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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 12 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des  circuits hydrauliques.
%
%Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \numprint{0,0002} $.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ? 
La durée de vie moyenne d'une vanne est égale à l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$.

$E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{\np{0,0002}} = \np{5000}$~(h).
\item %Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à \np{6000} heures.
On calcule $p(T > \np{6000}) = \text{e}^{-\np{6000} \lambda} = \text{e}^{\np{6000} \times \np{0,0002}} = \text{e}^{-1,2} \approx 0,301$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

%\parbox{8cm}{ Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.\\
%Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.}\hfill\parbox{10cm}{\psset{unit=0.8}
%\begin{pspicture}(-1,-2)(10,3)
%%\psgrid
%\psline(0,0)(2,0)
%\psline(2,0)(4,1)
%\psframe(4,0.5)(5,1.5)
%\psline(5,1)(8,0)
%\psline(2,0)(3,-1)
%\psframe(3,-1.5)(4,-0.5)
%\psline(4,-1)(5,-1)
%\psframe(5,-1.5)(6,-0.5)
%\psline(6,-1)(8,0)
%\psline(8,0)(10,0)
%\uput[u](4.5,0.7){$V_{1}$}
%\uput[d](3.5,-0.7){$V_{2}$}\uput[d](5.5,-0.7){$V_{3}$}
%\end{pspicture}}
%
%On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après \numprint{6000} heures. On note :
%\begin{enumerate}[$\bullet~~$]
%\item $F_{1}$ l'évènement : \og{} la vanne $V_{1}$ est en état de marche après \numprint{6000} heures.
%\item $F_{2}$ l'évènement : \og{} la vanne $V_{2}$ est en état de marche après \numprint{6000} heures
%\item $F_{3}$ l'évènement : \og{} la vanne $V_{3}$ est en état de marche après \numprint{6000} heures.
%\item $E$ : l'évènement : \og{} le circuit est en état de marche après \numprint{6000} heures.
%\end{enumerate}
%On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une  probabilité égale à $0,3$.

\parbox{8cm}{\begin{enumerate}
\item %L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.\\
%Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
~ 
\item %Démontrer que $P\(E\) = 0,363$. 
On a $P(E) = P\left(F_{1}\right) +  P\left(F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3} \right) =$

$P(E) = 0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,3 = 0,3 + 0,063 = 0,363$.
\item %Sachant que le circuit est en état de marche après \numprint{6000} heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
Il faut calculer $P_{E}\left(F_{1}\right) = \dfrac{P\left(E \cap F_{1} \right)}{P\left(E \right)} = \dfrac{0,3}{0,363} \approx \np{0,8264} \approx 0,826$ (au millième).
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{6cm}{
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3.pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F_1$}\taput{0,3}}
            {\pstree{\Tn}
                    {\Tn
                     \Tn
                    }
             \pstree{\Tn}
                    {\Tn
                     \Tn
                    }
             }                     
\pstree{\TR{$\overline{F_1}$}\tbput{0,7}}
            {\pstree{\TR{$F_2$}\taput{0,3}}
                    {\TR{$F_3$}\taput{0,3}
                     \Tn
                    }
             \pstree{\Tn}
                    {\Tn
                     \Tn
                    }
             }  
}
}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%L'industriel affirme que seulement 2\:\% des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% de la variable $F$, 
Les conditions :

$\bullet~~$ $n = 400 \geqslant 30$ ; 

$\bullet~~$ $ np = 8 > 5$ ;

$\bullet~~$ $n(1 - p) = 392 > 5$

sont bien réalisées. Dans ces conditions on sait que l'intervalle de fluctuation à 95\,\% est égal à :

$I_{400}  = \left[0,02 - 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}}~;~0,02 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}}  \right] = [\np{0,00628}~;~\np{0,03372}]$
\item %On choisit 400 vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production.

%Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.
 
%Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause, au seuil de 95\:\%, l'affirmation de l'industriel ?
La fréquence observée est égale à $\dfrac{10}{400} = 0,025$ et $0,0025 \in I_{400}$.

L'affirmation de l'industriel ne peut être remise en cause. 
\end{enumerate}\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.}

%L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma=40$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P\(760\leqslant D\leqslant 840\)$.
La calculatrice permet de trouver :

$P(760\leqslant D\leqslant 840) =\approx 0,683$.
\item %Déterminer $P\(D\leqslant 880\)$. 
$P(D\leqslant 880) = \dfrac{1}{2} + P(800 \leqslant D \leqslant 880) \approx 0,5 + 0,477 \approx 0,977$.
\item %L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n'aura pas plus de 1\:\% de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?
On a $P(D > 880) = 1 - P(D \leqslant 880) \approx 0,023$ soit à peu près 2,3\,\%, soit beaucoup plus que 1\,\%. L'industriel a tord. 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\emph{\textbf{Commun à tous les candidats}}

\medskip
%\emph{Les quatre questions sont indépendantes.

%Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}
%\bigskip

%Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
%\begin{itemize}
%\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0 )$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6 )$, E $(7~;~3~;~-3)$;
%
%\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
%\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1}

\medskip

%Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est : 
%\[2x+y+2z-24=0\]
Un vecteur normal au plan $P$ a pour coordonnées $(2~;~1~;~- 2)$.

Un vecteur normal au plan dont une équation est $2x+y+2z-24=0$ a pour coordonnées $(2~;~1~;~2)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc le s plans ne sont pas parallèles. 

Affirmation fausse.
 
\textbf{Affirmation 2}

\medskip

%Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9-3t\\y&=&0\\
%z&=&5+5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.\\
Pour $t = - 1$ on trouve les coordonnées de A et pour $t = 3$ celles de C.

Affirmation vraie.

\textbf{Affirmation 3}

\medskip

%La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun. \\
La droite (DE) a pour vecteur directeur $\vect{\text{DE}}(5~;~- 4~;~3)$ et on a vu que $\vect{u}(2~;~1~;~- 2)$ est un  vecteur normal au plan $P$.

Or $\vect{u} \cdot \vect{DE} = 10 - 4 - 6 = 0$, donc la droite (DE) est parallèle au plan $P$. Comme les cordonnées de E ne vérifient pas l'équation de $P$ ($4 + 7 + 12 - 5 = 0$ est une égalité fausse, la droite (DE) est strictement parallèle au plan $(P)$.

\textbf{Affirmation 4}

\medskip

La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

On a : $\vect{DE}\begin{pmatrix}5\\- 4\\3 \end{pmatrix},\:\vect{AB}\begin{pmatrix}- 12\\- 15\\ 0 \end{pmatrix}, \: \vect{AC}\begin{pmatrix}- 12\\ 0\\20 \end{pmatrix}$.

D'où  $\vect{DE} \cdot \vect{AB} = - 60 + 60 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux ;

$\vect{DE} \cdot \vect{AC} = - 60 + 60 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

Les vecteurs $\vect{AB}$ et  $\vect{AC}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc le vecteur 
$\vect{DE}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, il est donc orthogonal à ce plan.

Affirmation vraie.

\subsection*{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 
%
%\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
%
%On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$. \\
%\parbox{8cm}{On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
%La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.}\hfill\parbox{8cm}{
%
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\def\f{1+EXP(-x)}
%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
%\def\inf{0} \def\sup{1}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}\\
%\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
%\uput[d](1.2,0){$x$}
%\uput[l](0,2){$y$}
%\uput[ul](0,0){0}
%\end{pspicture*}}
%
%\bigskip

%Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

\bigskip

\textbf{Partie A}

%\parbox{8cm}{Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
%On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe (O$x$),les droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
%$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. }\hfill
%\parbox{8cm}{
%
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
%\def\f{1+EXP(-x)}
%\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
%\def\inf{0} \def\sup{0.4}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\def\inf{0.4} \def\sup{1}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
%}
%\psline(0.4,0)(0.4,2)
%\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
%\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
%\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
%\uput[d](0.4,0){$a$}
%\uput[d](1.2,0){$x$}
%\uput[l](0,2){$y$}
%\uput[ul](0,0){0}
%
%\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\mathscr{A}_{1}=a-\mathrm{e}^{-a}+1$.
Soit $G$ la fonction définie sur [0~;~1] par $G(x) = x - \text{e}^{- x}$ est dérivable sur cet intervalle et 

$G'(x) = 1 - \left(- \text{e}^{- x}\right) = 1 + \text{e}^{- x}$ : c'est donc une primitive de $g$.

