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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} 
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2002}}
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\begin{center}{\Large\textbf{ 
\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril 2002~\decofourright}}
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv ; unité 
%graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$, 
%et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1. 
%
%\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 + 
%\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe 
%$(1 + z_{\text{B}}^2)$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point B appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
		On a $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} -  z_{\text{B}}\right|  = \left|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right| = 1$, ce qui signifie que B est à 1 de A donc appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
		\item %Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs 
%$\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right)$. Placer le  point B.
On a  $\left(\vect{\text{AF}}~;~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{z_{\text{B}} -  z_{\text{A}}}{z_{\text{F}} -  z_{\text{A}}} \right) + 2k\pi$ avec $k \in \Z$, soit

$\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right) + 2k\pi$ et donc 

$\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \Z$.

Le triangle ABF est isocèle (AB = AF = 1) et a un angle au sommet de mesure $\dfrac{\pi}{3}$ : il est donc équilatéral.

Le point B appartient donc à la médiatrice de [AF] et au cercle $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la forme exponentielle des nombres  complexes $(z_{\text{B}} - z_{\text{A}})$ et $(z_{\text{E}}- z_{\text{A}})$.
On a  $z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

$z_{\text{E}} - z_{\text{A}} = 1 + \left(z_\text{B}\right)^2 - 1 = \left(z_\text{B}\right)^2  =  \left(1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^2 = 1 + 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} + \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}  =$

$ 1 + 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item %En déduire que les points A , B et E sont alignés.
Le résultat précédent montre que :

$z_{\text{E}} - z_{\text{A}} = 3\left(z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right)$ ou encore 

$\vect{\text{AE}} = 3\vect{\text{AB}}$ égalité vectorielle qui montre que E appartient à la droite (AB) et a pour abscisse 3 si le repère choisi est le couple (A,\: B). 
	\end{enumerate} 
\item %Placer le point E. 
On construit E tel que AE = 3AB. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$ tel que $z \neq 1$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ où $z' = 1 + z^2$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des  points A, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$.
On a  $\dfrac{z' - 1}{z - 1} = \dfrac{z_{M'} - z_{\text{A}}}{z_{M} - z_{\text{A}}}$.

Un argument de ce quotient est donc simplement 
$\left(\vect{\text{A}M}~;~\vect{\text{A}M'} \right)$.
\item %En déduire que A, $M$ et $M'$ sont alignés si et  seulement si $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est un réel.
Si $\vect{\text{A}M'} \ne \vect{0}$, les points sont alignés si et seulement si l'angle de la question précédente est nul, autrement dit si le quotient  $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$ est un réel soit puisque $z' - 1 = z^2$, si le quotient $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est réel.

Si $\vect{\text{A}M'} = \vect{0}$, alors $z^2 = 0$, donc $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est encore un réel (ici nul).
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} 

\medskip 

\textbf{Partie A} 

\medskip

%Une urne contient $n$ boules blanches ($n \in \N$ et $n \geqslant 2$), 5 boules rouges et 3~boules vertes. 
%
%On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne . 
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? 
La probabilité de tirer une première boule blanche est$\dfrac{n}{n + 8}$ et la probabilité de tirer ensuite une deuxième boule blanche est $\dfrac{n - 1}{n + 7}$.

La probabilité de tirer deux boules blanches est donc égale à 

$\dfrac{n}{n + 8} \times \dfrac{n - 1}{n + 7} = \dfrac{n(n - 1)}{(n + 8)(n + 7)}$.
\item %On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même  couleur.

	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $p(n) = \dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$ 
Comme à la première question, la probabilité de tirer deux boules rouges est égale à : $\dfrac{5}{n+8} \times \dfrac{4}{n + 7}$ et la probabilité de tirer deux boules vertes est égale à : $\dfrac{3}{n+8} \times \dfrac{2}{n + 7}$.

