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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{17 juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{Correction du baccalauréat S Centres étrangers\\ 17 juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points : 
%\[\text{A}(2~;~1~;~-1),~ ~ \text{B}(-1~;~2~;~4), ~ ~ \text{C}(0~;~-2~;~3), ~ ~ \text{D}(1~;~1~;~-2)\]
%et le plan $\mathcal{P}$ d'équation  $x - 2y + z + 1 = 0$.\\
%\emph{Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l'un des deux mots {\rm \textbf{VRAI}} ou {\rm \textbf{FAUX}} correspondant à la réponse choisie.\\
%Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse
%n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
% Si le total est négatif,\dots\dots la note de l'exercice est ramenée à $0$.}
\begin{enumerate}
\item  Affirmation 1 : VRAI.

 On a $\vect{\text{AB}}(-3~;~1~;~5)$ et $\vect{\text{AC}}(-2~;~-3~;~-4)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C définissent un plan.
%les points A, B et C définissent un plan.
\item  Affirmation 2 : FAUX.

On a A $\in \mathcal{P} \iff 2 - 2 - 1 + 1 = 0 : \text{vrai}$

C $\in \mathcal{P} \iff 0 + 4 + 3 + 1 = 0 : \text{faux}$
 
La droite (AC) n'est donc pas incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\item  Affirmation 3 : VRAI\\
%une équation cartésienne du plan (ABD) est : $x + 8y - z -11 =  0$.
Dans l'affirmative un vecteur normal à ce plan serait $\vect{n}(1~;~8~;~-1)$. On a 

$\vect{\text{AD}}(-1~;~0~;~-1)$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = -3 + 8 - 5 = 0$, donc $\vect{n}$ est bien orthogonal à $\vect{\text{AB}}$ ; de même $\vect{n}{}\cdot{} \vect{\text{AD}} = - 1 + 0 +1 = 0$, donc $\vect{n}$ est bien orthogonal à $\vect{\text{AD}}$.

Enfin A appartient à ce plan si ses coordonnées vérifient l'équation proposée soit : $2 + 8 +1 - 11 = 0$ qui est vraie
\item  Affirmation 4 : FAUX

%une représentation paramétrique de la droite (AC) est :\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=&2k\\ y&=& 2 + 3k\\ z&=& 3 - 4k
%\end{array}\right.~~(k \in \R).\]
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AC}) \iff \text{il existe} {}\lambda \in \R$ tel que $\vect{\text{A}M} = \lambda \vect{\text{AC}}\iff \left\{\begin{array}{l c r} 
x - 0&=&-2\lambda\\
y + 2&=&- 3\lambda\\
z-3&=&4\lambda\\
\end{array}\right. \\
\iff 
\left\{\begin{array}{l c r} 
x &=&-2\lambda\\
y &=&-2 - 3\lambda\\
z&=&3+ 4\lambda\\
\end{array}\right.$ En prenant $k = - \lambda$ on obtient :  $\left\{\begin{array}{l c r} 
x &=&2k\\
y &=&-2 + 3k\\
z&=&3- 4k\\
\end{array}\right.$.	
\item  Affirmation 5 : FAUX

%les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
On a $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{CD}} = - 25$ : ces vecteurs ne sont pas orthogonaux, les droites non plus.
\item  Affirmation 6 : FAUX

% la distance du point C au plan $\mathcal{P}$ est égale à $4\sqrt{6}$
On a $d(\text{C},~\mathcal{P}) = \dfrac{|8|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \dfrac{8}{\sqrt{6}} = \dfrac{8\sqrt{6}}{6} = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$.
\item  Affirmation 7 : VRAI

%la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathcal{P}$.
On a $d(\text{D},~\mathcal{P}) = \dfrac{|1-2-2+1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$. La distance de D au plan est égale au rayon de la sphère, donc la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est bien tangente au plan $\mathcal{P}$.
\item  Affirmation 8 : VRAI

%le point E$\left(- \dfrac{4}{3}~ ;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$.
La perpendiculaire à $\mathcal{P}$ contenant C a pour équations paramétriques :\\
$ \left\{ \begin{array}{l c r}
x - 0&=&\lambda\\
y+2&=&-2\lambda\\
z- 3&=&\lambda\\
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c r}
x &=&\lambda\\
y&=&-2 -2\lambda\\
z-&=&3+\lambda\\
\end{array}\right. $

