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% Tapuscrit Denis Vergès / Jean-Paul GOUALARD
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small 19 juin 2019}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01. 

\medskip

Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. 
Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$~mois. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $\lambda = 0,1$. 
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
		
$E(X)=10\iff \dfrac{1}{\lambda}=10\iff \lambda=\dfrac{1}{10}=0,1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lambda=0,1}}$.
		
		\item %Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
Si $F$ est la fonction de répartition de X, on saut que $F(t)=P(0\leqslant X\leqslant t)=\int_0^tf(x)\text{ d}x$

$=\left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_0^t=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$.

Alors : $P(X\geqslant t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ donc $P(X> 6)=\mathrm{e}^{-6\lambda}=\mathrm{e}^{-0,6}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,55}}$.
		
La probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à 0,55.

		\item %Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fin de la première année ? Justifier. 
Une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement, donc 

$P_{X> 6}(X> 12)=P(X> 6)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,55}}$.
		
Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fin de la première année est environ égale à 0,55.

		\item Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. 
		
%Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier. 
$P(X>t)=0,05\iff \mathrm{e}^{-\lambda t}=0,05\iff -\lambda t=\ln(0,05)\iff t=\dfrac{\ln(0,05)}{-\lambda }=\dfrac{\ln(0,05)}{-0,1}\approx \boxed{\textcolor{red}{30}}$.

Il faut 30 mois pour que la probabilité que l'appareil dépasse ce temps de fonctionnement soit égal à 0,05. 
	\end{enumerate}
	
\item  La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55~g et 65~g. 

On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$~g et $65$~g. 
		$\mu=60$~;~$\sigma=2,5$. $P(55\leqslant M\leqslant 65)=P(\mu-2\sigma\leqslant M\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,954$ (d'après le cours) ; $\boxed{\textcolor{red}{P(55\leqslant M\leqslant 65)\approx 0,95}}$.
		
		\item %Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$. 
$P(M\geqslant m)=0,99\iff P(M<m)=0,01$. À la calculatrice, on trouve  : $\boxed{\textcolor{red}{m\approx 54}}$
	\end{enumerate}
	
\item  Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. 

%Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier. 
La taille de l'échantillon est $n=120$ et la proportion théorique de personnes choisissant une glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.

On a : $n=120\geqslant 30$ ; $np=80\geqslant 5$ et $n(1-p)=40\geqslant 5$.

On peut alors utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95.

$I_{120}=\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\times \dfrac{\frac29}{\sqrt{120}}~;~\dfrac{2}{3}+1,96\times \dfrac{\frac29}{\sqrt{120}}\right]\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,58~;~0,76]}}$.

La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\dfrac{13}{24}\approx 0,54 \notin I_{120}$.

Avec un risque d'erreur de 5\:\%, \textbf{\textcolor{red}{on peut remettre en cause}} l'affirmation du distributeur.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

L'écoulement de l'eau d'un robinet a un débit constant et modéré. 

\medskip

\parbox{0.25\linewidth}{
\scalebox{0.3}{
\psset{unit=1cm,linewidth=3pt}
\def\xmin{-6} \def\xmax{1.6} \def\ymin{-7} \def\ymax{6.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
\psarc(-2,2.2){1.2}{0}{180}
\psarc(-2,2.2){2.8}{0}{180}
\psplot{0.2}{1}{x x -4 exp sub 20 div}
\psplot{-0.2}{-1}{x -1 mul x -4 exp sub 20 div}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
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\psline[linestyle=dashed](0,\ymin)(0,\ymax)
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
%\includegraphics[width=3cm]{robinet_Polynesie}~
}\hfill
\parbox{0.7\linewidth}{
On s'intéresse en particulier à une partie du profil d'écoulement représentée en \textbf{annexe 1} par la courbe $C$ dans un repère orthonormé.
}

\bigskip
%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

On considère que la courbe $C$ donnée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] qui respecte les trois conditions suivantes: 

\[(H):\: f(1) = 0\qquad  f'(1) = 0,25\quad \text{et} \:\: \displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty.\]

\begin{center}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.25,-5.5)(1.25,1.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.25}{1}{x x 4 neg exp sub 20 div}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt]
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ? 
Non, $f$ ne peut pas être une fonction polynôme du second degré ! En effet, si $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$), $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}=c\neq -\infty$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle  ]0~;~1] par $g(x) = k \ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g(1)=k \ln 1=0$

\item $g'(x)=\dfrac{k}{x}$ donc $g'(1)=0,25\iff k=0,25$ d'où $g(x)=0,25\ln x$.

\item $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}g(x)=\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}\left(0,25 \ln x\right)=-\infty$
\end{enumerate}
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=0,25 \ln x}}$.

