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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Paul Goualard
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S  Métropole~\decofourright\\21 juin 2017}}}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 7 points}}
\label{courbe}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A }}

\bigskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
Pour tout $x$, $h(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}$ ; d'après les croissances comparées, \\
$\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0}}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
$h$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.

$h=u\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\w(x)-x\end{cases}$.

$h'=\left(u\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\left(\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\times w'\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u'(x)=&\\w'(x)=-1\end{cases}$.

On en déduit : $h'(x)=\mathrm{e}^{-x}+x\times (-1)\mathrm{e}^{-x}$ donc, après factorisation par $\mathrm{e}^{-x}$ : $\boxed{\textcolor{red}{h'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}}}$.

Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ ; $h'(x)=0\iff 1-x=0\iff x=1$ et \\$
h'(x)>0\iff 1-x>0\iff x<1$.

$h(0)=0$ et $h(1)=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation : }}

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\filet
h'(x)&&\c&\h{\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,37}&\d&0\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\item L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$. 

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : 
%\[h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)\]
% où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$.
Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}-h'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(1-x)\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ donc 
\[\boxed{\textcolor{red}{h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)}}\]

\item %Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction \\
%$x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$.
Soit la fonction $v:x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$ ; $v(x)=-(-1)\mathrm{e}^{-x}=-w'(x)\mathrm{e}^{w(w)}$ (avec les notations précédentes) donc une primitive de $v$ est \[\boxed{\textcolor{red}{V:x\longmapsto -\mathrm{e}^{w(x)}=-\mathrm{e}^{-x}}}\]

\item %Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
Soit $H$ une primitive de $h$.

$h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)$ donc $H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-h(x)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=-(x+1)\mathrm{e}^{-x}}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B }}

\bigskip

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: 
\[f(x) =x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\text{\hspace{2cm}et\hspace{2cm}} g(x) =\ln(x + 1).\]
 
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.


\bigskip


\begin{enumerate}
\item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale. 
$M$ et $N$ ont la même abscisse et $f(x)\geqslant g(x)$ (car $x+1\geqslant 1$ donc \\
$\ln(x+1)\geqslant 0$).

D'où $MN=f(x)-g(x)=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ : $\boxed{\textcolor{red}{MN = h(x) = x\mathrm{e}^{-x}}}$.

\item %Placer sur le graphique fourni en annexe page \pageref{fin} les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN. 
D'après l'étude des variations de $h$, \,$MN$ est maximum pour $x=1$.

\begin{center}

\psset{xunit=2cm,yunit=3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.5)(5,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(5.2,2.4)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=blue]{0}{5.2}{x*EXP(-x)+ln(x+1.0)}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{0}{5.2}{ln(x+1.0)}
\psline(3.7,-0.1)(3.7,0.1)
\uput[d](3.7,0){$\lambda$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1](1,1.06)(1,0.69)
\uput[ul](1,1.06){M}
\uput[dr](1,0.69){N}
\psline(1,1.06)(1,0.69)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{3.7}{x*EXP(-x)+ln(x+1)}
\psplot[linewidth=1.5pt]{3.7}{0}{ln(x+1)}}
\uput[u](4,1.68){$\mathcal{C}_f$}
\uput[d](4.2,1.65){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x =0$ et $x =\lambda$. 

\begin{enumerate}
\item %Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique.
Hachurons le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique. (voir ci-dessus)


\item %On note $A_{\lambda}$. l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : 
%\[A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\]
$A_{\lambda}=\int_0^\lambda(f(x)-h(x))\text{ d}x=\int_0^1h(x)=H(\lambda)-H(0)=-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}-(-1)\\
=1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$ : 
\[\boxed{\textcolor{red}{A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}}}.\]

\item %Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. 
$A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}+\dfrac{1}{\lambda}$.

$\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)=0$ et $\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}\right)=0$ (croissances comparées).

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}A_{\lambda}=1}}$.

