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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry~\decofourright\\17 avril 2015}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]
%
%Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe
%représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\def\pshlabel#1{\small#1}
\def\psvlabel#1{\small#1}
\begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4)
\psframe(-2.75,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}
\uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,3)\uput[d](2.4,0){$a$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psline(0,3)2.4,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.4}{0}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div}}
\end{pspicture}
\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
On sait que $\text{e}^{- 2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $1 + \text{e}^{- 2x} > 1 > 0$. Le dénominateur étant non nul, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle la fonction étant de la forme $\dfrac{3}{u(x)}$, avec $u(x) = 1 + \text{e}^{- 2x}$, donc $u'(x) = - 2 \text{e}^{- 2x}$ on a :

$f'(x) = - \dfrac{3u'(x)}{(u(x))^2} =  - \dfrac{3 \times (- 2)\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} = \dfrac{6\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x} \right)^2} > 0$ car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$ (comme le laisse supposer le graphique). 
\item %Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2x = - \infty$ et en posant $X = - 2x$, \:$\displaystyle\lim_{X \to - \infty}\text{e}^X = 0$, d'où 

$\displaystyle\lim_{X \to - \infty}1 + \text{e}^X = 1$ et enfin par quotient de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 3$ : ceci montre que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement croissante de $f(0) = \dfrac{3}{1 + 1} = 1,5$ à 3 : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 2,999$.

La calculatrice donne:

$f(4) \approx \np{2,99899}$ et $f(5) \approx \np{2,9999}$, donc $4 < \alpha < 5$ ;

$f(4,0) \approx \np{2,99899}$ et $f(4,1) \approx \np{2,9992}$, donc $4,0 < \alpha < 4,1$ ;

$f(4,00) \approx \np{2,99899}$ et $f(4,01) \approx \np{2,99901}$, donc $4,00 < \alpha < 4,01$ (encadrement à $10^{-2}$ près).
%Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
On a vu dans la partie A que $0 < f(x) < 3 \iff - f(x) < 0 < 3 - f(x)$, soit $h(x) > 0$ sur $\R$.
\item %On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.

%Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
La fonction $H$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$H'(x) = - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{ - 2\text{e}^{- 2x} }{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x}}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 - 3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x} + 3 }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\left(\text{e}^{- 2x} + 1\right) }{1 + \text{e}^{- 2x}} - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = 3 - f(x) = h(x)$.

Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
\item  %Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$.
On a vu que sur $\R$ donc en particulier sur l'intervalle $[0~;~a]$ (avec $a > $), la fonction $h$ est positive, donc l'intégrale $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x$ est égale en unités d'aire à la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de $h$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$.

Mais comme $h(x) = 3 - f(x)$, cette surface est la surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ (voir l'aire hachurée ci-dessus.
		\item %Démontrer que $\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
D'après la question \textbf{B. 2.}, on a :

$\displaystyle\int_0^a  h(x)\:\text{d}x = [H(x)]_0^a = H(a) - H(0) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right)  + \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times 0}\right) = \dfrac{3}{2} \ln 2 - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2\times a}\right) = \dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
		\item %On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par
		
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%x&\geqslant & 0\\
%f(x) &\leqslant y&\leqslant 3
%\end{array}\right.$

%Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
D'après la question précédente, on sait que l'aire de $\mathcal{D}_a$, surface limitée par la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ est égale à $\dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{- 2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{- 2x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = 2$, donc finalement par composition, l'aire de $\mathcal{D}$ est égale à  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{3}{2} \ln  \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2x}}\right) = \dfrac{3}{2} \ln 2 \approx 1,04$ (u. a.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation
%
%\[u_{n+1} = au_n + b\quad  (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne  1).\]
%
%On pose, pour tout entier naturel $n,\quad  v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
On a pour tout naturel $n, \: v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a} = 
au_n + b - \dfrac{b}{1 - a} =$

$au_n + \dfrac{b(1 - a) - b}{1 - a} = au_n - a\dfrac{b}{1 - a} = a \left[u_n - \dfrac{b}{1 - a}\right] = av_n$.