Donc $\mathscr{A}_{1} = \displaystyle \int_{0}^a g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_{0}^a = \left[x - \text{e}^{- x} \right]_{0}^a = a - \text{e}^{- a} - \left(0 - \text{e}^{- 0} \right) = a + 1 - \text{e}^{- a}$.
\item %Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
$\mathscr{A}_{2
} = \displaystyle \int_{a}^1 g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_{a}^1 = \left[x - \text{e}^{- x} \right]_{a}^1 = 1 - \text{e}^{- 1} - \left(a - \text{e}^{- a} \right) = 1 - a + \text{e}^{- a} - \text{e}^{- 1}$.
\end{enumerate}

\item %Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 

%\[f(x)=2x - 2\,\mathrm{e}^{-x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
Somme de fonctions dérivables sur [0~;~1], $f$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = 2 + 2\text{e}^{- x}$

Les deux termes de cette somme sont positifs, donc sur [0~;~1], $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1] de $f(0) =  - 2 + \dfrac{1}{\text{e}} \approx - 1,63$ à $f(1) = 2 - 2\text{e}^{-1} +  \dfrac{1}{\text{e}} = 2 - \dfrac{2}{\text{e}} + \dfrac{1}{\text{e}} = 2 - \dfrac{1}{\text{e}} \approx 1,63$. D'où le tableau de variation :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3)\psline(0,2)(5,2)\psline(0,2.5)(5,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.2,2.5){$0$} \uput[u](4.8,2.5){$1$} 
\rput(3,2.25){$+$}
\uput[r](1,0.25){$\frac{1}{\text{e}} - 2$}\uput[l](5,1.75){$2 - \frac{1}{\text{e}}$}
\psline{->}(2,0.5)(4.5,1.5)
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$ en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
Sur [0~;~1], $f$ croît de $f(0) \approx -1,6$ à $f(1) \approx 1,6$. Comme elle est croissante  et continue elle s'annule une seule fois sur l'intervalle [0~;~1] pour un réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)  = 0$.

La calculatrice permet de trouver que :

$0,4 < \alpha < 0,5$, puis $0,45 < \alpha < 0,46$ et enfin $0,452 < \alpha < 0,453$.

Donc $\alpha \approx 0,45$ au centième près.
\end{enumerate}

\item %En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
On a :

$\mathscr{A}_{1} = \mathscr{A}_{2} \iff a + 1 - \text{e}^{- a} = 1 - a + \text{e}^{- a} - \text{e}^{- 1} \iff 2a - \text{e}^{- a} + \text{e}^{- 1} = 0$, ce qui signifie que $a$ est une solution de l'équation $f(x) = 0 $ sur [0~;~1].

On a vu que cette solution est égale à $\alpha$.

Finalement les aires sont égales pour $a = \alpha \approx 0,45$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $b$ un réel positif.
%
%Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item %Justifier l'inégalité $b < 1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
On a $g(0) = 1 + 1 = 2$. Il est donc évident que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est inférieure à $2 \times 1 = 2$.

Comme $g(1) = 1 + \text{e}^{- 1}$, si $b \geqslant 1 + \text{e}^{- 1}$ chacune des deux 	aires serait supérieure à 1 ce qui est impossible. Donc $b < 1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$
\item %Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
L'aire du domaine du bas est égale à $b \times 1 = b$ qui est égale à la demi-aire de $\mathcal{D}$.

On a donc :

$b = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x  = \frac{1}{2}[G(x)]_{0}^1 = \frac{1}{2}\left[x - \text{e}^{- x}\right]_{0}^1
 = \frac{1}{2}\left[1 - \text{e}^{- 1} + \text{e}^0 \right]$.
 
Finalement $b = \frac{1}{2}\left(2 - \text{e}^{- 1}\right) = 1 - \frac{\text{e}^{- 1}}{2} \approx 0,816$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique }

\medskip

%L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

%\parbox{5cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
%
%Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
%\parbox{8.5cm}{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
%Variables&$n$ est un entier naturel \\
%&$u$ est un réel \\
%\hline
%Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\
%&Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\
%\hline
%Traitement &Tant que $n<9 $\\
%&\hspace*{1cm}Affecter à $u$ la valeur \dots\\ 
%&\hspace*{1cm}Affecter à $n$ la valeur \dots\\
%%\hline
%&Fin Tant que \\
%\hline
%Sortie&Afficher la variable $u$ \\
%\hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n \times u_{n} + 1}{2(n + 1)}$

Affecter à $n$ la valeur $n + 1$. 
\item %Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ?
Il faut rajouter avant le Fin Tant que : \og Afficher la variable $u$ \fg. 
\item  %Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
%\hline
%$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\np{0,2063} &\np{0,1693}&\dots&\np{0,0102} &\np{0,0101} \\
%\hline
%\end{tabularx}

\medskip

%Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être décroissante vers $0$.   
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique }

\medskip

%On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} - 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
Pour tout entier $n \geqslant 1$, $v _{n+1} = nu_{n+1} - 1 = (n + 1) \times \dfrac{n \times u_{n} + 1}{2(n + 1)} - 1 = \dfrac{n \times u_{n} + 1}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{n \times u_{n} - 1}{2} =$

$v _{n+1} = \dfrac{1}{2}v_{n}$.