L'aire entre les deux courbes (pour $0\leqslant x$) vaut 1.

\end{enumerate}	

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{|ll|} \hline
\textbf{Variables :}&\\
&$\lambda$ est un réel positif\\
&$S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\
\textbf{Initialisation :}&\\
&Saisir $S$\\
&$\lambda$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}&\\
&Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}<S$ faire\\
&$\lambda$ prend la valeur $\lambda+1$\\
&Fin Tant Que\\
\textbf{Sortie :}&\\
&Afficher $\lambda$\\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item %Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S=0,8$ ?
À la calculatrice, on obtient : 

\[\begin{array}{|*2{c|}}\hline
\lambda&1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}\\
\hline
0&0\\
\hline
1&	0,264241118\\
\hline
2&0,59399415\\
\hline
3&0,800851727\\
\hline
\end{array}\]

\textbf{\textcolor{red}{L'algorithme affichera donc 3}}.

\item %Quel est le rôle de cet algorithme ?
L'algorithme calcule la plus petite valeur entière de $\lambda$ pour laquelle \\
$A_{\lambda} >S$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}

\textbf{commun à tous les candidats}

\bigskip

L'espace est mini d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $2x-z-3=0$.

On note A le point de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ où $a$ est un nombre réel.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que, quelle que soit la valeur de $a$, le point A n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$.
$2x_A-z_A-3=2-a^2-3=-1-a^2<0$ donc A n'appartient pas à $\mathcal{ P}$ (puisque ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de $\mathcal{P}$).

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ (de paramètre $t$) passant par le point A et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
$\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$ ; c'est aussi un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

$\mathcal{D}$ passe par A donc une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
\[\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}\]

\item Soit M un point appartenant à la droite $\mathcal{D}$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.

%Exprimer la distance AM en fonction du réel $t$.
$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}2t\\0\\-t\end{pmatrix}$ ; on en déduit que $AM=\sqrt{(2t)^2+(-t)^2}=\sqrt{5t^2}=\left\vert t \right\vert\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AM=\left\vert t \right\vert\sqrt{5}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\parbox{4.5cm}{On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale à $\mathcal{P}$ et passant par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ et la distance AH est appelée distance du point A au plan $\mathcal{P}$.}\hfill
\parbox{7cm}{\begin{center}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(12.,7.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(7.,-1.)(10.,3.)(3.,4.)
\psline(0.,0.)(7.,-1.)
\psline(7.,-1.)(10.,3.)
\psline(10.,3.)(3.,4.)
\psline(3.,4.)(0.,0.)
\rput[tl](0.72,0.86){$\mathcal{P}$}
%\psplot{-1.}{12.}{(-15.5--4.*x)/3.}
%\psplot{-1.}{12.}{(--15.5-1.*x)/7.}
\psline(5.,7.)(5.,1.5)
\psline[linestyle=dashed](5,1.5)(5,-0.71)
\psline(5,-0.71)(5,-2)
\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
%\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,-1.)
%\rput[bl](7.08,-0.8){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10.,3.)
%\rput[bl](10.08,3.2){\blue{$C$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.,4.)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,1.5)
\rput[bl](5.08,1.7){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*](5.,5.)
\rput[bl](5.08,5.2){$A$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,-0.7142857142857143)
%\rput[bl](5.08,-0.6){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*](4.568,0.924)
%\rput[bl](4.64,1.12){\xdxdff{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*](5.8624,1.3768)
%\rput[bl](5.94,1.58){\xdxdff{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*](5.,2.)
%\rput[bl](5.08,2.2){\xdxdff{$J$}}
\psline(4.57, 0.92)(5,1.5)
\psline(5.86,1.38)(5,1.5)
\psline(4.78,1.71)(5,2)
\psline(5.43,1.94)(5,2)
\psline(4.78,1.21)(4.78,1.71)
\psline(5.43,1.94)(5.43,1.44)
\uput[r](5,6){$\mathcal{D}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\item %Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ au plan $\mathcal{P}$ est minimale. Justifier la réponse.
$H$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$.