L'égalité $v_{n+1} = a v_n$, vraie pour tout naturel $n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
\item %En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.

On sait que $v_n = v_0 \times a^n$ ; donc si $a \in ]-1~;~1[$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a^n = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n - \dfrac{b}{1 - a} = 0$ soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{b}{1 - a}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous
%les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm
%au cours des douze mois suivants.
%
%Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Après la taille la plante mesure $80 \times \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) = 80 \times \dfrac{3}{4} = 60$~(cm).
Au bout de 1~an elle a poussé de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille $60 + 30 = 90$~cm.
\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad  h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
D'une année sur l'autre, tailler le quart revient à multiplier par $\dfrac{3}{4} = 0,75$ et la pousse annuelle est de 30~cm, donc :
		
$h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
		\item %Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$.
Mars 2015 correspondant à $n = 0$, on a : $h_0 = 80$ ; $h_1 = 90$,

$h_2 = 0,75 \times 90 + 30 = 67,5 + 30 = 97,5$ : la suite semble être croissante.		
%Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

\emph{Initialisation} : on sait déjà que $h_0 < h_1$ ;

\emph{Hérédité } : supposons que quel que soit  $p \in \N$, \: $h_p < h_{p+1}$, alors 

$0,75h_p < 0,75h_{p+1} \iff 0,75h_p + 30  < 0,75h_{p+1}  + 30 \iff h_{p+1} < h_{p+2}$  
l'hérédité est démontrée.

Conclusion :  $h_0 < h_1$ et  quel que  soit  $p \in \N$, \: $h_p < h_{p+1}$ entraîne 

$h_{p+1} < h_{p+2}$,   donc par le principe de récurrence on a démontré que pour tout naturel $n$, \: $h_n < h_{n+1}$ :  la suite $\left(h_n \right)$ est croissante.
		\item %La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
Si la suite $\left(h_n\right)$ converge vers $\ell$, par continuité l'égalité :

$h_{p+1} = 0,75h_p + 30$ donne en passant aux limites à l'infini :

$\ell = 0,75\ell + 30 \iff 0,25\ell = 30 \iff \ell = 120$.

La plante aura donc une taille inférieure à 120~cm. (À la calculatrice 

$h_{20} \approx 119,873$~cm).

On utilise le résultat de la partie A avec la suite $\left(h_n \right)$ et les coefficients $a = 0,75$ et b = 30.

Comme $- 1 < 0,75 < 1$, la suite $\left(h_n \right)$ converge vers $\dfrac{b}{1 - a} = \dfrac{30}{1 - 0,75} = \dfrac{30}{0,25} = 120$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A \quad  Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager}

\medskip

%Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle
%par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$.
%
%La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.
%
%%\begin{center}
%%\psset{xunit=0.075cm,yunit=5cm}
%%%algebraic=true
%%\begin{pspicture}(-80,-0.1)(80,1.1)
%%\psframe(-80,-0.1)(80,1.1)
%%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000](0,0)(-75,0)(75,0)
%%\multido{\n=-75+10,\na=10+10}{15}{\uput[d](\n,0){\na}}
%%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-80}{80}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.45pt,linecolor=blue]{-80}{-21}{2.71828 x dup mul 0.00125 mul neg exp}
%%\psline(-21,0)(-80,0)}
%%\uput[d](-20,0){\blue 64}\rput(-35,0.1){16\,\%}
%%\end{pspicture}
%%\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {5}   \def\xmax {165}
%\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\def\m{84}% moyenne 
%\def\s{20}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%
%\def\inf{\xmin} \def\sup{64}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
%\multido{\n=10+10}{15}
%{
%\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
%\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
%}
%\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
%\rput(55,0.003){\bf 16\,\%}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
Par symétrie $P(104\leqslant X) = 0,16$ et donc $P(64 \leqslant X \leqslant 104) = 1 - 2 \times 0,16 = 1 - 0,32 = 0,68$.
		\item %Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
On vient donc de trouver que $P(\mu - 20 \leqslant X \leqslant \mu + 20) = 0,68$ : donc $\sigma \approx 20$.
	\end{enumerate}
\item %On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
La variable $Z$ est centrée et réduite : elle suit donc une loi normale centrée réduite.
		\item %Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
On part de $P(X \leqslant 64) = 0,16$, d'où $P(X \leqslant 64) = P(X - 84 \leqslant - 20) =$

$ P\left( \dfrac{X - 84}{\sigma} \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)  = P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right)$.