Les coordonnées du  point E commun à cette droite et au plan  vérifie l'équation de $\mathcal{P}$ soit $\lambda - 2(- 2 - 2\lambda) + 3 + \lambda + 1 = 0 \iff \lambda + 4 + 4\lambda + 4 + \lambda = 0 \iff 6\lambda + 8 = 0 \iff \lambda = - \dfrac{4}{3}.$

On a donc E$\left(- \dfrac{4}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{5}{3} \right)$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  $z^2 + 4z + 8 =  0 \iff (z + 2)^2 - 4 + 8 =0 \iff (z + 2)^2 = -4 \iff (z + 2)^2 = (2\text{i})^2$, d'où les deux solutions $z_{1} = -2 + 2\text{i}$ et $z_{2} = - 2 -2\text{i}$.\\
On a $\left|z_{1}\right| = \left|z_{2}\right| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}.$\\
D'où $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right) =  2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.$\\
De même  $z_{2} = 2\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \text{i}\sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right] = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{3\text{i}\pi}{4}}.$
%Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation: 
%\[z^2 + 4z + 8 =  0.\]
% On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
\item  Figure :

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-7)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-3,-7)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-7)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,-2)(-2,2)(-2,-2)(2,-6)
\uput[l](2,-2){A} \uput[l](-2,2){B}\uput[l](-2,-2){C}\uput[l](2,-6){D}
\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1ptr](2,-2)(-2,2)(-2,-2)(2,-6)
\pscircle(0,-4){2.828}
\uput[ur](0,-4){$G_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 -  2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
	\begin{enumerate}
		\item  
		%Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		Par définition de la rotation :$z_{\text{C}} - z_{\text{O}} = \text{i}\left(z_{\text{B}} - z_{\text{O}} \right) \iff z_{\text{C}} =  \text{i}(- 2 +2\text{i} ) = -2 - 2\text{i} = z_{2}$
		\item  
		%On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$
%	du point D est $d =2 - 6\text{i}$.
On a : $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = \text{i}\left(z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right) \iff z_{\text{D}} = 2 -  2\text{i} + \text{i}\left( -2 - 2\text{i} - 2 + 2 + 2\text{i} \right) = 2 - 6\text{i}$
		\item  
		%Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
		On a $\vect{\text{AB}}(-4~;~4)$ et $\vect{\text{DC}}(-4~;~4)$, donc $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{DC}} \iff$ (ABCD) est un parallélogramme
 	\end{enumerate}
\item 
%$\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système :
%\[\left\{(\text{A}~;~ 1)~;~(\text{B}~;~ -1)~ ;~(\text{C}~;~\alpha)\right\}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  
		%Exprimer le vecteur $\vect{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}.$
		Par définition $G_{\alpha}$ existe car $1 - 1 + \alpha \neq 0$ et $1\vect{G_{\alpha}\text{A}} - 1\vect{G_{\alpha}\text{B}} + \alpha\vect{G_{\alpha}\text{C}} = \vect{0} \iff \alpha\vect{\text{C}G_{\alpha}} = \vect{\text{BA}} \iff \vect{\text{C}G_{\alpha}} = \dfrac{1}{\alpha}\vect{\text{BA}}$ (puisque $\alpha \neq 0)$.
		\item  
		%En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
L'égalité précédente montre que les vecteurs $\vect{\text{C}G_{\alpha}} $ et $\vect{\text{BA}}$ sont colinéaires, donc que le point $G_{\alpha}$ appartient à la parallèle à la droite (AB) contenant C. Comme $\alpha \in \R*,~\dfrac{1}{\alpha}
 \in \R*$, donc $G_{\alpha}$ ne peut être en C.
 
L'ensemble des points $G_{\alpha}$ est donc la parallèle à (BA) contenant C ou encore la droite (CD) privée du point C puisque (ABCD) est un parallélogramme.
 		\item  Par définition (ABCD) est un parallélogramme $\iff \vect{\text{DB}} = \vect{\text{DA}} + \vect{\text{DC}} \iff \vect{\text{DA}} - \vect{\text{DB}} + \vect{\text{DC}} = \vect{0} \iff $ D est le barycentre du système $\{(\text{A},~1),~(\text{B},~-1),~(\text{C},~1)$.
		