$H$ est associé à un nombre $t_H$, solutio n du système :

$\begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2x-z-3=0\end{cases}\iff \begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2+4t-a^2+t-3=0\end{cases}\iff \begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2\\t=\dfrac{a^2+1}{5}\\\end{cases}$.

H est donc associé à la valeur $t_H=\dfrac{a^2+1}{5}$.

On a alors : $AH=\left\vert t_H \right\vert\sqrt{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a^2+1}{\sqrt{5}}}}$.

$a\mapsto a^2+1$ admet un minimum pour $a=0$ donc la distance de A au plan $\mathcal{P}$ est minimum pour $a=0$ et vaut alors $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}}$
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie.

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.

L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante :

\begin{center}
\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.03cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-130.,-130.)(130.,130.)
\pscircle(0.,0.){0.6}
\pscircle(0.,0.){1.2}
\pscircle(0.,0.){1.8}
\pscircle(0.,0.){2.4}
\pscircle(0.,0.){3.}
\rput[tl](11.763406374095203,-2.1183288593829452){20}
\rput[tl](30.32335436602127,-2.94321543680188){40}
\rput[tl](50.94551880149468,-3.7681020142208146){60}
\rput[tl](71.15523994825863,-5.8303184577681515){80}
\rput[tl](88.89030136276575,-6.655205035187086){100}
\rput[tl](108.68757922082023,-4.59298859163975){Est}
\rput[tl](-8.446314772668737,112.54090540184897){Nord}
\uput[l](-95,0){Ouest}
\rput[tl](-1.0223355758983101,-106.05403761416872){Sud}
%\psplot{-110.}{110.}{(-0.--1.*x)/1.}
%\psplot{-110.}{110.}{(-0.-1.*x)/1.}
\rput[tl](-73.19991110005525,-52.848853370647426){5}
\rput[tl](-57.114622840385984,-38.000894977106604){4}
\rput[tl](-42.26666444684513,-23.977823160984713){3}
\rput[tl](-27.83114934201374,-12.429411077119628){2}
\rput[tl](-12.57074765976342,1.1812174502927935){1}
\rput[tl](99.61382686921192,38.30111343414485){A}
\rput[tl](47.64597249181893,98.93027687443656){B}
\rput[tl](-39.792004714588316,103.4671530502407){C}
\rput[tl](-104.95804433068429,47.787309074462605){D}
\rput[tl](-98.3589517113328,-41.71288457549181){E}
\rput[tl](-38.96711813716938,-95.33051210772257){F}
\rput[tl](58.78194128697457,-85.84431646740481){G}
\rput[tl](99.20138358050245,-41.300441286782345){H}
\psline(0.,-110.)(0.,110.)
\psplot{-100.}{100.}{(-0.-0.*x)/1.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[dl](10,0){\blue{$O$}}
%\rput[bl](-10.096087927506609,9.017639935772673){$c$}
%\rput[bl](-20.407170145243313,25.927814772860835){$d$}
%\rput[bl](-30.30580907427055,42.83798960994899){$e$}
%\rput[bl](-40.204448003297784,60.16060773574662){$f$}
%\rput[bl](-50.10308693232502,77.07078257283479){$g$}
%\rput[bl](-115.269126548421,-120.90199600770954){$h$}
%\rput[bl](-123.93043561131982,124.914204063133){$i$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,-70.71067811865476)
%\rput[bl](-69.07547821296056,-68.10925505289772){\darkgray{$A$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,70.71067811865476)
%\rput[bl](72.39256981438703,73.35879297444957){\darkgray{$B$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,70.71067811865476)
%\rput[bl](-69.07547821296056,73.35879297444957){\darkgray{$C$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,-70.71067811865476)
%\rput[bl](72.39256981438703,-68.10925505289772){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](3.1020973111963714,124.914204063133){$j$}
%\rput[bl](-173.01118696774654,3.6558771825495975){$k$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,100.)
%\rput[bl](1.4523241563584988,102.64226647282176){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,-100.)
%\rput[bl](1.4523241563584988,-97.3927285512699){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-100.,0.)
%\rput[bl](-98.3589517113328,2.4185473164211952){\darkgray{$G$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](100.,0.)
%\rput[bl](101.67604331275926,2.4185473164211952){\darkgray{$H$}}
\psline(-70.71,-70.71)(70.71,70.71)
\psline(70.71,-70.71)(-70.71,70.71)
\psdot[dotstyle=x](22.9,45.31)
\uput[r](22.9,45.31){P}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l'écran, cinq cercles concentrique correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l'ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H. 

