{40545}&\np{151316}&\np{564719}&\np{2107560}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
D'après le tableau il semble que les chiffres des unités de $v_n$ soient de façon cyclique : 0,\:1\;4,\:5,\:6,\:9. 
\item %On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\
%v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n
%\end{array}\right.$. 
On a $M^2 = \begin{pmatrix}4 + 3&6 + 6\\2 + 2&3 + 4&\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&12\\4 &7\end{pmatrix}$, puis 

$M^3 = M^2 \times M = \begin{pmatrix}14 + 12&21 + 24\\8 + 7&12 + 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26&45\\15&26 \end{pmatrix}$.

L'égalité (admise) $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$ se traduit donc par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\
v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n
\end{array}\right.$ quel que soit le naturel $n$.
 
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$. 
Du dernier résultat précédent on déduit que $15u_n \equiv 0\:[5]$ et par conséquent que $v_{n+3} \equiv 26v_n \:[5]$ et enfin que $v_{n+3} \equiv v_n\:[5]$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.
\emph{Initialisation }: pour $q = 0$, on a $v_r \equiv v_r\:[5]$ = l'équivalence est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : supposons que pour $q \in \N$, on ait $v_{3q + r} \equiv v_r \:[5]$.

Alors $v_{3(q + 1) + r} = v_{3q + 3 + r} = v_{3q + r + 3} \equiv v_{3q + r}\: [5]$ d'après la question précédente.

On a donc $v_{3(q + 1) + r}  \equiv v_{3q + r}\:[5]$ : l'équivalence est vraie au rang $q + 1$.

L'équivalence est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $q$ quelconque elle est vraie au rang suivant : d'après le principe de récurrence on a donc pour tout naturel $q$ : $v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.   
\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5. 
$\bullet~~$avec $r = 0$, l'équivalence précédente donne $v_{3q} \equiv v_0\:[5]$, soit $v_{3q} \equiv 0\:[5]$ ;

$\bullet~~$avec $r = 1$, l'équivalence précédente donne $v_{3q + 1} \equiv v_1\:[5]$, soit $v_{3q} \equiv 1\:[5]$ ;

$\bullet~~$avec $r = 2$, l'équivalence précédente donne $v_{3q+2} \equiv v_2\:[5]$, soit $v_{3q} \equiv 4\:[5]$.
\item %Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·
On a donc montré que pour tout naturel $n$, $u_n$ est congru à 0 ou 1 ou 4 modulo 5.
On a donc $v_n = 5p + 0$ ou $v_n = 5p + 1$, ou $v_n = 5p + 4$.

$\bullet~~$si $p$ est pair, $p = 2q$, alors :

$v_n = 10q + 0$, ou $v_n = 10q + 1$, ou $v_n = 10q + 4$, ce qui signifie que $v_n$ est congru à 0, 1 ou 4 modulo 5 ;

$\bullet~~$si $p$ est impair, $p = 2q + 1$, alors :

$v_n = 10q + 5$, ou $v_n = 10q + 6$, ou $v_n = 10q + 9$, ce qui signifie que $v_n$ a pour chiffre des unités 5, 6 ou 9.

Finalement le chiffre des unités de $v_n$ est 0, 1, 4, 5 ,6,  9.

L'ensemble des ces valeurs est donc $\{0~;~1~;~4~;~5~;~6~;~9\}$
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip 

%L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$. 
%
%\medskip
%
%Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $q < p < 2q$.
On sait que $1 < \sqrt{3} < 2$, donc $1 < \dfrac{p}{q} < 2 \iff q < p < 2q$. 
\item %On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). 

%Soit le couple $(p'~;~q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.

Si $M^{-} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, on a $M = M^{-1} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
2a + 3c	&=&1\\
2b + 3d	&=&0\\
2a + 2c	&=&0\\
2b + 2d &=&1
\end{array}\right.$.

On obtient de la première et de la troisième équation par différence $c = 1$, puis $a = - 1$ et de même $d = 2$ et $b = - 3$.

Donc $M  = \begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$ 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$ 
$\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ entraîne $p' = 2p - 3q$ et $q' = - p + 2q$.
		\item %Justifier que $(p'~;~q')$  est un couple d'entiers relatifs.
		Puisque $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls les relations de la question précédente montrent que $p'$ et $q'$ sont des entiers. relatifs. 
		\item %On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$.
Soit $\alpha \in \R$ tel que $p' = \alpha q'$.

$p' = \alpha q' \iff 2p - 3q = \alpha(-p + 2q) \iff (2 + \alpha)p = (3 + 2\alpha)q$.

Mais $\dfrac{p}{q}  = \sqrt{3} \iff p = q\sqrt{3}$, donc

$(2 + \alpha)q\sqrt{3} = (3 + 2\alpha)q \iff \sqrt{3}(2 + \alpha) = 3 + 2\alpha \iff \alpha(2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 \iff $

$\alpha(2 - \sqrt{3})
= \sqrt{3}(2  - \sqrt{3}) \iff \alpha = \sqrt{3}$.

On a donc $p' = q'\sqrt{3}$.
		\item %Montrer que $0 < q' < q$.
On a vu à la question \textbf{1.} que $q < p < 2q \iff 2q < 2p < 4q \iff - q < 2p - 3q < q \iff - q < p' < q$.
		
De plus $q' = -p + 2q = -\sqrt{3}q + 2q = \left(2 - \sqrt{3}\right)q$ : $q'$ est le produit de deux facteurs supérieurs à zéro : donc $q' > 0$.

Finalement : $0 < q' < q$. 
		\item %En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel.
On a supposé que $\dfrac{p}{q} = \sqrt{3}$, la fraction étant irréductible et $q$ le plus petit possible et on trouvé que dans ce cas $\sqrt{3} = \frac{p'}{q'}$ donc un autre quotient avec $q' < q$ : ceci est contradictoire   : l'hypothèse initiale est fausse.

Conclusion $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (exercice 2) :}

\medskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.25}{1}{x x 4 neg exp sub 20 div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.25}{1}{x 20 div 1 x 4 exp 20 mul div  sub}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt]
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 2 (exercice 4 pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité) : à rendre avec la copie }

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(8.1,6.1)
%\psgrid
\psframe(8,4)%ABFE
\psline(8,0)(9,1.5)(9,5.5)(8,4)%BCGF
\psline(9,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
\psline(9,5.5)(0,4)(8,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(9,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](8,0)(1,1.5)(9,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](8,0){B} \uput[r](9,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} 
\uput[l](0,4){E} \uput[r](8,4){F} \uput[r](9,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,0)(1,5.5)
\uput[r](0.5,2.75){M}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0.5,2.75)(8,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0,0)(9,5.5)
\uput[u](3,1.8){K}
\psline[linestyle=dashed](2.667,2.667)(3.333,1)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}