		\item %La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ? 
		$g(0,25)=0,25\ln(0,25)\approx -0,35$ alors que sur la courbe, $f(0,25)<-5$ donc les deux courbes ne coïncident pas.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1] par $h(x) = \dfrac{a}{x^4} + bx$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

%Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $h$ respecte les trois conditions $(H)$. 
On a : $h(x)=-\dfrac{4a}{x^5}$.

$\begin{cases}h(1)=0\\h'(1)=0,25\end{cases}\iff \begin{cases}a+b=0\\4a+b=0,25\end{cases}\iff \begin{cases}-5a=0,25\\a+b=0\end{cases}\iff \begin{cases}a=-0,05\\b=0,05\end{cases}$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=-\dfrac{0,05}{x^4}+0,05x}}$.\\
Il est clair alors que $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}h(x)=-\infty$.
\end{enumerate}

\newpage

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip  

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d'une fonction $f$continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~1] d'expression: 

\[f(x) = \dfrac{1}{20}\left(x - \dfrac{1}{x^4} \right).\]
On remarque que c'est l'expression trouvée précédemment.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'équation $f(x) = -5$ admet sur l'intervalle ]0~;~1] une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
Sur $]0~;~1]$, $f$ st continue, $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=-\infty$ et $f(1)=0$.\\
L'intervalle image $]-\infty~;~0]$ contient le nombre $-5$.

D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $f(x)=-5$ admet au moins une solution.

$f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)>0$ sur $]0~;~1]$ donc $f$ est croissante sur cet intervalle. L'équation $f(x)=-5$ admet donc une unique solution, que l'on note $\alpha$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 0,32}}$

\item  On admet que le volume d'eau en cm$^3$, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $V =\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x$. 

	\begin{enumerate}
		\item Soit $u$ la fonction dérivable sur ]0~;~1] définie par $u(x) = \dfrac{1}{2x^2}$. %Déterminer sa fonction dérivée. 
		$u(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^2}$ donc
		
		$u'(x)=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{x^3}}}$.
		
		\item %Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$. 
$V=\int_{\alpha}^1\pi x^2\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\text{ d}x=\dfrac{\pi}{20}\int_{\alpha}^1\left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\text{ d}x=\dfrac{\pi}{20}\left[\dfrac{x^3}{3}-4\times \dfrac{1}{2x^2}\right]_{\alpha}^1=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-2-\left(\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\right)\\
		=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{20}\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{2}{\alpha^2}\right)}}$.
		
$\boxed{\textcolor{red}{V\approx 2,8\text{ cm}^3}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 =\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul 

\[I_n =\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $I_0 = \ln (2)$. 
On pose $f_0(x)=\dfrac{1}{1-x}$ ; on pose $u(x)=1-x$ donc $u'(x)=-1$.\\
Alors $f_0=-\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)>0$ sur $\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.\\
Une primitive de $f_0$ est donc $F_0=-\ln u$ donc $F(x)=-\ln(1-x)$.\\
$I_0=F\left(\dfrac{1}{2}\right)-F(0)=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)+\ln 1=\ln 2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I_0=\ln 2}}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $I_0 - I_1$.
		$I_0-I_1=\int_0^{\frac12}\dfrac{1}{1-x}\text{ d}x-\int_0^{\frac12}\dfrac{x}{1-x}\text{ d}x=\int_0^{\frac12}\dfrac{1-x}{1-x}\text{ d}x$ (linéarité)\\
$=\int_0^{\frac12}1\text{ d}x=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I_0-I_1=\dfrac{1}{2}}}$.

		\item  %En déduire $I_1$.  
		On en déduit $I_1=I_0-\dfrac{1}{2}=\ln 2-\dfrac{1}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{I_1=\ln 2-\dfrac{1}{2}}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$. 
		Pour tout $n$ : $I_n-I_{n+1}=\int_0^{\frac12}\dfrac{x^n}{1-x}\text{ d}x-\int_0^{\frac12}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\text{ d}x=\int_0^{\frac12}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\text{ d}x$ (linéarité)\\
		$=\int_0^{\frac12}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\text{ d}x=\int_0^{\frac12}x^n\text{ d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{\frac12}=\dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}}}$. 
		
		\item %Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$. 
		On peut utiliser l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
$I\gets \ln ( 2 )$&\\
Si  $n > 0$&\\
&Pour  $k$  allant de  $0$  à  $n-1$  faire \\
& $I \gets I -\dfrac{\left(\frac12\right)^{k+1}}{k+1}$\\
&Fin Pour\\
Fin Si&\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant  I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
Par conservation de l'ordre :
		
$0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\Rightarrow \int_0^{\frac12}0 \leqslant \int_0^{\frac12}\dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \int_0^{\frac12}\dfrac{1}{2^{n-1}}\Rightarrow 0\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\int_0^{\frac12}1\text{ d}x=\dfrac{1}{2^n}$.