Finalement $P\left(Z \leqslant - \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,16$
		\item %En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
Le résultat précédent entraîne que $- \dfrac{20}{\sigma} \approx \np{- 0,9945} \iff \sigma \approx \dfrac{20}{\np{0,9945}}$ soit $\sigma \approx 20,111$ à $10^{- 3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. 
	
%Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans.
		Il faut trouver :
		
$P(24 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,115$ (calculatrice)
		\item %Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
On a $P(X > 120) = 0,5 - P(84 \leqslant X \leqslant 120) \approx 0,037$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro}

\medskip

%Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
%
%L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans
%supplémentaires.
%
%Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie}
%montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut
%assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette
%extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité
%utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
Si $G$ est la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant  pris l'extension de garantie, puisque les tirages sont indépendants et de même probabilité 0,115, $G$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(12,~0,115)$.

La probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie est égale à :

$P(G = 3) = \binom{12}{3} \times 0,115^3 \times (1 - 0,115)^9 \approx \np{0,1114}$ soit 0,111 au millième près.
		\item %Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
		On a $P(G \geqslant 6) = 1 - P(G \leqslant 5) \approx \np{0,001}$  au millième près.
	\end{enumerate}
\item  %L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires,
%El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si
%une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la
%cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la
%panne est réparable.
%	
%On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie,
%et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur
%ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.

$\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ;

$\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$	
\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
$\bullet~~$Si le client utilise l'extension le gain algébrique est $65 - 399 = - 334$ ;

$\bullet~~$Si le client n'utilise pas l'extension le gain algébrique est $65$.

La variable aléatoire $Y$ prend donc deux  valeurs $65$ et $- 334$ avec les probabilités respectives 0,885 et 0,115.
		\item %Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour
%l'entreprise ? Justifier.
On a E$(Y) = 65 \times 0,885 + (- 334) \times 0,115 = 19,115 \approx 19,12$~\euro au centime près. L'offre est donc avantageuse pour l'entreprise puisque celle gagne presque 20~\euro{} par client.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.

Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées
respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
Voir la figure à la fin.
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$.
$\vect{\text{MN}}\left(- 1~;~- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vect{\text{MP}}\left(0~;~- 1~;~- 2\right)$.

Les vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$ ne sont pas colinéaires, les droites (MN) et (MP) ne sont pas parallèles donc les points M, N et P ne sont pas alignés.
%En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
\item %On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item %Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P
%données ci-dessus.
$- 1 \times  0 + \left(- \dfrac{1}{2} \right) \times (- 1) + \left(\dfrac{1}{4} \right) \times \left(- 2\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$
		\item %À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le
%triangle MNP ?
L'algorithme 1 calcule le produit scalaire $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MP}} = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires : le triangle MNP est donc rectangle en M.
	\end{enumerate}
\item %On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste
%et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
\item %On considère le vecteur $\vect{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
Si $n$ est un vecteur normal au plan (MNP) une équation de celui-ci est : 

$5x - 8y + 4z = d$, avec $d \in \R$ ; 

N $\in (\text{MNP}) \iff - 8 \times \dfrac{1}{2}  + 4 \times 1 = d = \iff 0 = d$

Une équation cartésienne du plan (MNP) est donc $5x - 8y + 4z = 0$.
		\item %On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vect{n}$.
		
%Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

On traduit la relation vectorielle : $M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \vect{\text{F}M} = t \vect{n}, t \in \R$ soit 

$\left\{\begin{array}{l c r}
x - 1&=&5t\\
y - 0&=&- 8t\\
z - 1&=&4t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + 5t\\
y &=&\phantom{1+}- 8t\\
z &=&1 + 4t
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}
\item %Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
Les coordonnées de K vérifient l'équation du plan et l'équation paramétrique de $\Delta$, soit :

$\left\{\begin{array}{l c r}
5x - 8y + 4z&=&0\\
x &=&1 + 5t\\
y &=&\phantom{1+}- 8t\\
z &=&1 + 4t
\end{array}\right. \Rightarrow 5(1 + 5t) - 8 \times (- 8t) + 4(1 + 4t) = 0 \iff 105t  + 9 = 0 \iff t = - \dfrac{9}{105} \iff t = - \dfrac{3}{35}$.

D'où $x = 1 + 5 \times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$ ;

$y = - 8\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = \dfrac{24}{35}$ ;

$z = 1 + 4\times \left(- \dfrac{3}{35} \right) = 1  - \dfrac{12}{35} = \dfrac{23}{35}$.

Donc F$\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35} \right)$.
		\item %On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$.

%Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}.
Puisque (FK) est orthogonale au plan MNP, [FK] est hauteur du tétraèdre MNPF, donc 

$V_{\text{MNPF}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{MNP} \times \text{FK})$.

Or MNP est rectangle en M, donc $\mathcal{A}(\text{MNP} = \dfrac{\text{MN}\times \text{MP}}{2}$.

MN$^2 = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{21}{16}\Rightarrow \text{MN} = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$ ;

MP$^2 = 1 + 4  = 5\Rightarrow \text{MP} = \sqrt{5}$ ;

Donc $V = \dfrac{1}{3}   \times \dfrac{\sqrt{21}}{4} \times \dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times  \sqrt{\dfrac{27}{35}} = \dfrac{1}{24} \times \sqrt{\dfrac{21 \times 27}{35}}\times \sqrt{5} =  $

$\dfrac{1}{24} \times \sqrt{\dfrac{81}{5}} \times\sqrt{5} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés \textbf{nombres de Mersenne}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que 

%PGCD$(b~;~c) = 1$.

%Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
%
%\begin{center}si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.\end{center}
Voir le cours.
\item On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$.

%Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1.25}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%$\left(2^{33} - 1 \right)\div 3$&\\
%&2863311530\\
%$\left(2^{33} - 1 \right)\div 4$&\\
%&2147483648\\
%$\left(2^{33} - 1 \right)\div 12$&\\ 
%&715827882,6\\\hline
%\end{tabularx}
%\renewcommand\arraystretch{1}
%\end{center}
%
%Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question \textbf{1.} ?
Si 3 divise $2^{33} - 1$ et 4 divise $2^{33} - 1$, comme 3 et 4 sont premiers entre eux, d'après le \textbf{1.} 12 devrait diviser $2^{33} - 1$ ce qui est contradictoire avec ce que dit l'élève : il a donc tort. 
		\item %Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
$2^{33}$ est un naturel pair donc $2^{33} - 1$ est impair donc 4 ne peut le diviser.
		\item %En remarquant que $2 \equiv  - 1\quad  [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
$2 \equiv  - 1\quad  [3] \Rightarrow 2^3 \equiv (- 1)^3 \quad  [3] \iff 2^3 \equiv - 1 \quad  [3] \Rightarrow \left(2^3 \right)^{11} \equiv (- 1)^{11}  \quad  [3] \iff 2^{33} \equiv - 1 \quad  [3]$ ce qui montre que 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
		\item %Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots  + \left(2^3\right)^{10}$.
		
$S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots  + \left(2^3\right)^{10}$ ;

$2^3S = 2^3+2^4 + \left(2^3\right)^3 + \left(2^3\right)^3 + \cdots  + \left(2^3\right)^{11}$, d'où par différence :

$7S = \left(2^3\right)^{11} - 1 \iff S = \dfrac{\left(2^3\right)^{11} - 1}{7}$.
		\item %En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
	$S$ est une somme d'entiers naturel donc est un entier naturel ; le résultat précédent montre que $\left(2^3\right)^{11} - 1$ est donc un multiple de 7.

Finalement $2^{33} - 1$ est divisible par 7.
	