Les évènements \og tirer deux boules blanches \fg{}, \og tirer deux boules rouges \fg{}, \og tirer deux boules vertes \fg{} étant incompatibles la probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à :

$\dfrac{n(n - 1)}{(n + 8)(n + 7)} + \dfrac{5}{n+8} \times \dfrac{4}{n + 7} + \dfrac{3}{n+8} \times \dfrac{2}{n + 7} = \dfrac{n(n - 1) + 20 + 6}{(n + 8)(n + 7)} =$

$\dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$.
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p(n)$. Interpréter ce résultat.
Comme $n \geqslant 2$, on peut simplifier par $n^2$ non nul, donc :

$p(n) = \dfrac{1 - \frac{1}{n} + \frac{26}{n^2}}{\left(1 + \frac{8}{n} \right)\left(1 + \frac{7}{n} \right)}$.

On a donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p(n) = 1$.

Lorsque le nombre de boules devient très grand la probabilité de tirer deux boules de même couleur sera voisine de la probabilité de tirer deux boules blanches soit presque 1 puisqu'il n'y aura pratiquement plus que cette couleur.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%Pour les questions suivantes $n = 4$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Calculer $p(4)$.
$p(4) = \dfrac{4^2 - 4 + 26}{(4 + 8)(4 + 7)} = \dfrac{38}{132} = \dfrac{19}{66}$. 
\item %Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux  boules de l'urne. 

%Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le 
%second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ 
%la somme de 30 euros. 

%Pour chaque tirage : 
%
%\begin{itemize}
%\item  si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, 
%\item  si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. 
%\end{itemize}
%On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la 
%somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). 
%
%On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
Le joueur peut \og gagner \fg{} :

\begin{description}
\item[ ] 40 + 40 - 30 = 50 ;
\item[ ] 40 + 5 - 30 = 15 ;
\item[ ] $5 + 5 - 30 = - 20$,
\end{description}
qui sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\bullet~~$La probabilité de tirer deux fois deux boules de même couleur est égale à  $\dfrac{19}{66} \times \dfrac{19}{66} = \dfrac{361}{\np{4356}} = p(X = 50).$

$\bullet~~$La probabilité de tirer deux fois des boules de couleurs différentes est égale à : $\left(1 - \dfrac{19}{66}\right) \times \left(1 - \dfrac{19}{66}\right) = \left(\dfrac{47}{66}\right)^2 = \dfrac{\np{2209}}{\np{4356}} = p(X = - 20).$

On a donc $p(X = 15) = 1 - \left(\dfrac{361}{\np{4356}} +  \dfrac{\np{2209}}{\np{4356}}\right) = 1 - \dfrac{\np{2570}}{\np{4356}} = \dfrac{\np{1786}}{\np{4356}}$.
		\item %Calculer l'espérance de $X$.
On a donc E$(X) = 50 \times  \dfrac{361}{\np{4356}} + 15 \times \dfrac{\np{1786}}{\np{4356}} - 20 \times \dfrac{\np{2209}}{\np{4356}} = \dfrac{5}{33}$~(\euro).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$. 
$4^5 - 1 = 2^{10} - 1 = \np{1023}$ et $4^6 - 1 = 2^{12} - 1 = \np{4095}$.

$\np{1023} = 3 \times 11\times 31$ ;

$\np{4095} = 3^2 \times 5 \times7 \times 3$.

On a donc P{}. G. C. D.$\left(4^5 - 1~;~4^6 - 1 \right) = 3$.

%\medskip 
%
%Soit $u$ la suite numérique définie par : 
%
%$u_{0} = 0,~u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
%\[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\] 

\item %Calculer les termes $u_{2},~u_{3}$ et  $u_{4}$ de la suite $u$.
$n = 0$, donc $u_2 = 5u_1 - 4u_0 = 5$ :

$n = 2$, donc $u_3 = 5u_2 - 4u_1 = 25 - 4 = 21$ ;

$n = 3$, donc $u_4 = 5u_3 - 4u_2 = 105 - 20 = 85$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que la suite $u$ vérifie,  pour tout entier naturel $n$, ~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$.
Démonstration  par récurrence :

$\bullet~~$Initialisation : 

$u_1 = 1 = 4u_0 + 1 = 0 + 1$ : la relation est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$Hérédité :

Supposons que pour $n$ naturel on ait  : $u_{n+1} = 4u_n + 1$.