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{2^n}}}$.
		
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 
		$2>1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}2^n=+\infty$ d'où : $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2^n}=0$.
		
D'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0}}$
	\end{enumerate}
	
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

\[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]


	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel n non nul, $Sn = I_0 - I_n$. 
		Montrons par récurrence que : $Sn = I_0 - I_n$ :
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initisalisation}} : Pour $n=1$ : $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}$ (question 2. (a)) et $S_1=\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{S_1=I_0-I_1}}$ ; la propriété est \textbf{\textcolor{blue}{initialisée}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque :\\
donc $Sn = I_0 - I_n$.\\
Alors : $S_{n+1}=S_n+\dfrac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{n+1}=I_0-I_n+\dfrac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{n+1}=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{n+1}\right)=\boxed{\textcolor{red}{I_0-I_{n+1}}}$.\\
La propriété est donc \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

		\item %Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers $+\infty$. 
		Pour tout $n\geqslant 1$, $S_n=I_0-I_n$ ; or $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n=I_0=\boxed{\textcolor{red}{\ln 2}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\subsection{\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité }

\medskip
Figure complétée à la fin de l'exercice :

$\bullet~~$ ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 12$, AD $= 18$ et AE $= 6$

$\bullet~~$ EBDG est un tétraèdre. 

\medskip. 

L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12~;~0~;~0), 
D(0~;~18~;~0) et E(0~;~0~;~6). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 36 = 0$. 
$3x + 2y + 6z - 36 = 0$ est une équation cartésienne de plan.\\
E, B et D ne sont pas alignés donc définissent un plan.\\
$3x_E + 2y_E + 6z_E - 36=3\times 0 + 2\times 0 + 6\times 6 - 36  =0$\\
$3x_B + 2y_B + 6z_B - 36=3\times 12 + 2\times 0 + 6\times 0 - 36  =0$\\
$3x_D + 2y_D + 6z_D - 36=3\times 0 + 2\times 18 + 6\times 0 - 36  =0$\\
Les coordonnées de E, B et D vérifient cette équation de plan.\\
Ces points E, B et D appartiennent à ce plan, donc le plan (EBD) a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{3x + 2y + 6z - 36 = 0}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG). 
		Le vecteur $\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}12\\18\\6\end{pmatrix}$.
		
		Une représentation paramétrique de la droite (AG) est alors $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=12t\\y=18t\\z=6t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$.
		
		\item %En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4~;~6~;~2) . 
On cherche les coordonnées de K, point d'intersection de (AG) et de (EBD).
		
On résout alors le système $\begin{cases}x=12t\\y=18t\\z=6t\\3x + 2y + 6z - 36 = 0\end{cases}$.
		
On en déduit $3\times 12t+2\times 18t+6\times 6t-36=0\iff 108t=36\iff t=\dfrac{1}{3}$.
		
On en déduit K$\left(4~;~6~;~2\right)$.
	\end{enumerate}
	
\item  %La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier. 
Un vecteur normal au plan (EBD) est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$. Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AG}$ (même troisième coordonnée, mais autres coordonnées différentes) donc (AG) n'est pas orthogonale au plan (EBD).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés. 
		M est le milieu du segment [ED]. M$\left(0~;~9~;~3\right)$.
		
		Alors : $\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}-12\\9\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-8\\6\\2\end{pmatrix}$.
		
Il est alors clair que $\overrightarrow{BK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}$ donc ces deux vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

B, K et M sont bien alignés.

		\item %Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie. 
		Le point K  est donc le point d’intersection des droites  ( AG)  et  ( BM).
	\end{enumerate}
	
\item  On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).  
Les plans  (AED )  et  (EBD)  se coupent selon la droite  ( ED ) . Le plan  P  est parallèle au plan  ( AED )  et passe par le point  K . Le point  K  appartient donc aux plans  (EBD )  et  P . Par conséquent l’intersection du plan  P  et du plan  ( EBD )  est une droite parallèle à la droite  (ED)  passant par le point K.

		\item %Construire alors sur l'\textbf{annexe 2} à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG. 
		Figure.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(8.1,6.1)
\psframe(8,4)%ABFE
\psline(8,0)(9,1.5)(9,5.5)(8,4)%BCGF
\psline(9,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
\psline(9,5.5)(0,4)(8,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(9,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](8,0)(1,1.5)(9,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](8,0){B} \uput[r](9,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} 
\uput[l](0,4){E} \uput[r](8,4){F} \uput[r](9,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.5,2.75)%K
\uput[r](0.5,2.75){M}%K
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](8,0)(0.5,2.75)%droite (BM)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](9,5.5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.5,2.75)%M
\uput[r](0.5,2.75){M}%M
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](3,1.9)
\uput[ur](3,1.9){K}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3.399,1.055)(2.741,2.69)%L et N
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt,linestyle=dashed](3.399,1.055)(2.741,2.69)%[LN]
\uput[u](2.81,2.79){L}
\uput[d](3.46,1.04){N}
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill  5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$  et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: 