\medskip

L'écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. 

\medskip

On assimile l'écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ de la manière suivante : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item l'origine O marque la position du capteur ;

\item l'axe des abscisses est orienté d'Ouest en Est ;

\item l'axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;

\item l'unité choisie est le kilomètre. 
\end{enumerate}

Dans la suite, un point de l'écran radar est associé à un point d'affixe z. 

\begin{center}
\textbf{PARTIE A}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}

\item On note $z_P$ l'affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle $r$ le module de $z_P$ et $\theta$ son argument dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. 

%Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour $r$ et pour $\theta$ (aucune justification n'est demandée) : 
%
%$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
%\textbf{Proposition A }&\textbf{Proposition B }&\textbf{Proposition C }&\textbf{Proposition D }\\
%\hline
%40 < r < 60 &20 < r < 40 &40 < r < 60 &0< r < 60 \\
%\text{et}&\text{et}&\text{et}&\text{et}\\
%0<\theta<\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{2}<\theta<-\dfrac{\pi}{4}\\
%\hline
%\end{array}$

$r=z_P$ ; d'après le dessin, $40<r<60$.

$\theta=\arg\left(z_P\right)$ ; P est dans le secteur B, donc $\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$.

\fbox{\textcolor{red}{La réponse est la proposition C}}.

\item Un impact de foudre est matérialisé sur l'écran en un point d'affixe $z$. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient : 

\begin{enumerate}
\item %$z =70\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3} $ ;
Si $z =70\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3}$, son module est $r=70$ et un argument est $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$, compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{4}$.

\fbox{\textbf{\textcolor{red}{L'impact de foudre appartient donc au secteur G4}}}.

\item $z = -45\sqrt{3}+45\mathrm{i}=90\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=90\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}6}$. 

$\left\vert z \right\vert=90$ et $\theta=\arg(z)=\dfrac{5\pi}{6}\in\left[-\dfrac{3\pi}{4}~;~\pi\right]$.

\fbox{\textbf{\textcolor{red}{L'impact de foudre est dans le secteur  D5}}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Partie B }
\end{center}

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d'affixe $50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$.

En raison d'imprécisions de mesures, le point d'impact affiché ne donne qu'une indication approximative du point d'impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d'impact P d'affixe $50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$, l'affixe Z du point d'impact réel de la foudre admet : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart type $\sigma = 5$ ; 

\item  un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d'espérance $\dfrac{\pi}{3}$ et d'écart type $\dfrac{\pi}{12}$.

\end{enumerate}

\bigskip

On suppose que les variables aléatoires $M$ et $T$ sont indépendantes, c'est-à-dire que, quels que soient les intervalles $I$ et $J$, les évènements $(M \in 1)$ et $(T\in J)$ sont indépendants.

Dans la suite les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité $P(M < 0)$ et interpréter le résultat obtenu.
$P(M<0)=P(M<50)-P(0\leqslant M\leqslant 50)=0,5-P(0\leqslant M\leqslant 50)\approx 0$ (calculé à la calculatrice). $\boxed{\textcolor{red}{P(M<0)\approx 0}}$

On retrouve  le fait qu’il est impossible que le module du nombre complexe $z$ soit strictement négatif.