On a $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n =  5u_{n+1} + 1 - u_{n+1} = 4u_{n+1} + 1$.

La relation est vraie au rang $n+1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n$ : 

$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$. 
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~$u_{n}$ est un entier naturel.
D'après la relation de récurrence précédente, on part d'un naturel qu'on multiplie par le naturel 4 et on ajoute ensuite le naturel 1. La somme est un naturel ainsi que tous les autres termes.		 
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de 
$u_{n}$ et $u_{n+1}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $v$ la suite définie pour tout entier 
naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{3}.$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera 
la raison et le premier terme $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P{}.G.C.D. de 
$4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\begin{center} 

La partie \textbf{B} peut être traitée indépendamment de la partie 
\textbf{A}. \end{center} 

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique : 2~cm.
%Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction 
%$f_{n}$ définie sur $\R$ par : 

%\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx} \left(1 + \text{e}^x\right)}.\] 

%On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère \Oij. 

%\medskip 

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} 

%Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux fonctions $f_{0}$ et $f_{1}$ 
%correspondant respectivement à $n = 0$ et $n = 1$. 
%
%On considère d'abord la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ 
%par $f_{0}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}.$ 
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de  $f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 1 + \text{e}^x = 1$ et par quotient de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_0(x)  = 0$.
		\item %Déterminer la limite de $f_{0}(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
En multipliant chaque terme par $\text{e}^{- x}$, on obtient $f_0(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{- x} + 1}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc par quotient de limites  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_0(x) = 1$.
		\item %En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}_{0}$.
Les résultats montrent montrent que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_0$ au voisinage de moins l'infini et que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. 
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que le point K $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_{0}$.
Posons $X = x$ et $Y = y - \frac{1}{2}$ soit $x = X$ et $y = Y + \frac{1}{2}$, d'où en remplaçant l'équation $y = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$, on obtient $Y + \frac{1}{2}  = \dfrac{\text{e}^X}{1 + \text{e}^X} $ soit $Y = \dfrac{\text{e}^X}{1 + \text{e}^X} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\text{e}^X - 1 - \text{e}^X}{1 + \text{e}^X} = \dfrac{\text{e}^X - 1}{\text{e}^X + 1}$.

On a $Y(- X) =  \dfrac{\text{e}^{-X} - 1}{\text{e}^{-X} + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^X}{1 + \text{e}^X}$ (en multipliant chaque terme par $\text{e}^X$) $ = \dfrac{\text{e}^X - 1}{\text{e}^X + 1} = - \dfrac{\text{e}^X - 1}{\text{e}^X + 1} = - Y(X)$, ce qui montre la symétrie de $\mathcal{C}_{0}$ autour du point K.
\item %Étudier les variations de $f_{0}$.
Quotient de fonctions dérivables le dénominateur supérieur ou égal à 1 étant non nul, $f_0$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'_0(x) = \dfrac{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^x \right) - \text{e}^x \times \text{e}^x}{\left(1 + \text{e}^x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x}{\left(1 + \text{e}^x \right)^2}$.

Quotient de deux termes supérieur à zéro cette dérivée est supérieure à zéro : la fonction $f_0$ est donc strictement croissante de $0$ à $1$ (limites respectives en $-$ et $+$ l'infini). 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation de la  tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au point K.
		Une équation est $y - f_0(0) = f'_0(0)(x - 0)$.
		