Cette relation montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme 

$v_{1} = 1 \times u_{1} - 1 = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.
\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.
On a donc pour tout entier $n \geqslant 1$, $v _{n+1} = 0,5 \times 0,5^{n - 1} = 0,5^n$.

Or $v _{n} = nu_{n} - 1 \iff u_{n} = \dfrac{v_{n} + 1}{n} = \dfrac{1 + 0,5^n}{n}$.
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}0,5^n = 0$, et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$. 
\item %Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

%En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : 

$u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + (0,5)^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n} = \dfrac{n + n\times 0,5^{n + 1}- (n + 1) - (n + 1) \times 0,5^n}{n(n + 1)} =$
 
$\dfrac{- 1 + 0,5n\times 0,5^n - (n + 1) \times 0,5^n }{n(n + 1)} = \dfrac{- 1 + 0,5^n(0,5n - n - 1)}{n(n + 1)} = \dfrac{- 1  + 0,5^n(- 0,5n - 1)}{n(n + 1)} =$

$ - \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

Les deux termes du quotient sont supérieurs à zéro, donc pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : 

$u_{n+1}- u_{n} < 0$, ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante (vers zéro).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Retour à l'algorithmique }

\begin{center}

%En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$. 
\begin{tabularx}{0,6\linewidth}{|l|X|} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\\hline
Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\\hline
Traitement &Tant que $u \geqslant 0,001$\\
&\hspace*{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n \times u + 1}{2(n + 1)}$\\ 
&\hspace*{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ \hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie&Afficher la variable $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématique }

\medskip

%Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
%
%Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
%
%Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes : 
%\begin{itemize}
%\item sur l'île A : 80\:\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30\:\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
%\item sur l'île B : 20\:\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et  70\:\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$. \\
%
%\bigskip

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

%\parbox{6cm}{On donne ci-contre un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux îles,  pour chaque année comprise entre 2013 et une année  choisie par l'utilisateur.}\hfill
%\parbox{8cm}{\fbox{\begin{minipage}{7cm}
%\textbf{\emph{Début de l'algorithme}}\\
%Lire $n$\\
%Affecter à $a$ la valeur 20\\
%Affecter à $b$ la valeur 10\\
%Affecter à $i$ la valeur 2013\\
%Afficher $i$\\
%Afficher $a$\\
%Afficher $b$\\ 
%Tant que $i < n$ faire\\
%\hspace*{1cm} Affecter à $c$ la valeur $(0,8a + 0,3b)$\\
%\hspace*{1cm} Affecter à $b$ la valeur $(0,2a + 0,7 b)$\\
%\hspace*{1cm} Affecter à $a$ la valeur $c$\\
%Fin du Tant que\\
%\textbf{\emph{Fin de l 'algorithme}}
%\end{minipage}}}

\begin{enumerate}
\item %Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger. 
Tant que $i < n$ faire

\hspace*{1cm} Affecter à $i$ la valeur $i + 1$

\hspace*{1cm} Afficher $i$

\hspace*{1cm} Affecter à $c$ la valeur $(0,8a + 0,3b)$

\hspace*{1cm} Afficher $c$

\hspace*{1cm} Affecter à $b$ la valeur $(0,2a + 0,7 b)$

\hspace*{1cm} Afficher $b$

\hspace*{1cm} Affecter à $a$ la valeur $c$

Fin du Tant que
\item %On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.

%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{13cm}
%$\star\star\star$ Algorithme lancé $\star\star\star$\\
%En l'année 2013, $a$ prend la valeur 20  et $b$ prend la valeur 10\\ 
%En l'année 2014, $a$ prend la valeur 19 et $b$ prend la valeur 11\\
%En l'année 2015, $a$ prend la valeur 18,5 et $b$ prend la valeur 11,5\\
%En l'année 2016, $a$ prend la valeur 18,25 et $b$ prend la valeur 11,75\\
%En l'année 2017, $a$ prend la valeur 18,125 et $b$ prend la valeur 11,875\\
%En l'année 2018. $a$ prend la valeur \np{18,0425} et $b$ prend la valeur \np{11,9375}\\ 
%En l'année 2019, $a$ prend la valeur \np{18,03125} et $b$ prend la valeur \np{11,96875}\\ 
%En l'année 2020, $a$ prend la valeur \np{18,015625} et $b$ prend la valeur \np{11,984375}\\ 
%$\star\star\star$ Algorithme terminé $\star\star\star$
%\end{minipage}}
%\end{center}
%Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
Au vu de ces résultats, la suite $\left(a_{n}\right)$ semble décroître vers 18 et la suite $\left(b_{n}\right)$ semble croître vers 12.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique}