\item %Calculer la probabilité $P(M\in ]40~;~60[)$.
$P(40\leqslant M\leqslant 60)=P(\mu-2\sigma\leqslant M\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,954$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P(40\leqslant M\leqslant 60)=\approx 0,954}}$

\item On admet que $P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\right)=0,819$.
%En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation. 
La probabilité que la foudre ait frappé le secteur B3 est $P\left((40\leqslant M\leqslant 60)\cap\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\right)=$

$P(4 \leqslant M\leqslant 60)\times P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\right)$ (car les évènements sont indépendants d'après l'énoncé)\\
$= 0,954\times 0,819= \np{0.781326}\approx 0,781$ : $\boxed{\textcolor{red}{P(P\in \text{B3})\approx 0,781}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{ Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ;

\item soit malade (atteint par le virus) ; 

\item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). 
\end{enumerate}

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. 

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ;
\item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés.
\item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : 

$S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ;

$M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ;

$I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg{}.

\bigskip

En semaine 0, tous les individus sont considérés \og{}de type S\fg{}, on a donc les probabilités suivantes : 
\[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et }P\left(I_0\right) = 0. \]
\bigskip

\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}
\bigskip

On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2. 

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous :

\begin{center}

\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot~[tnpos=a]{$S_0$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S_1$}\taput{ $0,85$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S_2$}\taput{ $0,85$}
\Tdot~[tnpos=r]{$M_2$}\taput{ $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$I_2$}\tbput{ $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M_1$}\taput{ $0,05$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M_2$}\taput{ $0,65$}
\Tdot~[tnpos=r]{$I_2$}\tbput{ $0,35$}

}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I_1$}\tbput{ $0,1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I_2$}\taput{ $1$}
}
}


\end{center}
\item %Montrer que $P\left(I_2\right)= 0,2025$.
$I_2=\left(S_1\cap I_2\right)\cup \left(M_1\cap I_2\right)\cup \left(I_1\cap I_2\right)$ (réunion d'évènements incompatibles).

D'où : $P\left(I_2\right)=P_{S_1}\left(I_2\right)\times P\left(S_1\right)+P_{M_1}\left(I_2\right)\times P\left(M_1\right)+P_{I_1}\left(I_2\right)\times P\left(I_1\right)$ (formule des probabilités totales).

Donc : $P\left(I_2\right)=0,1\times 0,85+0,35\times 0,05 + 1\times 0,1= 0,085 + \np{0,0175} + 0,1= \np{0,2025}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P\left(I_2\right)=\np{0,2025}}}$.

\item %Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ? 
$P_{I_2}\left(M_1\right)=\dfrac{p\left(M_1\cap I_2\right)}{P\left(I_2\right)}=\dfrac{0,05\times 0,35}{\np{0,2025}}=\dfrac{\np{0,00175}}{0,2025}\approx 0,086$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P_{I_2}\left(M_1\right)\approx 0,086}}$

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE B}
\end{center}

On étudie à long terme l'évolution de la maladie.

Pour tout entier naturel $n$, on  : $u_n=P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n = P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.
\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n+v_n+w_n=1$.
L'univers $\Omega$ est la réunion des évènements disjoints $S_n$, $M_n$ et $I_n$ \\
donc $u_n+v_n+w_n=P(\Omega)=1$.

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_0=0,65v_n+0,05u_n$.

\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
		&A		&B		&C		&D\\\hline
1		&$n$	&$u_n$	&$v_n$	&$w_n$\\\hline
2		&0		&1		&0		&0\\\hline
3		&1		&\np{0,8500}	&\np{0,0500}	&\np{0,1000}\\\hline
4		&2		&\np{0,7225}	&\np{0,0750}	&\np{0,2025}\\\hline
5		&3		&\np{0,6141}	&\np{0,0849}	&\np{0,3010}\\\hline
6		&4		&\np{0,5220}	&\np{0,0859}	&\np{0,3921}\\\hline
7		&5		&\np{0,4437}	&\np{0,0819}	&\np{0,4744}\\\hline
8		&6		&\np{0,3771}	&\np{0,0754}	&\np{0,5474}\\\hline
\dots	&\dots	&\dots	&\dots	&\dots\\\hline
20		&18		&\np{0,0536}	&\np{0,0133}	&\np{0,9330}\\\hline
21		&19		&\np{0,0456}	&\np{0,0113}	&\np{0,9431}\\\hline
22		&20		&\np{0,0388}	&\np{0,0096}	&\np{0,9516}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\emph{Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.}