		On a $f_0(0) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$ et $f'_0(0) = \dfrac{1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{1}{4}$, d'où l'équation :
		
$y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}x $ ou $y =  \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2}$.
		\item %Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par 
%rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$, il suffit d'étudier sur $\R$ le signe de $g(x)$, où 

%$g(x) = 2 \text{e}^x - x \text{e}^x - 2 - x$. 
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2}\right) =$

$ \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} - \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4\text{e}^x - x -  x\text{e}^x - 2 - 2\text{e}^x}{4\left(1 + \text{e}^x\right)} = \dfrac{2\text{e}^x - x\text{e}^x - x - 2}{4\left(1 + \text{e}^x\right)}$

Comme $4\left(1 + \text{e}^x\right) > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de cette différence est le signe du numérateur  $g(x) = 2\text{e}^x - x\text{e}^x - x - 2$.
		\item %Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$. 
$g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$g'(x) = 2\text{e}^x - \text{e}^x - x\text{e}^x - 1 = \text{e}^x - x\text{e}^x - 1$ ;

$g''(x) = \text{e}^x - \text{e}^x - x\text{e}^x = -x\text{e}^x$ qui est du signe de $- x$
		\item %Déterminer, en les justifiant, les signes de $g''(x),~ g'(x)$ 
%et $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Donc $g''(x) < 0$ sur $\R_+$ et $g''(x) > 0$ sur $\R_-$ ;

$g'$ est donc croissante sur $\R_-$ et décroissante sur $\R_+$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g'(x) = - 1$ ; $g'(0) = 1 - 1 = 0$ ; enfin comme $g'(x) = \text{e}^x(1 - x) - 1$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g'(x) = - \infty$.

$g'(x) < 0$ sur $\R$ sauf en $0$.

La fonction $g$ est donc décroissante sur $\R$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$ ;

$g(0) = 2 - 2 = 0$ ;

et comme la fonction $g$ est décroissante $g(x) < 0$ sur $\R_+$.
		\item %En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{0}$.
		Le résultat précédent montre que $g$ est positive sur $\R_-$, c'est-à-dire que  $\mathcal{C}_{0}$ est au dessus de T sur $\R_-$ et en dessous sur $\R_+$ avec un point de contact par définition en $0$.
	\end{enumerate} 
\item %Tracer $\mathcal{C}_{0}$ et T dans le repère \Oij.
~
\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(3,1.5)
%\psgrid
\multido{\n=-3+1,\na=-2.5+1.0,\d=-3.3+1.0}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,1)(\na,1)\rput(\d,1){$\cdot$}}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\uput[u](5,1){\blue $\mathcal{C}_0$}\uput[u](5,0){\red $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{3}{1 2.71828 x exp 1 add div}
\end{pspicture}

\end{center}
% 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que pour tout réel  $x$, les points $M (x~;~f_{0}(x))$ et $M'\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ sont symétriques par rapport à la droite (d) d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
On a $M\left(x~;~\dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right)$ et $M'\left(x~;~\dfrac{1}{1 + \text{e}^x}\right)$.

Or $\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} + \dfrac{1}{1 + \text{e}^x} \right] = \dfrac{1}{2}\dfrac{1 + \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1}{2}$ : ceci montre que les points $M$ et $M'$ sont symétriques autour de la droite (d)  d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.		 
	\item %Comment obtient-on $\mathcal{C}_{1}$ à partir de $\mathcal{C}_{0}$ ? 
%Tracer $\mathcal{C}_{1}$.
D'après le résultat précédent  $\mathcal{C}_{1}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_{0}$ autour de l'horizontale (d) d'équation $y = \dfrac{1}{2}$ (voir le tracé ci-dessus).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} 

%Étude de la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

%\[u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\: \text{d}x.\] 

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que $u_{0} = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. 
$u_{0} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\: \text{d}x$ : le numérateur étant la dérivée du dénominateur, on a :

$u_0 = \left[\ln \left(1 + \text{e}^x \right)  \right]_0^1 = \ln (1 + \text{e}) - \ln (1 + 1) = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
\item %Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{1}$.
$u_{0} + u_{1} = 1 = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\: \text{d}x + \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}\: \text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1 + \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\: \text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 1\:\text{d}x =  1$. 