	\end{enumerate}
\item %On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

Ce nombre n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (dans la division reste 1), ni par 11 (dans la division reste 7), ni par 13 (dans la division reste 10) et comme $13^2 = 169$, il est inutile de continuer : 127 est premier.
\item %On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division
%euclidienne de $N$ par $k$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline	
%Variables :& $n$ entier naturel supérieur ou égal à 3\\
%&$k$ entier naturel supérieur ou égal à 2\\
%Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
%&Affecter à $k$ la valeur 2.\\
%Traitement :& Tant que MOD$\left(2^n - 1,~k\right) \ne  0$  et $k \leqslant \sqrt{2^n -1}$\\
%&\hspace{1cm} Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
%&Fin de Tant que.\\
%Sortie :&\textbf{Afficher} $k$.\\
%&Si $k > \sqrt{2^n -1}$\\
%&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 1 \fg\\
%&Sinon\\
%&\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 2 \fg\\
%&Fin de Si\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\item %Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
Comme on vient de le voir pour 127, l'algorithme cherche le reste de la division de $2^{33} - 1$ par les naturels 2, 3, 4, etc., $k \leqslant \sqrt{2^n -1}$ tant que le reste est non nul.

On a vu que $2^{33} - 1$ n'était divisible ni par 2 ni par 3, donc ce nombre n'est divisible ni par 4 ni par 6.
Il faut regarder s'il est divisible par 5.

$2^{11}  = \np{2048}$ et $\np{2048} \equiv 3 \quad [5] \Rightarrow \left(2^{11} \right)^3 \equiv 3^3 \quad [5]$, mais $3^3 = 27 \equiv 2 \quad [5]$, donc  $2^{33} \equiv 2 \quad [5] \Rightarrow 2^{33} - 1  \equiv 1 \quad [5]$; on en déduit que $2^{33} - 1$ n'est pas divisible par 5. 

On a vu que le nombre $2^{33} - 1$ est divisible par 7, donc l'algorithme va afficher ce diviseur 7 et \og CAS 2 \fg.

Si on entre $n = 7$, l'algorithme affiche 12 et \og CAS 1 \fg.

		\item %Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente
%alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
Le CAS 2 concerne donc les nombres de Mersenne non premiers et le nombre $k$ est le plus petit de ses diviseurs (différent de 1).
		\item %Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Le CAS 1 concerne les nombres de Mersenne premiers comme $2^7 - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à remettre avec la copie}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-6.5)(7.6,8)
\pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(4.8,0.2)(4.8,5.4)%EABF
\psline(4.8,0.2)(7,1.6)(7,6.8)(4.8,5.4)%BCGF
\psline(7,6.8)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(7.,1.6)%DC
\uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](4.8,0.2){B} \uput[r](7,1.6){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} 
\uput[ul](0.5,6){E} \uput[u](4.8,5.4){F} \uput[ur](7,6.8){G} \uput[u](2.7,7.4){H}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](1.6,6.7)(7,5.5)(4.8,-6.3) 
\uput[l](4.8,-6.3){P} \uput[ul](1.6,6.7){N} \uput[r](7,5.5){M}
\end{pspicture}
\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|}
\multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{m{0.2cm}}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2 (à compléter)}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$&&Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$\\
$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$&&$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$\\
$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$&&$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$\\
$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$&&$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$\\
$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$&&$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$\\
$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$&&$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$\\
$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$&&$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$\\
$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$&&$k$ prend la valeur $d \times  g + e \times h + f \times i$\\
Afficher $k$&&$l$ prend la valeur $d^2 + e^2 + f^2$\\ \cline{1-1}
\multicolumn{1}{c}{}&&$m$ prend la valeur $g^2 + h^2 + i^2$ \\
\multicolumn{1}{c}{}&&Si $k = 0$ et si $l = m$\\
\multicolumn{1}{c}{}&&\hspace{1cm}Afficher : « Le triangle MNP est rectangle isocèle en M »\\
\multicolumn{1}{c}{}&&Sinon Afficher : « Le triangle MNP n'est pas rectangle ou n'est pas isocèle en M »\\ \cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}