Conclusion $G_{\alpha}= $ D pour $\alpha = 1.$
		%Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ?
 	\end{enumerate}
\item 
%On suppose dans cette question que $\alpha =  2$.\\
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse,
%sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
\medskip
	
%Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
%	\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\]
On a donc $G_{2}
$ barycentre de (A, 1), (B,~$-1$) et (C, 2) équivaut à 
$\vect{G_{2}\text{A}} - \vect{G_{2}\text{B}} + 2\vect{G_{2}\text{C}} = \vect{0}$.

Donc $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2} \iff\\ \left\|\vect{MG_{2}} + \vect{G_{2}\text{A}} - \vect{MG_{2}} - \vect{G_{2}\text{B}} + 2\vect{MG_{2}} + 2 \vect{G_{2}\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2} \iff 
2\vect{MG_{2}} = 4\sqrt{2} \iff 2G_{2}M = 4\sqrt{2} \iff G_{2}M = 2\sqrt{2}$.

Cette dernière égalité montre que les points $M$ appartiennent au cercle de centre $G_{2}$ de rayon $2\sqrt{2}$.

Construction : comme $\vect{\text{C}G_{2}} = \dfrac{1}{2}\text{BA}$, on en déduit que $G_{2}$ est le milieu de [CD] et on a facilement $G_{2}\text{D} = 2\sqrt{2} = G_{2}\text{C}$.

L'ensemble cherché est donc le cercle centré au milieu de [CD] et de diamètre [CD] .
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} l'unité graphique est 2~cm.\\
%On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives:
%\[a = 2,~~ b = 2 + 3\text{i},~~ c=3i,~~ d=- \dfrac{5}{2}+3\text{i} ~~\text{et}~~e = - \dfrac{5}{2}.\]
\begin{enumerate}
\item  
%Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
Figure :

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,0)(2,3)(0,3)(-2.5,3)(-2.5,0)
\uput[ur](2,0){A} \uput[ur](2,3){B} \uput[u](0,3){C} 
\uput[ur](-2.5,3){D}  \uput[ul](-2.5,0){E}\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=1.25pt](2,0)(2,3)(-2.5,3)(-2.5,0)
\rput(0.015,0.015){\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(2,0)(2,3)(0,3)}
\psline(0,0)(2,3) \psline(2,0)(-2.5,3) \uput[ur](0.7,0.9){$\Omega$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
%On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.\\
% Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.
On a $\vect{\text{OA}}(2~;~0)$ et $\vect{\text{CB}}(2~;~0)$, donc $\vect{\text{OA}} = \vect{\text{CB}} \iff $ (OABC) est un parallélogramme ; de plus OB $ = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ et AC $ = \sqrt{2^2 + 3^2}= \sqrt{13}$, donc AC = OB ce qui montre que (OABC) est un rectangle.

De même $\vect{\text{AE}}(-4,5~;~0)$ et $\vect{\text{BD}}(-4,5~;~0)$, donc (ABDE) est un parallélogramme et comme (AB) est perpendiculaire à (AE), (ABDE) est un rectangle.

De plus le format (rapport longueur sur largeur) de ces deux rectangles est égal à $\dfrac{3}{2}$ : ils sont donc semblables.
\item  \textbf{Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE}
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B.
		L'écriture complexe de la similitude complexe $s$ est $z' = az + b$.
		
$\text{A} = s(\text{O}) \iff 2 =  b$ ;

$\text{B} = s(\text{A}) \iff 2 + 3\text{i} =  b$ ;

On obtient donc $b = 2 $ et $a = \dfrac{3}{2}\text{i}.$

\[s : \quad z \longmapsto z' = \dfrac{3}{2}\text{i}z + 2 .\]
		\item 	
		%Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE.
On a $z_{s(\text{B})} =  \dfrac{3}{2}\text{i}(2 + 3\text{i}) + 2  =  -\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i} = z_{\text{D}}$ et comme les rectangles sont semblables, l'image de C est E.
		\item 	
		%Quel est l'angle de la similitude $s$ ?
		L'image de la droite (OA) est la droite (AB) : l'angle de la similitude est donc égale à $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item 	
		%Soit $\Omega$ le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$, démontrer que le point
%$\Omega$ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point $\Omega$.
On a $s \circ s(\text{O}) = \text{B},~s \circ s(\text{A}) = \text{D}$. Cette composée de similitudes est une similitude d'angle $\pi$, donc O, $\Omega$ et B d'une part, A, $\Omega$ et D d'autre part sont alignés : $\Omega$ appartient donc aux droites (OB) et (AD). D'où la position du point $\Omega$.