Donc $u_1 = 1 - u_0 = 1 - \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
\item %Montrer que la suite $u$ est positive.
Quel que soit le naturel $n$, \: $f_n$ quotient de termes supérieurs à zéro est un nombre supérieur à zéro ; les intégrales de ces fonctions positives sur l'intervalle [0~;~1] sont donc des nombres supérieurs à zéro.  
\item %On pose $k(x) = f_{n+1} (x) - f_{n}(x)$, 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que, pour tout $x$ réel, $k(x) = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}$.
Quel que soit le réel $x$, \: $k(x) = f_{n+1}(x) - f_{n}(x) = $

$\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{(n+1)x}\left(1 + \text{e}^x \right)} - \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)} = \dfrac{1}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)} - \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)} = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x\right)}$. 
		\item %Étudier le signe de $k(x)$ pour $x \in [0~;~ 1]$. 
Le dénominateur est supérieur à zéro comme produit de deux nombres supérieurs à zéro ; le signe de $k(x)$ est donc celui du numérateur $1 - \text{e}^x$.

$1 - \text{e}^x > 0 \iff 1 > \text{e}^x \iff 0 > x$ ; $ k(x) > 0$ si $x < 0$ ; 

$1 - \text{e}^x < 0 \iff 1 < \text{e}^x \iff 0 < x$; $ k(x) < 0$ si $x > 0$.

$k(x) = 0 \iff x = 0$.
		\item %En déduire que la suite $u$ est décroissante.
D'après la question précédente l'intervalle d'intégration ne contient que des valeurs positives, donc $k(x) < 0$, ce qui signifie que la suite $\left(f_n\right)$, donc aussi  $(u)$ est décroissante. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que, pour tout  entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 

%\[u_{n-1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-(n - 1)}}{n - 1}.\] 
Pour tout  entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 

$u_{n-1} + u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{(n - 1)x}\left(1 + \text{e}^x \right)}\:\text{d}x + \displaystyle\int_{0}^1\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)}\:\text{d}x =$

$\displaystyle\int_{0}^1 \left[\dfrac{\text{e}^x \times \text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)} + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)}\right]\:\text{d}x  =  \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^x \right)}{\text{e}^{nx}\left(1 + \text{e}^x \right)}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{(1 - n)x}  \:\text{d}x = \left[\dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 - n} \right]_0^1 = \dfrac{\text{e}^{(1 - n)} - 1}{1 - n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-(n - 1)}}{n - 1}.$ 
		\item %Calculer $u_{2}$.
Avec $n = 3$, la relation précédente donne :

$u_2  + u_1 = \dfrac{1 - \text{e}^{-(3 - 1)}}{3 - 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{-2}}{2}$, soit $u_2 =  \dfrac{1 - \text{e}^{-2}}{2} - u_1 = \dfrac{1 - \text{e}^{-2}}{2} - 1 + \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\item %Soit $v$ la suite définie pour tout entier  $n$ supérieur ou égal à 2 par : 

%\[v_{n} = \dfrac{u_{n-1} + u_{n}}{2}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la limite de $v_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$.
		\item %Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 

%\[0 \leqslant u_{n} \leqslant v_{n}.\]
On a démontré que la suite $(u)$ est décroissante,donc pour $n$ supérieur ou égal à 2, soit 

$u_n < u_{n-1} \Rightarrow  u_n + u_n < u_{n-1} + u_n \Rightarrow u_n < \dfrac{u_{n-1} + u_n}{2}$, soit $u_n < v_n$.
		\item %En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
D'après la question précédente  la suite $\left(u_n\right)$ positive  est majorée par une suite positive qui a pour limite $0$ en plus l'infini. D'après le théorème des gendarmes la suite   $\left(u_n\right)$ converge elle aussi vers $0$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}