$u_0 = 1,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$,\: $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 

\medskip

\textbf{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip 

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|}\hline
$n$		&0	&1	&2	&3	&4&5	&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline 
$v_n$&0		&1	&4	&15	&56		&209&780&\np{2911}&\np{10864}&\np{40545}&\np{151316}&\np{564719}&\np{2107560}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$. 
Il semble que le chiffre des unités de $v_n$ appartienne à l'ensemble $\{0~;~1~;~4~;~5~;~6~;~9\}$.

\item On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item J%ustifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\
%v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n
%\end{array}\right.$. 
D'après la calculatrice : $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.\\
On en déduit $\begin{cases}u_{n+3}=26u_n + 45v_n\\v_{n+3}=15u_n + 26v_n\end{cases}$.

		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$. 
		$15\equiv 0\:[5]$ et $26\equiv 1\:[5]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+3}\equiv v_n\:[5]}}$.
	\end{enumerate}
	
\item %Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.  
Soit  $r$  un entier naturel fixé. Montrons par récurrence sur l’entier naturel  $q$  que $v_{3q+r}\equiv v_r\:[5]$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Si  $q = 0$,  alors  $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r\:[5]$.\\
La propriété est \textbf{\textcolor{blue}{initialisée}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose la propriété vraie au rang  $q$.

Donc  $v_{3q+r}\equiv v_r\:[5]$.

Montrons qu’elle encore vraie au rang  $q+1$ , c’est-à-dire que  $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r\:[5]$ soit encore  $v_{3q+r+3}\equiv v_r\:[5].$

D’après la question précédente, en prenant  $n=3q+r$ , on a  $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}\: [5]$ . D’après l’hypothèse de récurrence on a  $v_{3q+r}\equiv v_r\:[5]$.

Par conséquent  $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r\:[5]$.

La propriété est vraie au rang  $q + 1$, donc elle est \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $q$.

\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5. 
Ainsi, pour tout entier naturel  $q$  on a :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $v_{3q}\equiv v_0\: [5]$  soit  $v_{3 q}\equiv 0\: [5]$

\item $v_{3q+1}\equiv v_1\:[5]$ soit  $v_{3q+1}\equiv 1\:[5]$

\item $v_{3q+2}\equiv v_2\:[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4[5]$.
\end{enumerate}
On obtient ainsi tous les termes de la suite, donc on en conclut que pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.

\item %Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·
On en déduit que $u_n$ est congru à 0~;~1~;~4~;~5~;~6 ou 9 modulo 10, donc le chiffre des unités est une de ces cinq valeurs.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip 

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$. 

\medskip

Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $q < p < 2q$. 
On a $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ ; comme $\sqrt{3}>1$, on a $p<q$.

On a aussi : $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\Rightarrow 3=\dfrac{p2}{q^2}\Rightarrow q^2=3p^2<4p^2\Rightarrow q<2p$.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{q<p<2q}}$.

\item  %On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). 
$\boxed{\textcolor{red}{M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$.

Soit le couple $(p'~;~q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$ 
		$\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix}p'\:q'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\iff \begin{cases}p'=2p-3q\\q'=-p+2q\end{cases}$
		\item %Justifier que $(p'~;~q')$  est un couple d'entiers relatifs. 
		$p$ et $q$ sont des entiers, donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers relatifs.
		
		\item %On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$. 
On a : $q'=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=(2-\sqrt{3})q$ donc $q=\dfrac{q'}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{q'(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$=\boxed{\textcolor{red}{q'(2+\sqrt{3})}}$.

Alors : $p'=2p-3q=2q\sqrt{3}-3q=(2\sqrt{3}-3)q=(2\sqrt{3}-3)(2+\sqrt{3})q'=\sqrt{3}q'$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p'=\sqrt{3}q'}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}=\dfrac{p'}{q'}}}$.

		\item %Montrer que $0 < q' < q$. 
		On a trouve  à la question 1. : $q<p<2q$.
		
		$q<p<2q\Rightarrow -2q<-p<-q\Rightarrow 0<-p+2q<q\Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{0<q'<q}}$.
		
		\item %En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel. 
		On a supposé au départ que $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels, $q$ le plus petit possible.
		Or, on vient de trouver qu'alors, on avait $\sqrt{3}=\dfrac{p'}{q'}$, avec $q'$ entier naturel et $0<q'<q$.
		
$q$ n'était donc pas le plus petit entier naturel possible, d'où une \textbf{\textcolor{red}{contradiction}}.
		
$\sqrt{3}$ n'est donc pas un nombre rationnel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}