		\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED}
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui
%laisse A invariant est :
%\[ z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z}+ 2 +3\text{i}\]
%où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
L'écriture complexe de la similitude indirecte est $z' = a\overline{z} + b.$\\
On a donc $z_{s(\text{O})} = z_{\text{B}} = az_{\text{O}} + b \iff  2 + 3\text{i} = b$, et d'autre part \\
$z_{s(\text{A})} = z_{\text{A}} \iff 2 = 2a + b$.\\
On en déduit que $b = 2 + 3\text{i}$ et $a = - \dfrac{3}{2}\text{i}$.
\[s' ; \quad z \longmapsto z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z} + 2 + 3\text{i}.\]
		\item 	
		%Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED.
On a $z_{s'(\text{B})} = - \dfrac{3}{2}\text{i}(2 - 3\text{i} + 2 + 3\text{i} = -3\text{i} - \dfrac{9}{2} + 2 + 3\text{i} = - \dfrac{5}{2}  = z_{\text{E}}$ et comme les rectangles sont semblables l'image de C est D.
		\item 	
%		\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d 'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
%	Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
Soit F$(x~;~y)$ un point fixe de $s'$ ; on a donc $x + \text{i}y = - \dfrac{3}{2}\text{i}(x - \text{i} y) + 2 + 3\text{i}$, ce qui donne le système :\\
$\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&- \dfrac{3}{2}y + 2\\
y&=&- \dfrac{3}{2}x + 3\\
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l}
2x + 3y&=&4\\
3x+2y&=&6\\
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&2\\
y&=&0\\
\end{array}\right.$

Il y a donc un seul point fixe, le point A.

De $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z} + 2 + 3\text{i}$ et $2 =  
- \dfrac{3}{2}\text{i}\times 2 + 2 + 3\text{i}$, on obtient par différence :\\
$z' - 2 = - \dfrac{3}{2}\text{i}\left(\overline{z} - 2\right)$.\\
On voit que si on nomme $\sigma$ la réflexion d'axe (OA); on a $\sigma(z) = z_{1}$, puis $z' - 2 = - \dfrac{3}{2}\text{i}\left(z_{1} - 2\right)$ , donc $M'$ est l'image de $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ par la similitude directe de rapport $\dfrac{3}{2}$  d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de centre le point A.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] les ingénieurs ;
%\item[$\bullet~$] les opérateurs de production;
%\item[$\bullet~$] les agents de maintenance.
%\end{itemize}
%Il y a 8\:\% d'ingénieurs et 82\:\% d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50\:\% des ingénieurs, 25\:\% des agents de maintenance et 60\:\% des opérateurs de production.

\medskip

\textbf{I. Partie A}

%Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.

%On note:
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] M l'évènement : \og le personnel interrogé est un agent de maintenance \fg ;
%\item[$\bullet~$] O l'évènement: \og le personnel interrogé est un opérateur de production \fg;
%\item[$\bullet~$] I l'évènement: \og le personnel interrogé est un ingénieur \fg;
%\item[$\bullet~$] F l'évènement: \og le personnel interrogé est une femme \fg.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
%Construire un arbre pondéré correspondant aux données.
Arbre de probabilités :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$I$}\taput{0,08}}
	  { 
		  \TR{$F$}\taput{0,50}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,50}	   
	  }
	\pstree{\TR{$O$}\tbput{0,82}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{0,60}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,40} 
	  }
	\pstree{\TR{$M$}\tbput{0,10}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{0,25}
		   \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,75}
	  }	
}
\end{center}
\item  %Calculer la probabilité d'interroger :
	\begin{enumerate}
		\item  
		%un agent de maintenance ;
		$p(M) =1 - 0,08 - 0,82 = 0,10$.
		\item %une femme agent de maintenance ;
		$p(M \cap F) = 0,10 \times 0,25 = 0,025$. 
		\item 
		%une femme.
		$p(F) = p(F \cap I) + p(F \cap O) + p(F \cap M) = 0,08 \times 0,5 + 0,82 \times 0,6 + 0,1 \times 0,25 = 0,557$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{II. Partie B}

%Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,002$ ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à $0,003$ ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne se produise est égale à $0,04$.
%\end{itemize}
%On note:
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A l'évènement : \og l'alarme se déclenche \fg ;
%\item[$\bullet~$] B l'évènement : \og une panne se produit \fg ;
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,037$.
On a l'arbre suivant :

\bigskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B$}\taput{0,04}}
	  { 
		  \TR{$A$} 
		  \TR{$\overline{A}$}~ {0,003}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,96}}
	  {
		  \TR{$A$}~{0,002}
		  \TR{$\overline{A}$}	  
	  }
}
\end{center}

\medskip

On a $p\left(B \cap \overline{A}\right) = p(B) \times p_{B}\left(\overline{A}\right) \iff p_{B}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{p\left(B \cap \overline{A}\right) }{p(B) } = \dfrac{0,003}{0,04} = \dfrac{3}{40}$.

On en déduit que $p_{B}\left(A\right) = 1 - \dfrac{3}{40} = \dfrac{37}{40}$.

D'où $p(B \cap A) = p(B) \times p_{B}\left(A\right) = 0,04 \times \dfrac{37}{40}  = 0,037$.

\item  %Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.
$p(B \cap A) + p\left(\overline{B} \cap A\right) = 0,04 \times \dfrac{37}{40} + 0,002 = 0,037 + 0,002 = 0,039$.
\item  %Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.
$p_{A}(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A} = \dfrac{0,037}{0,039} = \dfrac{37}{39}.$
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{I. Restitution organisée des connaissances}

%Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.

%\begin{enumerate}
%\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
%\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
%\end{enumerate}

%\medskip
 
\textbf{II. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$ par :
% \[ f(x) =  x - \dfrac{\ln x}{x^2}.\]
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item  %Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$ par $u(x) =  x^3 - 1 + 2\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$.
La fonction $u$ somme de fonctions dérivables sur $] 0~;~ +\infty[$ est dérivable sur ce même intervalle et

$u^{\prime}(x) = 3x^2 + 2 \times \dfrac{1}{x}> 0$ comme somme de termes positifs. Donc la fonction $u$ est croissante sur $]0~;~ +\infty[$.		
		\item   %Calculer $u(1)$ et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $] 0~;~ +\infty[$.
On a $u(1) = 1 - 1 + 2\ln 1 = 0$.

Conclusion : $u(x) > 0$ sur $]1~;~ +\infty[$ et $u(x) < 0$ sur $]-\infty~;~1[$.
 	\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x^2} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la fonction dérivée de $f$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$.
		$f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ la seconde fonction quotient ayant un dénominateur non nul : elle est donc dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et 
		
$f^{\prime}(x) = 1 - \dfrac{\frac{1}{x}\times x^2 - 2x \ln x}{x^4} = 1 - \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} = \dfrac{x^3 - 1 + 2\ln x}{x^3} = \dfrac{u(x)}{x^3}$.
		
Donc $f^{\prime}(x)$ est du signe de $u(x)$ puisque $x^3 > 0$ sur $]0~;~+\infty[$.
		
D'après la question \textbf{1. b.} on en déduit que $f^{\prime}(x) > 0$ sur $]1~;~+\infty[$ et 

$f^{\prime}(x) < 0$ sur $]-\infty~;~ 1[$.
		