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?
Dans la cellule C3, il faut taper la formule 
\begin{center}
\fbox{\textbf{\textcolor{red}{=0,65*C2+0,05*B2}}}.
\end{center}

\item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent  à partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

%Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.
On voit que la valeur maximale  de $v_n$ est obtenue pour $n=4$ et vaut environ \numprint{0,0859}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item 

%Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,85u_n$.
D'après l'énoncé, $P\left(S_{n+1}\right)=0,85P\left(S_n\right)$ dnonc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,85u_n}}$.

%En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,85$.

On en déduit que $u_n=u_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=0,85^n}}$ pour tout $n$

\item %Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, 
Montrons, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, 
\[v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right).\]

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : $0,85^0-0,65^0=1-1=0=v_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $v_n=0,85^n-0,65^n$.

Alors : $0,05u_n+0,65v_n=0,05\times 0,85^n+0,65\times \dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right)\\
=\left(0,05+\dfrac{0,65}{4}\right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1}=\dfrac{0,85}{4}\times 0,85^{n+1}-\dfrac{0,65^{n+1}}{4}=\dfrac{1}{4}\left(0,85^{n+1}-0,65^{n+1}\right)=v_{n+1}$.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propruété est vraie pour tout $n$
\end{enumerate}

\item %Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
$-1<0,65<1$ et $-1<0,85<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,85^n=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,65^n=0$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0}}$.

%Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
Comme $u_n+v_n+w_n=1$, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n=1}}$.

\textbf{Interprétation :} cela signifie donc que sur le long terme, selon ce modèle, tous les individus seront immunisés.
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE IV}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

On appelle \og{}triangle rectangle presque isocèle\fg{}, en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle
droit ont pour longueurs $x$ et $x + 1$, et dont l 'hypoténuse a pour longueur $y$, où x et y sont des entiers naturels.

Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier. 

\parbox{5cm}{\begin{pspicture}(-1,-1)(5,4)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,3)(4,0)
\uput[d](2,0){$x+1$}
\uput[l](0,1.5){$x$}
\uput[u](2,1.5){$y$}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{5cm}{Si le triangle de côtés $x$, $x + 1$ et $y$, où $y$ est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPJ, on dira que le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI. }

\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI si, et seulement si, on a : \[y^2 = 2x^2 + 2x + 1\]
D'après le théorème de Pythagore, un couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI si, et seulement si, $y^2=x^2+(x+1)^2=x^2+x^2+2x+1\iff \boxed{\textcolor{red}{y^2=2x^2+2x+1}}$

\item  %Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3~;~5). 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $x=1$, $x+1=2$ et on aurait $y^2=1+4=5$ qui n'est pas le carré d'un entier.

\item Pour $x=2$, $x+1=3$ et on aurait $y^2=4+9=13$ qui n'est pas le carré d'un entier.

\item Pour $x=3$, $x+1=4$ et on aurait $y^2=9+16=25$ qui est  le carré d'un entier, donc $y=5$.

Le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par $\boxed{\textcolor{red}{(3~;~5)}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
On peut raisonner par contraposée : si $n$ est pair, $n = 2p$ avec $p\in\mathbb{N}$, donc $n^2 = (2p)^2 = 4p^2 = 2\left(p^2\right)$ donc $n^2$ est pair.