\medskip

%On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

%On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
$a_{n}$ et $b_{n}$ étant les nombres respectifs d'oiseaux présents sur les îles A et B au début de l'année $203 + n$, on a l'année suivante :

sur l'île A, 80\,\% des oiseaux de l'île A de l'année précédente et et 30\,\% des oiseaux de l'île B de l'année précédente, soit :

$a_{n+1} = 0,8a_{n} + 0,3b_{n}$,

sur l'île B, 20\,\% des oiseaux de l'île A de l'année précédente et et 70\,\% des oiseaux de l'île B de l'année précédente, soit :

$b_{n+1} = 0,2a_{n} + 0,7b_{n}$.

Donc avec $M = \begin{pmatrix}0,8&0,3\\0,2&0,7 \end{pmatrix}$, on a bien $U_{n+1} = MU_{n}$.
\item %À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout  entier naturel $n\geqslant 1$ : 
%\[M^{n}=
%\begin{pmatrix}
%0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\
%0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n}
%\end{pmatrix}.\]
%
%On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.
\emph{Initialisation} :

$M^1 = \begin{pmatrix}0,6 + 0,4\times 0,5^1&0,6 - 0,6 \times 0,5^1\\0,4 - 0,4 \times 0,5^1&0,4 + 0,6 \times 0,5^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8&0,3\\0,2&0,7\end{pmatrix} = M$. La propriété est vraie au rang $1$.

\emph{Hérédité} : on suppose que pour $p \in \N$, on a $M^p = \begin{pmatrix}0,6 + 0,4 \times 0,5^p&0,6 - 0,6 \times 0,5^p\\0,4 - 0,4\times 0,5^p&0,4 + 0,6\times 0,5^p\end{pmatrix}$.

Alors $M^{p+1} = M \times M^p = \begin{pmatrix}0,8&0,3\\0,2&0,7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,6 + 0,4 \times 0,5^p&0,6 - 0,6 \times 0,5^p\\0,4 - 0,4\times 0,5^p&0,4 + 0,6\times 0,5^p\end{pmatrix}$.

Le premier coefficient de cette matrice est :

$0,8 \times \left(0,6 + 0,4 \times 0,5^p \right) + 0,3 \times \left(0,4 - 0,4 \times 0,5^p \right) = 0,48 + 0,32 \times 0,5^p + 0,12 - 0,2 \times 0,5^p =$

$0,6 + 0,2 \times 0,5^p = 0,6 + (0,4 \times 0,5) \times 0,5^p = 0,6 + 0,4 \times 0,5 ^{p+1}$.

On démontrerait de la même façon que :

$M^{p+1} = \begin{pmatrix}0,6 + 0,4 \times 0,5^{p+1}&0,6 - 0,6\times 0,5^{p+1}\\0,4 - 0,4 \times 0,5^{p+1}&0,4 + 0,6 \times 0,5^{p+1}\end{pmatrix}$.

La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

La propriété est vraie au rang 1  et est héréditaire à partir du rang 1 : d'après le principe de récurrence elle est donc vraie quel que soit le naturel $n \in \N, n \geqslant 1$. 
\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

\item %Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.
On admet donc que pour $n \in \N, n \geqslant 1, \quad U_{n} = M^n U_{0}$ soit :

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6 + 0,4 \times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\0,4 - 0,4 \times 0,5^{n}&0,4 + 0,6 \times 0,5^{n}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}
 = 10$

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\left(0,6 + 0,4  \times 0,5^n\right) + 10 \left(0,6 - 0,6 \times 0,5^n \right)\\20\left(0,4 - 0,4 \times 0,5^n\right) + 10\left(0,4 + 0,6 \times 0,5^n \right)\end{pmatrix}$.

Finalement quel que soit $n \in \N, n \geqslant 1$ :

$a_{n} = 20\left(0,6 + 0,4 \times 0,5^n\right) + 10\left(0,6 - 0,6 \times 0,5^n\right) = 12 + 8 \times 0,5^n + 6 - 6 \times 0,5^n = 18 + 2 \times 0,5^n$.
\end{enumerate}

Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$. Il s'ensuit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2 \times 0,5^n = 0$ et donc que 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 18$.

Au bout de quelques années la population sur l'île A va se rapprocher de 18 millions (au bout de 10 ans  : $\approx 18,002$)
\end{document}