D'où le tableau de variations de la fonction $f$ :
		
\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5) \psline(2.1,0)(2.1,2)\psline(2.15,0)(2.15,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.125,2){$0$} \uput[u](5,2){$1$} 
\uput[u](7.7,2){$+\infty$} \uput[u](1,1.3){$f'(x)$} \uput[u](3.5,1.3){$-$}
\uput[u](5,1.3){$0$} \uput[u](6.5,1.3){$+$} \uput[u](1,0.3){$f(x)$}
\uput[d](2.4,1){$+\infty$} \uput[u](5,0){$1$} \uput[d](7.6,1){$+\infty$}
\psline{->}(2.75,0.8)(4.8,0.3)  \psline{->}(5.2,0.3)(7.2,0.8)  
\end{pspicture}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item Éléments graphiques et tracés. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y =  x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - x] =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$, ceci montre que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item  
		%Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à ($\Delta$). 
Comme $ - \dfrac{\ln x}{x^2} < 0$ pour $x > 1$, ceci montre que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de ($\Delta$) à partir du point (1 ; 1).
		
Sur l'intervalle $]0~;~1[$, $\mathcal{C}$ est au dessus de $\Delta$.

$\mathcal{C}$ et $\Delta$	sont sécantes en 	(1~;~1).
		\item  %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite ($\Delta$).
Figure
		
\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{5.5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.42}{5.5}{x x ln x 2 exp div sub}
\psline(1,0)(1,5.5) \psline(4.2,0)(4.2,5.5)\psline(0.3679,0)(0.3679,7.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{4.2}{x x ln x 2 exp div sub}
\psline(4.2,4.2)(1,1)
} 
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.3679}{1}{x x ln x 2 exp div sub}
\psline(1,1)(0.3679,0.3679)
} 
\rput{90}(1.1,4.8){$x = 1$}\rput{90}(4.3,4.8){$x = \alpha$}\rput{90}(0.2179,4.8){$x = \frac{1}{\alpha}$}\uput[d](0.3679,0){$\frac{1}{\text{e}}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Calculs d'aires}

%On note $\alpha$ un nombre réel strictement positif et on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite ($\Delta$) et les droites d'équation $x =  1$ et $x =  \alpha$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $\alpha >1$.
%  \`A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $\mathcal{A}(\alpha) = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}$.
On a vu que pour $x \geqslant 1,~f(x) \leqslant x$ ; donc 
$\mathcal{A}(\alpha) = \displaystyle\int_{1}^{\alpha}\left(x - \left[x - \dfrac{\ln x}{x^2}\right]\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{\alpha}\dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x$.

On pose :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=&\ln x\\
v^{\prime}(x) &=&\dfrac{1}{x^2}\\
\end{array} \right. \quad 
\begin{array}{l c l}
u^{\prime}(x) &=&\dfrac{1}{x}\\
v(x) &=&-\dfrac{1}{x}
\end{array}\]
 
Toutes ces fonctions étant dérivables sur $[1~;~+ \infty[$ on peut intégrer par parties et ;

$\mathcal{A}(\alpha) = \left[-\dfrac{\ln x}{x}  \right]_{1}^{\alpha} +  \displaystyle\int_{1}^{\alpha} \dfrac{1}{x^2} \:\text{d}x = \left[ -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} \right]_{1}^{\alpha} = -\dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha} + 0 + 1 = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}$.
\item %Déterminer la limite $\ell$ de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} = 0$ et 
 $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty}\dfrac{1}{\alpha} = 0$, on a 
 \[\lim_{\alpha \to + \infty} \mathcal{A}(\alpha) = \ell = 1.\]
 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Démontrer que $\ell = \mathcal{A}\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$.
Comme e $> 2$, on a $\dfrac{1}{\text{e}} < \dfrac{1}{2}< 1$. On a vu que dans ce cas la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $(\Delta)$, donc :

\[\mathcal{A}\left(\alpha\right)  = \int_{\alpha}^1 \left[-\dfrac{\ln x}{x^2}  \right]\:\text{dx}\]

En intégrant par parties comme précédemment les fonctions étant dérivables sur $\left[\alpha~;~1\right]$, on obtient 

\[\mathcal{A}\left(\alpha}\right) = \left[ \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x} \right]_{\alpha}^1 = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}.\]

En particulier $\mathcal{A}\left(\frac{1}{\text{e}}}\right) = 1 - \dfrac{\ln \frac{1}{\text{e}}}{\frac{1}{\text{e}}} - \dfrac{1}{\frac{1}{\text{e}}} = 1 - \dfrac{- 1}{\frac{1}{\text{e}}} - \dfrac{1}{\frac{1}{\text{e}}} = 1 = \ell$.
 
\end{enumerate}
\end{document}