On a montré que si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair, ce qui équivaut à montrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

\item %Montrer que dans un couple d'entiers $(x~;~y)$ définissant un TRPI, le nombre $y$ est nécessairement impair.
On suppose que $(x~;~y)$ définit un TRPI ; 

alors $y^2=2x^2+2x+1=2\left(x^2+x\right)=1$ qui est un nombre impair (de la forme $2q+1$ avec $q$ entier). $y$ est bien un \textbf{\textcolor{red}{nombre impair}}.

\item %Montrer que si le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux. 
Soit $(x~;~y)$ un couple d'entiers définissant un TRPI.

Alors : $y^2=2x^2+2x+1\iff y^2-2x^2_2x=1\iff x\times (-2x-2)+y\times y=1$.

Il existe donc deux entiers relatifs $u$ et $v$ avec $\begin{cases}u=-2x-1\\v=y\end{cases}$ tels que $ux+vy=1$.

D'après le théorème de Bézout, $x$ et $y$ sont \textbf{\textcolor{red}{premiers entre eux}}.

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{Partie B }
\end{center}

\bigskip

On note $A$ la matrice carrée : $A =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, et $B$ la matrice colonne : $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. 

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels $x'$ et $y'$ par la relation : 
\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B.\]
 
%Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. 
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B\iff \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+2y+1\\4x+3y+2\end{pmatrix}$ donc $\begin{cases}x'=3x+2y+1\\y'=4x+3y+2\end{cases}$

\begin{enumerate}
\item %Montrer que : $y'^2 - 2x'(x' + 1) = y^2 - 2x(x + 1)$.
$y'^2-2x'\left(x'+1\right)=\left(4x+3y+2\right)^2-2\left(3x+2y+1\right)\left(3x+2y+2\right)\\
=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y-2\left[9x^2+6xy+6x+6xy+4y^2+4y+3x+2y+2\right]\\
=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y-18x^2-12xy-12x-12xy-8y^2-8y-6x-4y-4\\
=-2x^2+y^2-2x=y^2-2x(x+1)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{y'^2 - 2x'(x' + 1) = y^2 - 2x(x + 1)}}\]

\item %En déduire que si le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors le couple $\left(x'~;~y'\right)$ définit également un TRPI.
On suppose que le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI, donc $y^2=2x(x+1)+1$.

Alors $y'^2 - 2x'(x' + 1)=y^2 - 2x(x + 1)=1$ donc $y'^2 - 2x'(x' + 1)=1$ d'où 

$y'^2=2x'\left(x'+1\right)+1$ donc $\left(x'~;~y'\right)$ définit un TRPI.

On considère les suites $\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ d'entiers naturels, définies par

$x_0 = 3$, $y_0 = 5$ et pour tout entier naturel n : 	$\begin{pmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+B$.

%Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n&y_n\right)$ définit un TRPI.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ définit un TRPI.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Initialisation} : Pour $n=0$, $\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}$ qui définit un TRPI (déjà vu)

\item \textbf{Hérédité} : On suppose que $\begin{pmatrix}x_n&y_n\end{pmatrix}$ définit un TRPI.

$\begin{pmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n&y_n\end{pmatrix}+B\iff \begin{cases}x_{n+1}=3x_n+2y_n+1\\y_{n+1}=4x_n+3y_n+2\end{cases}$

On a montré précédemment que si $\begin{pmatrix}x_n&y_n\end{pmatrix}$ définit un TRPI, alors $\begin{pmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}\end{pmatrix}$ définit aussi un TRPI.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017. 
On part du couple $\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}$ qui correspond à la matrice $\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$.

On calcule alors successivement $AX+B$ jusqu'à obtenur une matrice $X$ dont les termes sont supérieurs à 2017.

On trouve : $\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\29\end{pmatrix}$ ; $\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}119\\169\end{pmatrix}$ ; $\begin{pmatrix}x_3\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}696\\985\end{pmatrix}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}x_4\\y_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\numprint{4059}\\\numprint{5741}\end{pmatrix}}}$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}